北師大版八年級數學下冊《三角形的證明》單元測試1

同學們，經過一段時間對“三角形的證明”這一單元的學習，相信大家對幾何推理已有了更深入的理解和掌握。這份測試卷旨在幫助同學們回顧和梳理本單元的重點知識，檢驗邏輯推理能力與規范表達能力。請大家認真審題，仔細作答，充分發揮自己的水平。一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.下列命題中，屬于基本事實（公理）的是（）A.等腰三角形的兩個底角相等B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等D.全等三角形的面積相等2.用反證法證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”時，應先假設（）A.三角形中有一個內角小于60°B.三角形中有一個內角大于60°C.三角形中每個內角都大于60°D.三角形中沒有內角小于60°3.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，若BD=2，則BC的長為（）(此處應有圖形：一個等腰三角形ABC，AB=AC，AD為頂角平分線，交底邊BC于D)A.1B.2C.3D.44.到△ABC三個頂點距離相等的點是△ABC的（）A.三條中線的交點B.三條角平分線的交點C.三條高的交點D.三條邊的垂直平分線的交點5.下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A.兩條直角邊分別相等B.斜邊和一個銳角分別相等C.一條直角邊和斜邊分別相等D.兩個銳角分別相等6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，則AB的長為（）(此處應有圖形：一個直角三角形ABC，直角頂點為C，∠A為30°，對邊為BC=2)A.2B.3C.4D.無法確定7.線段垂直平分線上的點具有的性質是（）A.到線段兩個端點的距離相等B.到線段所在直線的距離相等C.是線段的中點D.與線段兩端點的連線互相垂直8.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，則下列結論中錯誤的是（）(此處應有圖形：射線OA、OB組成∠AOB，OP為其角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB)A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PC9.若一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，則它的周長為（）A.13B.17C.13或17D.以上都不對10.下列命題：①全等三角形的對應邊相等；②如果兩個角是對頂角，那么它們相等；③若a2=b2，則a=b。其中，逆命題為真命題的是（）A.①B.②C.③D.①②二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)11.“等邊三角形的三個內角都相等”的逆命題是。12.如圖，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是（只需寫出一個即可）。(此處應有圖形：兩個三角形ABC和DEF，其中AB與DE對應，BC與EF對應)13.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B的度數為。14.直角三角形斜邊上的中線長為5，則斜邊長為。15.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為cm。(此處應有圖形：三角形ABC，邊AC的垂直平分線DE交AC于E，交AB于D，連接CD)16.用反證法證明“一個三角形中不能有兩個角是直角”，應先假設。三、解答題(本大題共5小題，共52分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分7分)已知：如圖，點A、E、F、C在同一條直線上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△ADF≌△CBE。(此處應有圖形：AD平行于BC，A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，連接DF、BE)18.(本小題滿分8分)已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且BD=CE。求證：BE=CD。(此處應有圖形：等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，BD=CE，連接BE、CD)19.(本小題滿分10分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E。求證：CE=BE。(此處應有圖形：直角三角形ABC，∠C=90°，∠B=60°，DE是AB的垂直平分線，交AB于D，交BC于E，連接AE)20.(本小題滿分12分)已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E。（1）求證：CD=DE；（2）若AB=6，求△DEB的周長。(此處應有圖形：等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB于E)21.(本小題滿分15分)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D是BC的中點，DE⊥AB于點E。（1）求∠BAD的度數；（2）若AE=2，求AD的長；（3）連接CD，判斷△ADC的形狀，并說明理由。(此處應有圖形：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC，D是BC中點，DE⊥AB于E)---參考答案與評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題(每小題3分，共30分)1.C2.C3.D4.D5.D6.C7.A8.D9.B10.B二、填空題(每小題3分，共18分)11.三個內角都相等的三角形是等邊三角形。