2026年高考數(shù)學(xué)一輪培優(yōu)練習(xí)（新高考）集合（新高考）學(xué)生版+解析

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.1集合

【考情分析?探規(guī)律】

考點(diǎn)三年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1集合間

的基本關(guān)系2023?全國(guó)新II卷、2020全國(guó)新I卷

(4年2考)

2024?全國(guó)新【卷、2024年全國(guó)甲卷、2023?北京卷、

2023全國(guó)新［卷、2022?全國(guó)新H卷、2022年全國(guó)一般給兩個(gè)集合，要求通

考點(diǎn)2交集

乙卷、2022年全國(guó)甲卷、2022全國(guó)新I卷、2021年過解不等式求出集合，然

(4年10考)

全國(guó)乙卷、2C21年全國(guó)甲卷、2021年全國(guó)甲卷、2021后通過集合的運(yùn)算得出答

仝國(guó)新I卷案。

考點(diǎn)3并集2024?北京卷、2022?浙江卷、2021?北京卷、2020-ill

(4年4考)東卷

2024年全國(guó)甲卷、2023年全國(guó)乙卷、2023年全國(guó)乙

考點(diǎn)4補(bǔ)集

卷、2022?全國(guó)乙卷、2022?北京卷、2021全國(guó)新1【

(4年8考)

卷、2020全國(guó)新I卷

【知識(shí)梳理】

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是—或不屬亍,表示符號(hào)分別為￡和住.

(3)集合的三種表示方法：、、圖示法.

(4)常用數(shù)集及記法

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法

—1———

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合8中的—，就稱集合A為集合8

的子矣.記作人金伙或Bm4).

(2)真子集：如果集合4GB,但元素且K4,就稱集合A是集合8的,記作AB(或BA).

(3)相等：若AG8,且%A，則4=B.

(4)空集的性質(zhì)；。是任何集合的子集，是任何集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合A

符號(hào)表示A\JBAQB

的補(bǔ)集為CM

◎)

圖形表示

XUBACB;?

集合表示[x\x^A,或x￡B}x%￡AxEB{巾￡U,且依A}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(\)AC\A=A,AC\0=0,AC\13=BC\A.

(2“A=A,AU0=A,AUB=8U4.

(3)ACI(CM)=0,AU(CuA)=U,C"Ct/A)=A.

;點(diǎn)撥】;

jL若有限集4中有〃個(gè)元素，則4的子集有2”個(gè)，真子集有2〃一1個(gè)，非空子集有2"—1個(gè)，非空真子集有2”;

I-2個(gè).|

I2.AQB^\AB=A^\UuA^QuB.I

3.CtAAC\B)=(CM)U(CuB),C「3U8)=(CM)A(CuB).

【隨堂訓(xùn)練】

i.判斷卜列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“/或“X”)

(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.()

(2){"=f+1}={3b=1+1}={(x,),)>=/+1}.()

⑶若1￡H，幻，則x=-l或1.()

(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A,3,(An8)G(AU8)恒成立.()

2.(2025?榆林模擬)設(shè)集合A={-2,-1,0,1,2},3={成什1)(*3巨0},則2n(CRB)等于()

A.{2-1,0}B.{-1,-2}

C.{0,1,2}D.{1,2}

3.已知集合A={-1,0,1},B={x\-\<y<\},則()

A.A=BB.AC8=0

C.BQAD.A

4.已知集合M;{?巾1W3},N={x\x>a,〃￡R},若MCN二M,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

點(diǎn)撥】

;1.掌握有限集于集個(gè)數(shù)的結(jié)論

I

若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有(2〃-1)個(gè)，非空子集有(2"-1)個(gè)，非空真子集有(2”-2)個(gè).

2.靈活應(yīng)用兩個(gè)常用性質(zhì)

!(l)CtXAnB)=(C(4)U(Ct/B).

I

(2)C(XAUB)=(C(AA)A(CUB).

3.牢記兩個(gè)注意點(diǎn)

⑴在應(yīng)用條件3M時(shí)要樹立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合元素的特性，特別是互異性對(duì)集合元素的限制.

