2027高考數學九大專題專項突破第9章 統計與概率

§9.1統計1

考點1:隨機抽樣、分層抽樣4

考點2:統計圖表7

考點3:頻率分布直方圖12

考點4:百分位數15

考點5:樣本的數字特征17

考點6:總體集中趨勢的估計20

考點7:總體離散程度的估計24

考點8:分層方差問題29

§9.2成對數據的統計分析32

考點1:變量間的相關關系36

考點2:一元線性回歸模型40

考點3:非線性回歸44

考點4:列聯表與獨立性檢驗52

考點5:誤差分析59

§9.3計數原理62

考點1:分類加法計數原理的應用63

考點2:分步乘法計數原理的應用65

考點3:兩個計數原理的綜合應用68

§9.4排列與組合71

考點1:排列數與組合數的推導、化簡和計算74

考點2:直接法76

考點3:間接法78

考點4:捆綁法79

考點5:插空法81

考點6:定序問題(先選后排)83

考點7:列舉法85

考點8:多面手問題87

考點9:錯位排列88

考點10:涂色問題89

考點11:分組問題92

考點12:分配問題94

考點13:隔板法96

考點14:數字排列97

考點15:幾何問題98

考點16:分解法模型與最短路徑問題100

考點17:排隊問題104

考點18:構造法模型和遞推模型105

考點19:環排問題107

13

博觀而約取厚積而薄發

§9.5二項式定理109

考點1:求二項展開式中的參數111

考點2:求二項展開式中的常數項113

考點3:求二項展開式中的有理項115

考點4:求二項展開式中的特定項系數117

考點5:求三項展開式中的指定項119

考點6:求幾個二(多)項式的和(積)的展開式中條件項系數121

考點7:求二項式系數最值123

考點8:求項的系數最值125

考點9:求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和127

考點10:求奇數項或偶數項系數和131

考點11:整數和余數問題133

考點12:近似計算問題134

考點13:證明組合恒等式135

考點14:二項式定理與數列求和137

考點15:楊輝三角139

§9.6隨機事件、頻率與概率142

考點1:隨機事件與樣本空間144

考點2:隨機事件的關系與運算146

考點3:頻率與概率148

考點4:生活中的概率151

考點5:互斥事件與對立事件152

考點6:利用互斥事件與對立事件計算概率154

§9.7古典概型與概率的基本性質156

考點1:簡單的古典概型問題158

考點2:古典概型與向量的交匯問題160

考點3:古典概型與幾何的交匯問題162

考點4:古典概型與函數的交匯問題165

考點5:古典概型與數列的交匯問題167

考點6:古典概率與統計的綜合170

考點7:有放回與無放回問題的概率174

考點8:概率的基本性質176

§9.8事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式178

考點1:條件概率180

考點2:相互獨立事件的判斷182

考點3:相互獨立事件概率的計算184

考點4:相互獨立事件概率的綜合應用186

考點5:全概率公式及其應用189

考點6:貝葉斯公式及其應用191

考點7:全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用192

§9.9離散型隨機變量的分布列與數字特征195

考點1:離散型隨機變量197

考點2:求離散型隨機變量的分布列199

考點3:離散型隨機變量的分布列的性質201

23

考點4:離散型隨機變量的均值204

考點5:離散型隨機變量的方差207

考點6:決策問題212

§9.10兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態分布217

考點1:兩點分布221

考點2:n次獨立重復試驗224

考點3:二項分布227

考點4:超幾何分布232

考點5:二項分布與超幾何分布的綜合應用236

考點6:正態密度函數240

考點7:正態曲線的性質242

考點8:正態曲線概率的計算244

考點9:根據正態曲線的對稱性求參數248

考點10:正態分布的實際應用250

考點11:標準正態分布的應用255

§9.11概率與統計的綜合應用260

考點1:決策問題261

考點2:道路通行問題263

考點3:保險問題266

考點4:概率最值問題269

考點5:放回與不放回問題272

考點6:體育比賽問題274

考點7:幾何問題277

考點8:彩票問題279

考點9:納稅問題281

考點10:疾病問題285

考點11:建議問題289

考點12:概率與數列遞推問題293

考點13:硬幣問題296

考點14:自主選科問題299

考點15:高爾頓板問題302

考點16:自主招生問題305

考點17:順序排位問題308

考點18:博彩問題311

33

§9.1統計

知識點一、抽樣

1、抽樣調查

(1)總體：統計中所考察對象的某一數值指標的全體構成的集合稱為總體．

(2)個體：構成總體的每一個元素叫做個體．

(3)樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構成的集合叫做總體的一個樣本，

樣本中個體的數目叫做樣本容量．

2、簡單隨機抽樣

(1)定義

一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次

抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的

樣本，叫做簡單隨機樣本．

(2)兩種常用的簡單隨機抽樣方法

①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容

器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．

②隨機數法：即利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣．這里僅介紹隨機數

表法．隨機數表由數字0，1，2，?，9組成，并且每個數字在表中各個位置出現的機會都是一樣的．

注意：為了保證所選數字的隨機性，需在查看隨機數表前就指出開始數字的橫、縱位置．

(3)抽簽法與隨機數法的適用情況

抽簽法適用于總體中個體數較少的情況，隨機數法適用于總體中個體數較多的情況，但是當總體

