人教版八年級數學下冊《數據的離散程度》每課時教學設計匯編（含兩個教學設計）

24.2數據的離散程度（第1課時）教學設計

一、內容和內容解析

i.內容

本節課是在具體問題情境中體會分析一組數據的波動程度的必要性和重要性，通過對平均數接近的兩

組數據的散點圖表示，直觀地感受數據波動程度的含義，在此基礎上引入了離差、離差平方和以及方差的

概念。

2.內容分析

本節課是數據離散程度的起始課，在學生掌握數據集中趨勢后，從“平均水平相近但穩定性不同”的

實際問題出發，引入離差、離差平方和、方差，核心是理解方差刻畫數據波動大小的意義，掌握方差計算

與穩定性判斷的方法，建立“集中趨勢+離散程度”的完整數據分析框架。

基于以上分析，確定本節課的教學重點為：離差平方和、方差意義的理解及應用。

二、目標和目標解析

1.目標

（1）體會刻畫數據離散程度的意義，會計算一組簡單數據的離差平方和、方差。

（2）會初步運用離差平方和、方差解決實際問題。

2.目標解析

（1）學生能理解數據離散程度的實際意義，掌握離差、離差平方和、方差的概念，會正確計算簡單數

據的離差平方和與方差，明確方差與波動大小的關系。

（2）學生能運用方差判斷數據的穩定性，結合實際問題做出合理選擇與解釋，初步形成用離散程度分

析數據的意識。

三、教學問題診斷分析

學生可能出現的問題：

1.學生難以理解為何要對離差平方，容易混淆離差、離差平方和、方差三者的概念與計算邏輯。

2.方差計算步驟多、計算量大，學生易出現平均數算錯、離差平方錯誤、除以項數出錯等問題。

應對策略:

1.用“離差和為0”的矛盾引導學生理解平方的必要性，通過對比明確三者的聯系與區別。

2.總結算平均數一算離差一算平方一求和一算方差五步計算法，規范步驟減少錯誤。

基于以上分析，確定本節課的教學難點為：會計算一組簡單數據的離差平方和、方差。

四、教學過程設計

（-）情境引入

引言在數據分析中，除了集中趨勢，數據的波動情況也是人們經常關注的特征，統計中把它稱為數

據的離散程度.本節我們將學習刻畫一組數據離散程度的兩個常見統計量一一離差平方和、方塞

統計量

刻畫數據的集中趨勢

刻畫數據的高散程度

設計意圖：對比集中趨勢與離散程度兩類統計量，點明學習離散程度的必要性，銜接新舊知識，讓學

生明確本節課研究方向，快速進入學習狀態。

（二）合作探究

問題某農業科學院專家為某地選擇合適的甜玉米種子，選擇種子時，甜玉米的產量和產量的穩定性是

專家所關心的問題，為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關情況，專家各用10塊自然條件相同的試驗田進行

試驗，得到各試驗田每公頃的產量（單位：t）如下表所示.

甲7,彝|7.507.627.597.657.647.507.407.417.41

乙7.55j7.567.537.447.497.527.587.467.537.49

根據這些數據估計，專家應該選擇哪種甜玉米種子呢?

分析：上面兩組數據的平均數分別是

工甲=7.537,工乙二7.515.

說明在試驗田中，甲、乙兩種甜玉米的平均產量相差不大.由此可以估計出這個地區種植這兩種甜玉米,

它們的平均產量相差不大.

注意：這里是根據樣本平均數估計總體平均數.

為了直觀地觀察甲、乙兩種甜玉米在各試驗田產量的分布情況，我們把表中的兩組數據分別用圖形進

行描述，如下圖所示.

8.0

7.9

7.8

7.7

7.6

7.5

7.4

7.3

7.2

7.1

7.0

甲種甜玉米的產量乙種用I玉米的產地

思考從直觀上判斷乙種甜玉米的產量穩定性更好，如何用一個值刻畫一組數據的波動程度或離散程度

呢？

為了全面反映?組數據的離散程度，可以通過數據與平均數的差異來刻畫.

歸納離差的概念

一般地，有〃個數據Xi,X2....Xnt用元表示它們的平均數,我們把XL元（/-I，2,...??）叫作即關

于平均數年的離差.

數據153610

平均數5

離差-40-215

思考：可以用平均離差刻畫一組數據的離散程度嗎？

分析：用離差可以刻畫每個數據與平均數的差異，但由

（.□一元）+（洶一3）+...+（XZ-X）=X1+X2+...+%-/江=0

可知，一組數據的離差和總是0,因此平均離差無法刻畫一組數據與平均數的差異.

