空間向量及其線性運算【八大題型】-人教A版高中數學選擇性必修第一冊（解析版）

專題1.1空間向量及其線性運算【八大題型】

【人教A版(2019)]

＞題型梳理

【題型1空間向量的有關概念】.................................................................2

【題型2空間向量的加減運算】.................................................................4

【題型3空間向量的線性運算】..................................................................5

【題型4由空間向量的線性運算求參數】.........................................................8

【題型5向量共線的判定及應用】...............................................................II

【題型6由空間向量共線求參數或值1.....................................................................................13

【題型7向量共面的判定及應用】..............................................................14

【題型8由空間向量共面求參數】..............................................................16

A舉一反三

【知識點1空間向量的概念】

i.空間向量的概念

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向顯用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量。的起點是入，終點、是B,也可記作贏，其模記為⑷

或曲.

(4)幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向最與向最。長度相等而方向相反的向最，稱為。的相反向最，記為一。

共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么

(平行向量)這些向量叫做共線向量或平行向量.規定：對于任意向量”,都有0〃。

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

【注】(1)空間中點的一個平移就是一個向量；

(2)數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可

在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量.

【題型1空間向量的有關概念】

［例1］（23-24高二上?山東日照?階段練習）下列命題中為真命題的是（）

A.向量方與瓦?的長度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓

C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個空間向量的模必不相等

【解題思路】由于向量的長度與向量的方向無關，相反向量的長度相等，由此可判斷AD,將空間所有的單

位何晟平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，由此可判斷B,由向展與有向線段的關系判斷C.

【解答過程】選項A：因為空間向量荏與瓦5互為相反向量，所以空間向量而與瓦5的長度相等，所以A正

確；

選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤；

選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；

選項D：兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量通與瓦?的模相等，所以D錯誤;

故選:A.

【變式1?1】（23-24高二上?山東濟南?期中）下列關于空間向量的說法中正確的是（）

A.方向相反的兩個向量是相反向量

B.空間中任意兩個單位向最必相等

C.若向量|畫畫滿足|函＞|畫,則通〉而

D.相等向量其方向必相同

【解題思路】

根據向量的相關概念逐一判斷即可.

【解答過程】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；

單位向量指的是模為I的向量，方向未定，故B錯誤；

向最不能比較大小，故C錯誤；

相等向最具方向必相同，故D正癰；

故選:D.

【變式1-2］（23-24高二上?湖南期中）下列關于空間向量的說法中錯誤的是（）

A.零向量與任意向量平行

B.任意兩個空間向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量

【解題思路】根據個選項，可判斷選項A、B、D正確，選項C,零向量方向是無限的，但是任意向量方向

是確定的，故可作出判斷.

【解答過程】由已知，

選項A,零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；

選項B,平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該

選項正確；

選項C,在直線，上取非零向最日，把與向后2平行的非零向后稱為直線1的方向向品，該選項錯誤；

選項D,方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.

故選:C.

【變式1-3］（23-24高二上?北京,階段練習）給出下列命題：

①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；

②若空間向量G，3滿足同=|砧則&=不

③在正方體48CD/1B1GD1中，必有前=砧7；

④若空間向量蒞,b,c滿足&=B,b=c,則d=F；

⑤空間中任意兩個單位向量必相等：其中假命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】

根據空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.

【解答過程】對于①，根據空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終

點構成一個球面，故①為假命題；

對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；

對干③，根據正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結合向量的方向，所以，正;而7,故③為真

命題；

對于④，根據向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.

對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題

故選：C.

【知識點2空間向量的線性運算】

1.空間向量的線性運算

加法。+力=晶+AB=0B

空間向減法a-h=OA-OC=CA0aA

量的線

當i>0時，；.a=AOA=PQ；/八/。r

性運算//Xa(A>0)/Aa(A<0)

數乘當i<0時，2a=2后=/加：

r

OP，N

當7=0時，〃=0

交換律：a+》=b+a；

運算律結合律：a+（b+c）=（〃+5）+c,如。）=如）。；

分配律:2（。+〃）=石（+M.

【注】（1）空間向最的運算是平面向最運算的延展，空間向最的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角

形法則，而且滿足交換律、結合程，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并.

（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.

（3）空間向量加法的運算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向天尾向量的終點的向量，因此，求空間若干

向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構成?個封閉圖形，則它們的和為零向量.

