2027高考數學九大專題專項突破第4章 平面向量與復數解析版

§4.1平面向量的概念與坐標運算2

考點1:平面向量的基本概念5

考點2:平面向量的線性表示7

考點3:向量共線的運用10

考點4:平面向量基本定理及應用15

考點5:平面向量的直角坐標運算20

考點6:向量共線的坐標表示24

§4.2平面向量的數量積及運算27

考點1:平面向量的數量積運算29

考點2:平面向量的夾角33

考點3:平面向量的模長35

考點4:平面向量的投影、投影向量38

考點5:平面向量的垂直問題39

考點6:建立坐標系解決向量問題42

考點7:平面向量的實際應用46

§4.3三角形四心及奔馳定理50

考點1:奔馳定理51

考點2:重心定理56

考點3:內心定理62

考點4:外心定理70

考點5:垂心定理73

§4.4向量中的隱圓77

考點1:數量積隱圓77

考點2:平方和隱圓82

考點3:定冪方和隱圓84

考點4:與向量模相關構成隱圓89

§4.5復數96

考點1:復數的概念97

考點2:復數的運算98

考點3:復數的幾何意義100

考點4:復數的相等與共軛復數101

考點5:復數的模102

考點6:復數的三角形式103

考點7:與復數有關的最值問題104

11

§4.1平面向量的概念與坐標運算

知識點一．向量的有關概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．

(2)向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度，記作|AB|．(3)特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．

②單位向量：長度等于1個單位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：0與任一向量平行．

④相等向量：長度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．

知識點二．向量的線性運算和向量共線定理

(1)向量的線性運算

運算定義法則(或幾何意義)運算律

①交換律

求兩個向量和a+b=b+a

加法

的運算②結合律

(a+b)+c=a+(b+c)

三角形法則平行四邊形法則

求a與b的相反

向量-b的和的

減法a-b=a+(-b)

運算叫做a與b

的差

三角形法則

(1)|λa|=|λ||a|

求實數λ與向λ(μa)=(λμ)a

(2)當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ

數乘量a的積的運(λ+μ)a=λa+μa

<0時，λa與a的方向相同；

算λ(a+b)=λa+λb

當λ=0時，λa=0

【注意】

(1)向量表達式中的零向量寫成0，而不能寫成0．

LaoFan1

(2)兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須

首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．

(4)向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，OA=OB+

CA?OA-OB=CA?BA-CA=BA+AC=BC．

知識點三．平面向量基本定理和性質

1、共線向量基本定理

如果a=λb(λ∈R)，則a?b；反之，如果a?b且b≠0，則一定存在唯一的實數λ，使a=λb．(口訣：數

乘即得平行，平行必有數乘)．

2、平面向量基本定理

如果e1和e2是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量a，都存在唯一的一對

實數λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，我們把不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記

為e1,e2，λ1e1+λ2e2叫做向量a關于基底e1,e2的分解式．

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量e1與e2不共線，平面內的任一向量a都可以分解成形如a

=λ1e1+λ2e2的形式，并且這樣的分解是唯一的．λ1e1+λ2e2叫做e1，e2的一個線性組合．平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎．

推論1：若a=λ1e1+λ2e2=λ3e1+λ4e2，則λ1=λ3,λ2=λ4．

推論2：若a=λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0．

3、線段定比分點的向量表達式

AB+λAC

如圖所示，在△ABC中，若點D是邊BC上的點，且BD=λDC(λ≠-1)，則向量AD=．在

1+λ

向量線性表示(運算)有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟

練掌握．

4、三點共線定理

平面內三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數λ,μ，使OC=λOA+μOB，其中λ+μ=1，O為平

面內一點．此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握．

A、B、C三點共線

2LaoFan

?存在唯一的實數λ，使得AC=λAB；

?存在唯一的實數λ，使得OC=OA+λAB；

?存在唯一的實數λ，使得OC=(1-λ)OA+λOB；

?存在λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB．

5、中線向量定理

1

如圖所示，在△ABC中，若點D是邊BC的中點，則中線向量AD=(AB+AC)，反之亦正確．

2

知識點四．平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示．

在平面直角坐標中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底，那么由平面

向量基本定理可知，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x,y使a=xi+yj，我們把有序實

數對(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y)．

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

一一對應一一對應

向量(x,y)向量OA點A(x,y)．

(3)設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2)，即兩個向量的和與

差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．

若a=(x,y)，λ為實數，則λa=(λx,λy)，即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應