思考：怎樣做可以避免離差求和時正負抵消？

分析：避免離差求和時正負抵消，可以對離差進行平方，也可以取離差的絕對值.由于含有絕對值的式

子的數學性質不如含有平方的式子，在統計中更多用離差的平方.

歸納離差平方和的概念

為了避免離差求和時正負抵消的問題，統計中通常先對離差進行平方，然后求和.我們把

222

（.V|-x）+（.r2-x）+...+（.vz-x）叫作這n個數據關于平均數的離差平方和，記作廢/次

把離差的平方的平均數=⑴-彳+⑴-寸+…+由-5田叫作這組數據的方差，記作“S叫

n

數據153610

平均數5

離差-40-215

離差平方和46

方差9.2

方差反映了每個數據與平均數的平均差異程度，能較好地反映出數據的離散程度，是刻畫數據離散程

度最常用的統計量.方差越大，數據的離散程度越大；方差越小，數據的離散程度越小.根據樣本數據計算得

到的方差，叫作樣本方差；根據總體數據計算得到的方差，叫作總體方差.

問題解決根據表格，可以得到

S2產(7.65-7.537\"7.50-7.537、+…77.41-7,537)三0g?Q

10

§2=(735-Z515「+(7.56-7S15)2+…-(7,49-7.515：；0(心

10

由52甲AS?乙，可得乙種甜玉米產量的離散程度較小，即乙種甜玉米產量波動較小，穩定性較好.

由此可知，在試驗田中，乙種甜玉米的產量比較穩定.因此可以推測，在這個地區種植乙種甜玉米的產

量比種植甲種的穩定.綜合考慮甲、乙兩個品種的平均產量和產量的穩定性，可以推測這個地區比較適合種

植乙種甜玉米.

注意：這里是根據樣本方差估計總體方差.

思考：用離差平方和是否可以刻畫數據的離散程度？和方差比較，有什么不足？

分析：離差平方和可以刻畫一組數據的離散程度.

1.方差是離差平方的平均數.在數值上看，當離差絕對值大于1時，平方會使其值更大；當離差絕對值

小于1時，平方會使其值更小.

2.在比較兩組數據的離散程度時，崗差平方和只適用于數據個數相同的情況，而方差則不受這個限制.

設計意圖：以玉米選種為情境，從“平均產量相近無法選擇”引出穩定性需求，通過探究逐步建立高

差、離差平方和、方差的概念，讓學生理解方差的形成過程與統計意義，突破重難點。

(三)典例分析

例1甲、乙兩名氣手槍運動員進行射擊訓練，1()次射擊成績(單位：環)如下表所示.

甲97910108910510

乙910781099879

哪名射擊運動員的發揮更穩定？

解：兩名運動員射擊成績的平均數分別為

一—9?7+…十10—q7一一9-10十…-9—Q久

丫甲----------------o./9丫乙-J0.0.

人1010

兩名運動員射擊成績的方差分別為

2

空甲二(9應一7-一(7-8.712+?“+“0?&7?二241,5/=(9-8.6：+。0-&6F(9—二］Q4

10,10

由52『屋乙可知，乙射擊運動員的發揮更穩定.

設計意圖：以射擊成績為載體，規范方差計算與穩定性判斷的完整解題步驟，強化方差應用，讓學生

掌握“先算平均T再算方差一比較判斷”的分析思路。

(四)鞏固練習

1.已知一組數據為2,3,4,5,6,求該組數據的離差平方和.

解：數據2,3,4,5,6的平均數為(2+3+4+5+6)+5=205=4.

離差平方和為（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2=4+1+0+1+4=10.

2.如圖，有4組數據，將這4組數據按離散程度從小到大排序，先通過直觀判斷排序，再根據方差排序.

這兩種排序的結果是否一致?

四組數據的方差分別為0,0.4,2,32

3.根據方差比較第149頁“問題1”中兩組跳繩成績的離散程度.

問題1甲、乙兩組同學的跳繩成績（單位:次/min）如下:

甲組182194143185156

乙組199148242170141

你認為哪組的跳繩成績更好?

解：甲、乙兩組同學跳繩成績的方差分別為

S2=(122-172F+"94-172。+…+(156-1721二37。

5

52,="99-180F+"48-180F+…41-18止=]37。

5

甲、乙兩組跳繩成績的方差分別為370,1370,說明乙組跳繩成績的組內差距更大.

