高考數學一輪復習 課時規范練71　概率與統計中的綜合問題（基礎版）

課時規范練71概率與統計中的綜合問題(分值:59分)1.(15分)(2025·福建福州模擬)右圖是某校高三學生“運動與健康”評價結果的頻率分布直方圖,評分在區間[90,100],[70,90),[60,70),[50,60)上,分別對應為A,B,C,D四個等級.為了進一步引導學生對運動與健康的重視,初評獲A等級的學生不參加復評,等級不變,對其余學生,學校將進行一次復評.復評中,原獲B等級的學生有14的概率提升為A等級;原獲C等級的學生有15的概率提升為B等級;原獲D等級的學生有16的概率提升為C等級.用頻率估計概率(1)若初評中甲獲得C等級,乙、丙獲得D等級,記甲、乙、丙三人復評后等級為C的人數為ξ,求ξ的分布列和數學期望;(2)從全體高三學生中任選1人,在已知該學生是復評晉級的條件下,求他初評是B等級的概率.2.(15分)某中學數學建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學學生患感冒就診人數之間的關系,他們記錄了某六天的溫差,并到校醫室查閱了這六天中每天學生新增感冒就診的人數,得到數據如下:日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x/℃47891412新增感冒就診人數y/位y1y2y3y4y5y6參考數據:∑i=16yi2=3463,∑i=16(y(1)已知第一天新增感冒就診的學生中有4位男生,從第一天新增的感冒就診的學生中隨機取2位,其中男生人數記為X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率為56,求隨機變量X的分布列和數學期望(2)已知兩個變量x與y之間的樣本相關系數r=1617,請用最小二乘法求出y關于x的經驗回歸方程y^=b^x+a^,據此估計晝夜溫差為參考數據:r=∑i=13.(17分)(2025·云南玉溪模擬)某個景點取消門票實行免費開放,下表是該景點免費開放后五個月的打卡人數y(單位:萬人)與第x個月的數據:x12345y23.137.062.1111.6150.8(1)根據表中數據可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關關系,且經驗回歸方程y^=b^x+a^中的b^=32.88,請計算樣本相關系數r(精確到0.01),(2)景點對每位游客進行了滿意度調查,已知評分X近似服從正態分布N(86,9),評分低于m的游客約占15.865%,求m的值;(3)為進一步了解游客性別與滿意度的關系,隨機抽查200名游客,得到如下列聯表,請填寫下面的2×2列聯表,根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否推斷游客是否滿意與性別有關?性別喜歡不喜歡合計男100女60合計110參考公式:相關系數:若|r|≥0.75,則認為y與x有較強的線性相關性.r=∑i經驗回歸方程y^=b^x+aχ2=n(ad-bcα0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828參考數據:∑i=15yi=384,y≈77,∑i=15xi2=55,∑i=15yi2≈40954,336.32≈113090,若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ4.(12分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數為Y,求E

參考答案課時規范練71概率與統計中的綜合問題1.解(1)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=15×56×56=5P(ξ=2)=45×C21×16×則ξ的分布列為ξ0123P511411E(ξ)=0×536+1×1118+2×41180+(2)記M=“該學生復評晉級”,N1=“該學生初評是B”,N2=“該學生初評是C”,N3=“該學生初評是D”,則Ω=N1∪N2∪N3,且N1,N2,N3兩兩互斥,根據題意得,P(N1)=35,P(N2)=320,P(N3)=120,P(M|N1)=14,P(M|N2)=15,P(M|N3)=16,由全概率公式可得,P(M)=P(N1)P(M|N1)+P(N2)·P(M|N2)+P(N3)P(所以P(N1|M)=P(2.解(1)因為1-C4所以4×3y所以y1(y1-1)=4×3×6,解得y1=9(負值舍去),即第一天新增患感冒就診的學生有9位,其中男生4位,女生5位,則隨機變量X的可能取值為0,1,2,且X服從超幾何分布,P(X=0)=C5P(X=1)=C5P(X=2)=C4X的分布列為X012P551E(X)=0×518+1×59+2×(2)因為∑i=16xi=54,所以所以∑i=16(xi-x)2=由于r=∑i所以∑i=16(xi-x)(yi-y所以b^=∑因為∑i=16yi2=3463,∑i=16(yi-y)2=∑i=16y解得y=23,所以a^=y-b^x=23-2×9=5,當x=15時,y^=30+5=據此估計晝夜溫差為15℃時,該校新增感冒就診的學生人數為35.3.解(1)由題可知,x=1+2+3+4+55=3,∑i=15xi2-5x2=55-5×32=10,∑i=15y則b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=1故樣本相關系數r=∑=∑=328≈328.8336.3≈0.可以認為y與x有較強的線性相關性.(2)因為X~N(86,9),則μ=86,σ=3.因為P(X<μ-σ)=1-P(μ則m=μ-σ=86-3=83.(3)由題可得列聯表如下:性別喜歡不喜歡合計男7030100女4060100合計11090200零假設為H0:游客是否滿意與性別無關,則χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c所以根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能推斷游客是否滿意與性別有關,此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.4.解(1)第2次投籃的人是乙分兩種情況:第1次投籃的人是甲且投籃未命中,其概率為0.5×(1-0.6)=0.2;第1次投籃的人是乙且投籃命中,其概率為0.5×0.8=0.4,所以第2次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.(2)記第i次投籃的人是甲的概率是pi,則第i次乙投籃的概率是1-pi,其中p1=0.5.接下來分析第i+1次投籃的人是甲的概率,分兩種情況:①第i次為甲投籃的概率為pi,投中的概率為0.6,則第i+1次還是甲投籃;②第i次為乙投籃的概率為1-pi,沒有投中的概率為0.2,則第i+1次是甲投籃,所以pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi,變形得pi+1-13=25(pi又p1-13=16,所以數列{pi-13}是首項為1所以pi-13=16·(2化簡得pi=13+16(25)i-(3)設第i次投籃時甲投籃的次數為Xi,則Xi的可能取值為0或1,當Xi=0時,表示第i次投籃的人是乙,當Xi=1時,表示第i次投籃的人是甲,