2026年高考物理一輪考點復習機械能守恒定律（學生版+解析）

第13講機械能守恒定律

學習目標

1.掌握重力勢能、彈性勢能的概念，并能計算.

2.掌握機械能守恒的條件，會判斷物體的機械能是否守恒.

3.掌握機械能守恒定律的三種表達形式，理解其物理意義，并能熟練應用.

夯實基礎

考點一機械能守恒的判斷

1.內容

在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能與勢能可以相互轉化，但機械能的總量保持不變.

2.條件

只有重力或彈力做功.

3.判斷方法

(1)用定義判斷：若物體動能、勢能均不變，則機械能不變.若一個物體動能不變、重力勢能變化，

或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時增加(減少)，其機械能定變化.

(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械

能守恒.

(3)用能量轉化來判斷：若物體或系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉

化，則物體或系統機械能守恒.

(4)對多個物體組成的系統，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統內力做功，如有滑動摩

擦力做功時，因摩擦生熱，系統機械能將有損失.

考點二機械能守恒定律的應用

機械能守恒的三種表達式

1.守恒觀點

(1)表達式：&+品=0+&或/=&

(2)意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能.

(3)注意：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉化觀點

(1)表達式：X&=&氏.

(2)意義：系統的機械能守恒時，系統增加(或減少)的動能等于系統減少(或增加)的勢能.

3.轉移觀點

(1)表達式：△昂憎

(2)意義：若系統由從例構?部分組成，當系統的機械能守恒時，則力部分機械能的增加量等于卿分機

械能的減少量.

考點三多物體機械能守恒問題

1.解決多物體系統機械能守恒的注意點

(1)對多個物體組成的系統要注意判斷物體運動過程中，系統的機械能是否守恒C

(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。

(3)列機械能守恒方程時，一般選用AH=一△瓦或△￡1=一△瓦的形式。

類型類型?：繞桿上某固定點轉動類型二：無固定點，沿光滑接觸面滑動

例題精析‘

［例題1］彈弓的構造如圖1所示，橡皮筋兩端點A、8固定在把手上，將橡皮筋在豎直平面內沿A8

的中垂線方向拉伸，當橡皮筋中點被拉至C處時，橡皮筋恰好拉直且處于原長狀態（如圖2

所示】將小石子抵在C處橡皮筋上，將橡皮筋中點從。點拉至。點時放手，小石子在橡皮筋

的作用下沿豎直方向向上彈射出去。橡皮筋的質量和空氣阻力忽略不計，小石子可視為質點。

小石子由。點運動到C點的過程中，下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.小石子的機械能守恒

B.小石子的重力勢能與橡皮筋的彈性勢能之和先減小后增大

C.橡皮筋對小石子的彈力先做正功后做負功

D.小石子在C處時速度最大

［例題2］2024年珠海航展上，飛行員駕駛飛機沿如圖所示軌跡在豎直面內勻速率飛行，依次經過

“、入c三點，b為軌跡上的最高點，a、c兩點距地面高度相同。下列說法正確的是（）

A.飛機經過〃點時的加速度為零

B.飛機在〃點所受合力小于在c?點所受合力

C.飛機經過。、c兩點時意力的瞬時功率相等

D.飛機從。點運動到。點的過程中機械能守恒

［例題3］某人造衛星繞地球運動，所受地球引力隨時間變化如圖所示，假設衛星只受地球引力，下

列說法正確的是（）

|引力大小

A.衛星的周期為4

B.衛星繞地球運行時機械能守恒

C.衛星在近地點與遠地點的速度之比為4:1

D.衛星在近地點與遠地點的加速度之比為4:1

［例題4］如圖1所示是泰州科技館一件名為“最速降線”的展品，選取其中的兩條軌道簡化模型如圖

2o已知兩條軌道均光滑，且起點、終點均相同，其中軌道2末端與水平面相切。現將兩個完

全相同的小球甲、乙同時從起點由靜止釋放，小球甲沿軌道1、小球乙沿軌道2運動至終點的

過程中，下列說法正確的是（）

A.兩個小球同時釋放且能同時到達終點

B.小球甲到達終點時的速度大于小球乙

C.小球乙下滑過程中重力的功率一直增大

D.此運動過程中小球甲的平均速度小于小球乙

［例題5］如圖所示，將一個可視為質點的小球放置在距圓心水平距離為R處，以初速度%水平拋入

半徑為R的半圓弧，小球與圓弧碰撞時間極短，碰撞前后小球速度大小不變，方向變化滿足反

射定律，不考慮多次碰撞，下列說法正確的是（）

%

R

A.若小球落到圓弧的最低點，小球將彈呵I到拋出點

B.若小球在與圓心等高處拋出，無論速度%的大小，反彈后小球的最高點都無法超過用心

C.若小球在與圓心等高處拋出,存在一個速度為,使其反彈后能問到拋出點

D.若小球在高于與圓心等高處拋出，存在一個速度%,使其反彈后能回到拋出點

［例題6］2024年9月25口，中國人民解放軍火箭軍向太平洋相關公海海域成功發射了一枚洲際彈

道導彈，導彈準確落入預定海域。如圖所示，假設從地面A點發射一枚遠程彈道導彈，若導彈

只在地球引力作用下沿AC8橢圓軌道飛行，最終擊中地面目標&C點為橢圓軌道的遠地點，

離地面高度為爪導彈在4點的發射速度和在8點的落地速度方向均平行于CO（O為地心）。

已知地球半徑為R,遠程彈道導彈在空中的運動滿足開普勒三大定律，地球表面的重力加速度

為g，則（）

C

A.導彈經過C點的速度方向垂直CO

B.導彈在空中飛行時機械能先增加后減少

C.導彈在C點的加速度小于g

D.若導彈到達C點時點火加速，則導彈可能在過C點的圓軌道上繞地球做勻速圓周運動

［例題7］如圖1所示，冰坑挑戰是我國東北的傳統游戲。某同學將該情景簡化后的模型如圖2所

示，可看作游戲者在一圓心角為120。的圓弧軌道上移動，圓弧的半徑為已知冰面與鞋底間

的動摩擦因數為〃=理，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，游戲者的質量〃-60kg,游戲者可看