12.∠B=∠E(或AC=DF)(答案不唯一，符合SAS或SSS即可)13.70°14.1015.1916.一個三角形中有兩個角是直角。三、解答題(共52分)17.(7分)證明：∵AD∥BC(已知)∴∠A=∠C(兩直線平行，內錯角相等)2分∵AE=CF(已知)∴AE+EF=CF+EF(等式的性質)即AF=CE4分在△ADF和△CBE中AD=CB(已知)∠A=∠C(已證)AF=CE(已證)∴△ADF≌△CBE(SAS)7分18.(8分)證明：∵AB=AC(已知)∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)2分∵BD=CE(已知)又∵AB=AC∴AB-BD=AC-CE(等式的性質)即AD=AE4分在△ABE和△ACD中AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已證)∴△ABE≌△ACD(SAS)6分∴BE=CD(全等三角形的對應邊相等)8分19.(10分)證明：連接AE1分∵DE是AB的垂直平分線(已知)∴AE=BE(線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等)3分∴∠BAE=∠B(等邊對等角)4分∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°(已知)∴∠BAC=180°-∠C-∠B=30°(三角形內角和定理)6分∴∠BAE=∠B=60°(已證)∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°-30°=30°8分∴∠CAE=∠BAC=30°∴AE是∠BAC的平分線又∵∠C=90°，即EC⊥AC，ED⊥AB(已知)∴CE=DE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)10分(注：也可通過計算角度，證明△AEC是30°角的直角三角形，AE=2CE，而AE=BE，從而得證BE=2CE，即CE=BE。)20.(12分)（1）證明：∵AD平分∠CAB(已知)，∠C=90°(已知)，DE⊥AB(已知)∴CD=DE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)4分（2）解：∵∠C=90°，AC=BC(已知)∴∠B=45°5分∵DE⊥AB(已知)∴∠DEB=90°∴∠EDB=∠B=45°(三角形內角和定理)∴DE=BE(等角對等邊)7分由（1）知CD=DE∴CD=BE8分在Rt△ACD和Rt△AED中AD=AD(公共邊)CD=DE(已證)∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)10分∴AC=AE(全等三角形的對應邊相等)∴△DEB的周長=DE+DB+BE=CD+DB+BE(∵DE=CD)=BC+BE(∵CD+DB=BC)=AC+BE(∵AC=BC)=AE+BE(∵AC=AE)=AB11分∵AB=6∴△DEB的周長為612分21.(15分)（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°(已知)∴△ABC是等腰三角形∵點D是BC的中點(已知)∴AD平分∠BAC(等腰三角形三線合一)2分∴∠BAD=∠BAC=×120°=60°3分（2）解：∵DE⊥AB(已知)∴∠AED=90°4分在Rt△AED中，∠BAD=60°(已證)∴∠ADE=180°-90°-60°=30°(三角形內角和定理)5分∴AE=AD(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)7分∵AE=2(已知)∴AD=2AE=48分（3）解：△ADC是等邊三角形。9分理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°(已知)∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=(180°-120°)=30°(三角形內角和定理，等邊對等角)11分∵點D是BC的中點(已知)∴AD⊥BC(等腰三角形三線合一)∴∠ADC=90°12分在Rt△ADC中，∠C=30°(已證)∴AD=AC(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)13分又∵∠DAC=∠BAD=60°(由（1）知AD平分∠BAC)14分∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-60°-30°=90°，但AD=AC的一半，所以AC=2AD。（修正：此處前面已證AD=4，AE=2，∠ADE=30°，AD=2AE=4。在Rt△ADC中，∠C=30°，∠ADC=90°，所以AD=AC，即AC=2AD。但要證△ADC是等邊三角形，需證AD=DC=AC。前面步驟有誤，應調整。）（正確思路接（1）：）∵AB=AC，D是BC中點，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，∠CAD=60°（同∠BAD）。在Rt△ADC中，∠CAD=60°，∠ADC=90°，∴∠ACD=30°。設AD=x，則AC=2AD=2x(30°角所對直角邊是斜邊一半)。由勾股定理，DC===x。由（2）知AD=4，∴DC=x=4，AC=2x=8?！郃D=DC=4。∴AD=DC，且∠ADC=90°？不，這與前面矛盾。前面證明△ADC是等邊三角形的假設不成立。（重新審視題目（3）：“連接CD”，D本身就是BC中點，CD是△ABC的邊，題目是否應為“連接AE”？或者題目無誤，D是BC中點，則AD=DC嗎？）（題目（3）應為：判斷△ABD的形狀？或者原題正確，那么在AB=AC，∠BAC=120°，D為BC中點的條件下，AD=BD=CD。因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°。AD⊥BC，∴△ABD是Rt△，∠BAD=60°，∠ABD=30°，∴AD=AB，BD=AD。若AB=2AD，則BD=AD×√3。除非AB=2AD，則BD=AD×√3，AD≠BD。因此，題目（3）可能存在筆誤，若原題是“判斷△ABD的形狀”，則∠BAD=60°，AB=