I

【必練核心題型】

題型一集合的含義與表示

例1.(多選)下列各組中M，。表示不同集合的是()

A.M={3,-I},P={(3,-1))

B./W=((3,I)},P={(1,3)}

C.M=(>f|3,=x2+1,x￡R},P={x\x=t2+1,z￡R}

D^fyl^x2-1,x￡R},P={(x,訓(xùn)尸/-1,x€R}

例2.已知集合。+3,〃+2},且6￡例，則。的值為.

【變式訓(xùn)練】

變式1.(2025?遵義模擬)已知集合人={0,I,2},B={1,2,3},若集合C={孫yWB),則C的元素之和

為()

A.9B.I2C.16D.18

變式2.已知〃iWR,〃￡R,若集合;m,—,ll={/n2,m+n,0},則用2025+/025的值為()

im)

A「2B.-lC.lD.2

題型二集合間的基本關(guān)系

例1.(2025?青島模擬)已知全集U=R,集合A,4滿足AG(AnB),則下列關(guān)系一定正確的是()

A..A=BB.BQA

C.An(CM)=。D.(CM)n8=0

例2.（2025?揚(yáng)州模擬）已知集合A={x\x2-3x<10},B={x\m+l<x<2m-1}.若AU8=4,則實(shí)數(shù)m的取值

范圍為（）

A.[3,+00）B.[2,3]

C.(-oo,31D.[2,+oo)

【變式訓(xùn)練】

變式1.(多選)已知/為全集，若貝lj()

A.AGBB.BQA

C.C腕CiBD.c催c洪

變式2.(2025?洛陽模擬)已知全集為R,集合2={x|2?v6},8={加48。+4},且ACC出則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

題型三集合的基本運(yùn)算

命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算

例1.(2024.新課標(biāo)全國(guó)I)已知集合4={45<?<5),B={-3,-1,0,2,3(,則AC5等于()

A.{-b0}B.{2,3}

C.{-3.-1,0}0,2}

例2.(2023?全國(guó)甲卷)設(shè)全集U=Z,集合M={小=3"1,keZ},N={x\.x=3k+2,kGZ),則Cu(MUN)等于()

A.{xb=3k,&￡Z)

B.{xh=3kl,kQZ\

C.{x\x=3k-2,kGZ}

D.0

命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)

例1.(2024.佛山模擬)已知集合4={川34%V7),8={小>〃“，若(CR4)UB=R,則〃?的取值范圍是()

A.(-oo,3)B.(3,+oo)

C.(-oo,7)D.(7,+oo)

【變式訓(xùn)練】

變式1.(多選)已知集合A={小2_3戶2&0},B={X|1<￥<3),則下列判斷正確的是()

A.AUB=B

B.(CR8)U4=R

C.AnS={x|l<r<2}

D.(CR5)U(CRA)={XU<1或X>2}

變式2.設(shè)集合4={小<2或史4},B={x\a<x<a+\],若(C超。斤明則。的取值范圍是()

A.?<1或a>4B.avi或a>4

C.67<1D.67>4

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.1集合

【考情分析?探規(guī)律】

考點(diǎn)三年考情(2020?2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1集合問

的基本關(guān)系2023?全國(guó)新II卷、2020全國(guó)新I卷

2024?全國(guó)新I卷、2024年全國(guó)甲卷、2023?北京卷、

2023全國(guó)新I卷、2022?全國(guó)新II卷、2022年全國(guó)一般給兩個(gè)集合，要求通

考點(diǎn)2交集

乙卷、2022年全國(guó)甲卷、2022全國(guó)新I卷、2021年過解不等式求出集合，然

全國(guó)乙卷、2C21年全國(guó)甲卷、2021年全國(guó)甲卷、2021后通過集合的運(yùn)算得出答

全國(guó)新I卷案。

考點(diǎn)3并集2024?北京卷、2022?浙江卷、2021?北京卷、2020?山

東卷

2024年全國(guó)甲卷、2023年全國(guó)乙卷、2023年全國(guó)乙

考點(diǎn)4補(bǔ)集

卷、2022?全國(guó)乙卷、2022?北京卷、2021全國(guó)新II

卷、2020全國(guó)新I卷

【知識(shí)梳理】

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是國(guó)王或不屬于，表示符號(hào)分別為￡和電

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常用數(shù)集及記法

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN/或N.ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，就稱集合A為集合8

的子笑.記作A至伙或B34).