作質點，則下列說法正確的是（)

A.游戲者在從。點向上緩慢移動過程中，最大靜摩擦力不斷增大

B.游戲者在從0點向上緩慢移動過程中，離。點的高度最大為。=立正R

2

C.若游戲者從軌道最高點人無動力滑下后，可再次回到最高點

D.若游戲者從軌道最高點A無動力下滑到。點，游戲者的切向加速度先減小后增大

［例題8］如圖所示，光滑的平臺上靜置甲、乙兩個小球，內壁光滑的四分之一圓弧軌道8c豎直固

定在平臺右側，圓心在平臺的右邊緣A點，AB是豎直半徑、AC是水平半徑。現敲擊質量為加

的甲球，給甲球向右的瞬時初速度，甲、乙發生彈性碰撞且碰后速度大小相等，碰后乙球的動

能為線=1〃7gd，乙球從4點飛出，經時間辦=、孚落在圓弧上的。點，重力加速度為g。

8V2g

(1)乙的質量以及甲的初速度；

(2)圓弧軌道的半徑；

(3)若讓乙球從A點以不同水平初速度向右拋出，當落到尸點時速度最小，則乙從A點到尸點的運

動時間。

題型專煉

題型1判斷物體和系統機械能守恒

1.如圖所示，質量為機的足球在地面的1位置由靜止被踢出后落到水平地面的3位置，運動軌

跡為虛線所示。足球在空中達到的最高點2的高度為人速度為外已知1、2位置間的水平距

離大于2、3位置間的水平距離。足球可視為質點，重力加速度為g。下列說法正確的是

()

A.足球在空中運動過程機械能守恒

B.人對足球做的功大于病+〃儂？

C.足球在位置2時的加速度等于g

D.足球從位置2到位置3,動能的增加量等于〃唱力

2.如圖所示為某同學投籃時的情景，籃球在空中劃出一道美妙的弧線后精準進入籃框，不計空氣

阻力，則籃球飛行過程中（）

A.加速度先減小后增大B.動能先減小后增大

C.機械能先增大后減小D.重力的功率先增大后減小

3.如圖所示，氫氣球帶著下方所拄重物加速上升“在上升過程中（）

□

A.重物處于失重狀態

B.若細繩突然斷裂，重物將立刻向卜運動

C.氫氣球對重物的拉力天于重物對氫氣球的拉力

D.氫氣球和重物所構成的系統機械能不守恒

題型2單個物體的機械能守恒問題

4.2021年2月，“天問一號”探測器到達火星附近，經“剎車”被火星捕獲，進入大橢圓軌道，近火

點為A點。探測器到達大橢圓軌道遠火點B時進行變軌，通過調整軌道平面、降低近火點高

度，使凱道變為經過火星南北兩極的極軌關于探測器的運動，下列說法正確的是（）

B.在B點變軌時，只需沿其運動方向點火噴氣

C.在大橢圓軌道的機械能小于它在極軌的機械能

D.變軌后在B點的速度小于變軌前的速度

5.如圖所示，將一小球從M點水平拋出，飛到點尸時，與一擋板發生蒯撞，小球又斜向上飛出

后落到M點正下方的N點，N點與P點等高，軌跡的最高點。與M等高，不計空氣阻力。下

列說法正確的是（）

A.小球兩次飛行過程中加速度不同

B.小球兩次飛行過程中直力對小球做的功相等

C.小球離開M點的速率比經過Q點的速率大

D.小球與擋板碰撞過程中沒有機械能損失

6.觀看科幻電影《流浪地球》后，某同學設想地球僅在木星引力作用下沿橢圓軟道通過木星的情

景，如圖所示，軌道上尸點距木星最近（距木星表面的高度可忽略），則（）

A.地球靠近木星的過程中運行速度減小

B.地球遠離木星的過程口加速度增大

C.地球遠離木星的過程口機械能增大

D.地球在〃點的運行速度大于木星第?宇宙速度

題型3輕繩連接的物體系統

7.如圖所示，可視為質點的光滑定滑輪P與豎直墻面上的。點等高，。為PQ的中點，PQ距離

為24—根輕質不可伸長的細繩一端系在。點，穿過質量為m的光滑圓環A再繞過定滑輪

P，另一端吊著質量也為，〃的重物B。將圓環A由0點靜止釋放，設QA與水平方向夾角為

凡已知重力加速度為g,整個過程中B未與滑輪P相擦，不計空氣阻力和一切摩擦。下列說

A.A和B的速度關系為%=&sin。

4

B.A可以下降的最大高度為5d

C.A和B總動能最大時，族60。

D.A和B總動能最大時，A的動能為

8.如圖（a）所示，可視為質點的。、〃兩球通過輕繩連接跨過光滑輕質定滑輪，人球在外力作用

下靜止懸空。以地面為重力勢能的零勢能面，從靜止釋放。球，在。球落地前的過程中，a、匕

兩球的重力勢能隨時間/的變化關系如圖(b)所示，圖中兩圖像交點對應時刻/=0.3s,。球

始終沒有與定滑輪相碰，〃、。始終在豎直方向上運動，忽略空氣阻力，重力加速度

g=iOni/s2o則()

