廣東2025-2026學(xué)年下學(xué)期3月學(xué)情自測九年級數(shù)學(xué)（含答案）

廣東深圳市高級中學(xué)2025-2026學(xué)年下學(xué)期3月學(xué)情自測九年級數(shù)學(xué)

一、選擇題（共8小題）

1.2025的相反數(shù)是（）

A.2025B.-2025C'Dx

20252025

2.下列運算正確的是（）

A.2Q+b=2abB.2a2b-a2b=a2b

C.3a2+2a2=5a4D.2a—a=2

3.許多大型商場購物中心為了引導(dǎo)人流前往目標(biāo)樓層，會考慮使用“氣梯”（可以跨樓層抵達的超高超長的自

動扶梯）.某商場“飛梯”從2層直達5層，“飛梯”的截面如圖,4B的長為某米,A8與4C的夾角為24。，則

4c的長是（）

A.50cos24°B.50sin24°C.—52—D.

cos24°sm24°

4.OeepSeek是一款先進的人工智能助手，可提供高效、精準(zhǔn)的信息檢索和智能對話服務(wù).其活躍用戶數(shù)在

上線21天后達到了3370萬.將3370萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.33.7x106B.3.37x106C.3.37x107D.0.337X107

5.如圖，在正方形網(wǎng)格中，以格點。為圓心畫圓，使該圓經(jīng)過格點A,B,并在圓弧上取點C,連接4C,則

“CB的度數(shù)為（）

B

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.如圖，平行于主光軸PQ的光線4B和CO經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線BE,OF交于主光軸上一點G,若

Z-ABE=140°,/.CDF=160°,則48GD的度數(shù)是（）

第1頁

7.“五一”旅游黃金周期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前往某景區(qū)游玩，面包車的租價為180元，出發(fā)時，又

增加了2名學(xué)生，結(jié)果每個同學(xué)比原來少分擔(dān)3元車費.設(shè)參加游玩的同學(xué)為x人，則可得方程（)

180180_180180

B.=3

~~x+2~%+2X

180180_180180

D.=3

x-2X

8.如圖，將正方形/BCD沿EF折疊，使得點4與對角線的交點。重合，EF為折痕,則黑的值為（）

A1B1C&D2

,42C?區(qū)3

二、填空題（共5小題）

9.已知x=2是關(guān)于x的方程5x-m=8的解，則m的值是.

10.周末，小亮打算在“甘坑古鎮(zhèn)''、"大芬油畫村”、“龍城公園”、“鶴湖新居”、“園山風(fēng)景區(qū)''這五個景點中

隨機選擇一個去游玩，恰好選中“龍城公園''的概率是.

11.如圖，同一平面直角坐標(biāo)系下的正比例函數(shù)〉=以與反比例函數(shù)丫=上工相交于點力和點B.若4的橫坐

X

標(biāo)為1,則8的坐標(biāo)為.

12.趙州橋始建于隋朝，由匠師李春設(shè)計建造，屹立千年而不倒，是我國著名的歷史文物.如圖為某圓弧型

石拱橋的側(cè)面圖，橋的跨徑48=18m,拱高。0=5m,則拱橋的半徑為m.

IIII?I-

IIL4_T

ADB

13.如圖，正方形48co中，48=6,點E為CD中點，點?在40延長線上，且O"=CE,連接8E并延長，交

C尸于點G,則月仆=.

第2頁

三、解答題（共7小題）

14.計算：|3-四|+（與1-4cos45o-（7r_2025）0-

15.先化簡，再求值：°—系）+益答1,其中Q=1+V5.

16.第四屆全民閱讀大會于2025年4月23日在山西太原開幕.大會的主題是“培育讀書風(fēng)尚建設(shè)文化強

國某校借此機會舉辦了主題為“書香校園重讀經(jīng)典”的演講比賽，滿分為10分，得分均為整數(shù)，成績達到

6分及以上為合格，達到9分及以上為優(yōu)秀.從九年級一班和九年級二班各隨機抽取10名同學(xué)的成績，并進

行整理.

■■■?

靖〃UUSM尚健議文化鯉國

第叫屆全民閱讀大會

數(shù)據(jù)整理：小晉將隨機抽取的兩個班級的成績整理成如下統(tǒng)計圖：

A人數(shù)/名

5

…

4

3

2

2U-

1

0

4

數(shù)據(jù)分析：小晉對兩個班級的成績進行了如下分析:

班級平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分合格率優(yōu)秀率

九年級一班76b90%30%

九年級二班7.3a8C20%

根據(jù)上述信息回答下列問題:

（1）填空：a=,b=,c=.