容量很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機數法抽取樣本仍不方便．

(4)簡單隨機抽樣的特征

①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數是有限的，便于通過樣本對總體進行分

析．

②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作．

③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關的分析和計算．

④等可能性：簡單單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的公平．

只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣．

3、分層抽樣

(1)定義

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量

的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．

(2)分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算．

②已知某層個體數量，求總體容量或反之求解：根據分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計

算．

LaoFan1

樣本容量各層樣本數量

③分層抽樣的計算應根據抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比==”

總體容量各層個體數量

N

注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取n=n?i(i=1,2,?,k)個個

iN

體(其中i是層數，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數，N是總體容量)．

知識點二、用樣本估計總體

1、頻率分布直方圖

(1)頻率、頻數、樣本容量的計算方法

頻率

①×組距=頻率．

組距

頻數頻數

②=頻率，=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數．

樣本容量頻率

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1．

2、頻率分布直方圖中數字特征的計算

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．

(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設中位數為x，利用x左(右)側矩形面積

之和等于0.5，即可求出x．

(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方

形底邊中點的橫坐標之和，即有x=x1p1+x1p1+?+xnpn，其中xn為每個小長方形底邊的中點，pn為每

個小長方形的面積．

3、百分位數

(1)定義

一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p00的數據小于或等于這個

值，且至少有100-p00的數據大于或等于這個值．

(2)計算一組n個數據的的第p百分位數的步驟

①按從小到大排列原始數據．

②計算i=n×p00．

③若i不是整數而大于i的比鄰整數j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數

為第i項與第i+1項數據的平均數．

(3)四分位數

我們之前學過的中位數，相當于是第50百分位數．在實際應用中，除了中位數外，常用的分位數

還有第25百分位數，第75百分位數．這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此

稱為四分位數．

4、樣本的數字特征

(1)眾數、中位數、平均數

①眾數：一組數據中出現次數最多的數叫眾數，眾數反應一組數據的多數水平．

②中位數：將一組數據按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據

的平均數)叫做這組數據的中位數，中位數反應一組數據的中間水平．

x1+x2+???+xn

③平均數：n個樣本數據x，x，???，x的平均數為x=，反應一組數據的平均水平，

12nn

2LaoFan

n

公式變形：xi=nx．

i=1

5、標準差和方差

(1)定義

①標準差：標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示．假設樣本數據是x1，x2，?

??，x，x表示這組數據的平均數，則標準差s=1[(x-x)2+(x-x)2+???+(x-x)2]．

nn12n

1222

②方差：方差就是標準差的平方，即s2=[(x-x)+(x-x)+???+(x-x)]．顯然，在刻畫樣本

n12n

數據的分散程度上，方差與標準差是一樣的．在解決實際問題時，多采用標準差．

(2)數據特征

標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動程度的大小．標準差、方差越大，則數據的離散程

度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越小．反之亦可由離散程度的大小推算標準差、方差的大

小．

(3)平均數、方差的性質

2

如果數據x1，x2，??，xn的平均數為x，方差為s，那么

2

①一組新數據x1+b，x2+b，??xn+b的平均數為x+b，方差是s．

22

②一組新數據ax1，ax2，??，axn的平均數為ax，方差是as．

22

③一組新數據ax1+b，ax2+b，??，axn+b的平均數為ax+b，方差是as．

LaoFan3

考點1:隨機抽樣、分層抽樣

1(2024·全國·高三專題練習)某工廠為了對產品質量進行嚴格把關，從500件產品中隨機抽出

50件進行檢驗，對這500件產品進行編號001，002，?，500，從下列隨機數表的第二行第三組第一

個數字開始，每次從左往右選取三個數字，則抽到第四件產品的編號為()

