《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 第1章 矩陣與線性方程組

1.1矩陣的概念與運(yùn)算第1章矩陣與線性方程組√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地

ABCDBAC√√1.矩陣概念的引入引例1某航空公司在A、B、C、D四城市之間開辟了若干航線，如圖所示表示了四城市間的航班圖，如果從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B.

解：四城市間的航班圖情況常用表格來表示:為了便于計(jì)算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表:1.矩陣概念的引入(續(xù))這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.ABCD

ABCD√√√√√√√1.矩陣概念的引入(續(xù))

引例2

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．

這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：

其中bi1

表示第i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第i種貨物的單件重量．

1.矩陣概念的引入(續(xù))引例3由m個(gè)方程n個(gè)未知量x1,x2,…,xn構(gòu)成的線性（即：一次）方程組可以表示為其中，第i個(gè)方程的第j個(gè)未知數(shù)的系數(shù)第i個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng).對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究！2.矩陣的定義定義1.1由

個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣.簡(jiǎn)稱矩陣，記作.2.矩陣的定義(續(xù))這個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元.以上矩陣可以記為:.元素全為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，有元素為復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣．.

(1)行矩陣：只有一行的矩陣稱為行矩陣(行向量).

(2)列矩陣：只有一列的矩陣稱為列矩陣(列向量)...3.幾種特殊的矩陣主對(duì)角線副對(duì)角線例如：矩陣稱為n階矩陣或者n階方陣，記作或者.

(3)方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣.3.幾種特殊的矩陣(續(xù))

(4)三角形矩陣主對(duì)角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角形矩陣.主對(duì)角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角形矩陣.3.幾種特殊的矩陣(續(xù))不全為0又記作

(5)對(duì)角矩陣：主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣.3.幾種特殊的矩陣(續(xù))3.幾種特殊的矩陣(續(xù))稱為n階單位矩陣（或n階單位陣）．全為1

(6)單位矩陣：主對(duì)角線上元素全為1、其它元素全為零的方陣.注：每一個(gè)n對(duì)應(yīng)一個(gè)單位矩陣．不同階的單位陣是不同的.

(7)零矩陣：所有元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作

或．3.幾種特殊的矩陣(續(xù))例如：4.同型矩陣與矩陣相等的概念

(1)兩個(gè)矩陣的行數(shù)對(duì)應(yīng)相等、列數(shù)對(duì)應(yīng)相等時(shí)，稱它們?yōu)橥途仃?為同型矩陣.

(2)若兩個(gè)矩陣為同型矩陣，并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等，即則稱矩陣相等，記作注:每一個(gè)型號(hào)都有一個(gè)零矩陣．不同型號(hào)的零矩陣是不同的.4.同型矩陣與矩陣相等的概念(續(xù))定義1.3

設(shè)有兩個(gè)m×n

矩陣A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為注：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.5.

矩陣的加法減法:負(fù)矩陣：矩陣加法的運(yùn)算律:稱為矩陣A的負(fù)矩陣.(1)交換律：(2)結(jié)合律：(3)(4)5.

矩陣的加法(續(xù))

例如：5.

矩陣的加法(續(xù))例如：

數(shù)乘矩陣定義1.4

數(shù)與矩陣的乘積記為或，規(guī)定為:6.矩陣的數(shù)乘6.

矩陣的數(shù)乘(續(xù))數(shù)乘矩陣的運(yùn)算律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算：（設(shè)為m×n矩陣，為數(shù)）：（1）（2）（3）并把此乘積記作.

定義1.5

設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中

例如：7.矩陣與矩陣相乘7.矩陣與矩陣相乘(續(xù))

一個(gè)1×s的行矩陣與一個(gè)s×1的列矩陣的乘積等于一個(gè)1階方陣，即為一個(gè)數(shù).

一個(gè)s×1的列矩陣與一個(gè)1×s的行矩陣的乘積是一個(gè)s階方陣.7.矩陣與矩陣相乘(續(xù))例如：不存在.存在，為2×3矩陣.注：只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)，兩個(gè)矩陣才能相乘.7.矩陣與矩陣相乘(續(xù))顯然有例如:則有注：7.矩陣與矩陣相乘(續(xù))矩陣乘法不滿足交換律：并且有，但．同時(shí)說明：8.例1例1

設(shè)，求AB和BA.