（2）在所抽取同學(xué)的成績中，每班成績前50%的同學(xué)可以得到“閱讀小能手?”的稱號.被推到的小張同學(xué)

的成績是7分，他沒有得到“閱讀小能手”的稱號.請你判斷小張是哪個班級的同學(xué)，并說明理由.

（3）請你結(jié)合表格中的信息，對兩個班級的成績進行評價.（寫出兩條即可）

17.在國家的“惠農(nóng)政策”支持下，越來越多的農(nóng)戶將自己的農(nóng)副產(chǎn)品銷往全國各地.河源市農(nóng)戶張先生將種

植的百香果和金桔以箱為單位售賣.已知2箱百香果和3箱金桔的價格為245元，1箱百香果和4箱金桔的

價格為260元，百香果和金桔的成本價如下表所示：

第3頁

品名百香果金桔

成本/箱3（）元40元

（I）求每箱百香果和每箱金桔的售價分別是多少元？

（2）深圳某公司決定向農(nóng)戶張先生采購400箱水果（對水果種類沒有特別要求）.張先生才前僅有金桔和

百香果各庫存300箱;在只能整箱鐺售的情況下，張先生該如何搭配銷售，在滿足公司要求的情況下，獲利

最大.

18.如圖，在△48GILZ.ACB=90°,D為AB中點,E為CO中點,過點C作CF||4B交4E延長線于點F,連接

BF.

（1）證明：四邊形DCT8為菱形；

（2）4F與8c相交于點G,若71c=12,BF=10,求GC的長.

19.太陽灶是利用凹面鏡會聚光的性質(zhì)把太陽能收集起來，用于做飯、燒水的一種器具.目前應(yīng)用最廣泛的

聚光式太陽造是利用鏡面反射匯聚陽光，如圖1,這種太陽灶的鏡面設(shè)計，可以看成是拋物線繞其對稱軸旋

轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)拋物面，其原理是，如圖2,若有?束平行光沿對稱軸方向射向這個拋物面，則反射光線

都會集中反射到一特殊點（即拋物線的焦點）的位置，于是形成聚光，達到加熱的目的.若拋物線的表達式

為y=ax2,則拋物線的焦點為（0總）.

第4頁

圖1圖2圖3

（1）已知在平面直角坐標(biāo)系中，某款太陽灶拋物線的表達式為y=*/,則焦點的坐標(biāo)是______；

（2）如圖3,用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸

與y軸重合，頂點與原點重合，若太陽灶采光面的直徑48為1.5米，網(wǎng)面深度CO為0.25米，求拋物線的表達

式;

（3）如圖4,在（2）的條件下，MN為平行于y軸的入射光線，NF為反射光線，N為切點,F為焦點,當(dāng)

△MNG=4FNG=22.5。時，求點N的橫坐標(biāo)；

（4）如圖5,在（1）的條件下，點E是焦點，a表示太陽灶邊緣（最遠程）反射光同對稱釉的夾角，當(dāng)Q

為45。時，求點8的坐標(biāo).

20.【定義】如果一個凸四邊形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，則稱該四邊形為對稱四

邊形，稱該宜線為對稱軸.

（I）【概念理解】下列圖形一定是對稱四邊形的是：（填序號）

XAB=AD,

BC=CD

C

④箏形

（2）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，若點B（5,l）,C（l,3）,。組成的四邊形為對稱四邊形，則滿

足點。的個數(shù)為;

第5頁

5

4

3

2

1■?B

i11111A

-\O12345x

■

圖1

(3)【性質(zhì)探究】如圖2,對稱四邊形48co關(guān)于直線/C對稱，對角線AC,80相交于點。，過點。作JL

AB于點F,交AC于點E,若AE=ED=0C=2,求對稱四邊形的面積.

(4)【拓展應(yīng)用】如圖3,在菱形4BCD中，/.ABC=60°,點E為對角線B0上一點，△AED沿邊4E折疊得

到延長力E交射線DC于G,則當(dāng)4B,E,尸組成的四邊形為對稱四邊形時，求箓的值.(作答要

求：畫出所有滿足條件的情況示意圖，并寫出相應(yīng)的答案即可)

第6頁

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：2025的相反數(shù)是一2025,

故答案為：B.

