高考數學一輪復習 課時規范練68　離散型隨機變量及其分布列、數字特征（湘教版）

課時規范練68離散型隨機變量及其分布列、數字特征(分值:111分)(單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分)基礎鞏固練1.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示,則常數c為()X01P9c2-c3-8cA.13 B.23 C.34或2.已知隨機變量X的分布列如下表所示,則P(|2X-3|<3)=()X1234P0.1m0.30.2A.710 B.35 C.12 3.一臺機器生產某種產品,如果生產出一件甲等品可獲利50元,生產出一件乙等品可獲利30元,生產一件次品,要賠20元,已知這臺機器生產出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,則這臺機器每生產一件產品,平均預期可獲利的錢數為()A.36 B.37 C.38 D.394.隨機變量X的分布列如下表所示,若E(X)為X的數學期望,則E(X-E(X))=.

X12345P0.1a0.20.30.15.隨機變量X的取值范圍為{0,1,2},若P(X=0)=14,E(X)=1,則D(X)=.

6.(15分)(2024·九省適應性測試,16)盒中有標記數字1,2,3,4的小球各2個,隨機一次取出3個小球.(1)求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率;(2)記取出的3個小球上的最小數字為X,求X的分布列及數學期望E(X).綜合提升練7.(2025·河北邯鄲期中)一袋子里有大小、形狀完全相同的3個紅球,2個白球,1個黃球,現從袋子里這6個球中隨機摸球,每次摸一球,不放回,摸到紅球就結束摸球,X表示摸球次數,則X的數學期望E(X)=()A.74 B.83 C.94 8.(多選題)某嘉賓參加猜歌名節目,猜對每首歌曲的歌名相互獨立,猜對三首歌曲M,N,O歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金分別是:猜對歌曲M的概率為0.8,可獲公益基金1千元;猜對歌曲N的概率為0.5,可獲公益基金2千元;猜對歌曲O的概率為0.5,可獲公益基金3千元.規則如下:按照M,N,O的順序猜,只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首,記嘉賓獲得的公益基金總額為X千元,則()A.P(X=3)=0.4 B.E(2X+1)=5.4C.D(2X+1)=18.24 D.獲得公益基金總額的期望值與猜歌順序無關9.據統計,一年中一個家庭萬元以上的財產被竊的概率為0.005,保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產保險,交保險費100元,若一年內萬元以上財產被竊,保險公司賠償a元(a>1000),為確保保險公司獲益,則a的取值范圍是.

10.已知x,y,z∈N+,且x+y+z=6,記隨機變量X為x,y,z中的最小值,則E(X)=.

11.(2025·全國1,14)有5個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機取3次,每次取1個球,記X為這5個球中至少被取出1次的球的個數,則X的數學期望E(X)=.

12.(15分)(2025·北京,18)有一道選擇題考查了一個知識點.甲、乙兩校各隨機抽取100人,甲校有80人答對,乙校有75人答對,用頻率估計概率.(1)從甲校隨機抽取1人,求這個人做對該題目的概率;(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人,設X為做對的人數,求恰有1人做對的概率以及X的數學期望;(3)若甲校同學掌握這個知識點,則有100%的概率做對該題目,乙校同學掌握這個知識點,則有85%的概率做對該題目,未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個,設甲校學生掌握該知識點的概率為p1,乙校學生掌握該知識點的概率為p2,試比較p1與p2的大小(結論不要求證明).13.(15分)某校舉行知識競賽,最后一個名額要在A,B兩名同學中產生,測試方案如下:A,B兩名學生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答,在這4個問題中,已知A能正確作答其中的3個,B正確作答每個問題的概率都是34,A,B兩名同學作答問題相互獨立(1)求A,B兩名同學恰好共答對2個問題的概率;(2)若讓你投票決定參賽選手,你會選擇哪名學生?簡要說明理由.14.(15分)(2025·山東威海模擬)某考試中的多選題,每題有4個選項,其中有2個或3個正確選項,全部選出正確選項得6分.若正確選項是2個,只選對1個得3分,有選錯的得0分;若正確選項是3個,只選對1個得2分,只選對2個得4分,有選錯的得0分.若多選題正確選項是2個的概率為p(0<p<1),正確選項是3個的概率為1-p.某學生完全不會做其中的一道題,對于這道題,他隨機地進行填涂.(1)若他只隨機選擇1個選項,求他的得分X的分布列與數學期望;(2)若他隨機選擇2個選項,求他的得分Y的分布列與數學期望;(3)若p=23,該同學隨機選擇1個選項還是隨機選擇2個選項,能使得分更好?

