2027金版教程一輪復習數學基礎版第11章第5節　離散型隨機變量的分布列及數字特征

第十一章計數原理、概率、隨機變量及其分布第五節離散型隨機變量的分布列及數字特征課標解讀考向預測通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值、方差).預計2027年高考仍將以條件概率、相互獨立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值與方差的計算、統計為核心，整合構建綜合解答題.必備知識強基礎考點探究提素養課時作業目錄必備知識強基礎1．離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有_______________與之對應，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱_____________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．唯一的實數X(ω)X取每一個值xi的概率3．離散型隨機變量的分布列的性質(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．(2)________________＝1.p1＋p2＋…＋pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_______________為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的_____________．偏離程度5．兩點分布的分布列及其數字特征若X服從兩點分布，則分布列如下：期望E(X)＝____，方差D(X)＝_____________．提醒：隨機變量X只取兩個值的分布未必是兩點分布．6．均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝___________．(2)D(aX＋b)＝___________(a，b為常數)．pX01P1－ppp(1－p)aE(X)＋ba2D(X)1．隨機變量的線性關系若X是隨機變量，Y＝aX＋b，a，b是常數，則Y也是隨機變量．2．判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗．3．均值與方差的四個常用性質(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．√×題組一走出誤區——判一判(1)離散型隨機變量是指某一區間內的任意值．(

)(2)如果隨機變量X的分布列由下表給出，則X服從兩點分布．(

)(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小．(

)(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)X25P0.30.7×√題組二回歸教材——練一練(1)(人教A選擇性必修第三冊7.2練習T2(1)改編)拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差為X，則“X≥5”表示的試驗結果是(

)A．第一枚6點，第二枚2點 B．第一枚5點，第二枚1點C．第一枚1點，第二枚6點 D．第一枚6點，第二枚1點解析：“X≥5”表示第一枚骰子擲出的點數減去第二枚骰子擲出的點數不小于5，即只能等于5.故選D.(2)(人教B選擇性必修第二冊第四章復習題T5改編)已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．考點探究提素養考點一離散型隨機變量分布列的性質已知隨機變量X的分布列為其中a，b，c成等差數列，則P(|X|＝1)＝____，公差d的取值范圍是______．X－101Pabc離散型隨機變量分布列的性質的應用應用一利用“概率之和為1”可以求相關參數的值應用二利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率應用三可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確1.設離散型隨機變量X的分布列為(1)求2X＋1的分布列；(2)求隨機變量Y＝|X－1|的分布列．X01234P0.20.10.10.3m解：(1)由分布列的性質知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為從而2X＋1的分布列為X012342X＋1135792X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)由(1)知m＝0.3，列表為所以P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(Y＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(Y＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故Y＝|X－1|的分布列為X01234|X－1|10123Y0123P0.10.30.30.3在求幾個互斥事件構成的事件的概率時，一般先利用獨立事件的定義求出各個互斥事件發生的概率，然后用概率加法公式求概率，審題時應注意關鍵詞語，如“至多有一個”“至少有一個”“恰有一個”等，在求復雜事件的概率時，應學會對事件等價分解(互斥事件的和、幾個獨立事件同時發生)，或者考慮結合對立事件求解，從而使問題變得更易解決．考向2與古典概型有關的分布列某校為校級元旦晚會選拔主持人，現有來自高一年級的參賽選手5名，其中男生2名，高二年級的參賽選手5名，其中男生3名．從這10名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽．(1)設事件A為“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發生的概率；(2)設X為選出的4人中男生的人數，求隨機變量X的分布列．(1)求古典概型的離散型隨機變量的分布列，要注意應用計數原理、排列組合的知識求樣本點的個數及事件A包含的樣本點的個數，然后應用古典概型的概率公式求概率．(2)求出分布列后，注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確．3.有編號為1，2，3，…，n的n名學生，入座編號為1，2，3，…，n的n個座位，每名學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，已知當X＝2時，共有6種坐法．(1)求n的值；(2)求隨機變量X的分布列．考點三離散型隨機變量的數字特征(多考向探究)考向1數字特征的計算某班元旦聯歡晚會上，設計了一個摸球表演節目的游戲：在一個紙盒中裝有1個紅球、1個黃球、1個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同，同學們不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止．規定摸到紅球表演兩個節目，摸到白球或黃球表演1個節目，摸到黑球不用表演節目．(1)求A同學摸球三次后停止摸球的概率；(2)記X為A同學摸球后表演節目的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望、方差．求離散型隨機變量X的數字特征的步驟(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值．(2)求X取每個值的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．(5)由方差的定義求D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應用．4.(2025·北京卷，18)有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．(1)從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率；(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設X為做對該題目的人數，求恰有1人做對該題目的概率以及X的數學期望；(3)若甲校學生掌握這個知識點，則有100%的概率做對該題目，乙校學生掌握這個知識點，則有85%的概率做對該題目，未掌握該知識點的學生都是從四個選項里面隨機選擇一個，設甲校學生掌握該知識點的概率為p1，乙校學生掌握該知識點的概率為p2，試比較p1與p2的大小(結論不要求證明)．隨機變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．5.某新型雙軸承電動機需要裝配兩個軸承才能正常工作，且兩個軸承互不影響．現計劃購置甲、乙兩個品牌的軸承，兩個品牌軸承的使用壽命及價格情況如下表：品牌價格/(元/個)使用壽命/月甲10007或8乙4003或4品牌價格/(元/個)使用壽命/月甲10007或8乙4003或4課時作業基礎題(占比60%)中檔題(占比30%)拔高題(占比10%)題號12345678910難度★★★★★★★★★★★考點離散型隨機變量取相應值的含義利用離散型隨機變量分布列的性質求參數；求特定事件的概率數字特征的計算在兩點分布中，利用離散型隨機變量分布列的性質求參數數字特征的計算求特定事件的概率數字特征的計算數字特征的計算利用離散型隨機變量分布列的性質求參數；數字特征的計算數字特征的計算題號11121314151617181920難度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考點利用離散型隨機變量分布列的性質求參數數字特征的計算求特定事件的概率數字特征的計算與古典概型有關的分布列；數字特征的計算與條件概率有關的分布列；數字特征的計算利用離散型隨機變量分布列的性質求參數；求特定事件的概率數字特征的應用與互斥事件、獨立事件有關的分布列數字特征的應用一、單項選擇題1．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，則{X＝3}表示(

