量子力學(xué)經(jīng)典試題及精準(zhǔn)答案

量子力學(xué)經(jīng)典試題及精準(zhǔn)答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.根據(jù)玻爾理論，氫原子中電子從n=4能級(jí)躍遷到n=2能級(jí)時(shí)，發(fā)射光子的頻率ν1。若電子再?gòu)膎=3能級(jí)躍遷到n=2能級(jí)時(shí)，發(fā)射光子的頻率為ν2。則ν1與ν2的關(guān)系為？A.ν1=ν2B.ν1=3ν2/4C.ν1=4ν2/3D.ν1=ν2/42.一個(gè)電子被限制在無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)。若勢(shì)阱寬度減小，則該電子的：A.基態(tài)能量增大B.基態(tài)能量減小C.基態(tài)波函數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多D.所有能級(jí)的能量都按相同比例增大3.下列哪個(gè)物理量是量子化的？A.粒子的位置B.粒子的動(dòng)量C.自旋角動(dòng)量在空間某給定方向上的分量D.粒子的總能量4.一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子處于基態(tài)時(shí)，其概率密度分布函數(shù)ψ(x)的表達(dá)式為√(2/L)sin(πx/L)，其中L為勢(shì)阱寬度。在x=L/4處，ψ(x)的值為？A.0B.√(2/L)C.√(2/L)/√2D.-√(2/L)5.在量子力學(xué)中，算符ā的本征方程為ā|φ?=a|φ?，其中a是實(shí)數(shù)。如果|φ?是ā的一個(gè)本征態(tài)，則ā?|φ?等于？A.a|φ?B.-a|φ?C.a|φ??D.ā?|φ?二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)的位置上。）6.設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在勢(shì)能為V(x)=V?sech2(x/α)的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其中α為常數(shù)。該粒子能級(jí)的能量表達(dá)式為_(kāi)_________。7.在一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子處于n=2的激發(fā)態(tài)時(shí)，其波函數(shù)ψ(x)的表達(dá)式為_(kāi)_________(用歸一化條件表示，給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式即可)。8.一個(gè)自旋量子數(shù)為s=1/2的粒子，其自旋角動(dòng)量在空間任意給定方向上的分量只能取__________兩個(gè)值。9.根據(jù)海森堡不確定性關(guān)系，同時(shí)精確測(cè)量粒子的位置和動(dòng)量是不可能的，因?yàn)棣Δp≥__________/(4π)。10.如果一個(gè)量子態(tài)是兩個(gè)態(tài)|1?和|2?的線性疊加，即|ψ?=c?|1?+c?|2?，那么當(dāng)測(cè)量該量子態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它處于態(tài)|1?的概率為_(kāi)_________。三、計(jì)算題（本題共5小題，共60分。）11.（10分）一維無(wú)限深勢(shì)阱中，勢(shì)阱寬度為L(zhǎng)。求粒子處于基態(tài)時(shí)，在x=L/2處找到粒子的概率密度。12.（12分）一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在勢(shì)能為V(x)=V?(1-cos(αx))的勢(shì)場(chǎng)中做一維運(yùn)動(dòng)（α為常數(shù)，V?>0）。若粒子能量E>0，定性畫(huà)出勢(shì)能曲線，并說(shuō)明粒子在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能的束縛態(tài)數(shù)量與E和V?的關(guān)系。13.（12分）氫原子中，一個(gè)電子處于n=3，l=1的態(tài)。求該電子軌道角動(dòng)量L的大小及其在z軸上的分量Lz可能取的值。14.（12分）一維諧振子勢(shì)能為V(x)=(1/2)mω2x2，其中m為粒子質(zhì)量，ω為角頻率。求該諧振子處于基態(tài)時(shí)，其能量E?和波函數(shù)ψ?(x)的表達(dá)式（用歸一化條件表示，給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式即可）。15.（12分）設(shè)粒子處于如下量子態(tài)：|ψ?=(1/√2)(|↑?+|↓?)，其中|↑?和|↓?分別表示自旋向上和向下的本征態(tài)。（1）求測(cè)量粒子自旋在z軸上的分量Sz時(shí)，得到+?/2的概率。（2）求測(cè)量粒子自旋在x軸上的分量Sz時(shí)，得到+?/2的概率。（假設(shè)存在相應(yīng)的本征態(tài)）試卷答案一、選擇題1.C2.A3.C4.C5.A二、填空題6.E?=(n2π2?2)/(2mL2)7.ψ(x)=√(2/L)sin(πx/L)8.±?/29.?10.|c?|2三、計(jì)算題11.解析思路：先寫(xiě)出基態(tài)波函數(shù)ψ?(x)=√(2/L)sin(πx/L)，然后計(jì)算概率密度|ψ?(x)|2，最后代入x=L/2進(jìn)行計(jì)算。答案：1/(2L)12.解析思路：根據(jù)V?和E的大小關(guān)系，判斷粒子能量是否足以使其穿透勢(shì)壘。定性畫(huà)出勢(shì)能曲線，分析粒子可能存在的束縛態(tài)區(qū)域（即勢(shì)阱）。結(jié)合量子化能級(jí)的概念，說(shuō)明束縛態(tài)數(shù)量隨E增大而減少。答案：見(jiàn)解析思路所述定性分析。13.解析思路：根據(jù)軌道角動(dòng)量L的大小公式L=√(l(l+1))?，代入l=1計(jì)算L。根據(jù)軌道角動(dòng)量z分量Lz的可能取值公式Lz=m?，列出m可取的值（-l,-l+1,...,l），得到Lz的取值。答案：L=√(2)?；Lz=±?14.解析思路：諧振子基態(tài)能量公式E?=(1/2)?ω。諧振子基態(tài)波函數(shù)ψ?(x)的標(biāo)準(zhǔn)形式為Ae^(-x2/2α2)，其中α=?/(mω)。答案：E?=(1/2)?ω；ψ?(x)=√(mω/π?)*e^(-mωx2/2?)15.解析思路：（1）利用態(tài)矢量的內(nèi)積表示測(cè)量概率。概率=|?↑|ψ?|2。計(jì)算內(nèi)積結(jié)果，取模平方。（2）由于題目假設(shè)存在相