283931258395952472328995

721628843660107343667575

943661184479514096949592

601749514068751632414782

A.447B.366C.140D.118

2(2024·河南·校聯考模擬預測)已知某班共有學生46人，該班語文老師為了了解學生每天閱讀

課外書籍的時長情況，決定利用隨機數表法從全班學生中抽取10人進行調查．將46名學生按

01，02，?，46進行編號．現提供隨機數表的第7行至第9行：

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數據，每行結束后，下一行依然向右讀數，則得到的

第8個樣本編號是()

A.07B.12C.39D.44

3(2024·全國·高三專題練習)現要完成下列2項抽樣調查：

①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛生檢查；

②東方中學共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工

對學校在校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．

較為合理的抽樣方法是()

A.①抽簽法，②分層隨機抽樣B.①隨機數法，②分層隨機抽樣

C.①隨機數法，②抽簽法D.①抽簽法，②隨機數法

4LaoFan

4(2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習)在二戰期間，技術先進的德國坦克

使德軍占據了戰場主動權，了解德軍坦克的生產能力對盟軍具有非常重要的戰略意義，盟軍請統

計學家參與情報的收集和分析工作．在繳獲的德軍坦克上發現每輛坦克都有獨一無二的發動機

序列號，前6位表示生產的年月，最后4位是按生產順序開始的連續編號．統計學家將繳獲的德軍

坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法推斷德軍每月生產的坦克數．假設德軍某月生產的

坦克總數為N，繳獲的該月生產的n輛坦克編號從小到大為x1，x2，?，xn，繳獲的坦克是從所生

產的坦克中隨機獲取的，繳獲坦克的編號x1，x2，?，xn，相當于從1,N中隨機抽取的n個整數，

xn

這n個數將區間0,N分成n+1個小區間(如圖)．可以用前n個區間的平均長度估計所

n

N

有n+1個區間的平均長度，進而得到N的估計．如果繳獲的坦克編號為：35，67，90，

n+1

127，185，245，287．則可以估計德軍每月生產的坦克數為()

A.288B.308C.328D.348

5(2024·江蘇·高三江蘇省梁豐高級中學校聯考階段練習)為了慶祝中國共產黨第二十次全國代

表大會，學校采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從高一1002人，高二1002人，高三1503人中

抽取126人觀看“中國共產黨第二十次全國代表大會”直播，那么高三年級被抽取的人數為()

A.36B.42C.50D.54

6(2024·北京·高三強基計劃)某校共2017名學生，其中每名學生至少要選A，B兩門課中的一

門，也有些學生選了兩門課．已知選A的人數占全校人數的百分比在70%到75%之間，選B的人

數占全校人數的百分比在40%到45%之間．則下列結論中正確的是()

A.同時選A，B的可能有200人B.同時選A，B的可能有300人

C.同時選A，B的可能有400人D.同時選A，B的可能有500人

7(2024·河南·襄城高中校聯考三模)現有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比

例用分層隨機抽樣的方法抽取n人，若抽取的老年人與青年人共21名，則n的值為()

A.15B.30C.32D.36

LaoFan5

【解題方法總結】

不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．

6LaoFan

考點2:統計圖表

8(多選題)(2024·河北石家莊·高三校聯考期中)恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額

的比重，它在一定程度上可以用來反映人民生活水平．恩格爾系數的一般規律：收入越低的家庭，

恩格爾系數就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數就越小．國際上一般認為，當恩格爾系數大于

0.6時，居民生活處于貧困狀態；在0.5-0.6之間，居民生活水平處于溫飽狀態；在0.4-0.5之間，居

民生活水平達到小康；在0.3-0.4之間，居民生活水平處于富裕狀態；當小于0.3時，居民生活達到

富有．下面是某地區2022年兩個統計圖，它們分別為城鄉居民恩格爾系數統計圖和城鄉居民家庭

人均可支配收入統計圖，請你依據統計圖進行分析判斷，下列結論錯誤的是()