B.〃球落地時〃球的動能為3J

C.〃球下落前距地面的高度為0.3m

D.，=0.3s時/，球離地面的高度為0.225m

9.如圖所示，水平地面上固定有兩個相同的傾角437。的斜面體(頂端固定有小滑輪)，兩滑輪

間的距離d=I2cm。兩根等長的細線繞過滑輪，?端與放在斜面上的質量均為M=5kg的物塊相

連，另一端與質量/〃=3kg的小球連接。初始時刻，用手豎直向下拉住小球，使系統保持靜

止，此時兩細線與豎直方向間的夾角均為a=37。，松手后，小球將在豎直方向上運動。忽略一

切摩擦，取重力加速度"10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8,求：

(1)開始時手對小球的拉力大小F：

(2)小球能夠上升的最大高度力；

(3)小球回到初始位置時的加速度大小a

題型4輕桿連接的物體系統

10.如圖所示，長度為/的輕桿上固定質量均為〃，的3個小球,1、2球將桿三等分，輕桿一端通過

轉軸與。點鏈接。讓輕桿由水平位置自由釋放，忽略一切阻力，重力加速度為g,下列說法正

A.擺至豎直位置時，小球1和2的動能之比為1:4

B.擺至豎直位置時，球的角速度為杵

C.擺至豎直位置過程中，輕桿對小球2做功為0

D.擺至豎直位置過程中，輕桿對小球3做功為學

11.如圖所示，質量為0.1kg的帶孔物塊A和質最為0.2kg的金屬環B通過光滑較鏈用輕質細桿連

接，A套在固定的豎直桿上且與豎直放置的輕彈簧上端相連，輕彈簧下端固定在水平橫桿上，

輕彈簧勁度系數4=100N/m,彈簧原長乙=4cm,B套在固定的水平橫桿上。彈簧處于原長

時將A由靜止釋放，彈簧始終在彈性限度內，已知彈簧的彈性勢能綜質2（工為彈簧的形

變量）。忽略一切摩擦，重:力加速度g取IOm/s2,在A下降的過程中，下列說法正確的是

A.物塊A和金屬環B組成的系統機械能守恒

B.在A、B運動過程中當圖中。=60時，VB=X/3VA

C.B動能最大時，B受到水平橫桿的支持力大小等于2N

D.彈簧彈性勢能最大時，。、A間距離為1cm

12.拋石機是古代交戰的?種兵器，巧妙利用了動能和勢能的轉化。為了研究方便，簡化為圖示物

理模型，輕桿兩端分別固定質量為M、加的小球A、B,M=24〃?。輕桿可繞水平轉軸。自由轉

動，O到水平地面的高度為“（冷L）,A、B到O的距離分別為L、4L現將輕桿拉到水平并

從靜止釋放，當輕桿運動到豎直時B脫離輕桿做平拋運動，兩小球均可視為質點，不計轉軸

摩擦及空氣阻力，重力加速度為g。求：

(1)B脫離輕桿時，A和B的總動能;

(2)B平拋運動的水平射程。

題型5輕彈簧連接的物體系統

13.如圖所示，光滑豎直桿底端固定在地面上，桿上套有一質量為小的小球A(可視為質點)，

根豎直輕彈簧一端固定在地面上(彈簧勁度系數為Q,另一端連接質量也為小的物塊B,一

輕繩跨過定滑輪。，一端與物塊B相連，另一端與小球A連接，定滑輪到豎直桿的距離為

L。初始時，小球A在外力作用下靜止于P點，已知此時整根輕繩伸直無張力且OP間細繩水

平、08間細繩豎直，現將小球A由P點靜止釋放，A沿桿下滑到最低點。時0Q與桿之間的

夾角為30。，不計滑輪大小及摩擦，重力加速度大小為g,下列說法中正確的是()

A.初始狀態時彈簧的壓縮量為半

K

B.小球A由P下滑至。的過程中，加速度逐漸增大

C.小球A由尸下滑至Q的過程中，彈簧彈性勢能增加了-1)“也

D.若將小球A換成質量為g的小球C,并將小球C拉至。點由靜止釋放，則小球C運動到P

點時的動能為半〃磔

14.如圖所示，質量為小的小球從不同高度下落壓縮彈簧，彈簧的彈性勢能的表達式為g履二其

中攵是彈簧的勁度系數，x是彈簧的形變量。假設整個過程彈簧始終在彈性限度內，不計一切

阻o力，不計小球和彈簧接觸時的能量損失，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

)t?

1A

t

.

