2026年高考數學一輪備考練習（新高考）直線與圓錐曲線的位置關系（學生版+解析）

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.9直線與圓錐曲線的位置關系

【考情分析?探規律】

考點考情分析(2021-2024)命題趨勢

2024?全國新U卷、2024?北京卷、

考點1直線與圓了解直線與圓錐曲線位置關

2023.天津卷、2023.全國新II卷、

錐曲線的位置關系的判斷方法；掌握直線被圓錐

2022?全國新II卷、2021?全國甲卷、

系及其應用曲線所截的弦長公式；能利用方

2021?全國乙卷

程及數形結合思想解決焦點弦、

考點2曲線方程2024?全國新I卷、2024?全國新II卷、

中點弦問題。

及曲線軌跡2021?浙江卷

【知識梳理】

1.直線與圓錐曲線的位置關系

(1)直線與圓錐曲線的位置關系有；相交有兩個交點(特殊情況除外),

相切有一個交點，相離無交點.

(2)判斷直線/與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線I的方程Ax+B)，+C=O代入圓

錐曲線C的方程.消去)，(或處得到一個關于變量M或,，)的方程加+/zv+c=O(或ay^rby

+c=0).

①當aWO時，可考慮一元二次方程的判別式/,有/>()時，直線/與曲線C;A

=0時，直線/與曲線C；/V0時.，直線/與曲線C.

②當。=0時，即得到一個一次方程，則/與C相交，且只有一個交點，此時，若C為

雙曲線，則直線/與雙曲線的平行；若C為拋物線，則直線/與拋物線的

平行或重合.

2.圓錐曲線的弦長公式

設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x”9)，8(X2,刃)，則江陰=31+妁M一刈=

yj(1+F)[(Xl+x2)2—4X1X2]或

H8|=q7Zg|)，i—)，2|=cj(l+±)[()，1+)，2)2—4y”],及為直線斜率且公^0.

3.中點弦問題常用“根與系數的關系”或“點差法”求解.

（1）利用根與系數的關系：將直線方程代入橢圓的方程，消元后得到一個一元二次方程,

利用根與系數的關系和中點坐標公式建立等式求解，注意不能忽視對判別式的討論.

（2）點差法：若直線/與橢圓C有兩個交點A,B,一般地，首先設出4但，），D，

州），A8中點MQo,），o）,直線A8的斜率A,將點A,8代入圓錐曲線的方程，兩式相減，

整理得（分別以￡+3=1，5一方=1，寸=2/＞為【典例J］），橢圓中k=一方半；雙曲線

UUClUCljo

中仁。魯拋物線中仁士

點撥】

1.圓錐曲線中最短的焦點弦為通徑，橢圓、雙曲線中長為手，拋物線中長為2P.

2.過原點的直線交橢圓于A,B兩點，P是橢圓上異于A,8的任一點，則心火幻8=一7;

同理，雙曲線中島”攵依=%（以上焦點在x軸上）.

3.若點尸（的，和）在橢圓上，過點P的切線方程為等+器=1;同理，雙曲線中為崇一評

=1（以上焦點在x軸上）.

【隨堂訓練】

1.思考辨析（在括號內打J”或“X”）

（1）直線與圓錐曲線的三種位置關系：相離、相切、相交.（）

二

（2）直線y=x與橢圓，+.F=1一定相交.（）

（3）“直線/與雙曲線C相切”的充要條件是“直線/與雙曲線C只有一個公共

點”.（）

（4）若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.（）

2.若直線），=履+2與橢圓9+?=1有且只有一個交點，則%的值是（）

A.逅D.匹

33

C.±—D.±—

33

3.已知直線/：），=］一1與拋物線）2=公交于A,B兩點、,則線段的長是（）

A.2B.4

C.8D.16

4.已知點A,8是雙曲線C：^一1=1上的兩點，線段A8的中點是M（3,2）,則直線

AB的斜率為（）

【必練核心題型】

題型一直線與圓錐曲線的位置關系

【典例】1.已知直線/的方程為g+），+2m=1,橢圓C的方程為9+9=1,則直線

/與橢圓。的位置關系為（）

A.相離B.相交

C.相切DJ、能確定

【典例】2.已知雙曲線C：?一\=1，過點P（3,3）作直線/,使/與。有且只有一

個公共點，則滿足條件的直線/共有（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

【變式訓練】

變式1.已知拋物線C：丁=），，點M（〃7,1）,則是“過M且與C僅有一個公

共點的直線有3條”的（）

A.充分條件

B.必要條件

「?充要條件

D.既不充分也不必要條件

變式2.直線日一廠H=0（2WR）與橢圓?+3=1恒有公共點，則實數機的取值范圍

為（）

A.(l,4]B.[l,4)

