高等數學課件 第三章 一元函數積分學及其應用

第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics一元函數積分學及其應用高等數學e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第三章第二節不定積分的換元法與分部法第三節有理函數的不定積分第四節定積分的概念與性質第五節微積分基本定理第六節定積分的換元法和分部法第七節定積分的幾何應用和物理應用第八節反常積分第一節

不定積分的概念與性質課前導讀3一、原函數一、原函數不定積分的概念二、不定積分二、不定積分二、不定積分二、不定積分二、不定積分二、不定積分二、不定積分二、不定積分y1xOy=x33+C3y=x3圖3-1三、基本積分公式三、基本積分公式四、不定積分的性質四、不定積分的性質四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質例6

求不定積分:四、不定積分的性質【舉一反三】求不定積分:四、不定積分的性質【舉一反三】

求不定積分:四、不定積分的性質【舉一反三】

求不定積分:四、不定積分的性質【舉一反三】

求不定積分:四、不定積分的性質內容小結1.原函數與不定積分的概念若在區間上，則稱為在上的原函數;原函數的全體稱為函數即的圖形稱為的積分曲線.2.基本積分表的不定積分，內容小結1.原函數與不定積分的概念2.基本積分表3.不定積分的主要性質的任意兩個原函數之間僅相差一個常數.或或由此可見微分運算與積分運算是互逆的.內容小結1.原函數與不定積分的概念2.基本積分表3.不定積分的主要性質4.直接積分法即利用基本積分公式和簡單變換直接計算不定積分的方法.作為基本功，要熟練掌握之.內容小結1.原函數與不定積分的概念2.基本積分表3.不定積分的主要性質的任意兩個原函數之間僅相差一個常數.或或由此可見微分運算與積分運算是互逆的.內容小結1.原函數與不定積分的概念2.基本積分表3.不定積分的主要性質4.直接積分法即利用基本積分公式和簡單變換直接計算不定積分的方法.作為基本功，要熟練掌握之.1.求下列不定積分課堂練習1.求下列不定積分解隨堂測D綜合練習題練習題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第四節定積分的概念與性質第五節微積分基本定理第六節定積分的換元法和分部法第七節定積分的幾何應用和物理應用第八節反常積分第三章第一節

不定積分的概念與性質第三節有理函數的不定積分第二節不定積分的換元法與分部法課前導讀45課前導讀46積化和差一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)湊微分的步驟一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)也可以用下列方法解決：一、第一類換元法(湊微分法)一、第一類換元法(湊微分法)二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法二?第二類換元法內容小結1.第一類換元法（湊微分法）設具有原函數可導，則有換元公式公式應用關鍵:2.常見湊微分公式化為將內容小結1.第一類換元法（湊微分法）2.常見湊微分公式3.第二類換元法（代換法）設是單調可導函數，且又設具有原函數則其中是的反函數.內容小結1.第一類換元法（湊微分法）2.常見湊微分公式3.第二類換元法（代換法）注

:(1)倒代換可起到降低分母次數的作用，當積分表達式中分母的次數較高時，可考慮用此法；(2)掌握第二換元積分法的要領是適當的變量替換然后進行積分計尋找算.這里將常用第二換元法的積分類型總結成一表以便查用.4.基本積分表（續）常見湊微分公式常見第二換元法的積分類型第二換元積分法積分類型換元公式正整數）或或或1.求下列不定積分2.設求課堂練習1.求下列不定積分解(1)原式1.求下列不定積分解(2)解一原式1.求下列不定積分解(2)解二原式1.求下列不定積分解1.求下列不定積分解(4)令則于是原式2.設求解令則從而隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法三?分部積分法內容小結1.分部積分公式2.應用要點:積分容易者選為求導簡單者選為3.分部積分公式應用小結(1)若被積函數是冪函數(指數為正整數)和正(余)弦函數或冪函數和指數函數的乘積，可設冪函數為使其降冪一次;內容小結1.分部積分公式2.應用要點3.分部積分公式應用小結(2)若被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，可設對數函數或反三角函數為(3)若被積函數是冪函數與對數函數或三角函數的乘積，可設對數函數或三角函數為內容小結1.分部積分公式2.應用要點3.分部積分公式應用小結(4)若被積函數是指數函數與正(余)弦函數的乘積，可任意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的1.求不定積分課堂練習1.求不定積分解隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第一節

不定積分的概念與性質第二節不定積分的換元法與分部法第四節定積分的概念與性質第五節微積分基本定理第六節定積分的換元法和分部法第七節定積分的幾何應用和物理應用第八節反常積分第三章第三節有理函數的不定積分課前導讀138有