AB不一定等于BA.矩陣乘法不一定滿足交換律...9.

線性方程組的矩陣表示系數(shù)矩陣

未知數(shù)向量常數(shù)項(xiàng)向量

m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組中，有以下幾個(gè)矩陣增廣矩陣線性方程組可以用矩陣乘法表示為：利用矩陣乘法，有

9.線性方程組的矩陣表示(續(xù))10.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)乘法對(duì)加法的分配律

(5)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即注：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣

lE

與任何同階方陣都是可

交換的.數(shù)量陣不同于對(duì)角陣(4)對(duì)于2個(gè)n階方陣A與B,

若AB=BA,則稱方陣A與B是可交換的.11.方陣的冪

定義1.6

若A是n階方陣，則稱為A的k

次冪，定義為由以上定義可知，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，注：思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立12.矩陣的轉(zhuǎn)置

定義1.7

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做

的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例如:13.

轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)矩陣轉(zhuǎn)置滿足的運(yùn)算律：

(1)

(2)

(3)

(4)14.

例2例2

已知解法114.

例2(續(xù))例2

已知解法215.

對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣定義1.8設(shè)A為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱矩陣.

例如：注：對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.

如果，則稱A是反對(duì)稱矩陣.對(duì)稱陣

反對(duì)稱陣

aii=016.

對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(1)若A,B都是n階對(duì)稱矩陣，則A±B

及kA也是對(duì)稱矩陣(k為實(shí)數(shù))，但

AB不一定是對(duì)稱矩陣;(2)若A，B都是n階對(duì)稱矩陣，則AB仍為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換.例如是對(duì)稱矩陣，但不是對(duì)稱矩陣;

證明：因?yàn)槔?：設(shè)列矩陣滿足，E為n階單位陣，.

證明H是對(duì)稱矩陣，且.所以，H是對(duì)稱矩陣.17.

例318.本節(jié)小結(jié)

(1)矩陣的概念：m行n列的一個(gè)數(shù)表

(2)特殊矩陣方陣單位矩陣對(duì)角矩陣零矩陣三角形矩陣(3)矩陣的相等加法（減法）數(shù)乘矩陣矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣方陣的冪

(6)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘，且矩陣相乘不滿足交換律.

(5)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法和減法運(yùn)算.(7)對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣.18.本節(jié)小結(jié)(續(xù))(4)矩陣運(yùn)算1.2

分塊矩陣第1章矩陣與線性方程組1.矩陣的分塊(續(xù))問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊；每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想..例如：其中：1.矩陣的分塊(續(xù))即1.矩陣的分塊(續(xù))其中，1.矩陣的分塊(續(xù))其中，1.矩陣的分塊(續(xù))2.按行分塊以及按列分塊一個(gè)m×n矩陣，若按列分塊，則可以得到n個(gè)列矩陣（列向量）：其中，2.按行分塊以及按列分塊(續(xù))一個(gè)m×n矩陣，若按行分塊，則可以得到m個(gè)行矩陣（行向量）：其中，3.分塊矩陣的加法3.分塊矩陣的加法(續(xù))設(shè)矩陣A與B的同型，且采用相同的分塊法，則有其中與都是同型矩陣，那么形式上看成是普通矩陣的加法！4.分塊矩陣的數(shù)乘設(shè)為一個(gè)數(shù)，A分塊如下：形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！則有5.分塊矩陣的乘法設(shè)A為m×l矩陣，B為l×n矩陣，分塊成為其中，的列數(shù)分別等于的行數(shù)，那么其中，←s×r個(gè)子塊6.例1例1設(shè)，，求與.