C.[l,4)U(4,+8)D.(4,+8)

題型二弦長問題

【典例】1.經過橢圓［+）2=1的左焦點月作傾斜角為60。的直線/,直線/與橢圓相

交于A,8兩點，則線段48的長度為（）

AB些

57

C.2D型

【典例】2.已知產是雙曲線C：的左焦點，過點尸的直線與。交于A，B

兩點（點A,8在C的同一支上），且|3F|=2|AF|,則依引等于（）

A.6B.8

【拓展訓練】

圓錐曲線弦長的萬能公式（硬解定理）

設直線方程為y=jtr+W0）,圓錐曲線的方程為7U,），）=（）,把直線方程代入曲線方程，可

化為a.r+bx+c=0（存0）或ay2+by+c=0（存0）,設直線和曲線的兩個交點分別為A（x\,.vi）,

3（X2,”）.

22

（1）若消去y,則弦長公式為|A〃|=Jl+F,h-X2|=J1+/C.J（X1+X2）-4X1X2

==J1+崎

（2）若消去A-,則弦長公式為|48戶J1+專如-詞:小+a］（%+丫2）2—4月、2

=小+國（―32_,=m音

【典例】已知雙曲線C：2/-y2=2,直線/：1-），+1=0與雙曲線。交于M,N兩點，

則弦長IMN等于（

A/B邛

?3

C.4V3D.4V2

【變式訓練】

變式1.已知雙曲線C：（一』=1的下焦點和上焦點分別為a，&，直線y=x+m與

。交于A,8兩點，若面積是△QA8面積的4倍，則〃?等于（）

A.3B.—3

若—

33

變式2.已知橢圓C：q+1=1（?比＞0）的離心率為:，過C的左焦點且斜率為1的直

Q4叩2

線與。交于A，8兩點.若|A8|=12,則。的焦距為.

題型三中點弦問題

【典例】1.已知直線/交拋物線C：/二一］8）,于M,N兩點，且MN的中點為（3,-

2）,則直線/的斜率為（）

A.-3B.-y

C.iD.-；

93

【典例】2.已知直線/：x—y+3=0與雙曲線C：圣一《=1（4＞0,匕＞0）交于4,8兩

點，點P（L4）是弦48的中點，則雙曲線C的漸近線方程是（）

A.y=±3B.y=±2x

C.y=±^xD.y=±4x

【變式訓練】

變式1.已知橢圓E：4=1（?/?0）的右焦點為F（3,0）,過點b的直線交橢圓E

a，b幺

于A,B兩點,若A8的中點坐標為（1,一1）,則橢圓E的方程為（）

變式2.已知拋物線C丁=2〃皿＞0）的焦點到準線的距離為1,若拋物線C上存在關

于直線/：工一），-2=0對稱的不同的兩點。和Q,則線段P。的中點坐標為（）

A.(l,-1)B.(2,0)

D.(l,1)

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單項選擇題（每小題5分，共3（）分）

1.直線尸履T與橢圓"+3=1的位置關系為（

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

2.已知直線2r+），-2=0與拋物線C：）2=4工交于A,8兩點，則依8|等于（）

A.V5B.5

C.3V5D.4V5

3.若直線/：y=kt+2與曲線Cx2—）2=6（心＞0）交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）

,W）

A?(-BQ手)