A.小球和彈簧組成的系統（包括地球）機械能不守恒

B.無論小球從多高處下落，小球具有最大動能的位置不會改變

C.克服彈力做功不能度量小球機械能在小球和彈簧之間的轉移

D.小球的加速度能達到2g的最小下落高度是等（距彈簧上端的高度）

15.如圖所示，光滑水平面/W與粗糙的豎直半圓軌道4CO在B點相切，半圓軌道AC。的半徑

R=0.4m,。是半圓軌道的最高點。將一質量機二O1kg的物體（可視為質點）向左壓縮輕彈

簧至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得?向右速度，并脫離彈簧在水平面4B上做直

線運動，其經過4點時的速度以=5m/s,之后物體沿半圓軌道運動，恰好能通過。點。取重

力加速度g=10m/s，求：

（2）物體通過。點時的速度大小。

（3）物體沿半圓軌道4c。運動過程中克服阻力所做的功1匕

題型6“鏈條”類問題

16.如圖所示，兩側傾角均為30。的斜劈固定在水平地面上，將質量為/〃、長為L的光滑金屬鏈條

放在斜劈頂端，左右兩側鏈條長度之比為1：2。已知兩斜面的長度均為2￡,兩側鏈條與斜劈

的截面在同一豎直平面內。重力加速度為g,某時刻將徒條由靜止釋放，當鏈條下端到達斜劈

底端時，重力的功率為（）

17.如圖所示，勻質鐵鏈質量為如長度為乙現使其?放在傾角為30。的光滑斜面上，其余部分

豎直下垂。若由靜止釋放使鐵鏈自由運動，則鐵鏈下滑至整條鐵鏈剛好全部離開斜面時，鐵鏈

的速度為（）

A?像B.律c牌D.怦

18.如圖所示的木板由傾斜部分和水平部分組成，兩部分之間由一小段圓弧面相連接.傾斜部分為

光滑圓槽；軌道一水平部分左端長為L的一部分是光滑的，其余部分是粗糙的，現有質量為

〃?、長為L的均勻細鐵鏈，在外力作用下靜止在如圖所示的位置，鐵鏈下端距水平槽的高度為

山現撤去外力使鐵鏈開始運動，最后鐵鏈全部運動到水平軌道粗糙部分.已知重力加速度為

g，斜面的傾角為仇鐵鏈與水平軌道粗糙部分的動摩擦因數為〃，不計鐵鏈經過圓弧處時的能

量損失。求：

（1）鐵鏈的最大速率；

（2）從釋放到鐵鏈達到最大速率的過程中，后半部分鐵鏈對前部分鐵鏈所做的功；

（3）最后鐵鏈的左端離木板傾斜部分底端的距離。

第13講機械能守恒定律

學習目標

1.掌握重力勢能、彈性勢能的概念，并能計算.

2.掌握機械能守恒的條件，會判斷物體的機械能是否守恒.

3.掌握機械能守恒定律的三種表達形式，理解其物理意義，并能熟練應用.

夯實基礎

考點一機械能守恒的判斷

1.內容

在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能與勢能可以相互轉化，但機械能的總量保持不變.

2.條件

只有重力或彈力做功.

3.判斷方法

(1)用定義判斷：若物體動能、勢能均不變，則機械能不變.若一個物體動能不變、重力勢能變化，

或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時增加(減少)，其機械能一定變化.

(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械

能守恒.

(3)用能量轉化來判斷：若物體或系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉

化，則物體或系統機械能守恒.

(4)對多個物體組成的系統，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統內力做功，如有滑動摩

擦力做功時，因摩擦生熱，系統機械能將有損失.

考點二機械能守恒定律的應用

機械能守恒的三種表達式

1.守恒觀點

(1)表達式：&+￡尸蜃+&或右=凰

(2)意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能.

(3)注意：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉化觀點

(1)表達式：X&=&氏.

(2)意義：系統的機械能守恒時，系統增加(或減少)的動能等于系統減少(或增加)的勢能.

3.轉移觀點

(1)表達式：△昂憎

(2)意義：若系統由從例構?部分組成，當系統的機械能守恒時，則力部分機械能的增加量等于卿分機

械能的減少量.

考點三多物體機械能守恒問題

1.解決多物體系統機械能守恒的注意點

(1)對多個物體組成的系統要注意判斷物體運動過程中，系統的機械能是否守恒C

(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。

(3)列機械能守恒方程時，一般選用AH=一△瓦或△￡1=一△瓦的形式。

類型類型?：繞桿上某固定點轉動類型二：無固定點，沿光滑接觸面滑動

［例題9］彈弓的構造如圖1所示，橡皮筋兩端點4、8固定在把手上，將橡皮筋在豎直平面內沿

的中垂線方向拉伸，當橡皮筋中點被拉至C處時，橡皮筋恰好拉直且處于原長狀態（如圖2

所示1將小石子抵在C處橡皮筋卜，將橡皮筋中點從。點拉至。點時放手，小石子4橡皮筋

的作用卜沿豎直方向向上彈射出去。橡皮筋的質量和空氣阻力忽略不計，小石子可視為質點。

小石子由。點運動到C點的過程中，下列說法正確的是（）

A.小石子的機械能守恒

B.小石子的重力勢能與橡皮筋的彈性勢能之和先減小后增大

C.橡皮筋對小石子的彈力先做正功后做負功

D.小石子在C處時速度最大

【答案】B

【詳解】AC.由于橡皮筋恢復原長之前對小石子的作用力始終向，，彈力一直做正功，小石子的

機械能一直在增加，A、C項錯誤；

BD.當橡皮筋中點被拉至。處時恰好為原長狀態，在。點橡皮筋的拉力為零，在CO連線中的某

一位置，小石子受力平衡，加速度為零，速度最大，則小石子的動能先增大后減小，由小石子與橡

皮筋組成的系統機械能守恒可知，小石子的重力勢能與橡皮筋的彈性勢能之和先減小后增大，B項

正確、D項錯誤。

故選B.