【題型2空間向量的加減運算】

【例2】（23-24高二上,海南?期中）在三棱柱ABC-ABiG中，前一而+鬲=（）

A.~BC［B.C.A^CD.~AC1

【解題思路】先計算向量的減法，然后再計算加法，由此可得結果.

【解答過程】因為北-而=近,

所以正-AB+CCi=BC+CC^=跖,

故選:A.

【變式2-1］（23-24高二上?北京西城?期中）空間四邊形。48c中，OA+AB-CB=（）

A.OSB.aA

C.ABD.AC

【解題思路】根據空間向量的加減運算求解即可.

【解答過程】根據向量的加法、減法法則，得萬？+而-而=方-而=而+說=沆.

故選:A.

【變式2-2］（23-24高二上.湖北孝感.期末）如圖，在長方體中，下列運算結果化簡正確

的是（）

A.AA±-CB=AXDB.AB+AD=AtCr

C.AB+AD+AA1='BD^D.AA^+C^C=0

【解題思路】根據空間向量加減運算，結合長方體的性質逐項判斷即可.

【解答過程】對于A,彳再一方=麗＞一萬？=彳有+荷=福工不瓦錯誤;

對丁B,AB+AD=AC=正確：

對于C,而+而+磯=前+京=照+西=褊工西，錯誤；

對于D,AA^+C^C=CCi+CiC=0,錯誤.

故選:B.

【變式2-3]（23-24高二上.河南南陽.階段練習）求（五+21-+3x（扣-”衿-0-+/）為

（）

A.2a+2-b-2cB.2d+2-b-2c

C.2a--2b-2cD.2a-2-h-2c

【解題思路】根據向量的數乘運算以及加減運算的性質，求解即可得出答案.

［解答過程】原式=a+3x1a-a+25-3xi5+2S-3c+3x|c-c=2a+1b-2c.

故選：B.

【題型3空間向量的線性運算】

【例3】（23-24高二.全國.課后作業）在三棱錐4—BCD中，若ABCO為正三角形，且三為其中心，則而+

-BC--~DE-AD^T（）

22

A.ABB.2BDC.0D.2DE

【解題思路】延長DE交8C于F,得F是BC中點，DF=^DE,然后由向量的線性運算求解.

【解答過程】延長0E交BC于F,如圖，則F是8C中點，而=|屁，

AB+-BC--DE-AD=AB+~BP-'DF-AD=AB+'BF+'FD-AD='5,

22

故選:C.

【變式3-1](23-24高二上?全國?課后作業)下列各式計算正確的是()

A.a+h—(a+b)=2d

B.2(a?^b')-^c=2u+b+c

C.3(a-b)+3(a+b)=0

D.a+5-(5-3c)=a+3c

【解題思路】根據向量的線性運算求解即可判斷各選項.

【解答過程】對于A,a+d-(a+d)=0,故A不正確;

對于B,2(a4-d)+c=2a+2b4-c,故B不正確；

對于C,3(d-b)+3(d+b)=6a,故C不正確;

對干D,a+b-(b-3c)=a4-3c,故D正確.

故選：D.

【變式3-2](23?24高二上?河南,期中)如圖所示,在三棱錐P-4BC中,M,N分別是棱4B,PC的中點，則

+1而+T前+方才=()

A.~BMB.~MBC.~BAD.而

【解題思路】化簡式子,即可得出結論.

【解答過程】由題意,

在三棱錐P—ABC中，M,N分別是棱4B,PC的中點,

?1———1........?

BM=^BAfNP=^CP,

書通+通+河+*而+叩荏）+（郎+網

1—1—1—1一-1—1一1-1—

=-AC+-BA+-AP-^--CPPA=-AC+-BA+-PA+-CP

22222222

=^AC+^BA+^-CPA+CP）呈配+:就+：方J麗=麗

222172222

故選:A.

【變式3-3］（23-24高二上?貴州?階段練習）如圖，在四面體ABCD中,瓦尸分別為BC,AE的中點，G為A4CD

的重心，則所=（）

A.一渾+乎？+海

B.-IAB+2.AC+IAD

C.^AB-^AC+^AD

4123

D.-AB+—AC--Al5

3124

【解題思路】根據空間向審的線性運算，將而用而，衣,而表示即可.

【解答過程】因為E,尸分別為的中點，所以而=：荏=；（而+冠）.