)A．甲贏三局

B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局兩次

D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次解析：因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以{X＝3}表示甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．2．(2026·貴州貴陽模擬)某位射箭運動員命中目標箭靶的環數X的分布列為則P(X≥9)＝(

)A．0.2B．0.4 C．0.6D．0.8解析：由分布列的性質，得0.06＋0.14＋m＋2m＋0.2＝1，解得m＝0.2，則P(X≥9)＝0.4＋0.2＝0.6.故選C.X678910P0.060.14m2m0.25．已知隨機變量X，Y的分布列如下表，若a，b，c成等差數列，則下列結論一定成立的是(

)A.D(X)>D(Y) B．E(X)＝E(Y)C．E(X)<E(Y) D．D(X)＝D(Y)X321PabcY123Pabc7．(2026·河北邢臺模擬)在規定時間內，甲、乙、丙能正確解答某道題的概率分別為0.5，0.6，0.4，且這三人是否能按時正確解答該題相互獨立．記甲、乙、丙三人中能按時正確解答該題的人數為X，則E(X)＝(

)A．1.8 B．1.7C．1.6 D．1.58．(2026·河南新鄉模擬)某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個120元．在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每個280元．在使用期間，每臺設備需更換的零件個數X的分布列為若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設備另需購買易損零件所需費用的期望為(

)A．1716.8元B．206.5元

C．168.6元 D．156.8元X678P0.40.50.1解析：記Y表示2臺設備使用期間需更換的零件數，則Y的所有可能取值為12，13，14，15，16，P(Y＝12)＝0.42＝0.16，P(Y＝13)＝2×0.4×0.5＝0.4，P(Y＝14)＝0.52＋2×0.4×0.1＝0.33，P(Y＝15)＝2×0.5×0.1＝0.1，P(Y＝16)＝0.12＝0.01.若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設備另需購買易損零件所需費用為Z元，則Z的所有可能取值為0，280，560，840，P(Z＝0)＝P(Y≤13)＝0.16＋0.4＝0.56，P(Z＝280)＝P(Y＝14)＝0.33，P(Z＝560)＝P(Y＝15)＝0.1，P(Z＝840)＝P(Y＝16)＝0.01，所以E(Z)＝280×0.33＋560×0.1＋840×0.01＝156.8.故選D.102413．一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2|x|＋1.現從盒子中逐一抽取卡片并判斷函數的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，設抽取次數為X，則X<3的概率為________．14．(2025·新課標Ⅰ卷，14)一個箱子里有5個相同的球，分別以1～5標號，若每次取1個，有放回地取3次，記至少被取出1次的球的個數為X，則數學期望E(X)＝________．四、解答題15．盒中有標記數字1，2的小球各2個．(1)若有放回地隨機取出2個小球，求取出的2個小球上的數字不同的概率；(2)若不放回地依次隨機取出4個小球，記相鄰小球上的數字相同的對數為X(如1122，則X＝2)，求X的分布列及數學期望E(X)．19．某中學有A，B兩個餐廳為老師和學生提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統計如下：假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．選擇餐廳情況(午餐、晚餐)(A，A)(A，B