點、直線、圓的位置關系（數學競賽題匯編）九年級全國（原卷版）

專題09點、直線、圓的位置關系

?全國各地競賽真題試題匯編

1.（2024九年級下?湖北黃岡?競賽）如圖，已知銳角△ABC的頂點力到垂心〃的距離等于它的外接圓半

徑，則NBAC的度數為（）

C.6CPD.64°

2.（2024九年級下?湖南湘西?競賽）一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是72cm,

若NACB=6療，則劣弧AB的長是_______cm.

3.（2023九年級?北京朝陽?競賽）已知四邊形ABC。內接于一圓.若NBA。=ZABC=6（f,AB=3,

CD=7,則該圓半徑的長為.

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4.（2023九年級上?浙江寧波?競賽）如圖，在。O中，AB是一條不過圓心。的弦，點C,。是AB的三等

分點，直徑CE交AB于點尸，連結AO交CF于點G,連結AC,過點。作CE的垂線交BA的延長線于

點H.連結BC交AO于點N,若。。的半徑為5AH=賓，則△ANB的周長為.

5.（2024九年級上?江蘇南京?競賽）如圖，兩個同心圓O,小圓的半徑為1,大圓的半徑為G點A為

小圓上的動點，P、Q是大圓上的兩個動點，旦AP1AQ,則PQ的長的最大值是.

6.（2023九年級下?湖南湘西?競賽）如圖，AB是OO的直徑，C是。。上的一個動點，延長AB至R使

BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足為點&點。在PC上.

⑴當PC與。。相切時，求NPCB的度數;

⑵當。在PC上運動時，器的比值是否為定值？若為定值，請求出定值；若不為定值，請說明理由.

GLz

（3）設tanNPCB=x,tan0ZPOC）=y,求y與x之間的函數關系式.

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7.（2023九年級?江西贛州?競賽）如圖所示，直線/的解析式為y=；x-3,并且與x軸、y軸分別相交于

點4B.

（1）求力、8兩點的坐標.

（2）一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位/每秒的速度向x軸正方向運動，問什么時刻該圓與

直線/相切.

⑶在題（2）中，若在圓開始運動的同時，一動點尸從4點出發，沿BA方向以0.5個單位/秒的速度運動,

問在整個運動的過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓的內部）上一共運動了多少時間？

8.（2023九年級下?福建龍巖?競賽）如圖，AB為。。的直徑，四邊形ABC。內接于OO,3。交于點E,

。0的切線A尸交B。的延長線于點尸，且NCAO=ZABD.

⑴求證：AD=CD,

(2)若AB=4,BF=5,求sin/BDC的值.

9.（2024九年級下?江蘇無錫?競賽）如圖，在Rt/\ABC中，ABAC=90°,AC=6,AB=8.點。

是BC邊上一點，且滿足CDB。=23若點七在AC上運動，過點。作OF_LOE交AB迫于點尸.

BDC

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(1)證明：△DEF的形狀不變；

(2)當點E從點C向點A運動的過程中，求邊EF的中點M的運動路徑長.

10.(2023九年級?浙江寧波?競賽)如圖所示，AB為半圓O的直徑，C在AB延長線上，P是半圓。上的

一個動點，以PC為底邊作等腰直角三角形PCQ(P、C、Q逆時針排列)，已知AB=4,BC=2；

⑴若△POB為正三角形，求QB的長;

(2)求四邊形POCQ面積的最大值.

11.(2024九年級下?湖北黃岡?競賽)如圖，△ABC的邊長為q0O為△ABC的外接圓，點B為ABC

的中點，點M為Z2上一點，連接AM,且=6",連接交AC于。點，過2點作OO的切線

交AC延長線于E點.

(2)如果BC平分NEBM；

①用含a的式子表示AM?BE的值;

②求證：

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12.（2023九年級匕河北邯鄲?競賽）已知NMPN的兩邊分別與圓O相切于點4B,圓O的半徑為二

求NACB的度數;

⑵如圖2,點C在圓上運動，當PC最大時，要使四邊形APBC為菱形，NAPB的度數應為多少？請說明

理由.