A.農村居民自2017年到2021年，居民生活均達到富有

B.近五年城鄉居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年

C.城鄉居民恩格爾系數差異最小的年份是2019年

D.2022年該地區城鎮居民和農村居民的生活水平已經全部處于富有狀態

9(多選題)(2024·河北唐山·遷西縣第一中學校考二模)2022年的夏季，全國多地迎來罕見極端高

溫天氣．某課外小組通過當地氣象部門統計了當地七月份前20天每天的最高氣溫與最低氣溫，

得到如下圖表，則根據圖表，下列判斷正確的是()

LaoFan7

A.七月份前20天最低氣溫的中位數低于25℃

B.七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差

C.七月份前20天最高氣溫的平均數高于40℃

D.七月份前10天(1-10日)最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差

10(多選題)(2024·山西忻州·高三校聯考開學考試)航海模型項目在我國已開展四十余年，深受青

少年的喜愛．該項目整合國防、科技、工程、藝術、物理、數學等知識，主要通過讓參賽選手制作、遙

控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識，探究海洋奧秘，助力培養未來海洋強國的建設者．

某學樣為了解學生對航海模型項目的喜愛程度，用比例分配的分層隨機抽樣法從某校高一、高二、

高三年級所有學生中抽取部分學生做抽樣調查．已知該學校高一、高二、高三年級學生人數的比

例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級學生有32人，則下列說法正確的是()

A.該校高一學生人數是2000

B.樣本中高二學生人數是28

C.樣本中高三學生人數比高一學生人數多12

D.該校學生總人數是8000

11(多選題)(2024·湖南株洲·高三校考階段練習)某公司統計了2024年1月至6月的月銷售額(單

位：萬元)，并與2022年比較，得到同比增長率數據，繪制了如圖所示的統計圖，則下列說法正確的

8LaoFan

是()

注：同比增長率=(今年月銷售額一去年同期月銷售額)÷去年同期月銷售額×100%．

A.2024年1月至6月的月銷售額的極差為8

B.2024年1月至6月的月銷售額的第60百分位數為8

C.2024年1月至6月的月銷售額的中位數為9.5

D.2022年5月的月銷售額為10萬元

12(多選題)(2024·廣東梅州·統考三模)某公司經營五種產業，為應對市場變化，在五年前進行了

產業結構調整，優化后的產業結構使公司總利潤不斷增長，今年總利潤比五年前增加了一倍，調整

前后的各產業利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結論錯誤的是()

A.調整后傳媒的利潤增量小于雜志B.調整后房地產的利潤有所下降

C.調整后試卷的利潤增加不到一倍D.調整后圖書的利潤增長了一倍以上

13(多選題)(2024·福建福州·福州三中校考模擬預測)某調查機構對我國若干大型科技公司進行

調查統計，得到了從事芯片、軟件兩個行業從業者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業

的崗位分布雷達圖，則下列說法中一定正確的是()

LaoFan9

A.芯片、軟件行業從業者中，“90后”占總人數的比例超過50%

B.芯片、軟件行業中從事技術、設計崗位的“90后”人數超過總人數的25%

C.芯片、軟件行業從事技術崗位的人中，“90后”比“80后”多

D.芯片、軟件行業中，“90后”從事市場崗位的人數比“80前”的總人數多

14(多選題)(2024·河北·統考模擬預測)某地環保部門公布了該地A，B兩個景區2016年至2022

年各年的全年空氣質量優良天數的數據．現根據這組數據繪制了如圖所示的散點圖，則由該圖得

出的下列結論中正確的是()