因為G為△4C。的重心，所以彳5=三（萬？+而），

3

所以而=刀_而=乂無+而）_久荏+無）=_：希+2元+：而.

故選：B.

【題型4由空間向量的線性運算求參數】

【例4】(23?24高二上?福建莆田期末)如圖,平行六面體力8CD-48iGDi中，點M在8當上，點N在DD]

上，且D]N=gD",若而=x^+y15+z濟，則x+y+z=()

A.-B.-C.-D.-

6332

【解題思路】根據空間向量的運算法則確定而=-而+亞+：耐，得到答案.

6

【解答過程】MN=MB+BA+AD+~DN=一；訴-AB+AD+:而=一前+而+乙淳7，

236

故x=-1,y=1,z=-,x+y4-z=p

故選:A.

【變式4-11(23-24高二上,河北?階段練習)在四面體。力BC中，立？=a,OB=b,OC=c,OM=AWX(A>0),

N為8C的中點，若而=一三五+2族則2=()

422

A.-B.3C.-D.2

32

【解題思路】根據空間向量的線性運算即可得解.

因為麗=4拓?，N為8c的中點，所以麗=

人十1

又因為麗=3赤+3沆，

所以而=而一麗=；礪+；死一4雨=一++

22A+lA+122

又而？=-"+/+加所以一士=-1解得：a=3.

422A+14

故選：B.

【變式4-2](2024高二?全國?課后作業)設近=2沅一『+山石=沆+3『-2Ka；=-2in+J-3k,a；=

3沅+2/+5K(其中沅、A工是兩兩垂直的單位向量)，若或=啊>〃荻+〃底則實數入〃、〃的值分別

是()

A.1,-2,—3

B.-2,1,-3

C.-2,1,3

D.-1,2,3

【解題思路】根據條件可得(22+〃-2u)in+(-A+3〃+u);+(A-2〃-3v)R=3m+2j+5k,對應建立

方程求解即可.

[解答過程]a；=X(2m-j+k)+n(m+3j-2k)+v(-2m+j-3k)=3m+2j+5k,

即(24+〃-2v)m+(-C+3〃+v)j+(A-2^-3v)k=3m+2/4-5k,

24+〃-2u=3

所以—2+3〃+u=2,解得入=-2,〃=1,v=-3,

A—2fi—3v=5

故選：B.

【變式4-3](23-24高二上?山東青島?期末)已知四面體048。中，OA=d,OB=b,OC=c,OM=>

0),N為8c中點，若而=++T乙則入二()

A.3B.2C.-D.-

23

【解題思路】根據空間向量的運算法則，化簡得到而=-$0+:加+33結合題意，列出方程，即可求

1"TANZ

解.

【解答過程】根據題意，利用空間向量的運算法則，可得：MN=ON-OM=\(OB+OC)-^-OA=

乙Lt/L

因為而=—;&+鈍+2所以高=%解得44.

故選：D.

【知識點3共線向量與共面向量】

1.共線向量

(I)空間兩個向量共線的充要條件

對于空間任意兩個向量。，力(AWO),。〃力的充要條件是存在實數九使。=助.

(2)直線的方向向量

在直線/上取非零向量。，我們把與向量〃平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量m都有0//a

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；

②證明三點共線.

【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共

線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題，通常不用圖形，直

接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.

2.共面向量

(1)共面向量

如圖，如果表示向量。的有向線段殖所在的直線04與直線/平行或重合，那么稱向量”平行于直線

/.如果直線0A平行于平面%或在平面％內，那么稱向量。平行于平面a.平行于同一個平面的向量，叫做共

面向量.

(2)向量共面的充要條件

如果兩個向量G，力不共線，那么向量尸與向量。，〃共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(X,)，),

使p=K“+jb.

(3)共面向晟定理的用途:

①證明四點共面；

②證明線面平行.

【題型5向量共線的判定及應用】

【例5】（23-24高二上.福建三明.開學考試）若向量五與B不共線且歷=d+元=G—B,/=值，則（）

A.沅，n,力共線B.沆與力共線

C.元與力共線D.沆，元，力共面

【解題思路】利用空間向量共線定理和共面定理判斷.