［例題10］2024年珠海航展上，飛行員駕駛飛機沿如圖所示軌跡在豎直面內勻速率飛行，依次經過

八氏c三點，。為軌跡上的最高點，。、c兩點距地面高度相同。下列說法正確的是()

A.飛機經過》點時的加速度為零

B.飛機在。點所受合力小于在c點所受合力

C.飛機經過〃、。兩點時重力的瞬時功率相等

D.飛機從〃點運動到。點的過程中機械能守恒

【答案】B

【詳解】A.質點在每小段的運動都可以看做圓周運動的一部分，在豎直面內勻速率飛行，合力方

向指向各自圓心，加速度方向也指向各自圓心，故在〃點時狗加速度不為零，故A錯誤；

B.質點在每小段的運動都可以看做圓周運動的一部分，在豎直面內勻速率飛行，合力方向指向各

自圓心，加速度方向也指向各自圓心，明顯。點對應的圓周半徑更大，c點對應半徑更小，合力提

供向心力，根據向心力公式產="

r

可知〃點所受的合力小于。點，故B正確：

C.〃、。兩點的速度大小相等，但速度方向不同，設速度與豎直方向的夾角為加速度與重力夾角

不同，根據P=mgvcosa

可知重力功率不相等，故C錯誤；

D.飛機在運動過程中動能不變，但飛機距地面的高度在變化，即飛機的重力勢能變化，飛機從〃

點運動到c點的過程中機械能不守恒，故D錯誤。

故選Bo

［例題11］某人造衛星繞地球運動，所受地球引力隨時間變化如圖所示，假設衛星只受地球引力，下

列說法正確的是()

A.衛星的周期為入

B.衛星繞地球運行時機械能守恒

C.衛星在近地點與遠地點的速度之比為4:1

D.衛星在近地點與遠地點的加速度之比為4:1

【答案】BD

【詳解】A.由圖可知，衛星的周期為丁=*選項A錯誤;

B.衛星繞地球運行時，只有地球引力做功，則機械能守恒，選項B正確;

C.衛星在近點時8"二G?

^inin

c門—Mm

遠點時2/=6丁

^max

可知

2

根據開普勒第.二定律，衛星在近地點與遠地點時心。"嶺"入'

v.2

可知近地點與遠地點的速度之比為7=~

選項C錯誤；

D.根據G學=〃放，aGM

,2

可知衛星在近地點與遠地點的加速度之比為4:1,選項D正確。

故選BDo

［例題12］如圖1所示是泰州科技館一件名為“最速降線”的展品，選取其中的兩條軌道簡化模型如圖

20已知兩條軌道均光滑，且起點、終點均相同，其中軌道2末端與水平面相切。現將兩個完

全相同的小球甲、乙同時從起點由靜止釋放，小球甲沿軌道1、小球乙沿軌道2運動至終點的

過程中，下列說法正確的是（）

起點

圖1圖2

A.兩個小球同時釋放且能同時到達終點

B.小球甲到達終點時的速度大于小球乙

C.小球乙下滑過程中重力的功率一直增大

D.此運動過程中小球甲的平均速度小于小球乙

【答案】D

【詳解】AD.小球甲沿直線軌道1做勻加速直線運動，其加速度恒定，對應的回圖像為一條傾斜

直線，小球乙沿“最速降線”軌道2運動過程，根據。=gsin。

可知切向加速度逐漸減小，則其內圖像的斜率逐漸減小，兩球位移相等，已知小球乙所用時間小

于小球甲所川時間，小球乙先到達終點，根據3

t

可知此運動過程中小球甲的平均速度小于小球乙，故A錯誤，D正確；

B.根據機械能守恒定律可知mgh=；mv:

可知小球甲到達終點時的速度大小等于小球乙的速度大小，選項B錯誤；

C.根據PG=mgvy

可知，小球乙下滑過程中豎直速度先增加后減小，可知重力的功率先增加后減小，選項C錯誤。

故選D。

［例題13］如圖所示，將一個可視為質點的小球放置在距圓心水平距離為R處，以初速度%水平拋入

半徑為A的半圓弧，小球與圓弧碰撞時間極短，碰撞前后小球速度大小不變，方向變化滿足反

射定律，不考慮多次碰撞，下列說法正確的是（）

%

R

A.若小球落到圓弧的最低點，小球將彈回到拋出點

B.若小球在與圓心等高處拋出，無論速度％的大小，反彈后小球的最高點都無法超過圓心

C.若小球在與圓心等高處拋出，存在一個速度%,使其反彈后能回到拋出點

D.若小球在高于與圓心等高處拋出，存在?一個速度%，使其反彈后能回到拋出點

【答案】D

【詳解】A.由題意可知，當小球落到圓弧的最低點，小球將回到圓弧對面的等高點處（根據反射

對稱性和能量守恒），故A錯俁；

B.由能最守恒可知，小球在碰撞后如果水平方向的速度分最小丁%,反彈后小球的最高點超過圓

心，故B錯誤；

C.當小球垂直入射到圓弧面上時，小球會回到拋出點，若小球在與圓心等高處拋出，小球不可能

垂直入射到圓弧上，故c錯詼；

D.若小球高于圓心等高處拋出，小球可能垂直入射到圓弧上，故D正確。

故選D。

[例題14]2024年9月25日，中國人民解放軍火箭軍向太平洋相關公海海域成功發射了一枚洲際彈

道導彈，導彈準確落入預定海域。如圖所示，假設從地面A點發射一枚遠程彈道導彈，若導彈

只在地球引力作用下沿ACB橢圓軌道飛行，最終擊中地面目標&C點為橢圓軌道的遠地點，

離地面高度為爪導彈在A點的發射速度和在8點的落地速度方向均平行于CO（O為地心）。

己知地球半徑為R,遠程彈道導彈在空中的運動滿足開普勒三大定律，地球表面的重力加速度

為g，則（）

C

A.導彈經過C點的速度方向垂直CO

B.導彈在空中飛行時機械能先增加后減少

C.導彈在C點的加速度小于g

D.若導彈到達。點時點火加速，則導彈可能在過。點的圓軌道上繞地球做勻速圓周運動

【答案】ACD

【詳解】A.導彈在橢圓軌道遠地點的速度方向垂直于長軸，A正確:

B.導彈在空中飛行時機械能守恒，B錯誤;

C.導彈經C點時，由萬有引力提供向心力，有（胃胞二ma

..GMrn

乂由k”

02

聯立可得"=再方

C正確：

D.若導彈到達。點時點火加速，則導彈可能進入經過C點的原軌道，從而在過。點的圓軌道上繞

地球做勻速圓周運動，D正確。

故選ACD,

［例題15］如圖1所示，冰坑挑戰是我國東北的傳統游戲。某同學將該情景簡化后的模型如圖2所

示，可看作游戲者在一圓心角為120。的圓弧軌道上移動，圓弧的半徑為R。已知冰面與鞋底間

的動摩擦因數為〃=3，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，游戲者的質量〃『60kg,游戲者可看

3

作質點，則下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.游戲者在從。點向上緩慢移動過程中，最大靜摩擦力不斷增大

B.游戲者在從。點向上緩慢移動過程中，離。點的高度最大為=

2

C.若游戲者從軌道最高點A無動力滑下后，可再次呵I到最高點

D.若游戲者從軌道最高點人無動力下滑到。點，游戲者的切向加速度先減小后增大

【答案】BD

【詳解】A.設游戲者與圓弧圓心的連線與豎直方向的夾角為仇則游戲者對冰面的正壓力為

Fv=mgcos0

最大靜摩擦力力=叫=〃〃火cos。

游戲者在從。點向上緩慢移動過程中〃變大，最大靜摩擦力不斷減小，選項A錯誤;