A.景區A這7年的空氣質量優良天數的中位數為254

B.景區B這7年的空氣質量優良天數的第80百分位數為280

C.這7年景區A的空氣質量優良天數的標準差比景區B的空氣質量優良天數的標準差大

D.這7年景區A的空氣質量優良天數的平均數比景區B的空氣質量優良天數的平均數大

【解題方法總結】

統計圖表的主要應用

扇形圖：直觀描述各類數據占總數的比例；

10LaoFan

折線圖：描述數據隨時間的變化趨勢；

條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率．

LaoFan11

考點3:頻率分布直方圖

15(2024·四川成都·高三成都七中校考階段練習)某區為了解全區12000名高二學生的體能素

質情況，在全區高二學生中隨機抽取了1000名學生進行體能測試，并將這1000名的體能測試成績

整理成如下頻率分布直方圖．根據此頻率分布直方圖，這1000名學生平均成績的估計值為

．

16(2024·云南·統考二模)某大學有男生2000名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查

了該校100名男生的體重，并將這100名男生的體重(單位：kg)分成以下六組：54,58、58,62、

62,66、66,70、70,74、74,78，繪制成如下的頻率分布直方圖：

該校體重(單位：kg)在區間70,78上的男生大約有人．

17(2024·全國·高三專題練習)2022年12月4日是第九個國家憲法日，主題為“學習宣傳貫徹黨

的二十大精神，推動全面貫徹實施憲法”，某校由學生會同學制作了憲法學習問卷，收獲了有效答

卷2000份，先對其得分情況進行了統計，按照50,60、60,70、?、90,100分成5組，并繪制了如

圖所示的頻率分布直方圖，則圖中x=．

12LaoFan

18(2024·上海浦東新·高三上海市建平中學校考開學考試)從某小學所有學生中隨機抽取100

名學生，將他們的身高(單位：cm)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數據分組[100,

110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150)三

組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項活動，則從身高在[130,140)內的學生中抽取

的人數應為．

19(2024·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習)某校調查了200名學生每周的自習時間(單

位：小時)，制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不

少于22.5小時的人數為：．

LaoFan13

20(2024·內蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學校考階段練習)某蔬菜批發市場銷售某種蔬菜．

在一個銷售周期內，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元．統

計該蔬菜在過去的100個銷售周期內的市場需求量所得頻率分布直方圖如下：

(1)求圖中a的值并求100個銷售周期的平均市場需求量；

(2)若經銷商在下一個銷售周期購入190噸該蔬菜，設y為銷售周期所得利潤(單位：元)，x為該銷

售周期的市場需求量(單位：噸)，求x，y的函數關系式，并估計銷售的利潤不少于86000元的概

率．

【解題方法總結】

(1)利用頻率分布直方圖求頻率、頻數；

(2)利用頻率分布直方圖估計總體．

(3)頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率．

14LaoFan

考點4:百分位數

21(2024·上海·高三專題練習)以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績(單位：分)，分數從

低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，則這15人成績的第80百分

位數是．

22(2024·上海浦東新·高三上海市建平中學校考階段練習)某校為了了解高三年級學生的身體

素質狀況，在開學初舉行了一場身體素質體能測試，以便對體能不達標的學生進行有針對性的訓

練，促進他們體能的提升，現從整個年級測試成績中抽取100名學生的測試成績，并把測試成績分

成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100六組，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．

其中分數在90,100這一組中的縱坐標為a，則該次體能測試成績的80%分位數約為分．

23(2024·安徽·校聯考二模)國慶節前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”為主題的青少

年學生演講比賽，其中10人比賽的成績從低到高依次為：85，86，88，88，89，90，92，93，94，98(單

位：分)，則這10人成績的第75百分位數是．

24(2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學校校考期末)已知一組數據：24，30，40，44，

48，52．則這組數據的第30百分位數、第50百分位數的平均數為．

LaoFan15

25(2024·全國·高三專題練習)為了養成良好的運動習慣，某人記錄了自己一周內每天的運動時

長(單位：分鐘)，分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數據的第80百分位數與第60百分位數的

差為3，則x=()

A.58或64B.59或64C.58D.59

【解題方法總結】

計算一組n個數據的的第p百分位數的步驟

①按從小到大排列原始數據．

②計算i=n×p00．

③若i不是整數而大于i的比鄰整數j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數

為第i項與第i+1項數據的平均數．

16LaoFan

考點5:樣本的數字特征

26(多選題)(2024·廣東惠州·高三統考階段練習)有一組樣本數據：x1，x2，?，x8，其平均數為2，

由這組樣本數據得到新樣本數據：x1，x2，?，x8，2，那么這兩組樣本數據一定有相同的()

