2026高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 高考大題規(guī)范解答-數(shù)列

管皚跳

高考大題規(guī)范解答

教列

例I1.(15分)(2025?全國一卷，16)已知數(shù)列｛斯｝中，0=3,誓=帚+

］

〃(〃+1),

?(1)證明：數(shù)歹是等差數(shù)列；

?(2)給定正整數(shù)機(jī)，設(shè)函數(shù)/(X)=41X+Q2X2H----------〃田〃,，求

/'(―2).

?［解析］由遞推關(guān)系證數(shù)列是等差數(shù)列+錯(cuò)位相減法（邏

輯思維能力、運(yùn)算求解能力）

（1）證明：用1=鬻y+而%］兩邊同時(shí)乘得（〃+

+1,（3分）

又1XQ］=3,所以｛〃％｝是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列.（5分）

?得分保障：得分點(diǎn)：第⑴問關(guān)鍵在于得到等差數(shù)列的定

義式；第(2)問得出數(shù)列通項(xiàng)公式得1分，求出導(dǎo)函數(shù)得2分，

代入一2得1分，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算并化簡正確得5分，寫出

最終答案得1分.

?失分點(diǎn)：第(2)問中，未能正確求導(dǎo)；使用錯(cuò)位相減法時(shí)

過程中出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)位；最終答案忘記除以3.

?2.(15分X2025,天津卷，19){%}是等差數(shù)列，也J是等比

數(shù)列，%=d=2,a2=b2+\,。3="-

?(1)求{即},出〃}的通項(xiàng)公式.

?(2)▽〃金N*有丁〃=仍1%坊+,2。262H---\~pnanbn\pv22，…，

p〃￡/},/={01}.

?(i)求證：V￡7〃，均有仁樂+也+i；

?(ii)求T〃中所有元素之和.

?［考情速遞］以數(shù)列為載體，創(chuàng)設(shè)科學(xué)情境.本題考查等

差、等比數(shù)列，并以新定義的形式引入集合圖，體現(xiàn)了集合

語言的科學(xué)表述和抽象數(shù)學(xué)符號(hào)的美感，重點(diǎn)考查學(xué)生數(shù)學(xué)

抽象和邏輯推理素養(yǎng)，題目飽含數(shù)學(xué)思維，滲透了數(shù)學(xué)思

想.

?解［析］(1)第1步：設(shè)｛許｝的公差和｛勾｝的公比，得到通項(xiàng)

公式

?設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，等比數(shù)列｛”1｝的公比為

q(q*。)，

?則｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為%=2+(〃-l)d,

一也受濟(jì)面公、知，=2_x分)

?第2步：利用條件建立方程，求得q,d

?由02=62+1得2+d=2g+1,即d=2g—1,①

?由。3=必得2+2d=2#.②）

?將①代入②，化簡得療-2q=0,又qWO,得q=2,貝！|d=

24—1=3.（4分）

?第3步：寫出｛3｝,彷〃｝的通項(xiàng)公式

?故氏=3/7—1,4=2〃.（6分）

(2)(i)證明：第1步：分析集合7〃及Z的最大值

由題知集合〃中的元素為t=%iab，其中p,￡{0』},

/=!

當(dāng)所有的P/=l時(shí)，/取最大值，

即。恤=￡。力,=f[(3/-l)x21.(7分)

/=!7=1

第2步：計(jì)算Zmax與也?+i

記5=。詠=￡(3Z-1)X2Z,

/=I

則S=Z(3Z-1)X2/=2X21+5X22+-+(3H-1)X2\

i=1

2S=￡(3z-l)X2/+,=2X22+5X23+-+(3H-4)X2,7+(3A7-

l)X2"+i

nn

-s=t(3Z-I)X2^-￡(3Z-1)X2/+1

/=i/=i

=4+3X(22+23+-+2w)-(3n-l)X2,,+1

,4X(1—2〃r)M+1

=4+3XT—z~~--(3A?-1)X2,/+1

1

=(8-6w)X2w-8.

則Zmax=S=(6〃-8)X2〃+8=(3〃-4)X2〃+i+8.(9分)

易知q〃+仍〃+]=[3(〃+l)—1]X2〃+|=(3〃+2)X2〃+|.(1O分)

第3步：比較，max與也z+]

當(dāng)〃時(shí)，。〃+i6〃+]—，max=6X2〃+i—826X2]+】一8=16>0,

所以▽/￡〃，均有長斯+也+式11分）

（五）第1步：分析。也出現(xiàn)的次數(shù)

n

由題知集合〃中的元素為t=￡pQb=piaib[+p2a2b2T---Hp〃a〃6〃，

/=i

其中P,￡{01},

每個(gè)為歷項(xiàng)在所有元素的和式中出現(xiàn)的次數(shù)為2〃T（13分）

■第2步：計(jì)算中所有元素之和

?所以7；中所有元素之和為2〃-i?S=2〃-1[(3〃-4)*2〃+1+8]

=(3〃-4)X4"+2〃+2.(15分)

s返回導(dǎo)航之

1.（2025山東省部分學(xué)校開學(xué)聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測，15）已知數(shù)列｛〃〃｝

的首項(xiàng)為。1=/,且湖足。〃+1+4。〃+］。〃一。〃=0.