參考答案課時規范練68離散型隨機變量及其分布列、數字特征1.A解析由題意,得9解得c=13.故選A2.C解析由題得0.1+m+0.3+0.2=1,則m=0.4,故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.5.故選C.3.B解析設這臺機器每生產一件產品可獲利X,則X的可能取值為50,30,-20,所以X的分布列為P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以這臺機器每生產一件產品平均預期可獲利的錢數為50×0.6+30×0.3-20×0.1=37.4.0解析由題可得,0.1+a+0.2+0.3+0.1=1,解得a=0.3,所以E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.2+4×0.3+5×0.1=3,所以E(X-E(X))=E(X-3)=E(X)-3=0.5.12解析設P(X=1)=p,P(X=2)=q,由題意得,E(X)=0×14+p+2q=1,且14+p+q=1,解得p=12所以D(X)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1)26.解(1)記“取出的3個小球上的數字兩兩不同”為事件M,先確定3個不同數字的小球,有C43種情況,然后每種小球各取1個,有C所以P(M)=C4(2)由題意可知,X的可能取值為1,2,3,當X=1時,有兩種情況:只有一個數字為1的小球、有兩個數字為1的小球,所以P(X=1)=C2當X=2時,有兩種情況:只有一個數字為2的小球、有兩個數字為2的小球,所以P(X=2)=C2當X=3時,有兩種情況:只有一個數字為3的小球、有兩個數字為3的小球,所以P(X=3)=C2所以X的分布列為X123P921所以E(X)=1×914+2×27+3×7.A解析由題可得,X=1,2,3,4,則P(X=1)=36P(X=2)=36P(X=3)=36P(X=4)=36×25所以E(X)=1×12+2×310+3×320+故選A.8.BC解析由題意,可分別用A,B,C表示猜對三首歌曲M,N,O歌名的事件,則A,B,C相互獨立,按照M,N,O的順序猜,則X的可能取值為0,1,3,6,則P(X=0)=P(A)=0.2,P(X=1)=P(AB)=0.8×0.5=0.4,P(X=3)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,P(X=6)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,則E(X)=0×0.2+1×0.4+3×0.2+6×0.2=2.2,D(X)=(0-2.2)2×0.2+(1-2.2)2×0.4+(3-2.2)2×0.2+(6-2.2)2×0.2=4.56,故E(2X+1)=2×2.2+1=5.4,D(2X+1)=4×4.56=18.24,故A錯誤,B,C正確;假設按照M,O,N的順序猜,設Y表示此時獲得的公益基金總額,可能的取值為0,1,4,6,則P(Y=0)=P(A)=0.2,P(Y=1)=P(AC)=0.8×0.5=0.4,P(Y=4)=P(ACB)=0.8×0.5×0.5=0.2,P(Y=6)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,則E(Y)=0×0.2+1×0.4+4×0.2+6×0.2=2.4.與按照M,N,O的順序猜歌名獲得公益基金總額的期望值不同,故D錯誤.故選BC.9.(1000,20000)解析設保險公司的收益為X,則X的可能取值為100,100-a(a>1000),由已知P(X=100)=0.995,P(X=100-a)=0.005,所以隨機變量X的分布列為X100100-aP0.9950.005所以E(X)=100×0.995+(100-a)·0.005=100-0.005a.令100-0.005a>0,解得a<20000,故1000<a<20000,所以為確保保險公司有可能獲益,a的取值范圍是(1000,20000).10.1110解析x,y,z∈N+,且x+y+z=6,則所有情況有(1,1,4),(1,2,3),(1,4,1),(4,1,1),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2),(2,2,2),共10種,故X的可能取值為1,2,其中X=2時,只有(2,2,2)一種情況,故P(X=2)=110,則P(X=1)=910,所以E(X)=1×91011.6125解析由題意X=1,2,3,P(X=1)=CP(X=2)=C52×C21×CP(X=3)=C53×A33×(故E(X)=125×1+1225×2+1225×312.解(1)從甲校隨機抽取100人,其中有80人答對,用頻率估計概率,設從甲校隨機抽取1人,這個人做對該題目為事件A,則P(A)=80100(2)設乙校中隨機抽取1人,這個人做對該題目為事件B,則P(B)=75100=34,由(1)知P(A∴從甲、乙兩校各隨機抽取1人,恰有1人做對的概率為P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=45X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=(1-45)×(1-34)=120,P(X=1)=720,P(X=∴X的分布列為X012P173∴E(X)=0×120+1×720+2×(3)由題意可知,p1×100%+(1-p1)×14=45,解得p1=1115,p2×85%+(1-p2)×14=34,解得p213.解(1)設A同學答對的題數為X,則隨機變量X的所有可能取值為2,3,則P(X=2)=C3P(X=3)=C3設B同學答對的題數為Y,則隨機變量Y的所有可能取值為0,1,2,3,則P(Y=0)=(14)3=1P(Y=1)=C31×34×(1P(Y=2)=C32×(34)2P(Y=3)=(34)3=27所以A,B兩名同學恰好共答對2個問題的概率為P(X=2)P(Y=0)=34(2)由(1)知,E(X)=2×34+3×1E(Y)=0×164+1×964+2×2764+D(X)=(2-94)2×34+(3-94)2D(Y)=(0-94)2×164+(1-94)2×964+(2-94)2×2764+(3-因為E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以應該選擇學生A.14.解(1)X=0,