人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè) 直線與平面垂直【原卷+答案】

第八章8.6.2直線與平面垂直

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1.在正方體A8CQ-A7TC。中,O為底面的中心,P為棱A/T的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正

確的是（）

KA'C'LOPB.ABLOP

C.AB^OPD.B'C.LOP

2.已知直線〃_L平面火直線Z?〃平面a,則a與b的關(guān)系為（）

A.a//b

B.Q_L〃

C.a力相交不垂直

Da力異面不垂直

3.若空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩條對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是（）

A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交

D.不垂直也不相交

4.△ABC所在的平面為見直線/_L",/_LAC,直線〃2_L6C,"?_LAC,則直線l,m的位置關(guān)系

是（）

A.相交

B.異面

C.平行

D.不確定

5.在四棱錐P-ABCD中，底面A3co是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA_L平面A5CZ）,且巳4=逐,則

PC與平面ABC。所成角的大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

6.（多選題）已知好是兩條不重合的直線,a/是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若4_1_1,4_1_或,則a//P

B.若a_La,b_La,則a//b

C.若aJ_a,a〃或，則a//p

D.若a//f^a與a所成的角和b與夕所成的角相等，則a//b

7.點(diǎn)A,B到平面a的距離分別為4cm和6cm,則線段AB的中點(diǎn)M到平面a的距離

為.

8.在長(zhǎng)方體ABCD-A\B\C\D\中工8=/方。=44二1,求BD\與平面所成的角的

大小.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

9.如果直線a與平面a不垂直，那么在平面a內(nèi)與直線a垂直的直線（）

A.只有一條B.有無(wú)數(shù)條

C.是平面a內(nèi)的所有直線D.不存在

10.3C是的斜邊，過(guò)點(diǎn)A作ZkABC所在平面a的垂線AP;連接PB,PC,過(guò)點(diǎn)P作

PD工CB于點(diǎn)Q,連接AD,則圖中直角三角形有個(gè).

11.如圖，在三棱柱ABCW8C中，底面ABC是正三角形AA」底面ABC,且1工4=2,

求直線與平面ABB7r所成角的正弦值.

12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA_L平面ABCDAP=AB=2.BC=2\/2.E

是A力的中點(diǎn).證明:PULBE.

13.如圖，在棱K均為1的直三棱柱/WC-A向。中Q是6c的中點(diǎn).

(1)求證:AO_L平面BCC\B\\

(2)求直線ACi與平面BCCiBi所成角的正弦值.

14.如圖，在直三棱柱ABC-MB\C\中/C_LBC,E為4G的中點(diǎn),CELAG.

(1)證明:CEJ_平面ABiG;

⑵若GE=V5,A4I=V5,AB=2BC,求點(diǎn)E到平面ABC的距離.

答案：

1.C解析連接A'C,易得。尸〃AC

在平面AACC中,A'C與4C不垂直，故4。與。P不垂直，故A錯(cuò)誤;同理,D錯(cuò)誤；

在正方體ABCQ-ABC'Q'中,BCJ_平面AA'B'RA'Bu平面A454所以BCLA'B,

若A8_1_OP,則A'B±AC,這與BCJ_A6矛盾，所以A歸與OP不垂直，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?C_L平面445'氏4'8(=平面A453,所以BCLAB\51A'B1AB\BCDA'B=B^

8cABu平面45。。',可得八9_1平面ABCD；又ACu平面46。力；所以48'_14。故

AB'_LOP,C正確.

故選C.

2.B解析由/?〃a,過(guò)b作平面￡,使aD夕=c,則/?〃c,且cua

丁a_L，。_Lc.，a_LA.

3.C解析取8。的中點(diǎn)0,連接AO,CO,則BDLAO.BDA.CO,

故6OJ_平面AOC^DLAC.

又因?yàn)锽DAC異面.故選C.

4.C解析因?yàn)?_LAB,/_L4C且A3nAC=A,所以/_L平面ABC.

同理可證內(nèi)，平面A8C,所以/〃丸故選C.

5.C解析如圖所示，連接AC.

,?尸A_L平面ABCD,???NPC4就是PC與平面ABCD所成的角.

■:AC二五,PAS,

.\tanZPCA=^=g=V3.

：.ZPCA=60°.