【分析】只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，。的相反數(shù)是0,負數(shù)的相反數(shù)是正

數(shù)，據(jù)此解答即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：2Q+b不能計算，故A選項不正確；

2a2b-02b=Q2b,故B選項正確；

3a2+2M=502,故c選項不正確;

2a-a=a,故D選項不正確，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)同類項定義及合并同類項法則逐項進行判斷即可求出答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：'"801=90。，AB=50m,LA=24°,

?=cos24°?

：.AC=48cos240=50cos24°（米），

故選；A.

【分析】根據(jù)余弦定義即可求出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：337071=33700000=3.37x107,

故答案為：C.

【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的定義：把一個數(shù)寫成ax10n的形式（其中修a<10,n為整數(shù)），這種記數(shù)法稱為

科學(xué)記數(shù)法，其方法如下：[①確定a,a是只有一位整數(shù)的數(shù)，②確定n,當(dāng)原數(shù)的絕對值30時，n為正

整數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)原數(shù)的絕對值VI,n為負整數(shù)，n的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非0

數(shù)前0的個數(shù)（含整數(shù)位上的0）].再分析求解即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：如下圖所示，連接8。并延長，交。。于點D,連接力8、AD,

第7頁

:.Z.ACB=4D,Z.BAD=90°>

由網(wǎng)格可知48=4。，

乙ABD=4ADB=45°,

:.XACB=2LADB=45°

故選：B.

【分析】連接B。并延長，交。。于點D,連接48、A0,則=乙BAD=90。,由網(wǎng)格可知L4B=

4D，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得心力B0=4408=45。，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖,

由題意可知：AB||PQ||CD,

???△ABE+乙BGP=180°,

*：LABE=140°,

:.乙BGP=180°-140°=40°,

?：PQICD,

，乙PGD+乙CDF=180%

■:乙CDF=160°,

???乙PGD=180°-160°=20°,

:?乙BGD=乙BGP+乙PGD=40°+20°=60°,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)物理學(xué)原理得48、PQ、CO互相平行，即可得4A8E、48Gp和等于180。，進一步得MGP等于

40。，再根據(jù)PQ、CO平行得NPGO、乙CDF和等于180。，根據(jù)々CDF等于160。即可得乙PGO=20。，進一步得

/QCO等于//7/7P與/PCO的和，計算即可得//?仃。的J度數(shù)是6。。.

7.【答案】D

第8頁

【解析】【解答】解：設(shè)參加游玩的同學(xué)為工人，則原來的幾名同學(xué)每人分擔(dān)的車費為：罌元，出發(fā)時每名

同學(xué)分擔(dān)的車費為：喈元，

根據(jù)題意得：要一釁=3.

X-LX

故答案為：D.

【分析】設(shè)參加游玩的同學(xué)為工人，根據(jù)每個同學(xué)比原來少分擔(dān)3元車費即可得到里-儂=3.

X-Lx

8.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖,

???正方形4BCD沿EF折疊,

：.AG=GO,EFIIBD,

△AEFABD,

.EF_AG_1

-BD=AO=2f

17

：.EF=^BD,CG=?C，

???正方形4BCD,

：.AC=BD,

.EF_步D_2

?W二孤，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合正方形的性質(zhì)得/G、G。相等，EF、8。平行，即可證明和相

似，根據(jù)相似性質(zhì)得需=器=熱即可得匹=k。0；="（：，代入需計算即可得答案.

9.【答案】2

【解析】【解答】解：將x=2代入方程可得：

5x2-m=8,解得：m=2

故答案為：2

【分析】將x=2代入方程可得關(guān)于1n的一次方程，解方程即可求出答案.

第9頁

10.【答案】i

【解析】【解答】解：P龍城公園

故答案為：!.

【分析】簡單隨機事件的概率直接利用概率公式計算即可.

11.【答案】（-1,-1）

【解析】【解答】解：如圖，

???正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=平相交于點4和點8,

?2-Q

??ax=-x-，

4的橫坐標(biāo)為1,

/.a=2—a,

a=1>

??y=x,

當(dāng)x=1時，y=x=1,

???正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱，

???點4B關(guān)于原點對稱，

?'?5（—1,—1）,

故答案為：（一1,-1）.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)>=ax與反比例函數(shù)y=空相交于點4和點8得ax=竽，再根據(jù)4的橫坐標(biāo)為

1,得G=1,即可得y=x,進一步得力（1,1）,根據(jù)圖像得正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱,

即可得8（-1,一1）即可.