理

函

數課前導讀139最

簡

分

式一、真分式的分解一、真分式的分解一、真分式的分解二.有理函數的不定積分二.有理函數的不定積分二.有理函數的不定積分二.有理函數的不定積分三、三角函數的有理式三、三角函數的有理式三、三角函數的有理式三、三角函數的有理式四、可化為有理函數的簡單無理根四、可化為有理函數的簡單無理根四、可化為有理函數的簡單無理根內容小結1.有理函數的積分任何代數分式總可用長除法化為多項式與真分式之和，而真分式總可用待定系數法（或賦值法）分解為下列四種部分分式（即簡單分式）之和:而多項式和上述四種簡單分式均可積出，故任何有理函數的積分均可積出.內容小結1.有理函數的積分2.三角函數有理式的積分三角函數總可以通過萬能變換:化為有理代數式，故三角函數有理式總可化為有理函數.內容小結1.有理函數的積分2.三角函數有理式的積分3.簡單無理函數的積分常用根式代換，將無理函數有理化，再積分之.4.注意事項有理函數和三角有理函數的積分理論上均可采用上述方法進行積分，但往往計算量較大，因而對具體問題計算時，應觀察分析是否能采用更簡便的方法.求下列不定積分1.課堂練習求下列不定積分解(1)由原式1.求下列不定積分解(2)令則原式1.隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案不定積分習題課積分法原函數選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數的積分一、主要內容1、原函數定義原函數存在定理即：連續函數一定有原函數．2、不定積分(1)定義(2)微分運算與求不定積分的運算是互逆的.(3)不定積分的性質3、基本積分表是常數)5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不定積分的方法.常見類型:6、第二類換元法第二類換元公式常用代換:7、分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L----對數函數；I----反三角函數；A----代數函數；T----三角函數；E----指數函數；

哪個在前哪個選作u.9、幾種特殊類型函數的積分（1）有理函數的積分定義兩個多項式的商表示的函數稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數法四種類型分式的不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式令（2）三角函數有理式的積分定義

由三角函數和常數經過有限次四則運算構成的函數稱之．一般記為（3）簡單無理函數的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號．二、典型例題例1解例2解例3解例4解(倒代換)例5解解得例6解例7解例8解例9解例10解例11解測驗題測驗題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第三章第一節

不定積分的概念與性質第二節不定積分的換元法與分部法第三節有理函數的不定積分第五節微積分基本定理第六節定積分的換元法和分部法第七節定積分的幾何應用和物理應用第八節反常積分第四節定積分的概念與性質課前導讀210y1x=1xOy=x2圖3-2一?實例分析xOyy=x2

圖3-3一?實例分析一?實例分析曲邊梯形的面積if()iyy=f(x)aAbBOxx1xi-1xn+1xi圖3-4一?實例分析一?實例分析二?定積分定義二?定積分定義二?定積分定義二?定積分定義二?定積分定義二?定積分定義三?定積分的幾何意義yabOxf(x)＞0圖3-5f(x)＜0yabOx圖3-6三?定積分的幾何意義yxOA1A2A4A3++--圖3-7圖3-8

y123y=x-3Ox三?定積分的幾何意義三?定積分的幾何意義四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質yabcdxOξ圖3-9四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質四?定積分的性質內容小結1.定積分的定義定積分是特殊和式的極限分割求和取極限分割、求和、取極限三個步驟，反映了無限分割與無限求和的思想.定積分的值完全由被積函數和積分區間確定，而與積分變量的記法無關，即定積分在幾何上表示某曲邊梯形的面積.內容小結一.定積分的定義二.定積分的可積性(1)有限區間上的連續函數一定可積；(2)有限區間上有界且只有有限個間斷點的函數也可積.三.定積分的性質內容小結1.規定

:2.線性:3.可加性:(為常數).、三.定積分的性質內容小結5.廣義保號性:6.不等式

:7.絕對值不等式:內容小結8.估值不等式:設及分別是在區間上的最大值及最小值，則9.定積分中值定理:如果函數在閉區間上連續，則在積分區間上至少存在一個點使1.證明不等式2.求極限課堂練習1.證明不等式證設則當時，故函數在區間上單調增加，從而根據定積分不等式，得2.求極限解設則在區間上連續，利用不等式性質，從而隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第三章第一節

不定積分的概念與性質第二節不定積分的換元法與分部法第三節有理函數的不定積分第四節定積分的概念與性質第六節定積分的換元法和分部法第七節定積分的幾何應用和物理應用第八節反常積分第五節微積分基本定理課前導讀253

積分學中要解決兩個問題:

第一個問題是原函數的求法問題,前文已經對它做了討論,第二個問題就是定積分的計算問題.