坐標．

(4)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB=OB-OA=(x1-x2,y1-y2)，即一個向量的坐標等于該向量的有向

線段的終點的坐標減去始點坐標．

知識點五．平面向量的直角坐標運算

22

①已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x2-x1)+(y2-y1)

②已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a±b=(x1±x2，y1±y2)，λa=(λx1,λy1)，

22

a?b=x1x2+y1y2，|a|=x1+y1．

a∥b?x1y2-x2y1=0，a⊥b?x1x2+y1y2=0

【解題方法總結】

(1)向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為

多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點

LaoFan3

的向量．

即A1A2+A2A3+?+An-1An=A1An．

(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，當且僅當a,b至少有一個為0時，向量不等式的等號成立．

(3)特別地：||a|-|b||≤|a±b|或|a±b|≤|a|+|b|當且僅當a,b至少有一個為0時或者兩向量共線時，

向量不等式的等號成立．

(4)減法公式：AB-AC=CB，常用于向量式的化簡．

(5)A、P、B三點共線?OP=(1-t)OA+tOB(t∈R)，這是直線的向量式方程．

考點1:平面向量的基本概念

1(2024·全國·高三專題練習)下列說法中正確的是()

A.單位向量都相等B.平行向量不一定是共線向量

C.對于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|D.若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b

【答案】C

【解析】依題意，

對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；

對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；

對于C，若a,b同向共線，|a+b|=|a|+|b|，

若a,b反向共線，|a+b|<|a|+|b|，

若a,b不共線，根據向量加法的三角形法則及

兩邊之和大于第三邊知|a+b|<|a|+|b|.

綜上可知對于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故正確；

對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.

故選：C.

2(2024·全國·高三專題練習)給出如下命題：

①向量AB的長度與向量BA的長度相等；

②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；

③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；

④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；

⑤向量AB與向量CD是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上．

其中正確的命題個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對于①，向量AB與向量BA，長度相等，方向相反，故①正確；

對于②，向量a與b平行時，a或b為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；

對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；

對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；

4LaoFan

對于⑤，向量AB與CD是共線向量，點A，B，C，D不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．

綜上，正確的命題是①③．

故選：B．

3(2024·全國·高三專題練習)下列命題中正確的是()

A.若a=b，則3a>2bB.BC-BA-DC=AD

C.a+b=a+b?a與b的方向相反D.若a=b=c，則a=b=c

【答案】B

【解析】對于A選項，由于任意兩個向量不能比大小，故A錯；

對于B選項，BC-BA-DC=AC+CD=AD，故B對；

對于C選項，a+b=a+b?a與b的方向相同，故C錯；

對于D選項，若a=b=c，但a、b、c的方向不確定，故D錯.

故選：B.

4(2024·全國·高三專題練習)下列說法正確的是()

A.若a>b，則a>bB.若a=b，則a=b

C.若a=b，則a?bD.若a≠b，則a,b不是共線向量

【答案】C

【解析】A.因為向量不能比較大小，所以該選項錯誤；

B.若a=b，則a,b不一定相等，有可能它們方向不同，但是模相等，所以該選項錯誤；

C.若a=b，則a?b，所以該選項正確；

D.若a≠b，則a,b也有可能是共線向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以該選

項錯誤.

故選：C

5(2024·全國·高三對口高考)給出下列四個命題：

①若|a|=|b|，則a=b,a=-b；

②若AB=DC，則A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點；

③若a=b,b=c，則a=c；

④若a?b，b?c，則a?c；

其中正確的命題的個數為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】①若|a|=|b|，只能說明a,b模相等，它們方向不一定相同或相反，錯；

②若AB=DC，若AB?DC且AB=DC，即A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點，若A,B,

C,D四點共線，不能構成平行四邊形，錯；

③若a=b,b=c，即a,b、a,c分別為相等向量，故a=c，對；

④若a?b，b?c，當b為零向量時a?c不一定成立，錯.

故選：D

6(2024·全國·高三對口高考)若a+b+c=0，則a，b，c()

LaoFan5

A.都是非零向量時也可能無法構成一個三角形

B.一定不可能構成三角形

C.都是非零向量時能構成三角形

D.一定可構成三角形

【答案】A

【解析】ACD選項，若非零向量a,b,c共線時，也能滿足a+b+c=0，但無法構成一個三角形，A

正確，CD錯誤；

B選項，當非零向量a,b,c兩兩不共線時，可構成三角形，B錯誤.