12.【答案】.

【解析】【解答】解：設(shè)”所在網(wǎng)的圓心為O,半彳仝為Rm,如圖，

第10頁

B

%

由已知得4O=9m,OD=(_R-5)m.在RtZk/OO中，由勾股定理得

OD2+AD2=AO2,即92+(R-5)2=R2,

解得R=羊

?,?拱橋的半徑為等m.

J

故答案為：

【分析】設(shè)弧48所在圓的圓心為。，連接。。，0A,圓。的半徑為Rm,由垂徑定理得4。=9m,再根據(jù)勾股

定理建立方程，解方程即可求出答案.

13.【答案】V5

【解析】【解答】解：如圖，

「正方形力8co中，48=6,點E為C0中點,

:.CD=AB=6,DF=CE=1cD=3,

作GH1CD于點、H,

：.GH||BC,GH||DF,

*：GH||BC,

：.△HGE?ACBE,

.GH_HEGH_HE

?,前"前’m即丁二丁

：.GH=2HE,

'：GH||DF,

：.△CHGFCDF,

?HGCHnti2HE3+HE缶*俎口尸i

??麗=加'即丁=~^'解得“E=1，

：.GH=2,

第11頁

***EG=Vl2+22=V5>

故答案為：V5.

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得48等于6,點E為CD中點，即可得C。、48相等，等于6,DF、CE相等，等于

^CD,等于3,作G"、垂直于點乩即可得GH、BC平行，GH、OF平行，進一步證明

〉HGE、ZkCBE相似，即可得盟、然相等，即可得G〃=2HE,根據(jù)GHIIDF證明△CDF、

uCuC

△CWG相似，即可得等、需相等，代入數(shù)據(jù)得GH=2,根據(jù)勾股定理得EG=述即可得答案.

14.【答案】解：|3-㈣+R)1-4COS45°-(TT-2025)0

=3-2V2+3-4X^-1

=5-2V2-2V2

=5-4A/2.

【解析】【分析】根據(jù)絕對值，負整數(shù)指數(shù)冢，特殊角的三角函數(shù)值，0指數(shù)幕化簡，再計算加減即可求出答

案.

6【答案】解：(1-系)+吟滬

_a—1a+1

一。+1(a-行

1

=a^l，

當(dāng)a=1+K時，

序式一]一J_一立

原八一]+&_「百—3.

【解析】【分析】先把括號內(nèi)的分式通分，然后把除法化為乘法約分化為最簡，再把a的值代入計算解題.

16.【答案】(1)8；6；80%

(2)解：小張是九年級二班的同學(xué)，理由如下：九年級一班成績的中位數(shù)是6分，九年級二班成績的中位數(shù)

是8分，小張的成績是7分

???6<7<8,且小張同學(xué)沒有得至U“閱讀小能手”稱號，

???小張是力年級二班的同學(xué).

(3)解：根據(jù)題意得：①九年級一班成績的優(yōu)秀率為30%,高于九年級二班成績的優(yōu)秀率20%,所以從優(yōu)

秀率角度看，九年級一班的成績比九年級二班的成績好.

②九年級一班成績的合格率為90%,高于九年級二班成績的合格率80%,所以從合格率角度看，九年級一班

的成績比九年級二班的成績好.

【解析】【解答】(1)解：根據(jù)條形統(tǒng)計圖可得，九年級一班得分中6分的最多，則b=6,

第12頁

九年級二班得分分別為：5,5,6,7,8,8,8,8,9,9,則中位數(shù)為a=竽=8,

c=^xl00%=80%.

故答案為：8；6；80%.

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，結(jié)合眾數(shù)，中位數(shù)的定義可得九年級二班成績眾數(shù)為6,九年級一班中位

數(shù)為8.九年級二班合格率為80%.

（2）根據(jù)九年級一班成績的中位數(shù)是6分，九年級二班成績的中位數(shù)是8分，小張的成績是7分兩個班的中位

數(shù)，根據(jù)6<7<8,即可得小張同學(xué)沒有得到“閱讀小能手”稱號.

（3）請你結(jié)合表格中的信息，對兩個班級的成績進行評價即可.