.全國聯賽真題試題匯編F

1.（2024九年級?全國?競賽）等腰直角三角形的內切圓半徑與外接圓半徑的比值為（）.

A.V2-1B.&+1C.9D.①

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2.（2024九年級?全國?競賽）下列結論正確的是（）

A.同一個平面內的三點確定一個圓B.三角形三條角平分線的交點是三角形的外心

C.一個圓有無數個內接三角形，一個三角形有無數個外接圓D.三角形的外心到三角形三個頂點的

距離相等

3"2024九年級?全國?競賽）已知△ABC為。O的外切三角形，點D、E、F分別是AB、BC、AC與OO

的切點，如果NA=78、那么NDE尸=（）.

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A.7(rB.6(rC.55°D.5爐

4.（2024九年級?全國?競賽）如圖，兩半圓的圓心點O/,。2分別在直角△ABC的兩直角邊AB，AC

上，直徑分別為AB、CD,如果兩半圓相外切，且AB=AC=6cm,那么圖中陰影部分的面積為（）.

A.(7—n)cm2B.(5—njcm2C.7cm2D.5cm2

5.（2024九年級?全國?競賽）如圖，有一個圓桶，里面裝有兩個不變形的球體，其中大球的半徑為R=30cm,

小球的半徑為r=2/m,兩球頂部到桶的頂部的距離分別為Q=4/m,b=20cm,那么桶的內部直徑X為

C.80cmD.90cm

6.（2024九年級?全國?競賽）如圖，點O為矩形ABCO的中心，AB=8,BC=￡OB的半徑為2,點P

是。B上一個動點，則4AOP面積的最小值為（）

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A.9B,8C.7.2D.7

7.（2024九年級?全國?競賽）已知OO為△ABC的外接圓，且圓心。在△ABC的內部，分別過點O作

OD1ABtOE1AC,垂足分別為點E,若OE=8cm,則BC=cm一

8.（2024九年級?全國?競賽）如圖，以為△ABC的斜邊AB為直徑作0O,I為△ABC的內心，點P

為。O匕一個動點，N為/尸的中點，若AB=70,AC=6,則AN的最大值為.

9.（2024九年級?全國?競賽）如圖，AO為半圓的直徑，點O為圓心，點C為半圓上一點，點D為AZ7延K

線上一點，且N7=N2.

BD

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⑴求證：CD為。0的切線；

⑵過點A作。。的切線AE交DC的延長線于點E,若。。的半徑為&m,BD=2cm,求CE的長度.

10.（2024九年級?全國?競賽）如圖，四邊形ABCO為正方形，點E為BC延長線上一點，連接AE,交B0

于點F,交CD于點、G,連接CF.

⑴求證：CF與ACEG的外接圓相切；

⑵當CE=C尸時，判斷CG和EF有怎樣的數量關系？并說明理由;

⑶在（2）的條件下，求DG與CG的比值.

11.（2024九年級?全國?競賽）如圖，點O為等腰直角△ABC斜邊的中點，與AB、AC分別相切

于點。、E,交OC于點F,DF的延長線交AC的延長線于點G,已知AB=&m.

⑴求0E的長；

（2）求證：Z.CFG=ZCGF；

⑶求由DG、EG和所圍成的組形（陰影部分）的面積.

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12.(2024九年級?全國?競賽)如圖，已知AB為OO的直徑，將AB繞點A旋轉?定的角度后得到AC,

交。O于點D,連接BC,交OO于點瓦過點石作片尸_14。，垂足為點F.

⑴求證：EF為OO的切線；

⑵連接OE、BD,若AB=5cm,求△4BO的面積.

13.(2024九年級?全國?競賽)如圖1,AB為。。的直徑，弦CO垂直平分OB,在的延長線上取一點

(1)求證：CE是OO的切線；

(2)如圖2,若BC=2,點尸在OO上，且△6C尸的內心是CDL的點G.求線段0G的