(2)真子集：如果集合AGB,但存在元素且KA,就稱集合A是集合B的真子集,記作4B(或BA).

(3)相等：若AG3,且%4，則從=3.

(4)空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合A

符號(hào)表示AUBAQB

的補(bǔ)集為CM

圖形表示

XUBACB;?

集合表示[x[x^A,或例IMr￡八，」1"￡冏[X|AVU,且.梃A)

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ACIA=A,AD0=0,AC\B=Br\A.

(2“A=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)AC1(CM)=0,AU(QbA)=U,Cc(CuA)=A.

I點(diǎn)撥】

!1.若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2”個(gè)，真子集有2”一1個(gè)，非空子集有2"—1個(gè)，非空真子集有2〃

I-2個(gè).

2.4G8TnB=A=AUB=B穴M^CuB.

|3.CMAn8)=(CM)U(CM),Cb<AUB)=(CLA)Cl(CuB).

?

【隨堂訓(xùn)練】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“/或“X”)

(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.()

(2)*p=f+1}={,觸=/+1}={(羽),),=/+1}.()

⑶若1￡{.落幻，則4=-1或1.()

(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A,8,(ACI8)G(AU8)恒成立.()

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)7

【解析】(1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集.

(2)錯(cuò)誤.{My=f+1}=R,小小=m+1)=11,+oo),{(X,y)|y=f+l}是拋物線

y=f+l上的點(diǎn)集.

(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x=l時(shí)，不滿足集合中元素的互異性.

2.(2025?榆林模擬)設(shè)集合4={-2,-1,0,1,2},氏{H。+1)(43)刈，則ACI(CRB)等于()

A.{-2：-1,0}B.{-1,-2}

C.[0,1,2}D.{1,2}

【答案】C

【解析】因?yàn)镃RB={X\(X+1)(x-3)<0}={x|-1<A<3},

所以ACXCRB尸｛0,1,2).

3.已知集合A二｛“,0,1),3=3?U｝,則()

A.A=BB.AOB=0

C.BQAD.A室B

【答案】D

【解析】因?yàn)榧螦={-1,0.1},B={x\-\<x<\}f所以A中元素都屬于8,且AW8,所以A是B的真子集.

4.已知集合小{4仆<3},2{小小〃￡R},若MCN=M,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(@,?1]

【解析】因?yàn)镸CIN=M,所以MGN,所以山-1.

:點(diǎn)撥】.

1.掌握有限集子集個(gè)數(shù)的結(jié)論

若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有(2〃-1)個(gè)，非空子集有(2〃-1)個(gè)，非空真子集有(2”-2)個(gè).

：2.靈活應(yīng)用兩個(gè)常用性質(zhì)

II

；⑴CtX4n8)=(c附u(c網(wǎng).

(2)Co(AUB)=(CM)n(Ci/5).

3.牢記兩個(gè)注意點(diǎn)

]⑴在應(yīng)用條件AU3=8』n8=A016時(shí)要樹立分類討論的思想，將集合人是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.!

I(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合元素的特性，特別是互異性對(duì)集合元素的限制.|

【必練核心題型】

題型一集合的含義與表示

例1.(多選)下列各組中M，P表示不同集合的是()

A.M={3,-1},P={(3,-1)}

B.M={(3,1)),P={(1,3)}

C.Mgygf+l,x￡R},P={x|x=/2+l,/^R)

口.股=3)，4-1,xWR},P={(x,y^x2-1,xGR}

【答案】ABD

【解析】選項(xiàng)A中.例二口，-1}是數(shù)集，。={(九-I))是點(diǎn)集,二者不是同一集合，故MJP：

選項(xiàng)B中，(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn)，故A#P；

選項(xiàng)C中，M={了|產(chǎn)『+1,x^R}=[l,+oo),P={x\x=t2+\,reR}=[i,+oo),故M=P；

選項(xiàng)D中，M是二次函數(shù)產(chǎn)f-1,x三R的所有y組成的集合，而集合P是二次函數(shù)x￡R圖象.匕所有點(diǎn)

組成的集合，故MWP.

例2.已知集合M={1,"3,后+2},且6GM,則。的值為.