（1）解：根據(jù)條形統(tǒng)計圖可得，九年級一班得分中6分的最多，貝姐=6,

九年級二班得分分別為：5,5,6,7,8,8,8,8,9,9,則中位數(shù)為Q=竽=8,

c=^x100%=80%：

（2）解：小張是九年級二班的同學(xué)，理由如下：

九年級一班成績的中位數(shù)是6分，九年級二班成績的中位數(shù)是8分，小張的成績是7分

V6V7V8,且小張同學(xué)沒有得至上閱讀小能手”稱號，

???小張是力年級二班的同學(xué)：

（3）解：答案不唯一，例如：

①九年級一班成績的優(yōu)秀率為30%,高于九年級二班成績的優(yōu)秀率20%,所以從優(yōu)秀率角度看，九年級一班

的成績比九年級二班的成績好；

②九年級一班成績的合格率為90%,高于九年級二班成績的合格率80%,所以從合格率角度看，九年級一班

的成績比九年級二班的成績好；

③九年級二班成績的平均數(shù)為7.3分，高于九年級一班成績的平均數(shù)7分，所以從平均數(shù)角度看，九年級二

班的成績比九年級一班的成績好：

④九年級二班成績的中位數(shù)為8分，高于九年級一班成績的中位數(shù)6分，所以從中位數(shù)角度看，九年級二班

的成績比九年級一班的成績好；

⑤九年級二班成績的眾數(shù)為8分，高于九年級一班成績的眾數(shù)6分，所以從眾數(shù)角度看，九年級二班的成績

比九年級一班的成績好；等等.

17.【答案】（1）解：設(shè)每箱百香果的售價為不元，每箱金桔的售價為y元，

根據(jù)題意，得口:點二2

解這個方程組，得上黑，

答：每箱百香果和每箱金桔的售價分別為40元，55元.

第13頁

（2）解：每箱百香果的利潤為：30-40=10（元），

每箱金桔的利潤為：55-40=15（7E）,

設(shè)張先生將m箱金桔和（400-m）箱百香果進行搭配銷售，獲利為w元，

則w=15m+10（400—m'）=5m+4000,

5>0,

w隨加的增大而增大.

Xvm<300,.,.當(dāng)m=300時，w最大，

此時百杳果的箱數(shù)為：400-300=100（箱）.

答：張先生將100箱仃香果和300箱金桔進行搭配銷售時，獲利最大.

【解析】【分析】（1）設(shè)每箱百香果的售價為工元，每箱金桔的售價為y元，根據(jù)題意建立方程組，解方程即

可求出答案.

（2）求出每箱百香果，金桔的利潤，設(shè)張先生將m箱金桔和（400-m）箱百香果進行搭配銷售，獲利為w

元，根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

（1）解：設(shè)每箱百香果的售價為工元，每箱金桔的售價為y元，

根據(jù)題意，得胃苕二2

解這個方程組,得黑,

答：每箱百香果和每箱金桔的售價分別為40元，55元.

（2）解：每箱百香果的利潤為：30-40=10（元），

每箱金桔的利潤為；55-40=15（7E）,

設(shè)張先生將m箱金桔和（400-m）箱百香果進行搭配銷售，獲利為w元，

則w=15?n+10（400-m）=5m+4000,

5>0,

:.w隨血的增大而增大.

Xvm<300,.,?當(dāng)7n=300時，w最大，

此時百香果的箱數(shù)為：400-300=100（箱）.

答：張先生將100箱仃香果和300箱金桔進行搭配銷售時;獲利最大.

18.【答案】（1）證明:如圖，

第14頁

A

CB

???CF||AB,

:，Z.EAD=Z-EFC?

???點E為CD中點、,

ADE=CE,

在△/1/)￡和AFCE中,

Z-EAD=乙EFC

乙AED=乙FEC,

DE=CE

:AADE三△FCE(AAS),

...AD=CF,

,:點D為AB中點,

：?BD=ADf

...BD=CF,

又???CF||ABf

???四邊形DCF8是平行四邊形,

在△ABC中，^LACB=90°,點。為中點,

DC=BD=AD=^AB,

.??平行四邊形DCF8是菱形.

B

連接。戶交8c于點H,

由（1）可知：四邊形OCr8是菱形,

第15頁

DH1BC,CH=BHBC,FH=DH,BD=BF,

???BF=10,

:.BD=BF=10,

,:煎D為AB中息,

--.AB=2BD=20,

在△4BC中，Z.ACB=90°fAC=12.