解：將A，B分塊，得到6.例1(續(xù))所以6.例1(續(xù))另一方面，6.例1(續(xù))因此，7.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置例如：分塊矩陣轉(zhuǎn)置時(shí)不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置.設(shè)A分塊如下：則8.分塊對(duì)角矩陣設(shè)A為n階方陣，若A的分塊矩陣只在對(duì)角線上有非零的子塊，其余子塊都為零矩陣，且對(duì)角線上的子塊都是方陣，即則稱A為分塊對(duì)角矩陣.分塊對(duì)角矩陣的加法、減法、數(shù)乘、矩陣相乘滿足一般矩陣的運(yùn)算要求.例如：9.分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)（1）若A的k次冪為：設(shè)方陣A的分塊對(duì)角矩陣為則有9.分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)(續(xù))（2）若A與B是同階方陣，它們的分塊對(duì)角陣的對(duì)應(yīng)子塊階數(shù)相同，則設(shè)方陣A的分塊對(duì)角矩陣為則有（1）在矩陣?yán)碚摰难芯恐?矩陣的分塊是一種最基本，最重要的計(jì)算技巧與方法.①加(減)法：同型矩陣、相同的分塊法.（2）分塊矩陣之間的運(yùn)算：②數(shù)乘：每個(gè)子塊都要乘這個(gè)數(shù).③矩陣相乘：左矩陣的列劃分與右矩陣的行劃分必須一致.④轉(zhuǎn)置：10.本節(jié)小結(jié)11.思考題設(shè)，求AB．解：將A、B分塊為11.思考題(續(xù))則又：11.思考題(續(xù))于是謝謝各位同學(xué)！1.3

矩陣的初等變換與線性方程組第1章矩陣與線性方程組1.引例引例：求解線性方程組①②③①②③①②②-2①,③-①①②③②③③-4②恒等變換易得，方程組的解為1.引例(續(xù)）1.引例(續(xù)）三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)

k

乘某個(gè)方程，記作

；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k

倍，記作

.其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．iji

×k

i＋kjiji

×ki+k

jiji÷k

i－k

j2.矩陣的初等變換定義1.10下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:

(1)交換矩陣的兩行(對(duì)調(diào)i,j兩行，記作)；

(2)矩陣某一行乘以非零數(shù)k(第i

行乘k，記作)；

(3)將矩陣的某一行所有元素的k

倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去(第j

行的k倍加到第i

行上，記作)；2.矩陣的初等變換(續(xù))矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．初等變換的逆變換仍為初等變換，且變換類型相同.同理可定義矩陣的初等列變換（所用記號(hào)是把“r”換成“c”）．逆變換:逆變換:逆變換:例如：增廣矩陣結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換.2.矩陣的初等變換(續(xù))3.例1例1：求解線性方程組①②③④3.例1(續(xù))①②③÷2①②③④①②③④3.例1(續(xù))②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④3.例1(續(xù))②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④3.例1(續(xù))④－2×③③④①②③④①②③④3.例1(續(xù))①②③④①－②②－③注：不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“→”或“～”.例如：初等行變換初等列變換其對(duì)應(yīng)方程組為令x3

=c

，則(c

為任意實(shí)數(shù))

3.例1(續(xù))4.行階梯形矩陣非零矩陣若滿足以下要求，則稱此矩陣為行階梯形矩陣：

(1)非零行在零行的上面；

(2)非零行的非零首元(從左至右第一個(gè)不為零的元素)的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.例如：4.行階梯形矩陣(續(xù))特點(diǎn)：

(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；

(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．行階梯形矩陣的性質(zhì)：（1）任何非零矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換將其化為行階梯形矩陣.（2）一個(gè)矩陣的行階梯形是不唯一的，但它的行階梯形的非零行的行數(shù)是唯一確定的.4.行階梯形矩陣(續(xù))5.行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)行階梯形矩陣進(jìn)行初等行變換可得：若A是行階梯形矩陣，且滿足以下要求，則稱A為行最簡(jiǎn)形矩陣：

(1)各非零行的非零首元為1；

(2)每個(gè)首非零元所在列的其余元素都為0.5.行最簡(jiǎn)形矩陣(續(xù))特點(diǎn)：

(1)它是行階梯形矩陣：

(2)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都為零.行最簡(jiǎn)形矩陣的性質(zhì)：

(1)對(duì)于任何非零矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣.