設計意圖：通過基礎計算、直觀判斷、舊題新解分層練習，鞏固離差平方和與方差計算，提升學生從

直觀到定量判斷波動的能力，及時查漏補缺。

（五）歸納總結

數據的離散程度

一依地，有〃個數據、，0,…，小,用了我示它們的平均數，我們

把菖一無G=l,2...〃）叫作M關于平均數y的離差.

離差平把（.\「?2+（0-幻2+…我勺一大》叫作這個數據關于平均數狗離差平

方和方和，記作

把?禹差的平方的平均數三。「幻2+（巧一即.］叫作這組數據

方差

的方差，記作“$T

方差越大，數據的離散程度越大；方差越小，瞰的離散程度越小.

（六）感受中考

1.（2024年黑龍江龍東地區）一組數據2,3,3,4,則這組數據的方差為（D）

A.1B.0.8C.0.6D.0.5

2.（2025年河南）為考查學校勞動實踐基地甲、乙兩種小麥的長勢，數學興趣小組從兩種小麥中各隨

機抽取20株進行測量，測得兩種小麥苗高的平均數相同，方差分別為4=3.6月=5.8,則這兩種小麥長勢更

整齊的是一甲「（填“甲”或“乙”）.

3.（2025年四川瀘州）某校七年級甲、乙、丙、丁四名同學參加1分鐘跳繩測試，每人10次跳繩成

績的平均數（單位：個）及方差（單位：個2）如下表所示：

甲乙丙T

平均數205217208217

方差4.64.66.99.6

根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的同學參加比賽，應選擇（B）

A.甲B.乙C.丙D.T

4.（2025年山西）下表記錄了某市連續五天的日最高氣溫和日最低氣溫.比較這五天的日最高氣溫與

日最低氣溫的波動情況，下列說法正確的是（A）

日期

2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日

氣溫

最高/口1261098

最低八1-2-102

A.日最高氣溫的波動大B.日最低氣溫的波動大

C.一樣大D.無法比較

5.（2025年山東煙臺）求一組數據方差的算式為：52=-X[（6-^）2+（8-J）2+（8-^）2+（6-J）2+（7-X）2].由算式

n

提供的信息，下列說法錯誤的是（C）

A.〃的值是5

B.該組數據的平均數是7

C.該組數據的眾數是6

D.若該組數據加入兩個數7,7,則這組新數據的方差變小

6.（2024年甘肅蘭州）甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環）如圖所示，

現有以下三個推斷：

①甲的成績更穩定；

②乙的平均成績更高:

③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高.其中正確的是①②.（填序號?）

設計意圖：對接中考其題，覆蓋方差計算、波動判斷、綜合選擇等高頻考點，讓學生熟悉考查形式,

提升應考能力與數據分析綜合素養。

（七）小結梳理

總體平均數

集中趨勢

離差平方和

方差樣本估計總體總體方差

（八）布置作業

1.必做題：習題24.2第1,3題.

2.探究性作業：習題24.2第5題.

五、教學反思

24.2數據的離散程度（第2課時）教學設計

一、內容和內容解析

1.內容

本節課是在學習離差平方和、方差意義的基礎上，根據樣衣估計總體的思想，學習用樣本方差估計總

體方差的方法，并運用這種方法分析實際問題中數據的波動程度。

2.內容分析

本節課是數據離散程度的應用課時，在上節課方差概念的基礎上，重點強化方差計算，并融合用樣本

方差估計總體方差的統計思想，解決生產、生活中關于粒定性、質量評價的實際問題。本節課承接集中趨

勢與離散程度的綜合分析，完善統計分析的完整流程，提升學生數據應用與次策能力。

基于以上分析，確定本節課的教學重點為：方差的應用、用樣本估計總體。

二、目標和目標解析

1.目標

（1）能熟練計算一組數據的方差。

（2）體會樣本與總體的關系，知道可以用樣本方差估計總為方差。

2.目標解析

（1）學生能熟練掌握方差的計算步驟，準確計算一組數據的方差，深刻理解方差與數據波動、穩定性

之間的關系。

（2）學生能理解樣本與總體的關系，熟練運用樣本方差估計總體方差，結合平均數、方差對實際問題

進行綜合分析與合理決策。

三、教學問題診斷分析

學生可能出現的問題：

1.學生在進行復雜數據方差計算時，易出現計算量大、步驟遺漏、平方算錯等問題。

2.學生在綜合問題中，不會結合平均數與方差雙重指標進行分析與決策。

應對策略：

1.強化方差計算“五步流程”，使用分步計算、驗算減少錯誤，提升計算熟練度。

2.總結解題模板：先比平均數（水平）一再比方差（穩定性）一綜合決策。

基于以上分析，確定本節課的教學難點為：能熟練計算一組數據的方差。

四、教學過程設計

（一）復習引入

回顧上節課所學內容.