【答案】2或3

【解析】由M={1,a+3,/+2},且6WM,

得a+3-6或a'+2=6,

解得〃=3或a=±2,

當(dāng)。=3時(shí),M={\,6,11),符合題意；

當(dāng)。=2時(shí)，M={1,5,6},符合題意；

當(dāng)時(shí)，M={1,1,6),不符合元素的互異性，舍去.

所以“的值為2或3.

「薜詬旗百氯石版面森商j

|(1)確定集合中的代表元索.

I

I(2)確定元素的限制條件.

(3)理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時(shí)，一定要返回代入驗(yàn)證，防止與集合中元素的互異性相

矛盾.

■■■■H■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■W■■■W■■■■■■H■■■■■■■■W■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■m■■■■■■■■■■■■■W■■-W■■'

【變式訓(xùn)練】

變式1.(2025?遵義模擬)已知集合A:{(),1,2},3={1,2,3},若集合。二")也￡人，)心陰，則C的元素之和

為()

A.9B.I2C.16D.18

【答案】C

【解析】因?yàn)?xl=0x2=0x3=0,1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,2x2=4,2x3=6,

所以復(fù)合C=(。，1,2,3,4,6},集合C的元素之和為0+1+2+3+4+6=16.

變式2.己知m￡R,〃￡R,若集合{m,lj={w2,m+n,0},貝ij/。25+/025的值為()

A.-2B.-lC.lD.2

【答案】D

【解析】因?yàn)閧TH,，lj={//z2?m+n,。},〃?卻，

r=o,

m

所以，m=m+nt

,m2=1,

解得尸d或F二°'

當(dāng)陽=1時(shí)，不滿足集合元素的互異性，

故m=-l,n=0,m2025+/?025=(-1)2O25+O2025=-1.

題型二集合間的基本關(guān)系

例1.(2025?青島模擬)已知全集U=R,集合A,8滿足AG(AnB),則下列關(guān)系一定正確的是()

A.A二BB.BQA

C.An(C向=。D.(CuA)n*

【答案】c

【解析】因?yàn)榧螦,8滿足AG(An8),故可得AGB,

對(duì)A,當(dāng)A為6的真子集時(shí)，不成立；

對(duì)B,當(dāng)A為B的真子集時(shí)，也不成立；

對(duì)CAA(C08)=d恒成立;

對(duì)D,當(dāng)A為8的真子集時(shí)，不成立.

例2.(2025揚(yáng)州模擬)已知集合A={1|%2-3x<10},B={x\m+l<x<2m-1}.若AUB=A,則實(shí)數(shù)m的取值

范圍為()

A.[3,+8)B.[2,3]

C.(-oo,3]D.[2,+g)

【答案】C

【解析】由題意,集合A={x|F-3x-10WO}={M-2qw5},

?MCA.

①若B=0,PIOm+1>2w-1,即w<2；

m+1<2m—1,

-2<m+l,解得29脛3.

(2m-1<5,

綜上所述，〃區(qū)3.

蔗

(i)空集是任何集合的子集，在涉及莫合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.

(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的

關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

*菽旃7

變式1.(多選)已知/為全集，若貝1]()

A.AGBB.BcA

C.ClAQctBD.ctBQciA

【答案】BC

【解析】因?yàn)锳U3=A,所以8GA,所以C/AGC山.

變式2.(2025?洛陽模擬)已知全集為R,集合2={x|2<x<6},{川“-44&,+4),且AGCRB,則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是-

【答案】{禰W-2或破10}

【解析】由題可知8#，

CR8={X|XVG-4或%>“+4},

因?yàn)锳GCRB,所以6&M或2〃+4,

解得破1()或g-2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{。|，￡-2或定10}.

題型三集合的基本運(yùn)算

命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算

例1.(2024.新課標(biāo)全國(guó)I)已知集合4={文卜5<必<5),8={-3,-1,0,2,3),則"18等于()

A.{-b0)B.{2,3}

C.{-3.-1,0}0,2}

【答案】A

【解析】因?yàn)锳={.H-V5U<V5},

B={-3,-I,0,2,3},

且lv遍<2,-2<-V5<-l,

所以ACIB={-1,0}.

例2.(2023?全國(guó)甲卷)設(shè)