故選：A

【解題方法總結】

準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有

傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，就

是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點無關．

考點2:平面向量的線性表示

7(2024·山東泰安·統考模擬預測)在△ABC中，點D為AC中點，點E在BC上且BE=2EC.

記AB=a,AC=b，則ED=()

11111111

A.-a+bB.-a-bC.-a-bD.a-b

36366336

【答案】B

【解析】如圖所示：

由AB=a,AC=b，

所以BC=AC-AB=b-a，

又∵BE=2EC，

11

∴EC=BC=b-a，

33

又因為D為AC中點，

1

∴CD=-b，

2

11

則ED=EC+CD=-a-b，

36

故選：B.

8(2024·河北邯鄲·統考三模)已知等腰梯形ABCD滿足AB?CD，AC與BD交于點P，且AB

=2CD=2BC，則下列結論錯誤的是()

A.AP=2PCB.|AP|=2|PD|

2112

C.AP=AD+ABD.AC=AD+AB

3333

6LaoFan

【答案】D

【解析】

ABAPPB2

依題意，顯然△APB∽△DPC，故有===，

CDPCPD1

即AP=2PC，PB=2PD，則AP=2PC，故A正確；

又四邊形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即AP=2PD，故B正確；

1121

在△ABD中，AP=AD+DP=AD+DB=AD+AB-AD=AD+AB，故C正

3333

確；

33211

又AC=AP=AD+AB=AD+AB，所以D錯誤；

22332

故選：D.

1

9(2024·河北·統考模擬預測)已知D為△ABC所在平面內一點，且滿足CD=DB，則()

3

3121

A.AD=AB-ACB.AD=AB+AC

2233

C.AB=4AD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】C

【解析】如圖，

1

因為CD=DB，所以D是線段BC的四等分點，且BD=3DC,

3

3313

所以AD=AB+BD=AB+BC=AB+AC-AB=AB+AC,

4444

故A,B錯誤；

13

由AD=AB+AC，可得AB=4AD-3AC，故C正確，D錯誤，

44

故選:C.

10(2024·河北·高三學業考試)化簡PA-PB+AB所得的結果是()

A.2ABB.2BAC.0D.PA

【答案】C

【解析】PA-PB+AB=PA+AB-PB=PB-PB=0.

故選：C

11(2024·貴州貴陽·校聯考模擬預測)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則

EC=()

31133113

A.AB-ACB.-AB-ACC.AB+ACD.-AB+AC

44444444

LaoFan7

【答案】D

【解析】

由D為BC中點，根據向量的運算法則，

1

可得AD=AB+AC，

2

1131

在△ABC中，EC=AC-AE=AC-AD=-(AB+AC)+AC=AC-AB.

2444

故選:D．

12(2024·貴州黔東南·高三校考階段練習)已知在平行四邊形ABCD中，E，F分別是邊CD，

BC的中點，則EF=()

111111

A.AB-ADB.AB-BCC.AB+ADD.AB-BC

222222

【答案】D

【解析】如圖所示，由中位線定理和平行四邊形的性質得：

111

EF=DB=AB-AD=AB-BC，

222

故選：D

13(2024·山東濱州·校考模擬預測)如圖所示，點E為△ABC的邊AC的中點，F為線段BE上

靠近點B的四等分點，則AF=()

35537131

A.BA+BCB.BA+BCC.-BA+BCD.-BA+BC

88448844

【答案】C

1313

【解析】AF=AE+EF=AC+EB=AC+(AB-AE)

2424

13313

=AC+AB-AC=AC-BA

24884

1371

=(BC-BA)-BA=-BA+BC.

8488

8LaoFan

故選：C.

14(2024·全國·高三專題練習)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若AB+

AD=λAO，則λ=()

113

A.B.2C.D.

232

【答案】B

【解析】在平行四邊形ABCD中，AC=AB+AD=λAO，所以λ=2．

故選：B．

15(2024·河南·襄城高中校聯考三模)已知等腰梯形ABCD中，AB?DC，AB=2DC=2AD=

2，BC的中點為E，則AE=()

15151125

A.DB+ACB.DB+ACC.DB+ACD.DB+AC

33363236

【答案】B

1

【解析】∵AB=DB-DA=DB-DC+CA=DB-DC-CA=DB-AB-CA，

2

3

∴AB=DB-CA，

2

22

∴AB=DB+AC，

33

1122115

∴AE=AB+AC=DB+AC+AC=DB+AC．

2233236

故選：B.