如果按定積分的定義來計算定積分,那將是十分困難的.

因此尋求一種計算定積分的有效方法便成為積分學發展的關鍵.我們知道,不定積分作為原函數的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念.

但是,牛頓和萊布尼茨不僅發現而且找到了這兩個概念之間存在的深刻的內在聯系,即所謂的“微積分基本定理”,并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑——牛頓-萊布尼茨公式,從而使積分學與微分學一起構成變量數學的基礎學科——微積分學.牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學的奠基人而載入史冊.一?變速直線運動的路程一?變速直線運動的路程二?積分上限函數積分上限函數(x)=axf(t)dtyy=f(t)abOtxx+Δx圖3-12二?積分上限函數(x)Δyy=f(t)abOtxx+Δx圖3-13二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數二?積分上限函數三?微積分學基本定理三?微積分學基本定理三?微積分學基本定理yy=5y=2x12Ox圖3-14三?微積分學基本定理yy=1-2xy=2x-11112Ox圖3-15三?微積分學基本定理yxy=-sinxy=sinxπ2π3π2-圖3-16三?微積分學基本定理y1y=xy=x2xO圖3-17三?微積分學基本定理S1S2xOy1-1y=x3圖3-18三?微積分學基本定理三?微積分學基本定理三?微積分學基本定理內容小結1.積分上限函數及其導數(1)積分上限函數(2)積分上限函數的導數2.牛頓－萊布尼茨公式若是在上的一個原函數，即則微積分基本公式內容小結2.牛頓－萊布尼茨公式微積分基本公式溝通了微分學與積分學之間的關系，指出了微分與積分是互為逆運算的關系.微積分基本公式1.積分上限函數及其導數課堂練習1.設在上連續，則與是的函數還是與的函數?它們的導數存在嗎？如果存在等于什么？2.用定積分定義和性質求極限3.計算定積分1.設在上連續，則與是的函數還是與的函數?它們的導數存在嗎？如果存在等于什么？解與都是的函數.它們的導數都存在，且2.用定積分定義和性質求極限解原式3.計算定積分解由定積分的性質1，可知完隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第三章第一節

不定積分的概念與性質第二節不定積分的換元法與分部法第三節有理函數的不定積分第四節定積分的概念與性質第五節微積分基本定理第七節定積分的幾何應用和物理應用第八節反常積分第六節定積分的換元法和分部法課前導讀295一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法(1)一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法一?定積分的換元法隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法二?定積分的分部法內容小結1.定積分換元公式設在上連續，函數滿足條件:(2)在上具有連續導數，且其值域不超出則注:

公式從左邊到右邊是換元法，從右到左內容小結1.定積分換元公式注:公式從左邊到右邊是換元法，從右到左是湊元法

.運用定積分換元公式時，換元須換限，未換元(湊元)不換限；換元后，直接計算得到結果，而不必回代原變量.2.分部積分公式設函數在區間上具有內容小結1.定積分換元公式2.分部積分公式設函數在區間上具有連續導數，則或1.求定積分2.設在上連續,且求課堂練習1.求定積分解原式2.設在上連續,且求解隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第三章第一節

不定積分的概念與性質第二節不定積分的換元法與分部法第三節有理函數的不定積分第四節定積分的概念與性質第五節微積分基本定理第六節定積分的換元法和分部法第八節反常積分第七節定積分的幾何應用和物理應用課前導讀342課前導讀343一、平面圖形的面積yxOSy=f(x)ab圖3-19SyxOy=f(x)ab圖3-20S1S2S3abyy=f(x)c2c1xO圖3-21一、平面圖形的面積S1yxOy=a2-x2bababay=baa2-x2圖3-22一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積abyxOSy=g(x)y=f(x)圖3-23一、平面圖形的面積yxOSba(y)(y)x=φx=ψ圖3-24一、平面圖形的面積Sy=axyOxaay=x2a圖3-25一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積y2=2xy=x-4OxyS1S24B(2,-2)A(8,4)圖3-26一、平面圖形的面積Ｘ型區域分割一、平面圖形的面積44A(8,4)B(2,-2)-2x=y+4x=y22Oxy圖3-27一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積44A(8,4)y+dyyB(2,-2)-2x=y+4x=y22Oxy圖3-27一、平面圖形的面積極坐標xOθM(r,θ)r圖3-28一、平面圖形的面積yyyxxO(x,y)M(r,