【解答過程】因為伍+歷+（五一歷=2篦即沅+元=2/，即力訪+］,

又記與五不共線，所以而，五后共面，故D正確A錯誤；

因為沅工4戶,元工〃戶，所以訪與方不共線，元與戶不共線，故BC錯誤；

故選：D.

【變式5-1］（23-24高二?甘肅武城?課后作業）滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、。三點共線的

是（）

A.AB+~BC=ACB.AB-~BC=AC

C.AB=BCD.\AB\=\BC\

【解題思路】由題意逐一考查所給的說法是否正確即可.

【解答過程】對于空間中的任意向量，都有荏+近=而，說法A錯誤；

若而-玩=前,則照+近=而，而赤+而=而，據此可知玩=而，即8,C兩點重合，選項8錯誤;

AB=BC,則4、8、C三點共線，選項C正確；

|祠二|近貝IJ線段48的長度與線段BC的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項。錯誤；

故選：C.

【變式5-2］（23-24高二上?湖北省直轄縣級單位?期中）若空間四點。ABP滿足而=［瓦？+［而，則（）

A.P€直線"

B.P￡直線AB

C.點P可能在直線力8上，也可能不在直線48上

D.尸6直線48,且4P=PB

【解題思路】根據四點共面、三點共線的知識求得正確答案.

【解答過程】由于而=：而+［而，所以0,48,P四點共面,

由于;+：=L所以4P,B三點共線，

根據平行四邊形法則可知：P是線段靠近A的三等分點（如下圖所示）.

所以A選項正確，BCD選項錯誤.

故選：A.

【變式5?3】（23-24高二上.貴州?開學考試）如圖，在三棱柱ABC-4181cl中，P為空間一點，且滿足/=

入玩+〃西，A^G[O,1],則下列說法錯誤的是（）

A.當4=0時，點P在楂上

B.當2=〃時，點P在線段為。上

C.當〃=1時，點P在棱&G上

D.當入+〃=1時，點P在線段B】C上

（解題思路】由空間向量共線定理逐一判斷即可.

【解答過程】對于A,當a=0時，麗=〃西，[0,1],

所以前〃兩，則點P在棱Ra上，故A正確；

對干B,當入=〃時，而=A?+西）,AG[0,1],

即即=2跖，即麗//何

所以點P在線段3cl上，故B錯誤；

對于C,當〃=1時，而=入前+西,A6[0,1],

所以入近=前一兩，所以瓦萬=4麗=4甌'，即帝〃甌

所以點P在棱&G上，故C正確；

對于D,當入+〃=1時，

所以前=ABC+（1-入）西，入€[0,1],

所以而-西=ABC-4西，

即用=4瓦已即瓦7〃瓦乙

所以點P在線段/C上，故D正確.

故選：B.

【題型6由空間向量共線求參數或值】

【例6】（2024.貴州六盤水.模擬預測）已知耳，或，可不共面，若麗=可+孩+/，前=譽+碣+際,

旦4B,C三點共線，則；（+//=（）

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】根據向量共線設而=%近，從而得到方程組，求出『=；,得到答案.

【解答過程】因為三點共線，所以前=“近，

（x=l

即可+五+瓦=%可+xAe^+即可，故卜/=1,解喊：:*

（印=1

所以a+/z=i+i=2.

故選：c.

【變式6-1]（23-24高二上?河南周口?階段練習）已知&=3沉一2區一4/H6,5=（x+l）m+8n+2yp,

且記，n,方不共面，若G〃丸貝心，y的值分別為（）

A.-13,8B.-13,5C.7,5D.7,8

【解題思路】利用共線向量定理解決即可.

【解答過程】因為到萬且五工6,則存在實數3使得3=4,即（x+1）沅+8元+2方=t（3沅-2記一4歷，

x+1=3t

又因為沅，n,戶不共面，則8=-2t,

2y=-4t

故選:A.

【變式6-2]（23-24高二下.福建龍巖.期中）設向量可，瓦,瓦不共面，已知而=可+或+耳，前=否+

入可+可，而=4可+8孩+4瓦，若A,C,。三點共線，則;1=（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據A,C,。三點共線，可得正〃而，則存在唯一實數小使得前=〃而，再根據空間向

量共線定理即可得解.

【解答過程】由通=可+與+可，說二可+/1祕+行，

得元=AB+BC=2^+（1+浦?+2瓦,

因為4,C,。三點共線，所以麻〃而，

則存在唯一實數〃，使得元=〃而，

（2=4〃_1

則1+入=8〃，解得?〃=>

（2=4〃匕=3

故選:C.