【解題方法總結】

(1)兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．

(2)進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發的基本向量或首

尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解．

(3)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角

形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解．

考點3:向量共線的運用

1

16(2024·廣東廣州·統考模擬預測)在△ABC中，M是AC邊上一點，且AM=MC,N是

2

1

BM上一點，若AN=AC+mBC，則實數m的值為()

9

1111

A.-B.-C.D.

3663

【答案】D

LaoFan9

1

【解析】由AM=MC，得出AC=3AM，

2

111

由AN=AC+mBC得AN=AC+mAC-AB=+mAC-mAB

999

1

=+3mAM-mAB，

3

11

因為B,N,M三點共線，所以+3m+-m=1，解得m=.

33

故選：D.

17(2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模)如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為

線段AM上一點，AG=2GM，過點G的直線分別交直線AB，AC于P，Q兩點，AB=

41

xAPx>0，AC=yAQy>0，則+的最小值為()．

xy+1

39

A.B.C.3D.9

44

【答案】B

1

【解析】因為M為線段BC的中點，所以AM=(AB+AC)，又因為AG=2GM，所以AG=

2

21

AM=(AB+AC)，

33

xy

又AB=xAPx>0，AC=yAQy>0，所以AG=AP+AQ，

33

xy

又P,G,Q三點共線，所以+=1，即x+y=3，

33

411411x4(y+1)

所以+=+x+(y+1)=4+++1≥

xy+14xy+14y+1x

14(y+1)9

5+2x?=，

4y+1x4

x4(y+1)81

當且僅當=，即x=,y=時取等號.

y+1x33

故選：B.

1

18(2024·山西·高三校聯考階段練習)如圖，在△ABC中，D是BC邊中點AP=AD，CP的

3

延長線與AB交于AN，則()

10LaoFan

1111

A.AN=ABB.AN=ABC.AN=ABD.AN=AB

4567

【答案】B

【解析】設AB=λAN，

11111λ1

則AP=AD=×AB+AC=AB+AC=AN+AC，

3326666

因為N，P，C三點共線，

λ1

所以+=1，解得λ=5，

66

1

所以AB=5AN，所以AN=AB.

5

故選：B.

19(2024·全國·高三專題練習)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與

11

AB，AC兩邊交于M，N兩點，設xAB=AM，yAC=AN，則+的值為()

xy

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由題意AG=λAM+(1-λ)AN且0≤λ≤1，而xAB=AM，yAC=AN，

所以AG=xλAB+y(1-λ)AC，

211

又G是△ABC的重心，故AG=×(AB+AC)=(AB+AC)，

323

xλ=1

31111

所以，可得+=1，即+=3.

y(1-λ)=13x3yxy

3

故選：A

20(2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習)在△ABC中，E為AC上一點，AC=3AE,

13

P為線段BE上任一點(不含端點)，若AP=xAB+yAC，則+的最小值是()

xy

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】由題意，如下示意圖知：AP=λAB+(1-λ)AE，且0<λ<1，又AC=3AE，

LaoFan11

1-λx=λ

所以AP=λAB+AC，故且0<λ<1，

3y=1-λ

3

13191-λ9λ

故+=+[λ+(1-λ)]=10++≥10+21-λ?9λ=16，

xyλ1-λλ1-λλ1-λ

1-λ9λ1

僅當=，即λ=時等號成立.

λ1-λ4

13

所以+的最小值是16.

xy

故選：D

21(2024·全國·高三專題練習)已知向量a、b不共線，且c=xa+b,d=a+2x-1b，若c與d

共線，則實數x的值為()

111

A.1B.-C.1或-D.-1或-

222

【答案】C

【解析】因為c與d共線，則存在k∈R，使得d=kc，即a+2x-1b=kxa+kb，

kx=1

因為向量a、b不共線，則，整理可得x2x-1=1，即2x2-x-1=0，

k=2x-1

1

得x=-或1.

2

故選：C.

22(2024·全國·高三專題練習)已知直線l上有三點A，B，C，O為l外一點，又等差數列{an}的

前n項和為Sn，若OA=(a1+a3)OB+2a10OC，則S11=()

111113

A.B.3C.D.

422

【答案】A

【解析】∵點A、B、C是直線l上不同的三點，

∴存在非零實數λ，使AB=λBC?OB-OA=λ(OC-OB)?OA=(1+λ)OB-λOC；

∵若OA=(a1+a3)OB+2a10OC，

∴1+λ=a1+a3，-λ=2a10；

∴a1+a3+2a10=1；

∵數列{an}是等差數列，

1