A.平均數B.中位數C.方差D.極差

27(多選題)(2024·吉林·高一榆樹市實驗高級中學校校聯考期末)已知數據1：x1，x2，?，xn，數據

2：2x1-1，2x2-1，?，2xn-1，則下列統計量中，數據2不是數據1的兩倍的有()

A.平均數B.極差C.中位數D.標準差

28(2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測)“說文明話、辦文明事、做文明人，樹立城市新風

尚！創建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創文精神，華強實驗中學高一(2)班組織了甲乙兩名志

愿者，利用一周的時間在街道對市民進行宣傳，將每天宣傳的次數繪制成如下頻數分布折線圖，則

以下說法不正確的為()

A.甲的眾數小于乙的眾數B.乙的極差小于甲的極差

C.甲的方差大于乙的方差D.乙的平均數大于甲的平均數

29(2024·河南·襄城高中校聯考三模)某學校對班級管理實行量化打分，每周一總結，若一個班

連續5周的量化打分不低于80分，則為優秀班級．下列能斷定該班為優秀班級的是()

LaoFan17

A.某班連續5周量化打分的平均數為83，中位數為81

B.某班連續5周量化打分的平均數為83，方差大于0

C.某班連續5周量化打分的中位數為81，眾數為83

D.某班連續5周量化打分的平均數為83，方差為1

30(2024·河南鄭州·統考模擬預測)已知一組數據：2，3，4，6，m，則下列說法不正確的是

()

A.若m=7，則平均數為4.4B.若m=4，則眾數為4

C.若m=6，則中位數為4D.若m=10，則方差為40

31(2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學校考開學考試)根據氣象學上的標準，連續5天的

日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續5天的日平均溫度的記錄數據(記錄數據都是自然數)作為

一組樣本，現有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結果如下：

①平均數x<4；

②平均數x<4且極差小于或等于3；

③平均數x<4且標準差s≤4；

④眾數等于5且極差小于或等于4．

則4組樣本中一定符合入冬指標的共有()

A.1組B.2組C.3組D.4組

32(2024·天津河東·高一統考期末)數學興趣小組的四名同學各自拋擲骰子5次，分別記錄每次

骰子出現的點數，四名同學的部分統計結果如下：

甲同學：中位數為3，方差為2.8；乙同學：平均數為3.4，方差為1.04；

丙同學：中位數為3，眾數為3；丁同學：平均數為3，中位數為2．

根據統計結果，數據中肯定沒有出現點數6的是同學．

18LaoFan

33(2024·云南大理·高一校考階段練習)根據氣象學上的標準，連續5天的日平均氣溫低于10℃

即為入冬．現有甲、乙、丙、丁四地連續5天的日平均溫度的記錄數據(記錄數據都是正整數)：

①甲地：5個數據的中位數為7，眾數為6；②乙地：5個數據的平均數為8，極差為3；

③丙地：5個數據的平均數為5，中位數為4；④丁地：5個數據的平均數為6，方差小于3．

則肯定進入冬季的地區是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

34(2024·河北滄州·高二肅寧縣第一中學校考階段練習)氣象意義上的春季進入夏季的標志為

連續5天的日平均溫度不低于220C．現有甲、乙、丙三地連續5天的日平均氣溫的記錄數據(記錄

數據都是正整數)：

①甲地：5個數據是中位數為24，眾數為22；

②乙地：5個數據是中位數為27，總體均值為24；

③丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8

則肯定進入夏季的地區有

A.①②③B.①③C.②③D.①

考點：統計初步

35(2024·吉林長春·高一長春市第五中學校考期末)下列命題中是真命題的是()

A.一組數據2，1，4，3，5，3的平均數、眾數、中位數相同；

B.有A、B、C三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調查，如果抽取的A個體數為9，則樣本容量為