C(-,。）T7

4.已知雙曲線C的方程為5,一產=1,i寸點P（0,—1）作直線/與雙曲線左、右兩支交干

點、M,M若麗=2而，則直線/的方程為（）

A.y=-x-I

B.y=%：-I或y=_]-I

C.y=x-1或y=—x—I

D.y=x~1

5.（2025?張掖模擬）已知傾斜角為？的直線/與橢圓C：。+9=1交于A,B兩點,P為AB

44

的中點，。為坐標原點，則直線OP的斜率為（）

A.-lB

C.--D--

34

6.經過拋物線C）2=8x的焦點尸的直線交。于A,8兩點，與拋物線C的準線交于點

P,若|AF|,|AP|,|8F|成等差數列，則HB|等于（）

A.4V3B.4V6

C.-D.-

33

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.平面直角坐標系中橢圓C的中心為原點，焦點在坐標軸上，點（1,y）,（V3,§均

在橢圓C上，貝1（）

A.橢圓。的離心率為：

B.直線/：依+y—2=0與橢圓。相交

C.橢圓。的短軸長為2

D.若橢圓C上弦A3的中點坐標為（1,1）,則直線48的斜率為一：

8.已知拋物線Cy=4f的焦點為尸，A,8為。上的兩點，過A,8作C的兩條切線交

于點P,設兩條切線的斜率分別為k，公，直線A8的斜率為自，則（）

A.C的準線方程為〉，=一1

BA，&3,B成等差數列

C.若戶在。的準線上，則A次2=—1

D.若P在C的準線上，則|AF1+4|陰的最小值為白

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.已知雙曲線?一丁=1,則過（3,0）且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率

為.

10.已知拋物線Cy2=4x的焦點為為C上的兩點.若直線FA的斜率為（且丙?麗

=0,延長A凡8”分別交C于P,Q兩點，則四邊形48PQ的面積為.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知雙曲線C：三一［=1（。>0,b>0）,焦點為Q,其中一條漸近線的傾

斜角為30。，點M在雙曲線上，且IIMRLIM尸211=26.

（1）求雙曲線C的標準方程；（4分）

（2）直線/：y=x+m交C于A,B兩點，若△AO8的面積為歷（O為坐標原點），求正實

數m的值.（9分）

12.（15分）（2025?八省聯考）己知橢圓C的離心率為右左、右焦點分別為F!（-l,0XF2（L0）.

（1）求。的方程;（2分）

（2）已知點M）（1,4）,證明滋段凡林的垂直平分線與。恰有一個公共點;（4分）

（3）設M是坐標平面上的動點，且線段的垂直平分線與C恰有一個公共點，證明M的

軌跡為圓，并求該圓的方程.（9分）

【尖子拔高訓練】每小題5分，共10分

13.已知雙曲線三一卷二1(00">0),過實軸所在直線上任意一點N。,0)的弦的端點A,

Q/b，

B與點、G(m,0)的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即NNGA=NNGB,則根的值

為（）

a2

A—

t

C.t2

14.阿基米德在《拋物線求積法》一書中描述了如何求解拋物線與直線圍成的弓形的面積

的方法：如圖，若拋物線C與直線/交于48兩點，要求弓形部分面積，先構造直線

V//1,/與拋物線相切于點P,得到一級△P4以用同樣的方法在切點戶兩旁得到兩個二

級△/)/%,AEPB；再用同樣的方法在切點。，上兩旁得到四個三級三角形……依次下

去，通過證明知道每個新構建的三角形的面積都是上一級三角形面積的3那么求出

O

△P48的面積就可以得出弓形面積.若已知拋物線C：丁=4心直線/：x-y-l=0,則

拋物線C與直線/圍成的弓形面積為()

一級三角形

A.4或B.8企

「16女

D.16V2

'3

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.9直線與圓錐曲線的位置關系

【考情分析?探規律】

考點考情分析（202L2024）命題趨勢

2024?全國新U卷、2024?北京卷、

考點1直線與圓了解直線與圓錐曲線位置關

2023?天津卷、2023?全國新H卷、

錐曲線的位置關系的判斷方法；掌握直線被圓錐

2022?全國新H卷、2021.全國甲卷、

系及其應用曲線所截的弦長公式；能利用方

2021?全國乙卷

程及數形結合思想解決焦點弦、

考點2曲線方程2024?全國新I卷、2024?全國新U卷、

中點弦問題。

及曲線軌跡2021?浙江卷

【知識梳理】

1.直線與圓錐曲線的位置關系

（1）直線與圓錐曲線的位置關系有理逡、杞叨、相宣；相交有兩個交點（特殊情況除外）,

相切有一個交點，相離無交點.