B.游戲者在從。點向上緩慢移動過程中，當到達最大高度時滿足力=〃〃?gcosO=mgsinO

解得tan0=^

3

離O點的高度最大為h=及(1-co$6)=三gR

2

選項B正確；

C.若游戲者從軌道最高點A無動力滑下后，由于要克服摩擦力做功，則不可再次回到最高點，選

項C錯誤；

D.若游戲者從軌道最高點4無動力下滑到。點，。從60。減小到0,游戲者的切向加速度

inQsin0-Limscos0.八八

。切=----------------=gsin。一〃gcos0

in

當tan0=正時加速度為零，則切線加速度先減小后增大，選項D正確。

3

故選BDo

[例題16]如圖所示，光滑的平臺上靜置甲、乙兩個小球，內壁光滑的四分之一圓弧軌道BC豎直固

定在平臺右側，圓心在平臺的右邊緣4點，A8是豎直半徑、AC是水平半徑。現敲擊質量為小

的甲球，給甲球向右的瞬時初速度，甲、乙發生彈性碰撞且碰后速度大小相等，碰后乙球的動

能為耳=]〃吆4,乙球從A點飛出，經時間“二號落在圓弧上的。點，重力加速度為g。

求：

(I)乙的質量以及甲的初速度；

(2)圓弧軌道的半徑：

(3)若讓乙球從A點以不同水平初速度向右拋出，當落到尸點時速度最小，則乙從A點到P點的運

動時間。

【答案】⑴如,y[gd

⑵巫d

4

【詳解】（1）設乙的質量為M,甲的初速度為%,甲、乙發生彈性碰撞且碰后速度大小相等，可知

碰后甲、乙速度等大反向，大小設為V,規定向右為正方向，則有-+

—=—mv'+—Mv~

2u22

3i

因為線二3mgd=-Mv-

o2

聯立解得M=3m，％=而/

（2）根據平拋規律有R2=（yrJ+（gg0

代入題中數據，聯立解得圓弧軌道的半徑尺=巫4

（3）設最小速度為也根據平拋運動規律有。=J（gz）2+片

因為x=i秘，y=^gf2

幾何關系有2=—+>2

聯立整理得取」￡+。廢產

數學關系知當y最小時，有魯#產

聯立解得.=

題型專煉

題型1判斷物體和系統機械能守恒

19.如圖所示，質量為機的足球在地面的1位置由靜止被踢出后落到水平地面的3位置，運動軌

跡為虛線所示。足球在空中達到的最高點2的高度為人速度為八已知1、2位置間的水平距

離大于2、3位置間的水平距離,足球可視為質點，重力加速度為g。下列說法正確的是

（）

C.足球在位置2時的加速度等于g

D.足球從位置2到位置3,動能的增加量等于〃唱力

【答案】B

【詳解】A.若足球運動過程中不受空氣阻力作用，則物體運動軌跡應關于過最高點與水平面的垂

線對稱，根據題意1、2位置間的水平距離大于2、3位置間的水平距離可知足球受到空氣阻力作

用，則空氣阻力對足球做負功，足球在空中運動過程機械能減少，故A錯誤；

B.設地面為零勢能面，人對足球做的功等「人在最高點的機械能加上足球克服空

氣阻力做的功，即人對足球做的功大于gmF+mg/?,故B正確；

C.足球在位置2時豎直方向的加速度為g,水平方向速度不為零，即水平方向受到空氣阻力，水

平方向加速度不為零，根據矢量的合成可知足球在位置2時的加速度大于g,故C錯誤；

D.足球從位置2到位置3,根據動能定理可知動能的增加量等于重力做的功（fngh）減去克服空

氣阻力做的功，即足球從位置2到位置3,動能的增加量小于/咫力，故D錯誤。

故選B。

20.如圖所示為某同學投籃時的情景，籃球在空中劃出一道美妙的弧線后精準進入籃框，不計空氣

阻力，則籃球飛行過程中（）

A.加速度先減小后增大B.動能先減小后增大

C.機械能先增大后減小D.重力的功率先增大后減小

【答案】B

【詳解】A.籃球在空中飛行時只受重力作用，加速度始終為重力加速度g,恒定不變，故A錯

誤；

BC.籃球在空中飛行時只有重力做功，則機械能守恒，恒定不變；由題圖可知，籃球在空中飛行

時，其高度先變高后變低，則其重力勢能先增大后減小，又因為籃球的機械能怛定不變，則籃球的

動能先減小后增大，故B正確，C錯誤；

D.由題意可知，籃球做斜上拋運動，則籃球豎直方向做豎直上拋運動，則籃球豎直方向的速度大

小先減小后增大，則由夕=，陽。可知，重力的功率先減小后增大，故D錯誤；

故選B.

21.如圖所示，氫氣球帶著下方所掛重物加速上升。在上升過程中（）

□

A.重物處于失重狀態

B.若細繩突然斷裂，重物將立刻向下運動

C.氫氣球對重物的拉力大于重物對氫氣球的拉力

D.氫氣球和重物所構成的系統機械能不守恒

【答案】D

【詳解】A.由于重物的加速度向上，所以處于超重狀態，故A錯誤；

B.若細繩突然斷裂，重物將做豎直上拋運動，不會立刻向下運動，故B錯誤；

C.根據牛頓第三定律可知，氫氣球對重物的拉力等于重物對氫氣球的拉力，故C錯誤;

D.加速上升過程中，動能增大，重力勢能增大，則機械能增大，故D正確。

故選D。

題型2單個物體的機械能守恒問題

22.2021年2月，“天問一號”探測器到達火星附近，經“剎車”被火星捕獲，進入大橢圓軌道，近火

點為A點。探測器到達大橢圓軌道遠火點B時進行變軌，通過調整軌道平面、降低近火點高

度，使物道變為經過火星南北兩極的極軌關于探測器的運動，下列說法正確的是（）

.他關軌道

捕獲后的大橢圓軌道

A.由4向8運動過程中速度變大

B.在B點變軌時，只需沿其運動方向點火噴氣

C.在大橢圓軌道的機械能小于它在極軌的機械能

D.變軌后在B點的速度小于變軌前的速度

【答案】D

【詳解】A.根據開普勒第二定律可知，由4向B運動過程中速度變小，故A錯誤；

B.在B點變軌時，即由大橢圓軌道變軌到極軌，運動方向改變90。，既要點火減速，也需要改變

速度方向，所以不只需沿其運動方向點火噴氣，故B錯誤：

C.由大橢圓軌道變軌到極軌，需要減速，即機械能減小，所以在大橢圓軌道的機械能大于它在極

軌的機械能，故c錯誤；

D.變軌需要減速，即變軌后在4點的速度小于變軌前的速度，故D正確.

故選D。

23.如圖所示，將一小球從M點水平拋出，飛到點P時，與一擋板發生碰撞，小球又斜向上飛出

后落到M點正下方的N點，N點與P點等高，軌跡的最高點。與M等高，不計空氣阻力。下

列說法正確的是（）

MQ

A.小球兩次飛行過程中加速度不同

B.小球兩次飛行過程中宣力對小球做的功相等

C.小球離開M點的速率比經過。點的速率大

D.小球與擋板碰撞過程中沒有機械能損失

【答案】C

【詳解】A.不計空氣阻力，球兩次在空中只受重力作用，加速度為g,加速度相同，故A錯誤；

B.設球的拋體高度為/?,第一次從M到P,重力做正功為陽/?,第二次做斜上拋運動從2到

。到N點，重力做功為零，球兩次飛行過程中重力對球做的功不相等，故B錯誤；

C.球從M到P和從。到N都是平拋運動，在M、。點均只有水平方向的速度，高度〃相同，由

，=后知運動時間相同，但由廣叼可推出離開M點的速度大于經過。點的速度，故

C正確：

D.如果碰撞沒有機械能損失，則全程機械能守恒，而在M、。點重力勢能相等，動能不等，則機

械能不等，故小球與擋板碰撞過程中有機械能損失，故D錯誤。

故選C。

24.觀看科幻電影《流浪地球》后，某同學設想地球僅在木星引力作用下沿橢圓軌道通過木星的情

景，如圖所示，軌道上尸點距木星最近（距木星表面的高度可忽略），則（）

A.地球靠近木星的過程中運行速度減小

B.地球遠離木星的過程口加速度增大

C.地球遠離木星的過程口機械能增大

D.地球在P點的運行速度大于木星第一宇宙速度

【答案】D

【詳解】A.地球繞木星做橢圓運動，根據開普勒第二定律可得，遠木點的速度小，近木點的速度

大，故地球靠近木星的過程中，運行速度增大，A錯誤；

B.地球在軌道上運行時，萬有引力提供加速度，則有

GM

地球遠離木星的過程中，加速度減小，B錯誤；

C.地球遠離木星的過程中，只有萬有引力做負功，因此機械能守恒，C錯誤;