由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=V202-122=16,

CH=BH=^BC=8,

???點。為AB中點，”為BC的中點，

???。，是△48C的中位線，

1

:.DH=^AC=6,DH||AC,

FH=DH=6,

???DF||AC,

FHGsxACGt

/7G_F/f__6__1

't~GC=AC=12=2,

.?.設(shè)HG=a,GC=2a,

CH=CG+HG=3a=8,解得：a=

???GC=2a=竽.

【解析】【分析】(1)根據(jù)CA4B平行，得“4D、4EFC相等，根據(jù)點E為中點，得DE、CE相等，進一

步即可證明△40E和△FCE全等，根據(jù)全等性質(zhì)，結(jié)合點。為48中點，得AD、CF.BO相等，根據(jù)CF、4B平

行可判定四邊形DCF8是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)得DC、BD相等，即可判斷

平行四邊形。CFB是菱形.

(2)連接OF交BC于點H,根據(jù)菱形性質(zhì)得DH、BC垂直，CH、8H相等，等于FH,0,相等，

BD、BF相等，等于10,進而得48等于28D,等于20,根據(jù)勾股定理得8C等于16,進一步得CH、BH等于

8,再證明?！笔恰鰽8C的中位線得FH、0”等于6,根據(jù)DF、平行可證明△FHG和△4CG相似，即可得

薨、界相等，等于｝設(shè)HG=Q,GC=2Q,列方程解出“=2&=竽即可得出GC的長.

(1)證明：C.F||AR.

Z.EAD=Z.EFC，

第16頁

，.?點E為CD中點,

???DE=CE,

在△4/)/;和△/CE中，

Z.EAD=乙EFC

Z-AED=乙FEC,

DE=CE

:4ADE三△FCE(AAS),

:.AD=CF,

?:點、D為AB中點,

：.BD=ADf

.??BD=CF,

又???CFIIAB,

???四邊形DCFB是平行四邊形，

在△ABC中，乙4c8=90。，點。為力8中點,

DC=BD=AD=\AB,

二平行四邊形DCF8是菱形；

(2)解：連接0尸交8c于點H,如圖所示：

由(1)可知：四邊形DCFB是菱形，

1

???DH1BC,CH=BH=^BC,FH=DH,BD=BF,

乙

???BF=10,

：?BD=BF=10,

?.?點。為48中點，

.?.AB=2BD=20,

在△48C中，^ACB=90°,AC=12.

由勾股定理得：BC=yjAB2-AC2=V202-122=16,

CH=BH=BC=8，

4

?:點D為AB中點,“為BC的中點,

第17頁

.?.0”是△48c的中位線,

DH=^AC=6,DH||AC,

FH=DH=6,

???DFMC,

???△FHGACG?

HG_FH_6_1

GC=AC=12=2"

???設(shè)，G=a,GC=2a,

:.CH=CG+HG=3a=8?

解得：Q=小

:.GC=2a=學(xué).

19.【答案】(1)(0,1)

(2)y=^x2

(3)解：如圖，過點N作NE_Ly軸交于點E,

圖4

根據(jù)題意可得點?為焦點，坐標(biāo)為（0微）,

???MN||y軸，NE_Ly軸，

:.乙MNE=90°,

???乙MNG=Z-FNG=22.5°,

乙FNE=45°,

??.△FNE為等腰直角三角形,

設(shè)EN=FE=a,

9

CE=—Q,

第18頁

當(dāng)點N在y軸右邊時，設(shè)N(Q,搭-Q),

4

2

-X

把N(Q,五一Q)代入y9

可得微一a=§Q2,

解得。=埠2(負值舍去)，

O

當(dāng)點N在y軸左邊時，點N的橫坐標(biāo)為-訪即一呼+9

O

綜上，點」的橫/12標(biāo)為典二2或一%?+9；

OO

(4)解：???z_a=45°,

??.△EDB為等腰直角三角形，

設(shè)DB=ED=b,

???DC=EC-ED=1—b,

???B(bJ-b),

把B(b,l-b)代入拋物線表達式為1-b=/川，

解得b=2a—2(負值舍去)，

???5(2^-2,3-272).

111

【解析】【解答】(1)解：詬=鬲=1，

所以焦點的坐標(biāo)是(0,1),

故答案為；(0,1)；

(2)

解：,?工8為1.5,

.4B_3

,?~2~=4*

為0.25米，

:4(一另)，

設(shè)拋物線的表達式的表達式為y=ax2,

把“(-MW)代入可禺=(T)a，

解得Q=小

所以拋物線的表達式的表達式為y=

故答案為：y=^x2;

【分析】(1)根據(jù)題意列式計算即可求出答案.