一毀地，有〃個敦據w,0.......用*表示它們的平均數，我們

把E2t....n）叫作毛關于平均數工的離差.

離差平把訪r）2+。「郎+...+&-?2叫作這個數據關于平均數的離差平

方和方和，記作

把再差的平方的平均數火占一孫+...+（"丫）”叫作這組數據

的方差，記作5

方差越大，數據的離散程度噠；方差越小，數據的離散程度越小.

設計意圖：快速回顧高差、方差的核心概念與計算公式，銜接上節課知識，為本節課方差的計算與應

用儂好鋪墊，快速進入學習狀態。

（二）合作探究

例2自動灌裝線灌裝飲料時，由于各種不可控的因素，每瓶飲料的實際含量與標準含量會存在一些誤

差（實際含量一標準含量）.甲、乙兩條灌裝線同時灌裝標準含量為500mL的飲料，為了檢驗兩條灌裝線的

灌裝質量，從每條灌裝線上各隨機抽取10瓶飲料進行測量，結果（單位：mL）如下表所示.

甲501496498499503498505498501501

1乙496493504495500506504505498499

（1）如果有一瓶飲料含量的誤差的絕對值超過10mL,此條灌裝線的灌裝質量為不合格，那么兩條灌

裝線的灌裝質吊是否合格？

（2）哪條灌裝線的灌裝質量更好？

分析：在飲料含量的誤差的絕對值符合要求前提下，灌裝飲料的實際含量與標準含量的差異越小，說

明灌裝線的質量越好.

因此兩條灌裝線灌裝的質量都是合格的.

（2）甲、乙灌裝線飲料實際含量的平均數分別為

50］，496......50L=5()(),一乙=496」493......492:5()0

爐10'"10

兩條灌裝線飲料實際含量的平均數都等于標準含量.

可以類比方差，計算甲、乙灌裝線飲料的實際含量與標準含量的平均差異程度，分別為

（501-500—十（496-500-十…十（501-500『二6

10

（496-500『+（493-500F+…+（499.500）:]gg

10

可以發現，甲灌裝線飲料實際含量與標準含量的平均差異更小.

根據樣本估計總體，綜合來看，甲灌裝線的灌裝質量更好.

注意：1.方差是用離差平方的平均數刻畫數據圍繞平均數的波動程度，這里是用誤差平方的平均數刻畫

飲料實際含量圍繞標準含量的波動程度.二者形式上都是“差異”平方的平均數，但“差異”的含義并不相

同.

2.通過實際含量與標準含量的平均差異比較兩條灌裝線的質量，前提是兩條灌裝線都是合格的，也就是

說平均差異小并不能保證生產線是合格的.

設計意圖：以飲料灌裝質量為情境，將方差與“標準值誤差”結合，拓展方差的實際應用場景，讓學

生理解方差在工業生產中的評價意義，體會樣本估計總體的思想。

（三）典例分析

例3甲、乙兩地同一天的氣溫記錄如下表所示.兩地的氣溫有什么差異？

時刻0:002：004：006：008：0010：0012：0014：0016：0018：0020：0022：0024：00

甲/I1191012162123242118161413

乙”C13111214151719212018171615

解：為了直觀地觀察兩地氣溫的特點，以時刻為橫坐標，氣溫為縱坐標，把上表中的數據用折線圖進

行表示，得到下圖.

低于乙地.為進一步了解兩地氣溫的差異，可以從數據的集中趨勢和離散程度兩個方面分別進行比較.

兩地氣溫的平均數分別為

；產止9.….=16,-=IMb->1?=16

人13人13

將兩地氣溫按從小到大排列，可得

甲地9101112131416161821212324

乙地11121314151516171718192021

可以發現兩地氣溫的中位數都是16,眾數各有兩個（甲地是16和21,乙地是15和17）且都出現兩次,

因為重復次數太少，所以不具有代表性.因此，從數據的集中趨勢看，兩地的氣溫差異不明顯.

兩地氣溫的方差分別為

爛；尸"1-16）2-16）2-113-I6P_306=235,

1313

52乙="3-16）X11-16直…“15-161—112016

1313

由乙可知，乙地氣溫的波動程度比甲地的小，氣溫更穩定.

