高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練71　概率與統(tǒng)計(jì)中的綜合問題（湘教版）

課時(shí)規(guī)范練71概率與統(tǒng)計(jì)中的綜合問題(分值:59分)1.(15分)(2025·福建福州模擬)下圖是某校高三學(xué)生“運(yùn)動(dòng)與健康”評(píng)價(jià)結(jié)果的頻率分布直方圖,評(píng)分在區(qū)間[90,100],[70,90),[60,70),[50,60)上,分別對(duì)應(yīng)為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)與健康的重視,初評(píng)獲A等級(jí)的學(xué)生不參加復(fù)評(píng),等級(jí)不變,對(duì)其余學(xué)生,學(xué)校將進(jìn)行一次復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)中,原獲B等級(jí)的學(xué)生有14的概率提升為A等級(jí);原獲C等級(jí)的學(xué)生有15的概率提升為B等級(jí);原獲D等級(jí)的學(xué)生有16的概率提升為C等級(jí).用頻率估計(jì)概率(1)若初評(píng)中甲獲得C等級(jí),乙、丙獲得D等級(jí),記甲、乙、丙三人復(fù)評(píng)后等級(jí)為C的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)從全體高三學(xué)生中任選1人,在已知該學(xué)生是復(fù)評(píng)晉級(jí)的條件下,求他初評(píng)是B等級(jí)的概率.2.(15分)某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)之間的關(guān)系,他們記錄了某六天的溫差,并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增感冒就診的人數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x/℃47891412新增感冒就診人數(shù)y/位y1y2y3y4y5y6參考數(shù)據(jù):∑i=16yi2=3463,∑i=16(y(1)已知第一天新增感冒就診的學(xué)生中有4位男生,從第一天新增的感冒就診的學(xué)生中隨機(jī)取2位,其中男生人數(shù)記為X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率為56,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=1617,請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y^=b^x+a^,據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為參考數(shù)據(jù):r=∑i=13.(17分)(2025·云南玉溪模擬)某個(gè)景點(diǎn)取消門票實(shí)行免費(fèi)開放,下表是該景點(diǎn)免費(fèi)開放后五個(gè)月的打卡人數(shù)y(單位:萬人)與第x個(gè)月的數(shù)據(jù):x12345y23.137.062.1111.6150.8(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系,且線性回歸方程y^=b^x+a^中的b^=32.88,請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01),(2)景點(diǎn)對(duì)每位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查,已知評(píng)分X近似服從正態(tài)分布N(86,9),評(píng)分低于m的游客約占15.865%,求m的值;(3)為進(jìn)一步了解游客性別與滿意度的關(guān)系,隨機(jī)抽查200名游客,得到如下列聯(lián)表,請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表,根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),能否推斷游客是否滿意與性別有關(guān)?性別喜歡不喜歡合計(jì)男100女60合計(jì)110參考公式:相關(guān)系數(shù):若|r|≥0.75,則認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.r=∑i線性回歸方程y^=b^x+aχ2=n(ad-bcα0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828參考數(shù)據(jù):∑i=15yi=384,y≈77,∑i=15xi2=55,∑i=15yi2≈40954,336.32≈113090,若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-24.(12分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E

參考答案課時(shí)規(guī)范練71概率與統(tǒng)計(jì)中的綜合問題1.解(1)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=15×56×56=5P(ξ=2)=45×C21×16×則ξ的分布列為ξ0123P511411E(ξ)=0×536+1×1118+2×41180+(2)記M=“該學(xué)生復(fù)評(píng)晉級(jí)”,N1=“該學(xué)生初評(píng)是B”,N2=“該學(xué)生初評(píng)是C”,N3=“該學(xué)生初評(píng)是D”,則Ω=N1∪N2∪N3,且N1,N2,N3兩兩互斥,根據(jù)題意得,P(N1)=35,P(N2)=320,P(N3)=120,P(M|N1)=14,P(M|N2)=15,P(M|N3)=16,由全概率公式可得,P(M)=P(N1)P(M|N1)+P(N2)·P(M|N2)+P(N3)P(所以P(N1|M)=P(2.解(1)因?yàn)?-C4所以4×3y所以y1(y1-1)=4×3×6,解得y1=9(負(fù)值舍去),即第一天新增患感冒就診的學(xué)生有9位,其中男生4位,女生5位,則隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,且X服從超幾何分布,P(X=0)=C5P(X=1)=C5P(X=2)=C4X的分布列為X012P551E(X)=0×518+1×59+2×(2)因?yàn)椤苅=16xi=54,所以所以∑i=16(xi-x)2=由于r=∑i所以∑i=16(xi-x)(yi-y所以b^=∑因?yàn)椤苅=16yi2=3463,∑i=16(yi-y)2=∑i=16y解得y=23,所以a^=y-b^x=23-2×9=5,當(dāng)x=15時(shí),y^=30+5=據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí),該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù)為35.3.解(1)由題可知,x=1+2+3+4+55=3,∑i=15xi2-5x2=55-5×32=10,∑i=15y則b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=1故樣本相關(guān)系數(shù)r=∑=∑=328≈328.8336.3≈0.可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.(2)因?yàn)閄~N(86,9),則μ=86,σ=3.因?yàn)镻(X<μ-σ)=1-P(μ則m=μ-σ=86-3=83.(3)由題可得列聯(lián)表如下:性別喜歡不喜歡合計(jì)男7030100女4060100合計(jì)11090200提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0:游客是否滿意與性別無關(guān),則χ2=n(ad-bc)由臨界值表可知,x0.001=10.828,又18.182>10.828,于是我們推斷游客是否滿意與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.4.解(1)第2次投籃的人是乙分兩種情況:第1次投籃的人是甲且投籃未命中,其概率為0.5×(1-0.6)=0.2;第1次投籃的人是乙且投籃命中,其概率為0.5×0.8=0.4,所以第2次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.(2)記第i次投籃的人是甲的概率是pi,則第i次乙投籃的概率是1-pi,其中p1=0.5.接下來分析第i+1次投籃的人是甲的概率,分兩種情況:①第i次為甲投籃的概率為pi,投中的概率為0.6,則第i+1次還是甲投籃;②第i次為乙投籃的概率為1-pi,沒有投中的概率為0.2,則第i+1次是甲投籃,所以pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi,變形得pi+1-13=25(pi又p1-13=16,所以數(shù)列{pi-13}是首項(xiàng)為1所以pi-13=16·(2化簡得pi=13+16(25)i-1,(3)設(shè)第i次投籃時(shí)甲投籃的次數(shù)為Xi,則Xi的可能取值為0或1,當(dāng)Xi=0時(shí),表示第i次投籃的人是乙,當(dāng)Xi=1時(shí),表示第i次投籃的人是甲