（2）判斷直線/與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線/的方程Ax+8），+C=0代入圓

錐曲線C的方程.消去y（或x）得到一個關于變量M或y）的方程a1+/?+c=O（或ay2+hy

+c=0）.

①當時，可考慮一元二次方程的判別式/,有/>0時，直線/與曲線C型交；J

=0時，直線/與曲線C和切：/<0時，直線/與曲線C相離.

②當。=0時，即得到一個一次方程，則/與C相交，且只有一個交點，此時，若C為

雙曲線，則直線I與雙曲線的漸近線平行:若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸

平行或重合.

2.圓錐曲線的弦長公式

設直線與圓錐曲線的交點坐標為V），&X2,2），則|八陰=31+乒民一田=

N（1+F）［（X1+X2）2-4口也］或

依8|=寸7^|），1一），2|=］（1+/）［（），1+力）2—4?%］,攵為直線斜率且攵W0.

3.中點弦問題常用“根與系數的關系”或“點差法”求解.

（1）利用根與系數的關系：將直線方程代入橢圓的方程，消元后得到一個一元二次方程,

利用根與系數的關系和中點坐標公式建立等式求解，注意不能忽視對判別式的討論.

（2）點差法：若直線/與橢圓C有兩個交點A,B,一般地，首先設出4但，），D，

州），A8中點MQo,），o）,直線A8的斜率A,將點A,8代入圓錐曲線的方程，兩式相減，

整理得（分別以￡+3=1，5一方=1，寸=2/＞為【典例J］），橢圓中k=一方半；雙曲線

UUClUCljo

中女=《冬拋物線中仁士

點撥】

1.圓錐曲線中最短的焦點弦為通徑，橢圓、雙曲線中長為拋物線中長為2P.

2.過原點的直線交橢圓于A,B兩點，P是橢圓上異于A,B的任一點,則心火幻8=一7;

同理，雙曲線中島”攵依=%（以上焦點在x軸上）.

3.若點尸（的，和）在橢圓上，過點P的切線方程為等+器=1;同理，雙曲線中為崇一評

=1（以上焦點在x軸上）.

【隨堂訓練】

1.思考辨析（在括號內打J”或“X”）

（1）直線與圓錐曲線的三種位置關系：相離、相切、相交.（）

二

（2）直線y=x與橢圓，+.F=1一定相交.（）

（3）“直線/與雙曲線C相切”的充要條件是“直線/與雙曲線C只有一個公共

點”.（）

（4）若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.（）

【答案】（1）J（2）7⑶X（4）X

【解析】（3）當“直線/與雙曲線C只有一個公共點”成立時，則與漸近線平行的直線與

雙曲線只有一個交點或者直線/與雙曲線相切有一個交點.

（4）直線與拋物線的對稱軸平行時也只有一個交點.

2.若直線》=履+2與橢圓1+1=1有且只有一個交點，則k的值是（）

A.—B.——

33

鴻D嚀

【答案】C

y=kx+2,

【解析】由22

土x+,匕y=1

、32

得(2+3斤)*+12履+6=0,

由題意知/=（12k）2-4X6X（2+3S）=O,

解得k=q.

3.已知直線/：），『一1與拋物線）2=4x交于A,B兩點，則線段A8的長是（）

A.2B.4

C.8D.16

【答案】C

【解析】聯立一1'

（y=4%

消去y并整理得『一6"+1=0,

設A(xi,y\),8(x2，方),

則X|+l2=6,X\X2=I,

(X+X)2-4XX=Jl+lXV36-4=8.

所以|A8|=1212

4.已知點A,8是雙曲線C：9一1=1上的兩點，線段A8的中點是M（3,2）,則直線

AB的斜率為（）

【答案】D

【解析】方法一設4（的，yi）,B（X2,J2）,

???點4,8是雙曲線C上的兩點，

百T二—

兩式相減得

⑷.；＞）372）_（）1.，'2）。廣乃）

2~3

???M（3,2）是線段AB的中點，

；?汨+及=6,yi+>2=4,

?6(Xi-x)_4(%一%)

1A-----------2--------------------

2

：-kAB=^^=\

Xi-Xz4

方法二由乂夕切產5=|

得的=1盧=?鴻.