30；

C.若甲組數據的方差為5，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩定的是甲；

D.一組數1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位數為4．

【解題方法總結】

(1)平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小．

11

(2)方差的簡化計算公式：s2=x2+x2+???+x2-nx2或寫成s2=x2+x2+???+x2-x2，即方

n12nn12n

差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方．

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考點6:總體集中趨勢的估計

36(2024·湖北孝感·高二孝昌縣第一高級中學校聯考階段練習)文明城市是反映城市整體文明

水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造

者．某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨

機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：

40,50，50,60，?，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績的第75百分位數；

(3)已知落在50,60的平均成績是61，方差是7，落在60,70的平均成績為70，方差是4，求兩組成

績的總平均數z和總方差s2．

37(2024·河南南陽·高一統考期末)2022年入冬以來，為進一步做好疫情防控工作，避免疫情的

再度爆發，A地區規定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現將A地區20000個居民一周

的口罩使用個數統計如下表所示，其中每周的口罩使用個數在6以上(含6)的有14000人．

口罩使用數量2,44,66,88,1010,12

頻率0.2m0.3n0.1

(1)求m，n的值，根據表中數據，完善上面的頻率分布

直方圖；(只畫圖，不要過程)

(2)根據頻率分布直方圖估計A地區居民一周口罩使用個數的75%分位數和中位數；(四舍五入，

精確到0.1)

(3)根據頻率分布直方圖估計A地區居民一周口罩使用個數的平均數以及方差．(每組數據用每

20LaoFan

組中點值代替)

38(2024·河北邯鄲·高二校考開學考試)某工廠在加大生產量的同時，狠抓質量管理，不定時抽

查產品質量．該企業質檢人員從所生產的產品中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六

組：40,50，50,60，60,70，?，90,100．得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出直方圖中m的值；

(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業所生產的口罩的質量指標值的平均數和60%分位數(同

一組中的數據用該組區間中點值作代表，60%分位數精確到0.01)．

39(2024·福建·高二校聯考開學考試)小晟統計了他6月份的手機通話明細清單，發現自己該月

共通話100次，小晟將這100次通話的通話時間(單位：分鐘)按照0,4，4,8，8,12，12,16，

16,20，20,24分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值；

(2)求通話時間在區間4,12內的通話次數；

(3)試估計小晟這100次通話的平均時間(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)．

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40(2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試)為了迎接新高考，某校舉行物理和化學

等選科考試，其中，600名學生化學成績(滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組

區間是：第一組45,55，第二組55,65，第三組65,75，第四組75,85，第五組85,95．已知圖中

第三組頻率為0.45，第一組和第五組的頻率相同．

(1)求a，b的值；

(2)估算高分(大于等于80分)人數；

(3)估計這600名學生化學成績的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)和中位

數．(中位數精確到0.1)

41(2024·湖北武漢·高二統考開學考試)某學校為了了解老師對“民法典”知識的認知程度，針對

不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分(95分及以上為認知程度高)，結果認知

程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四

組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．

(1)根據頻率分布直方圖，估計這m人年齡的第75百分位數；

(2)現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取40人，擔任“民法典”知識的宣傳使者．

①若有甲(年齡23)，乙(年齡43)兩人已確定入選宣傳使者，現計劃從第一組和第五組被抽到的使

者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人恰有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方

差分別為42和2，據此估計這m人中35~45歲所有人的年齡的方差．

22LaoFan

【解題方法總結】

頻率分布直方圖的數字特征

(1)眾數：最高矩形的底邊中點的橫坐標．

(2)中位數：中位數左邊和右邊的矩形的面積和應該相等．

(3)平均數：平均數在頻率分布直方圖中等于各組區間的中點值與對應頻率之積的和．

LaoFan23

考點7:總體離散程度的估計

42(2024·高一課時練習)某學校高一100名學生參加數學考試，成績均在40分到100分之間，學

生成績的頻率分布直方圖如下圖：

(1)估計這100名學生分數的中位數與平均數；(精確到0.1)

(2)某老師抽取了10名學生的分數：x1，x2，x3，???，x10，已知這10個分數的平均數x=90，標準差s

=6，若剔除其中的100和80兩個分數，求剩余8個分數的平均數與標準差．

n

22

xi-nx

(參考公式：s=i=1)

n

43(2024·四川綿陽·綿陽中學校考二模)2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著

陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務，標志著中國空間站關鍵技

術驗證階段圓滿完成．并將進入建造階段某地區為了激發人們對天文學的興趣，開展了天文知識

比賽，滿分100分(95分及以上為認知程度高)，結果認知程度高的有