6.AB解析對(duì)于選項(xiàng)A,若4_La,aJ_A由線面垂直的性質(zhì)及面面平行的定義可得。〃人

故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,若a_La力_La,由線面垂直的性質(zhì)定理可得〃〃從故B正確;對(duì)于選

項(xiàng)C,若Q_LZ?/_La,a〃4則a與夕可能平行，也可能相交，故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,記圓錐

S。的底面所在平面為a,與該圓錐底面平行的截面所在平面為⑶即a〃小記圓錐SO的

其中兩條母線所在直線為〃力,顯然。與a所成的角和〃與夕所成的角相等，而。與〃相

交，故D錯(cuò)誤.故選AB.

7.1cm或5cm解析當(dāng)A3在平面a同側(cè)時(shí)，由梯形中位線性質(zhì)可得點(diǎn)M到平面〃的

距離為5cm;當(dāng)43在平面a異側(cè)時(shí)，由相似三角形列比例式可得距離為1cm.

8.解如圖所示，連接BD1,則B\D\是BD\在千面A\B\C\D\上的射影，

則NBDiBi是與平面AiBiCiDi所成的角.

在RSDB中,tanNg正懸=力梟"。出=3。。.

9.B

10.8解析TBC是RQABC的斜邊，

???A8J_AC，由AP_L平面ABC,得AP_LAB工尸J_AQ,AP_L4C,

即△0A氏△PAO,△PAC為直角三角形.

PDLCB,???APDBMDC為直角三角形.

PD1BC)

由PA1BC1=〃C"L平面PAD,得BCLAD,

PDr\PA=P)

即aAO&AAOC為直角三角形.

綜上，圖中直角三角形有8個(gè).

11.解如圖所示，取AB的中點(diǎn)Z),連接C'D,BD.

???底面△A'8'C是正三角形，

.'.CDLA'B1.

???AA'_L底面ABC./.A'ALC'D.

又44n46'=A',

???。'。_1_側(cè)面A88'/V,CD_LBO,故NCBO是直線8c與平面ABB'A'所成缸

二,等邊三角形A5C'的邊長(zhǎng)為\,：.C'D=^

在RsBB'C'中,BC'=JB，B2+BC'?=V5,

故直線8C'與平面488'A'所成角的正弦值為,=譽(yù).

12.證明如圖所示，取PC的中點(diǎn)尸，連接PE,EC,EF,BF,

在RtZkPAE,。RtACDE中.P4=AB=CQ,AE=DE,

所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.

又因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，所以EF上PC,BFLPC.

又因?yàn)锽P=yjAP2+AB2=2gBC,

且BFCEF=F，所以PCJ_平面BEF.

因?yàn)锽Eu平面BEF,所以PCLBE.

13.(1)證明在直三棱柱ABC-AIBIG中,33」平面ABC,

VAB=AGD是BC的中點(diǎn),???AO_L8C.

又8Cn88i=8,???AO_L平面BCCIBT.

⑵解如圖所示，連接C\D.

由(1)知AO_L平面BCCiBi,

：.ADLCiD.

則NAG。即為直線AG與平面BCG用所成角.

在RtAACiD中=或,sinNAGO二絲=—,

24cl4

即直線AG與平面BCC\B\所成角的正弦值為名.

4

14.(1)證明???CC_L平面ABiCi,BCiu平面AiBiCi,

CCi_LBICI.

在三棱柱4BC-4BC1中工iCi〃AC,BiG〃BC/C_LBC^UA\C\LB\C\.

又4Gu平面AACCCGu平面/14心(74。￡。。=。1,???891.平面AA\C\C.

又CEu平面AA\C\CS-B\C\LCE.

又CEJ_AG<Gu平面ABC,囪Ciu平面A8iCi,8iCn4Ci=Ci,???C￡：_L平面AB\C\.

(2)解連接AE/iE,圖略.

???C1E=V5,E為4G的中點(diǎn),???A1C1=2VW.

又A4I=V6,/.SA4CE=1X2V3X迷=3夜.

V1=V6,A^=2BC,ZACB=90°4c=2g,

,.AB=^,B\C\=BC=2,VB1.ACE=|SAACE-BICI=1X3V2X2=2V2.

???A3=J“+4玲=V22,^iC=y