2KOM224

【必練核心題型】

題型一直線與圓錐曲線的位置關系

【典例】1.己知直線/的方程為〃優+），+2/〃=1,橢圜C的方程為葺+3=1,則直線

/與橢圓。的位置關系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.不能確定

【答案】B

【解析】直線/：inx+y-2m=\,

即皿x+2）+y—1=0,

令2+2=0,解得F=-2,

ly-1=0,ly=l,

則直線/過定點（一2,1）,

因為喑+?=也1，

則該定點在橢圓內，

則直線/與橢圓C的位置關系為相交.

【典例】2.己知雙曲線C：1一馬=1，過點P（3,3）作直線/,使/與C有且只有一

916

個公共點，則滿足條件的直線/共有（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

【答案】D

【解析】由題意知雙曲線的焦點Fi(-5,0),F2(5,0),頂點A(3,0),漸近線方程為y

=±±

由P(3,3)可得該點在雙曲線右頂點上方，

易得過P點與雙曲線有且只有一個公共點的直線中，有兩條和雙曲線的漸近線分別平行

的直線(圖1),

有兩條雙曲線右支的切線(圖2),共4條.

；【解題技巧】；

ii

ii

\(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.：

ai

\(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或|

ii

ii

j重合).j

【變式訓練】

變式1.已知拋物線C：f=)，，點1),則“〃?>1”是“過M且與C僅有一個公

共點的直線有3條”的()

A.充分條件

B.必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由于過M且與效物線C僅有一個公共點的直線有3條，則當直線的斜率不存

在時符合題意，此時直線為；

當直線的斜率存在時，設直線為y-\=k(X-m),

(y-l=k(X-m\

l/=y,

消去)，整理得r-kx-^hn—1=0,

所以4=0,即關于女的方程標一4E?+4=0有兩個不同的解，

所以4>0即16評_16>0,

解得m<—\或m>\,

所以是“過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條”的充分條件.

變式2.直線去一廠H=0(Z￡R)與橢圓?+\=1恒有公共點，則實數機的取值范圍

為()

A.(l,4]B.[l,4)

C.[l,4)U(4,+8)D.(4,+8)

【答案】C

【解析】由于直線)=京+1恒過點M(0,I),要使直線y=kx+1與橢圓9+?=1恒有

公共點，

則只要M(0,1)在橢圓的內部或在橢圓上即可，

m>0,

(7工4,解得〃?21且加會4,

故實數〃?的取值范圍為[1,4)U(4,+oo).

題型二弦長問題

【典例】1.經過橢圓t+y2=l的左焦點a作傾斜角為60。的直線/,直線/與橢01相

交于A,B兩點,則線段A8的長度為()

A.qB.隨

77

C.2D?警

【答案】B

2

【解析】在橢圓合+），2=1中，4=2,〃=1,所以匹=后一力2=1,即。=1,故左焦點

為Fi(-1,0),

而tan600=V3,故直線/的方程為y=V3（x+l）,

聯立［+）2=1,得7d+12x+4=0,4>0,

設4（笛，yi）,B（X2,3,2）,由根與系數的關系得xi+入2=一三，XiX2=^,由弦長公式得|A8|

=J1+（V5）2xJ（-y）2-4xi=苧.