設計意圖：以兩地氣溫為載體，訓練學生從集中趨勢與離散程度雙維度綜合分析數據，規范方差計算

與穩定性判斷，提升統計綜合分析能力。

（四）鞏固練習

1.甲、乙兩名運動員進行罰球線上投籃測試.每人投籃10組，每組投籃10次，兩名運動員投籃10組命

中的次數如下表所示.

甲869681077109

乙78989881067

哪名運動員的投籃更穩定？

解：S2甲=2,$2乙=1.2.

由52心s?乙可知，乙運動員的投籃更穩定一些.

2.甲、乙兩臺機床同時生產一種零件.在10天中，兩臺機床每天出次品的數量（單位：件）如下表所示.

甲0102203124

乙2311021101

（1）分別計算兩組數據的平均數和方差；

（2）哪臺機床的性能比較好？

2

解：；甲=1.5,-6=1.2；S甲=1.65,S?乙=0.76.

由5＞力，S?心S2乙可知，乙機床的性能比較好.

設計意圖：通過投籃、機床生產等分層練習，鞏固方差計算與穩定性比較，強化“平均數+方差”的

綜合應用，及時查漏補缺。

（五）歸納總結

1.在解決實際問題時，方差的作用是什么？

反映數據的波動大小.方差越大，數據的波動越大；方差或小，數據的波動越小，可用樣本方差估

計總體方差.

2.運用方差解決實際問題的一般步驟是怎樣的？

先計算樣本數據平均數，當兩組數據的平均數相等或相近時，再利用樣本方差來估計總體數據的波動

情況.

（六）感受中考

1.（2025年甘肅平涼）某校要從甲、乙兩位射擊隊員中挑選一人參加比賽.在最近10次的選拔賽中，

他們的射擊成績（單位：環）信息如下:

信息一：甲、乙隊員的射擊成績

甲：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8

乙：8,9,10,9,6,7,7,9,10,8

信息二：甲、乙隊員射擊成績的部分統計量

隊員平均數中位數眾數方差

甲8.38n2.01

乙8.3m91.61

根據以上信息，回答下列問題:

⑴寫出表中m,〃的值：m=8.5,n=8；

（2）4隊員在射擊選拔賽中發揮的更穩定（填“甲”或“乙”）；

（3）小瑜認為甲、乙兩人射擊戌績的平均數一樣，推薦哪位隊員參賽都可以，你認為他說的對嗎？請說

明理由（寫出一條合理的理由即可）

解：（3）小瑜說的不對，理由如下：

兩人成績的平均數相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙隊員發揮更穩定，故應選乙隊員參賽.

2.（2023年河南）蓬勃發展的快遞業，為全國各地的新鮮水果及時走進千家萬戶提供了極大便利.不

同的快遞公司在配送、服務、收費和投遞范圍等方面各具優勢.櫻桃種植戶小麗經過初步了解，打算從甲、

乙兩家快遞公司中選擇一家合作，為此，小麗收集了10家櫻桃種植戶對兩家公司的相關評價，并整理、描

述、分析如下：

配送速度得分（滿分10分）：

甲：66777899910

乙：67788889910

R服務質量得分統計圖（滿分10分）：

c.配送速度和服務質量得分統計表:

配送速度得分服務質量得分

項目

統計量快

平均數中位數平均數方差

遞公司

甲7.8m7△甲

9

乙887

根據以上信息，何答下列問題：

（1）表格中的〃尸7.5:一v胡（填或“V”）.

（2）綜合上表中的統計量，你認為小麗應選擇哪家公司？請說明理由.

（3）為了從甲、乙兩家公司中選出更合適的公司，你認為還應收集什么信息（列出一條即可）？

解：（2）???配送速度得分甲和乙的得分相差不大，

服務質量得分甲和乙的平均數相同，但是甲的方差明顯小于乙的方差，

，甲更穩定，

???小麗應選擇甲公司；

（3）還應收集甲、乙兩家公司的收費情況.（答案不唯一，言之有理即可）

3.（2025年寧夏）寧夏葡蕾酒品質優良，深受消費者青睞.為了解某基地的葡萄種植情況，九（1）

班同學對該基地的試驗田中甲、乙兩種葡萄樹的產量進行調杳.

【調查與收集】

甲、乙兩種錨萄樹各種植了50（）株，計劃從中各抽取10（）株作為各自的樣本.以卜抽樣謊言方式合埋

的是B