第19頁

(2)由圖可得/1(一1；)，設(shè)拋物線的表達式的表達式為、=。/,再根據(jù)待定系數(shù)法將點A坐標(biāo)點代入表

達式即可求出答案.

(3)過點N作NEly軸交于點E,根據(jù)題意可得點尸為焦點，坐標(biāo)為(0,得)，根據(jù)直線平行性質(zhì)可得

2MNE=90。，再根據(jù)等腰直角三角形判定定理可得△FNE為等腰直角三角形，設(shè)EN==Q,則CE=

白-小分情況討論：當(dāng)點N在y軸右邊時，設(shè)N(a推-Q),將點N坐標(biāo)代入拋物線表達式即可求出答案;

當(dāng)點N在y軸左邊時，點N的橫坐標(biāo)為-a,即-9g+9,即可求出答案.

O

(4)根據(jù)等腰直角三角形判定定理可得??.△EDB為等腰直角三角形，設(shè)。8=EO=b,則OC=EC-E。=

1-b,即8(b,l-b),再將點B坐標(biāo)代入拋物線表達式即可求出答案.

11I

(1)解：赤=碣=1，

所以焦點的坐標(biāo)是(0,1),

故答案為：(04)；

(2)解：?:AB為15,

磐3

-

24

二。為0.25米，

?"(一籍)’

設(shè)拋物線的表達式的表達式為y=Q/,

把4(H)代入可得上=(一號).Q,

解得Q=

4

2

-X

所以拋物線的表達式的表達式為y9

42

-X

故答案為：V9

(3)解：如圖，過點N作軸交于點E,

第20頁

圖4

根據(jù)題意可得點?為焦點，坐標(biāo)為（0描），

???MNIly軸，NEly軸，

???乙MNE=90°,

???乙MNG=乙FNG=22.5°,

:.Z.FNE=45°,

??.△FNE為等腰直角三角形，

設(shè)EN=FE=a,

丁9

CE-]6—Q，

當(dāng)點N在y軸右邊時，設(shè)N（a,得一Q）,

把N（。喘-。）代入y=舐2,

可得怖—a=a2?

解得°=嶂w（負值舍去），

O

當(dāng)點N在y軸左邊時，點N的橫坐標(biāo)為-a,即再±2,

O

綜上，點N的橫坐標(biāo)為嶂藝或二?等；

（4）解：vza=45°,

.?.△EOB為等腰直角三角形，

設(shè)08=ED=b,

DC=EC-ED=l-b,

???8（6,1-b）,

把-5）代入拋物線表達式為1一b=/

解得b=2a—2（負值舍去），

第21頁

.--5(2^-2,3-272).

20.【答案】(1)①③④

(2)3

(3)解：如圖2,

???對稱四邊形ABCD關(guān)于直線4c對稱，點B和點。為對應(yīng)點,

：.AC180,BO=0D.

:?乙DOE=乙AOB=90°.

■:DF1AB,

;?乙DFB=90°.

：.Z.BAO+乙ABO=(ODE+乙ABO.

：.Z.BAO=Z.ODE,

又?：乙DOE=Z-AOB=90°,

△ABOsbDEO.

.AO_BO

，，OD=OE'

：?OB=7A。,OE=2&.

:?BD=2OB=4&.

??.對稱四邊形ABCD的面積=-AC=12式.

當(dāng)點F與點C重合時，根據(jù)題意得:

BD垂直平分線段4F,BA=BC

：.EA=EF.

???四邊形力"E為箏形，是對稱四邊形.

第22頁

9：AD=/0,^LADF=/-ABC=60°.

???△ADP為等邊二角形.

根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知乙兄4E=^DAE,

：.GC=DG.

.DGi

??而=1-

(II)如圖，

當(dāng)點尸在。4的延長線上時，根據(jù)題總得：

AF=AD=AB,4FAB=60。,

:?△ABF為等邊三角形.

：.FA=FB.

根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可得：^EAD=^EAF=90°,

:.乙EAE=30°.

:?乙EAB=Z.EBA=30°.

：.EA=EB.

???四邊形AE8尸為箏形，是對稱四邊形.

根據(jù)題意可知乙C4E=30°.

：.^CAE=乙BAE.

'：BA=BC,Z,ABC=60°,

???△4BC為等邊三角形.

:?BN=CN.