【典例】2.已知產是雙曲線C：x2—：=1的左焦點，過點廠的直線與。交于A,B

兩點（點A,B在C的同一支上），且|8F|=2|AF|,則|/1B|等于（）

A.6B.8

若D0

24

【答案】D

【解析】由C；f一：=1可得F（-2,0）,

根據對稱性，不妨設過點尸的直線為x=my—2（m>0）,

x=my—2,

聯立

/Y=L

可得（3/一］））,2一126），+9=0,

由題意可知3z?r-1^0，且/>0,

設A(xi,yi),8(X2,>?2),

則

%+力=目,①

為、2=后,②

由0Q=2|AF],得麗=2百，

又成=(—2—12,~y2),"A=(xi+2,巾)，

所以一力=2》.③

由①③可得，,尸一盛，”=黑1，

代入②得—禺X辭7=高，

解得〃=7等或〃?=一祟舍)，

所以|A8|=Jl+m2-lyi一聞=焉X31yl|=^=X等=*

【拓展訓練】

圓錐曲線弦長的萬能公式(硬解定理)

設直線方程為)，二任+伙K0),圓錐曲線的方程為yu,)，)=o,把直線方程代入曲線方程，可

化為公2+次+小=0(g0)或"+與+仁=0(啟0)，設直線和曲線的兩個交點分別為A(Xi,y?)，

8(X2,及).

22

⑴若消去y,則弦長公式為-x2|=J1+/CJ(X1+X2)-4X1X2

(2)若消去x,則弦長公式為|A8|=J1+專伙-”1=J1+JSi+%)2-

=/77T.I，.一把=.包

7k2y\a)ak2|a|

【典例】已知雙曲線C：2『-V=2,直線/：八)，+1=()與雙曲線。交于例，內兩點，

則弦長等于()

A絲B%

34

C.4V3D.4V2

【答案】D

【解析】聯立雙曲線與直線的方程，

得9-2x-3=0,1=16,又女=1,。=1,

由弦長的萬能公式知，|MN=J1+A2備=4魚.

【解題技巧】

(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用距離公式求(過兩點的直線

的斜率存在且不等于0).

(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|48|=即+初+〃.

(3)設直線方程時應注意討論是否存在斜率.

【變式訓練】

變式1.已知雙曲線c：(一』=i的下焦點和上焦點分別為a,6，直線)，=x+,〃與

C交于4,B兩點，若面積是△///?面積的4倍，則〃?等于()

A.3B.—3

C.3-D.--3

【答案】D

【解析】由C:?一』=1可知~(。，-2),尸2(0,2),

丫2=1

聯立3XT，

產x+m,

消兀得2.v2—2w?x+3—〃?'=0,

則J=4m2-8(3-m2)>0,即nr>2,

由2A8面積是△QA3面積的4倍，可知F?到直線AB的距離是Fi到直線AB距離的

4倍，即亨=4X%!，

化簡可得15〃?2+68〃?+60=0,

即（36+10）（5m+6）=0,

解得〃?=—弓或〃2=—[（舍去）.

變式2.已知橢圓c：4+[=1比>0）的離心率為不過c的左焦點且斜率為1的直

線與C交于A,8兩點.若依陰=12,則C的焦距為.

【答案】7

【解析】由橢圓C的離心率為e=\,可得a=2c,

則b=Va2-C2=y/3c,

所以橢圓。的方程為《+《=1，

4c23c2

即3d+49-12c2=0,

由直線A8過橢圓。的左焦點尸（一。，0）且斜率為1,可得AB的方程為），=x+c,

聯立方程組'=

3/+4y2_12c2=0,

整理得7f+8cx—8c2=0,

則/=64/+4義7乂8/=288。2>0,

設A（xi,yi）,8（&,yi）,

則X1H-X2=—y,X\X2=~^-,

所以|人四=Jl+12-J（X1+X2）2—4石丫2

2X（64C2+4X7X8C2）.

=&--------------=—9a=12,

77

解得c=：,

所以橢圓。的焦距為2c=7.

題型三中點弦問題

【典例】1.已知直線/交拋物線C：爐=一18），于"，N兩點，且MN的中點為（3,-

2）,則直線/的斜率為（）

A.-3B.一

6

C；D.-；

93

【答案】D

【解析】由題意知直線/的斜率存在，設直線/的斜率為k,MS,），D,MM,yz）,

則一18九

（后=-18y2，

兩式相減得好一石=—188—），2）,

整理得2m=—’1+"2

X218，

因為MN的中點為（3,-2）,

則XI+%2=2X3=6,

所以左=為士=—

即直線/的斜率為一"