(2)一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形是唯一確定的.6.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可以得到一種形狀更簡(jiǎn)單的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)形.例如：6.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形(續(xù))矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的特點(diǎn)：左上角是一個(gè)單位矩陣，其他元素均為零.注：

(1)對(duì)于m×n矩陣A，總可以經(jīng)過初等變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形其中，m,n,r三個(gè)數(shù)完全確定.

(2)所有與矩陣A等價(jià)的矩陣組成一個(gè)集合，A的標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)集合中最簡(jiǎn)單的矩陣.7.矩陣的等價(jià)定義1.11若矩陣A經(jīng)有限次初等行變換化成矩陣B，則稱矩陣A與B行等價(jià)，記為

A~B

．r若矩陣A經(jīng)有限次初等列變換化成矩陣B，則稱矩陣A與B列等價(jià)，記為

A~B

．c若矩陣A經(jīng)有限次初等變換化成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記為

A~B

．7.矩陣的等價(jià)(續(xù))矩陣之間的等價(jià)具有下列性質(zhì)：

(1)反身性：A~A；

(2)對(duì)稱性：若A~B，則B

~A；

(3)傳遞性：若A~B，B

~C，則A

~C．8.初等矩陣的定義三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣：定義1.12由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.8.初等矩陣的定義(續(xù))

(1)將單位矩陣E的第i，j兩行對(duì)換(或者第i，j兩列對(duì)換)，得到初等矩陣：例如，對(duì)調(diào)5階單位陣的第3,5行(列)，記作E5(3,5

)．8.初等矩陣的定義(續(xù))8.初等矩陣的定義(續(xù))用m階的初等矩陣左乘，得到這相當(dāng)于對(duì)矩陣A施行第一種初等行變換：把A的第i行與第j行對(duì)換.8.初等矩陣的定義(續(xù))類似的，n階的初等矩陣右乘，得到這相當(dāng)于對(duì)矩陣A施行第一種初等列變換：把A的第i列與第j列對(duì)換.8.初等矩陣的定義(續(xù))

(2)以數(shù)k≠0乘單位矩陣E的第i行(或第i列)，得到初等矩陣：例如，以常數(shù)k≠0

乘5階單位陣第3行(列)，記作E5(3(k))．8.初等矩陣的定義(續(xù))8.初等矩陣的定義(續(xù))用m階的初等矩陣左乘，得到這相當(dāng)于以數(shù)k乘矩陣A的第i行.8.初等矩陣的定義(續(xù))類似的，n階的初等矩陣右乘，得到這相當(dāng)于以數(shù)k乘矩陣A的第i列.8.初等矩陣的定義(續(xù))

(3)以k乘單位矩陣E的第j行加到第i行上（或者以k乘單位矩陣的第i列加到第j列上），得到初等矩陣：例如，以k

乘單位陣第5行加到第3行,記作E5(3,5(k))．

以

k

乘單位陣第3列加到第5列．?

兩種理解！8.初等矩陣的定義(續(xù))8.初等矩陣的定義(續(xù))以左乘，得到這相當(dāng)于將A的第j行乘以數(shù)k乘加到第i行上.類似地，以右乘，得到這相當(dāng)于將A的第i列乘以數(shù)k乘加到第j列上.8.初等矩陣的定義(續(xù))9.初等矩陣的作用定理1.2設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.以初等行變換為例:口訣：左行右列10.求解線性方程組含有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組系數(shù)矩陣未知數(shù)向量常數(shù)項(xiàng)向量增廣矩陣方程組可表示為10.求解線性方程組(續(xù))線性方程組常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.對(duì)于一般的n元線性方程組，需要解決以下三個(gè)問題：1.如何判斷方程組是否有解？2.若方程組有解，它有多少個(gè)解？3.若方程組有解且不唯一，如何求出方程組的全部解？①+②①/2③/3③

-4②

③-①

②-2①10.求解線性方程組(續(xù))①②②③②+③①-3③結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換.11.例2例2：求解非齊次線性方程組解：