D.地球在P點繞木星做勻速圓周運動時，速度等于木星的第一宇宙速度，即

[GM

而地球過戶點后做離心運動，萬有引力小于需要的向心力，則有

GMmtnv].

R2

即

即地球在P點的運行速度大廠?木星的第一宇宙速度，D止確；

故選D。

題型3輕繩連接的物體系統

25.如圖所示，可視為質點的光滑定滑輪尸與豎直墻面上的。點等高，。為PQ的中點，PQ距離

為2d。一根輕質不可伸長的細繩一端系在。點，穿過質最為機的光滑圓環A再繞過定滑輪

P，另一端吊著質量也為〃?的重物B。將圓環A由0點靜止釋放，設QA與水平方向夾角為

仇已知重力加速度為g,整個過程中B未與滑輪P相理,不計空氣阻力和一切摩擦。下列說

法中正確的是（）

□B

A.A和B的速度關系為％=Lsin<9

4

B.A可以下降的最大高度為5d

C.A和B總動能最大時，Q60°

D.A和B總動能最大時，A的動能為（1-日

【答案】BD

【詳解】A.B上升的速度等于左側繩伸長的速度，A沿0方向的速度分量為弘sin。，沿招方向

的速度分量也為wsin/故有%=2yAsin0

A錯誤；

B.由能量守恒：nigH=mgx2^H2+d2-d^

4

解得：H=-d

B正確：

CD.AB總動能最大時，即總重力勢能最小，此刻重:力勢能變化率為0,即小咫%

結合關聯速度可知sin8=g

即族30。

由能量守恒知心=（2-@〃3，4A=%

解得：”（1-卻咫d

C錯誤，D正確。

故選BD。

26.如圖（a）所示，可視為質點的〃兩球通過輕繩連接跨過光滑輕質定滑輪，〃球在外力作用

下靜止懸空。以地面為重力勢能的零勢能面，從靜止釋放〃球，在方球落地前的過程中，a、b

兩球的重力勢能隨時間f的變化關系如圖（b）所示，圖中兩圖像交點對應時刻，=0.3s,。球

始終沒有與定滑輪相碰，〃、。始終在豎直方向上運動，忽略空氣阻力，重力加速度

=10m/s2o則（）

A.〃球質量2kg

B.〃球落地時〃球的動能為3J

C.〃球下落前距地面的高度為（）.3m

D.，=0.3s時。球離地面的高度為0.225m

【答案】BC

【詳解】AB.設b球下落前距地面的高度為〃，由圖b可知，=入/，Epam=magH

解得“：6b=1:3

由能量守恒,可得綜bm-綜皿=3色，+｝既，

聯立，解得。球落地時。球的動能為凡=1Wy=3J

故A錯誤；B正確；

CD.對兩球組成的整體，受力分析，由牛頓第二定律/gr%g=（"+叫）。

解得。=5m/s?

貝|JO.3s時，〃球上升的高度產=o.225m

2

由圖b可知，，=0.3s時兩球重力勢能相等，則有“的=〃"（"-人）

解得"=0.3m

即b球下落前距地面的高度為。3m,/=0.3S時b球離地面的高度M=H-h=0.075m

故C正確；D錯誤。

故選BCo

27.如圖所示，水平地面上固定有兩個相同的傾角片37。的斜面體（頂端固定有小滑輪），兩滑輪

間的距離，/=12cm。兩根等長的細線繞過滑輪，?端與放在斜面上的質量均為M=5kg的物塊相

連，另一端與質廉加=3kg的小球連接。初始時刻，用手豎直向下拉住小球，使系統保持靜

止，此時兩細線與豎直方向間的夾角均為Q=37。，松手后，小球將在豎直方向上運動。忽略一

切摩擦，取重力加速度g=10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8,求:

(1)開始時手對小球的拉力大小F;

(2)小球能夠上升的最大高度小

(3)小球回到初始位置時的加速度大小4。

【答案】(D18N

⑵8cm

90

(3)——m/s2

47

【詳解】(1)初始時刻系統靜止，對物塊/;Mgsin，7=3ON

假設尸方向向下，對小球278537。=，咫+/

解得尸=18N

(2)小球上升到最大高度時，系統的動能為0。設此時連接小球的細線與豎直方向間的夾角為以

對系統2Mgsin6(---------)=mg(--------------)

2sina2sin62tana2tan/?

解得/?=90°

可見小球上升到最大高度時繩子水平，小球上升的最大高度為〃=8cm

(3)對物塊Mgsina-T/=MOM

對小球2T/COSa-mg=ma

加速度關系aw=acosa

聯立方程解得a=^0(m)/s2

題型4輕桿連接的物體系統

28.如圖所示，長度為/的輕桿上固定質量均為，〃的3