【典例】2.已知直線/：工一〉+3=。與雙曲線C：^-^=1（?>U,。>。）交于A,6兩

點，點?（1，4）是弦A8的中點，則雙曲線C的漸近線方程是（）

A.y=±^xB.y=±2.r

C.y=±1xD.y=±4.t

【答案】B

【解析】方法一設&的，），i）,8（x2,yi）,

可得條_葛=1，

兩式相減可得

（3一*2）（孫+"2）_（當一毛）（乂+，2）

b2

由點P(1,4)是弦AB的中點，且直線/：x—y+3=0,

可得用+工2=2,），|+y2=8,y]—y2=X1—X2,

即有b2=4a2,即b=2a,

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x

方法二由題意知心B=I,財P=4(。為坐標原點)，

則%=%%P=4,

所以b2=4a2,b=2a,

故雙曲線。的漸近線方程為y=±2x.

?【解題技巧】解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路

“1)根與系數的關系法：聯立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程j

I后，由根與系數的關系及中點坐標公式求解.

I(2)點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(.ri,y)，8(Q,”)，將這兩點!

j坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦A8的中點和直線ABj

j的斜率有關的式子，可以大大減少計算量.

【變式訓練】

變式1.已知橢圓氏m+[=l(a>/?0)的右焦點為F(3,0),過點廠的直線交橢圓E

a，匕/

于A,8兩點，若A3的中點坐標為(1,一1),則橢圓E的方程為()

AX+心iB.JJ

1892718

42y2

C.-4-^=1D.—+—=1

36274536

【答案】A

【解析】方法一設AQi,y\),8(x2,J2),

城+城=1

22

所以ab

度+愛=1

a2b2

兩式相減可得另一詔_資_yl

整理可得上在=

Xl-X2。2d十力)'

根據題意可知直線A8的斜率為若2盤

由A8的中點坐標為(1,-1)可得.如+檢=2,)，|+力=-2,

因此%一%=M(XI+Q)=2b^=叱=工可得/=2序，

222

X1-X2d(yi+y2)-2aa2

方法二設A8的中點為P,。為坐標原點，

.0-(-1)1.-11

kAB=^~r=2，%=r一］，

22

則kAB-kop=~——^，所以a=2b,

由右焦點為f(3,0)可得〃一/=才=9,

解得從=9,,尸=18,

所以橢圓石的方程為

189

變式2.已知拋物線C丁2=2〃3>0)的焦點到準線的距離為1,若拋物線C上存在關

于直線/：工一)，-2=0對稱的不同的兩點2和Q,則線段PQ的中點坐標為()

A.(l,-1)B.(2,0)

C.%-1)D.(l,1)

【答案】A

【解析】???焦點到準線的距離為p,則p=l,

，y2=2x.設點P(x\,y\),2(x2,yi),

則產=24

ly2=2x2,

兩式相減可得

()L”)(yi+”)=2(XLX2),

?'?松=卡,又關于直線/對稱,

kpQ=-1,即y\+*=-2,

???PQ中點的縱坐標為?=-1,

又???PQ的中點在直線/上，

：.PQ中點的橫坐標為-1+2=1.

???線段PQ的中點坐標為（1,-1）.

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單項選擇題（每小題5分，共3（）分）

1.直線>=履一k與橢圓?+?=1的位置關系為（）

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

【答案】A

【解析】直線%可化為y=k（x—1）,所以直線恒過點（1,0）,

又1+。<1,即點（1,0）在橢圓的內部，

94

???直線），二h一々與橢圓?+3=1的位置關系為相交.

2.已知直線您+），-2=0與拋物線C：>2=4工交于A,8兩點，則依8|等于（）

A.V5B.5

C.3V5D.4V5

【答案】B

【解析】將入+），-2=0與拋物線C：）?=4x聯立得f—3x+l=0，/>0,

設A（x\,>n）,83,yz）,則X}+X2=3,

顯然拋物線焦點坐標為（1,0）,

令x=l,即2+），-2=0,

得），=0,則直線過焦點，

則依8|=汨+即+〃=3+2=5.