11.例2(續(xù))

即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由未知量，則令

x3=

c，方程組的全部解可表示為,c為任意實(shí)數(shù).通解約束未知量12.求線性方程組解的具體步驟解n

元非齊次線性方程組Ax=b

的具體步驟如下：(1)寫出線性方程組的增廣矩陣(A,b)；(2)對(duì)(A,b)實(shí)施初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣；(3)寫出以該行最簡(jiǎn)形矩陣為增廣矩陣的線性方程組；(4)將以非零行非零首元為系數(shù)的未知量作為約束未知量，留在等號(hào)

左邊，其余未知量作為自由未知量，移到等號(hào)右邊，并令自由未

知量為任意常數(shù)，從而求得線性方程組的解

．13.例3例3：求解非齊次線性方程組解：.0=2，矛盾

，故原線性方程組無解．

關(guān)于線性方程組的解的情況有以下結(jié)論：(1)線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是第一個(gè)非零元不出現(xiàn)在其增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形的最后一列；(2)線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是第一個(gè)非零元不出現(xiàn)在其增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形的最后一列，且非零行行數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；

(3)線性方程組Ax=b有無窮多個(gè)解的充分必要條件是第一個(gè)非零元不出現(xiàn)在其增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形的最后一列，且非零行行數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù).14.線性方程組的解的情況

n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0的一般形式：其增廣矩陣最后一列元素全為零，所以齊次線性方程組一定有解.顯然，一定是齊次線性方程組Ax=0的解，它稱為齊次線性方程組的零解．若有一組不全為零的數(shù)是齊次線性方程組Ax=0的解，則稱其為齊次線性方程組的非零解．15.齊次線性方程組的相關(guān)結(jié)論在求解齊次線性方程組的時(shí)候，只需對(duì)其系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換即可.任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換

有限次初等列變換

有限次初等變換有限次初等行變換

(1)矩陣的初等（行、列）變換及其逆變換的概念.

(2)矩陣等價(jià).

(3)矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形.16.本節(jié)小結(jié)

(5)初等矩陣(共有三類).

(6)利用初等變換求解線性方程組.單位矩陣初等矩陣一次初等變換16.本節(jié)小結(jié)(續(xù))謝謝各位同學(xué)！1.4

逆矩陣第1章矩陣與線性方程組1.概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)時(shí)，有其中為a的倒數(shù)，或稱為a的逆．在矩陣的運(yùn)算中，單位陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，那么，對(duì)于矩陣A，是否存在一個(gè)矩陣(記作)，使得2.逆矩陣的定義顯然，n階單位陣E是可逆的，n階零矩陣O是不可逆的.定義1.13設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

則稱矩陣A是可逆的，方陣B稱為A的逆矩陣．因此，根據(jù)定義，A是可逆的，B是A的逆矩陣．例如：2.逆矩陣的定義(續(xù))又如：，對(duì)任何矩陣，都有定義1.13設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

則稱矩陣A是可逆的，方陣B稱為A的逆矩陣．因此，根據(jù)定義，

是不可逆的．2.逆矩陣的定義(續(xù))注：

(1)“可逆”的概念只對(duì)方陣而言，只有方陣才有可逆或不可逆的說法.定義1.13設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

則稱矩陣A是可逆的，方陣B稱為A的逆矩陣．

(2)有的方陣是可逆的，有的方陣是不可逆的.

(3)若方陣A有逆矩陣B，則B也是可逆的，B的逆矩陣就是A.3.逆矩陣的性質(zhì)于是，所以，A的逆矩陣是唯一的，即B=C．

證明：設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則有注：

由于A的逆矩陣是唯一的，所以像數(shù)a存在唯一倒數(shù)，A的逆矩陣也用表示，即有

(1)逆矩陣的唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))

證明：由條件可得

(2)若A是可逆矩陣，數(shù)，則均可逆，且有3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))

證明：由條件可得

(3)若A,B是同階可逆矩陣，則AB可逆，且有.因此，AB可逆，且有3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))

(3)若A,B是同階可逆矩陣，則AB可逆，且有.注：當(dāng)A,B可逆時(shí)，A+B不一定可逆，且一般情況下，.例如：

顯然A，B都可逆，但不可逆.