又?：乙BAN=cCGN,乙ANB=^GNC,

/.△ABN三ZiGCN.

：.AB=GC.

：.GC=DC.

:.DG=2GC.

.DGi

??就二乙

(III)如圖,

第23頁

A

D

G

當(dāng)4。||EF時，根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知：

AF=AD,/.ADE=^AFE=30°,LFAE=Z.DAE,Z-FEA=/,DEA.

*：AD||EF,

：.LFEA=Z-DAE.

：.^DAE=/LDEA,LFEA=/.FAE.

：.AD=DE,AF=EF.

：.AB=DE.

*：AD||EF,

???乙凡40=180°-匕AFE=150°.

：.LFAB=30°.

：.^FAB=^ABD.

：.AF||BE.

在40/1E中

AB=DE,/.FAB=Z.ADB=30°,AF=AD,

：.△AFBWADAE

：.FB=AE

???四邊形AE8F為等腰梯形，是對稱四邊形.

在△A80中，Z.ABD=LADB=30°,

??AD=AB=^-BD-

：?DEVBD，8E=(1-*)8D.

'：AB||CD,

?DGDE3總+373+1

，9AB=BE=—6~=-T-

,DGJ3+1

=2+V3.

?飛=v5+l—2

(IV)如圖,

第24頁

A

D

F

當(dāng)4。1凡4時，根據(jù)題意得：

Z-BAF=Z.BAD-Z-DAF=30°,/-ADE=乙AFE=30°,

：./-BAF=乙AFE=30°.

：.AB||EF.

:,乙ABD=乙BEF=30°.

；?tADE=乙BEF.

根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知FE=ED,Z.FAE=24凡4。=45°

：.Z.BAE=/-FAE+^BAF=75°.

：.^BEA=180°-^ABD-Z-BAE=75°.

：.^BAE=Z-BEA.

：.BA=BE.

：.BE=AD.

在48/E和△4E0中

FE=ED,乙ADE=ABEF,BE=AD,

/.△BFE=△AED.

：.BF=AE.

???四邊形AEFB為等腰梯形，是對稱四邊形.

在△AB。中，Z-ABD=^ADB=30°,

?'-AD=AB=^-BD-

BE-*BD,DE=（1-吊）BD.

*：AB||CD,

?DG_DE_歷1

,?而=踮=‘3-L

?第=巖=百+1.

CG273

綜上所述，器=1或2或2+b或V5+1.

【解析】【解答】解：（1）①矩形的一條對稱軸為一條邊的垂直平分線，所以矩形一定是對稱四邊形.

②平行四邊形（非矩形、菱形和正方形）沒有對稱軸，所以平行四邊形不一定是對稱四邊形.

第25頁

③等腰梯形的對稱軸為底的垂直平分線，所以等腰梯形一定是對稱四邊形.

④箏形的對稱軸為直線AC,所以箏形一定是對稱四邊形.

故答案為：①③④

(2)如圖，

根據(jù)題意可知：四邊形48co不可能為菱形和正方形，

???當(dāng)四邊形ABC。分別為矩形、等腰梯形和箏形時，四邊形4BCD是對稱四邊形，

?,?點。在圖中的位置如圖所示，共有3個.

故答案為：3.

【分析】(1)根據(jù)對稱四邊形的定義，分別對①②③④逐個判斷即可得答案.

(2)根據(jù)題意可知：四邊形48co不可能為菱形和正方形，即可得當(dāng)四邊形48co分別為矩形、等腰梯形和箏

形時，四邊形48co是對稱四邊即可得答案.

(3)對稱四邊形48CD關(guān)于直線4c對稱，點8和點。為對應(yīng)點，即可得AC、BD垂直，BO、0D相等，進一步根

據(jù)已知可證明△4B0、ADEO相似，根據(jù)相似性質(zhì)得到銅、器相等，根據(jù)勾股定理得08=2直，進而可求

得對稱四邊形48co的面積12a.

(4)當(dāng)點尸與點C重合時，根據(jù)題意得80垂直平分線段"，BA、BC相等，進一步判斷△40尸為等邊三角形，

再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知”力E相等，即可得GC=DG,即可得空=1,同理得當(dāng)點尸在ZM的延長線上

OC

時.，提=2,當(dāng)4。IIEF時，器=2+75,當(dāng)401凡4時，器=b+1,綜合即可得答案.

(1)①矩形的一條對稱軸為一條邊的垂直平分線，所以矩形一定是對稱四邊形；②平行