高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時規(guī)范練41　數(shù)列中的綜合問題（基礎(chǔ)版）

課時規(guī)范練41數(shù)列中的綜合問題(分值:58分)1.(13分)(2026·江蘇蘇州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項為Sn,且Sn=n2.正項等比數(shù)列{bn}的首項為1,Tn為其前n項和,且T5=5T3-4.(1)求an,bn;(2)當(dāng)λ>0時,若λSn≤Tn+1對任意的n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的最大值.2.(15分)(2026·浙江杭州期中)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足2Sn=3n2+5n,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn=1,2k<n<①求數(shù)列{cn}的前2026項和T2026;②求∑i=1na2ic23.(15分)(2025·湖南益陽模擬)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是公比不為1的等比數(shù)列,a2=6,a4+a5=22,3a1=4b1,且2b2是3b1與b3的等差中項.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)若對于數(shù)列{an},{bn},在ak和ak+1之間插入bk個2(k∈N*),組成一個新的數(shù)列{cn},記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求T2026.4.(15分)(2026·廣西南寧模擬)已知a2=16,an+1+3anan+1=an(1)求{an}的通項公式;(2)令bn=anan+1,Tn為bn的前n項之積,求證:1b1T1+1

參考答案課時規(guī)范練41數(shù)列中的綜合問題1.解(1)由Sn=n2,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,當(dāng)n=1時,a1=S1=1,滿足上式,所以an=2n-1.設(shè){bn}的公比為q(q>0),由T5=5T3-4,正項等比數(shù)列{bn}的首項為1,當(dāng)公比q=1時,T5=5b1=5,5T3-4=15b1-4=11,不滿足T5=5T3-4,所以q≠1;當(dāng)公比q≠1,且q>0時,1-q51-q=5×1-q31-q-4,綜上所述,bn=2n-1.(2)由λSn≤Tn+1,λ>0,則λ·n2≤1-2n1-2+1=2n,即λ≤2n當(dāng)n=1時,2nn當(dāng)n≥2時,設(shè)數(shù)列{2nn2}在第n項取得最小值,則2nn2≤2n-1(n-1)2,2nn2≤2n+1(n+1)2,解得2.解(1)當(dāng)n=1時,由2S1=2a1=8得a1=4.當(dāng)n≥2時,由2Sn=3n2+5n得2Sn-1=3(n-1)2+5(n-1),兩式相減整理得an=3n+1.顯然a1=4符合上式,所以an=3n+1.由q>0,b1=6,且b3=2×(3×3+1)+4=24=b1q2,所以q=2,所以bn=b1qn-1=3·2n.(2)①易知210=1024<2026<211=2048,即數(shù)列{cn}的前2026項中有10項分別為c2=b1,c4=b2,…,c512=b9,c1024=b10,其余項均為1,故數(shù)列{cn}的前2026項和T2026=2026-10+b1+b2+…+b10=2016+6×(1-210②由(1)知a2i=3·2i+1,而c2i=3所以a2ic2i=3·2i(3·2i+1)=9·4i+易知∑i=1n9·4i=36×(1-4n)1-4=3·4n+1-12,∑i=1n所以∑i=1na2ic2i=3·4n+13.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠1),由a2=6,a4+a5=22,得a2+2d+a2+3d=22,故d=2,所以an=a2+(n-2)d=6+2(n-2)=2n+2.所以a1=4,由3a1=4b1,得b1=3,又2b2是3b1與b3的等差中項,所以2×2b2=3b1+b3,即12q=9+3q2,解得q=3或q=1(舍去),故bn=b1qn-1=3·3n-1=3n.(2)根據(jù)題意可得,a1,2,2,2,a2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,a3,…,ak,…,ak+1,所以在數(shù)列{cn}中,ak+1項是第k+1+3+32+…+3k項.令k+1+3+32+…+3k≤2026,故k+1+3(1-3k)1-3因此當(dāng)k=6時,6+372-12=1099<2026成立,當(dāng)k=7時,7+38所以在數(shù)列{cn}的前2026項中,包含{an}的前7項,還有2026-7=2019個2,故T2026=2×2019+7×(4+2×7+2)2=4.(1)解因為an+1+3anan+1=an,由題意知an≠0,等式兩邊同時除以anan+1得1an+3=1an+1,由a2=16得所以{1an}是以3為首項,3所以1an=3+3(n-1),可得an=(2)證明由(1)知,bn=anan+1=13n13n+3=n+1n,所以Tn所以1b令函數(shù)f(x)=lnx-x+1(0<x<1),求導(dǎo)得f'(x)=1x-1>所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,因此f(x)<f(1)=0,即lnx<x-1.