⑴證明：數(shù)歹出為等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)歹U：的前n項(xiàng)和為S〃,求數(shù)列｛（一1）〃S〃｝的前n項(xiàng)和.

［解析］(1)證明：因?yàn)椤！?1+4。〃+1。〃—③=。，

所以an-q〃+1=4a〃o〃+1,

若。〃+1。〃=0,則a〃=a〃+i=O,與矛盾，

所以q〃+］4〃W0,

所以一L—5=4,因?yàn)樗?=2,

。〃+1。〃20

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列.

⑵由(1)知，=2+(〃-1)4=4〃-2,

明ellI，乙乂,(2+4〃—2)〃

數(shù)列》的刖〃項(xiàng)和為S〃=----5-----=2〃9，

a〃J乙

所以(一1)〃S〃=2(—1)〃兄

設(shè)數(shù)列｛(—1)〃SJ的前〃項(xiàng)和為Tn，

22222

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，7W=2[—1+2—3+***—(A?—1)~\~n],

因?yàn)閚2—(n—1尸=2〃-1,

所以。]=2[3+7+…+(2〃-1)]=2-5?)=/+".

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，n-\為偶數(shù).

=〃一1+2(—1)〃/=(〃一l)n—2n2=-H2—",

/+〃，〃為偶數(shù)，

所以T=\

n一/一〃，〃為奇數(shù).

?2.(2025?天津部分區(qū)期中聯(lián)考)已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝

為等比數(shù)列，為=1,仇=2,%=2〃2，64=4(63—62).

?(1)求｛即｝和出〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列［,］的前〃項(xiàng)和.

［解析］(1)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為乙等比數(shù)列｛a｝的公比為外

由為=1,〃4=242，可得d=1,所以%二〃

由d=2,64=4(63—b。,又9W0,

可得級(jí)―49+4=0,解得夕=2,

從而彷〃｝的通項(xiàng)公式為九=2〃.

(2)設(shè)數(shù)列於｝的前〃項(xiàng)和為〃.因?yàn)榫?6，

所以T〃=lX；】+2X|2+3X13d-----FnX

/=1*/+2*力5?.+(〃—1山+〃X產(chǎn)

兩式相減得，

%=件+伴+伴+...+件—〃

4/〃⑷十⑷十⑷十十⑷HXW

?3.(2025?江蘇鎮(zhèn)江期中模擬)記S〃是公差不為0的等差數(shù)列

｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知43+304=65，a［a5=S^數(shù)列滿足勾

=3“LI+2〃T(〃三2),且仇=%—1.

?(1)求｛許｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明數(shù)列［冬+1［是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式;

(3)求證：對于任意正整數(shù)〃，----

［解析］(1)設(shè)等差數(shù)列｛。〃｝的公差為d(dWO),由S+3〃4=S5,。］恁

=S?i，

_5X4

6Zi+267+3(4ZI+3(7)=5(7I+2d,

則

,,4X3

d\(a\十4田=4幻十一2一d，

解得。］=2,d=2,所以l)d=2〃.

(2)證明：由b〃=3b1-2〃T(〃22),得￥=2，^T+]，則手+1=

6"-1+1],61—671—1—2—1:-1,2-*-1-2,所以｛2"+”以2為首項(xiàng)，2為

公比的等比數(shù)列，故鼾1—]凱-眇,則—.

(3)證明：當(dāng)時(shí)，「2—~4n2^4(n-I)??-4[w—1裙+裙++4

-4+小2+23+…1〃)-4+6-32-4〃<2?

4.(2025?遼寧沈陽聯(lián)考，18)已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝滿足肌=1,色=2,

且對于任意〃￡N*,滿足。〃%+2—￡+1=-L

,(1)求數(shù)列｛。〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)兒=看，證明：數(shù)列初〃｝的前〃項(xiàng)和璃；

〃(11111

(3)設(shè)S〃=￡--―「一，證明：S〃V板.

k=0Wk+1^3k+2)13

［解析］(1)因?yàn)?=1,。2=2,恁%+2一屆+1=—1，

所以當(dāng)〃=1時(shí)，—詔=—1，計(jì)算得的=3,

由〃+2-屈+1=-1,可得。〃+1。〃+3-*+2=-1，

兩式相減可得。〃々〃+2+曷+2=。〃+1。〃+3+顯+1，

整理可得。〃+斯+2=。〃+】+。〃+3

Q〃+I。〃+2

匕"i\/0〃+。〃+2a〃+i+。〃+3。1+。31+3

所以-------=--------為定值，定值為平=2,

。〃+1為+2

所以。〃+。〃+2=2。〃+［,

所以｛。〃｝為等差數(shù)列，且公差為。2—。1=1，又。1=1,所以。〃=".

(2)證明：由(1)得處=〃，所以勾=}