θ)θr圖3-29一、平面圖形的面積xOθ=αθθ=βθ+dθdθr=r(θ)圖3-30一、平面圖形的面積dθ2πr=r(θ)圖3-31Ox一、平面圖形的面積Oxαβ圖3-32r=r2(θ)r=r1(θ)一、平面圖形的面積阿基米德螺線OrO2πr=aθ2πa圖3-33一、平面圖形的面積r=a(1+cosθ)PrOx2ayθ圖3-34一、平面圖形的面積y=xOx2ayy=x4π圖3-35雙紐線一、平面圖形的面積內容小結求平面圖形的面積:1.直角坐標系情形2.參數方程情形3.極坐標系情形1.求正弦曲線和直線軸及所圍成的平面圖形的面積.2.求由曲線及直線所圍成的平面圖形的面積.3.計算阿基米德螺線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.課堂練習1.求正弦曲線和直線軸及所圍成的平面圖形的面積.解如圖,曲線位于軸上方,而當時,曲線位于軸下方,故所求面積為時,當2.求由曲線及直線所圍成的平面圖形的面積.解如圖,與先求出曲線交點的縱坐標,解方程組得(舍去)面積微元:所求面積為3.計算阿基米德螺線上相應于從0變到的一段弧解如圖,在指定的這段螺線上,的變化區間為相應于上任一小區間的窄曲邊扇形的面積近似等于從而得到面積微元與極軸所圍成的圖形的面積.中心角為的圓扇形的面積.為半徑所求面積為隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案二、空間立體的體積圓柱圓錐圓臺圖3-36旋轉體Oy=f(x)axxx+dxb圖3-37二、空間立體的體積ydxaxbxOf(x)圖3-38xbaf(x)yxx+dx圖3-39二、空間立體的體積ydcxOx=g(y)dVy=g2(y)dy圖3-40旋轉體二、空間立體的體積xaxx+dxObyy=a2x2ba-圖3-41二、空間立體的體積二、空間立體的體積二、空間立體的體積-aaxOθPy圖3-42二、空間立體的體積yxy=4y=2y=1xO圖3-43二、空間立體的體積yat2aaaxOa圖3-44二、空間立體的體積xS(x)yy=f(x)xabO圖3-45二、空間立體的體積baxx+dxOx圖3-46二、空間立體的體積平面截圓柱體的體積yO-RRxxyx2+y2=R2圖3-47二、空間立體的體積二、空間立體的體積yO-RRxxyx2+y2=R2圖3-47xzyx+dxaxO圖3-48二、空間立體的體積內容小結1.旋轉體的體積設旋轉體由圖形繞軸旋轉而成的，則該旋轉體體積生成旋轉體的三種方式繞軸旋轉一周繞軸旋轉一周繞非軸直線旋轉一周內容小結1.旋轉體地體積2.已知平行截面面積的立體的體積設連續函數表示過點且垂直于軸的截面面積，則該立體的體積1.求由曲線所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉而成的旋轉體的體積.2.求由曲線與直線繞旋轉一周所生成的旋轉體的體積.所圍成的圖形及課堂練習2.求由曲線與直線及所圍成的圖形繞旋轉一周所生成的旋轉體的體積.解畫出草圖，選為積分變量，體積微元為所求體積為旋轉，繞1.求由曲線所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉而成的旋轉體的體積.解畫出草圖，解得交點為及于是，所求繞軸旋轉而成的旋轉體的體積并由方程組所求繞軸旋轉而成的旋轉體的體積隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案三、曲線的弧長yM1M2Mi_1MiB=MnA=M0Ox圖3-49三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長三、曲線的弧長內容小結1.平面曲線弧長的概念設曲線弧的弧長為在弧上插入分點定義其中2.求弧長的公式(1)直角坐標系情形內容小結1.平面曲線弧長的概念2.求弧長的公式(2)參數方程情形(3)極坐標系情形1.計算曲線的弧長2.求阿基米德螺線上相應于從0到的弧長.課堂練習1.計算曲線的弧長解2.求阿基米德螺線上相應于從0到的弧長.解弧長元素：所求弧長：隨堂測隨堂測答案綜合練習題練習題答案*四、定積分在物理上的應用舉例O18cmx圖3-51*四、定積分在物理上的應用舉例*四、定積分在物理上的應用舉例*四、定積分在物理上的應用舉例yxdxxO10圖3-52*四、定積分在物理上的應用舉例*四、定積分在物理上的應用舉例*四、定積分在物理上的應用舉例Oxhxa2yx+dx圖3-53*四、定積分在物理上的應用舉例*四、定積分在物理上的應用舉例內容小結1.變力沿直線作功一物體在變力的作用下，從點移動到點時所作的功實際應用中，許多問題可轉化為此類情形來求解.沿著軸2.水壓力垂直放置在水中的平板（其面積由及所圍成）