【變式6-3］（23-24高二上?河北邯鄲?期末）已知無夕萬是不共面的空間向量，若行=3￡—2歹一42與。=（巾+

1）A+8y+nz（m,n是實數）是平行向量，則m+n的值為（）

A.16B.-13C.3D.-3

【解題思路】根據川1年,結合@=列出方程組,求解即可.

【解答過程】因為無夕笈是不共面的空間向量且萬II札

（m+1=3A

故彳=入/，則8=—2A?

n=-4A

解得m=-13,〃=16,所以m+n=3.

故選:C.

【題型7向量共面的判定及應用】

【例7】（2024高二.全國.專題練習）己知非零向量引孩不共線，如果麗=瓦+可，近=2百+8孩，而=

3石t-3芍，那么下列結論正確的是（）

A.A,B,C,。四點共線

B.A,B,C,。四點共面

C.A,B,C,Z）四點不共面

D.無法確定

【解題思路】根據向量共面和共線的結論判斷即可.

【解答過程】由:旅+：而=：（2/+8筱）+：（3百-3項=可+冕=而，

則而，AC,而共面.從而A,B,C,。四點共面.

故選:B.

【變式7?1】（2024高二上?全國?專題練習）對于空間一點0和不共線三點4B,C,且有2。戶=-3才++

2OC,則（）

A.四點共面B.B—B,C四點共面

C.0,P,8,C四點共面D.O,P,A,B,C五點共面

【解題思路】根據題意，化簡得到前=2無+而，得到而，前，玩共面，進而得到P,48,C四點共面，即

可求解.

【解答過程】由2而=一雨+而+2靈，可得而一面=2（而一而）+而一次，

即麗=2而+而，根據平面向量的基本定理，可得而，麗，正共面，

又因為三個向量有公共點P,所以P,48,。四點共面.

故選:B.

【變式7-21（23-24高二上?江西九江?期末）對于空間任一點。和不共線的三點4B,C,有b=xOA+yOB+

zOC,則％+y+z=l是P,A,B,C四點共面的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】根據共面向量定理判斷點P滿足而=+y而+z沆，且x+y+z=l,向量而，AB,AC

共面，得到P,A,B,C四點共面，可以是充分條件；再通過舉出反例得出反而不成立，即可得出答案.

【解答過程】解：若x+y+z=l,則而=（l-y—z）畫+y而+z沆，即而=y四+z友，

由共面定理可知向量而，而，而共面，所以P,A,B,C四點共面；

反之，若P,A,B.C四點共面，當。與四個點中的一個（比如4點）重合時，

（M=0,取任意值，不一定有x+y+z=l,

所以x+y+z=l是P,A,B,C四點共面的充分不必要條件.

故選:B.

【變式7-3］（23-24高二下?江蘇宿遷?階段練習）已知向量心可不共線，而=可+的元=2百+8心

而=3瓦-5可，貝IJ（）

A.而與市?共線B.而與訪共線

C.A,B,C,。四點不共面D.力，B,C,。四點共面

【解題思路】根據平面向最共線定理及推論依次判斷各個選項即可.

【解答過程】對于A,??4H.?.不存在實數九使得通=2正成立，.?.荏與北不共線，A錯誤；

對于B,???彳工=2百+8瓦，而=3瓦-5瓦，.?.前=同一版=匹一13瓦，

又工裝二_,.,.不存在實數人使得通=4而成立，.?.裾與而不共線，B錯誤；

1-13

對于C、D,若A,B,C,。四點共面，

則有而=xAB+yAC=（x+2y）可+（%+8y）eJ=3可—5瓦,

???廣2『=3即（"三，故而=?而-泳,

（r+8y=-5y=--33

\3

故4B,C,。四點共面，C錯誤，D正確.

故選：D.

【題型8由空間向量共面求參數】

【例8】（23-24高二上?河北?期中）已知4,8,是平面。內不共線的四點，點。為平面a外一點，若麗=：而+

-OC+-OD,則％=（）

36

A.-B.iC.1D.3

63

【解題思路】根據四點共面的性質求解即可.

【解答過程】因為A,8,C,。四點共面，且耐=；而+；說+3而，

236

所必+；+合1,解得x=l.

2