顯然A，C可逆，可逆，但是3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))進(jìn)一步，若A可逆，k為正整數(shù)，則可逆，且有

(4)若是同階可逆矩陣，則可逆，且有4.方陣冪的擴(kuò)充當(dāng)A可逆時(shí)，定義其中，k為正整數(shù)．于是，可逆矩陣的冪運(yùn)算可以擴(kuò)充到全體整數(shù)，即當(dāng)A可逆，為整數(shù)時(shí)，有5.例1例1判斷矩陣是否可逆.若可逆，求出其逆矩陣.

解：若A可逆，則存在，使得，即于是得到5.例1(續(xù))易得唯一解：因此，A可逆，且有注：利用定義判斷一個(gè)矩陣是否可逆或者求其逆矩陣，計(jì)算過程比較復(fù)雜！應(yīng)尋找更方便的判斷矩陣可逆和求逆矩陣的方法.6.初等矩陣的逆矩陣我們先觀察5階初等矩陣的情形.更一般地，有6.初等矩陣的逆矩陣(續(xù))更一般地，有6.初等矩陣的逆矩陣(續(xù))更一般地，有6.初等矩陣的逆矩陣(續(xù))也就是說：初等矩陣都是可逆的，其逆矩陣都是同一類型的初等矩陣.將上述討論總結(jié)如下：7.矩陣可逆的等價(jià)條件定理1.3設(shè)A的是n階矩陣，則下列命題等價(jià)：(1)A是可逆矩陣；(2)A行等價(jià)于n階單位矩陣；(3)A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.證明：采取循環(huán)證明的方式進(jìn)行.

(1)(2)：

設(shè)A是n階可逆矩陣.由定理1.1可知，A可經(jīng)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣R：再由定理1.2可知，存在有限個(gè)初等矩陣，使得7.矩陣可逆的等價(jià)條件(續(xù))

因此，n階行最簡(jiǎn)形矩陣R沒有全為零的行，而沒有全為零的行的行最簡(jiǎn)形矩陣即是單位矩陣，故R=E，即這說明：即A行等價(jià)于n階單位矩陣E.由可逆矩陣的性質(zhì)和初等矩陣的可逆性可知，R是可逆的.

(2)(3)：

設(shè)A行等價(jià)于n階單位矩陣.存在有限個(gè)初等矩陣，使得7.矩陣可逆的等價(jià)條件(續(xù))由于初等矩陣都是可逆的且其逆矩陣仍為初等矩陣，不妨設(shè)的逆矩陣分別為，于是有即這說明A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.

(3)(1)：

設(shè)A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，其中，均為初等矩陣，它們均可逆.由逆矩陣的性質(zhì)可知，A可逆.8.兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件由定理1.3可以推出得到以下關(guān)于兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件：推論一

設(shè)A與B均為m×n矩陣，那么(1)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使得PA=B；(2)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使得AQ=B；

(3)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B.

9.方陣可逆的充分必要條件推論二

方陣A可逆的充分必要條件是：存在有限個(gè)初等矩陣使得.由定理1.3容易得到以下關(guān)于方陣可逆的充分必要條件：推論三

方陣A可逆的充分必要條件是：.進(jìn)一步有：10.判斷方陣可逆并求逆矩陣的初等行變換方法當(dāng)n階矩陣A可逆時(shí)，存在有限個(gè)初等矩陣，使得，于是因此，上式說明：若對(duì)n×2n矩陣(A,E)施行初等行變換，當(dāng)A可化為E時(shí)，則A可逆.此時(shí)，原來的E就變成了.10.判斷方陣可逆并求逆矩陣的初等行變換方法(續(xù))判斷n階矩陣A可逆并求的方法：

(1)構(gòu)造矩陣；

(2)對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形；

(3)若不能行等價(jià)于E，則矩陣A不可逆.若A行等價(jià)于E，則矩陣A可逆，且原來的E就變成了.11.例