3.若直線/：），=履+2與曲線Cf一產=6（心＞0）交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）

4（-限苧）B.（O.甯

C.（-限。）D.（一票—1）

【答案】D

【解析】聯立方程組?=依+2，

lx2-y2=6,

整理得（正一1）?+4區+1D=O,

2,

設直線），=去+2與曲線C:x—）?=6（心＞0）交于不同的兩點（.，乃）,（x2,52）,

X+必=一含＞0，

則滿足1/孫=關7＞0，

好一1工0,

4=（4k）2-40（/-1）＞0,

解得一手＜七一1,

所以A的取值范圍是（一孚，-1）.

4.已知雙曲線C的方程為5爐一丁=1,過點"0,—1）作直線/與雙曲線左、右兩支交于

點M,N.若麗=2前，則直線/的方程為（）

A.y=-x~1

s

B.y=：x—1或尸一白一］

C.y=x-1或y=—x—1

D.y=x—1

【答案】C

【解析】設M（x）,），i）,N（X2,j,2）,直線/的斜率為k,則直線/的方程為y=U—1,

聯立一丫？-1，=（5—9*+2日一2=0,

y=kx-1

則5——0,且/=4（10—好）＞0,

…陪，①

2

為由=百，②

因為麗=2而，則一內=2小，

①③聯立解得鶯=急，必=志，

代入②得標=1=%=±1,

則直線/的方程為y=x—1或），=-x—1.

5.（2025?張掖模擬）已知傾斜角為：的直線/與橢圓C：。+9=1交于A,B兩點，P為AB

44

的中點，。為坐標原點，則直線OP的斜率為（）

A.-lB

C.-1D.--

34

【答案】D

【解析】方法一設A（x\,yi）,B（X2,J2）,P（XQ,jo）,

3L，2_xr+x2_yi+y2

則kAB=x。---;—,yo---;—

Xl-X2

所以絲1

XQXX-\-X2

所以kABk°P=薛彗,

xl-xl

將A,8兩點坐標代入橢圓方程可得

號*+羽=1，

,Y2

4禿=1,

兩式作差可得產+并一量=0,

所以依從8=空|=一;,

X1-X24

則kp=

O4

方法一由題意得如=4,》-=1,必8=1,

由kAH-kop=,

即1X%；>=一；,所以kop=~\.

44

6.經過拋物線C)?=8x的焦點尸的直線交。于A,B兩點,與拋物線C的準線交于點

P，若HQ，|AP|,|8Q成等差數列，則H8|等于()

A.4V3B.4V6

C.竺D.當

33

【答案】D

【解析】由題意得FQ,0),拋物線的準線方程為X=-2,

因為過拋物線C:)2=8%焦點尸的直線與拋物線C交于兩點，且與拋物線的準線相交，

所以直線的斜率存在且不為0，設直線方程為y=k(x-2),

與C:)2=8x聯立得df一(4仆+8)工+4爐=0,

設A(xi,ji),8(x2,yz)，顯然汨，x2>0,

則W2=4,

因為|AF1,|AP|,|BF1成等差數列,

所以21Api=|AF|+|BF|=|AA|,

所以3(XI+2)=X2+2,解得X2=3XI+4,

因為AIX2=4,所以3xf+4x|—4=0,

解得M=|或汨=一2(舍去)，所以必=6,

則|AB|=XI+X2+4=,+6+4=%.

JJ

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

7.平面直角坐標系中橢圓C的中心為原點，焦點在坐標軸上，點(1,苧)，(V3,打均

在橢圓。上，貝1]()

A.橢圓C的離心率為3

B.直線/：kx-\-y—k=O與橢圓C相交

C.橢圓C的短軸長為2

D.若橢圓C上弦48的中點坐標為(1,5,則直線A8的斜率為一之

【答案】BCD

【解析】設橢圓方程為nix2+ny2=\(m,,且〃?W〃)，

(m+-n=l,i

則《二解得

I3TH+-n=l,n=l.

所以橢圓方程為9+丁=1,

所以a=2,b=1,c=y/22-1=V3,e=-=[,故A錯誤；

a2

直線/的方程可整理為kix—l)+j'=O,

一二°，解得x=l

令f

(y=o,.y=o,

所以直線/恒過定點(1,0),

因為。+0<1,所以點(1.0)在橢圓手+)?=1內，所以直線/與橢