小升初專項(xiàng)講練：運(yùn)算與技巧（講義）原卷版-2026-2027學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

運(yùn)算與技巧

小學(xué)視角

學(xué)業(yè)要求?思維銜接坊。亶?|-

H銜接引導(dǎo)

T知識(shí)過渡?方法訓(xùn)練營(yíng)

講義（知識(shí)銜接篇）

|項(xiàng)目闖關(guān)?題型對(duì)點(diǎn)練/變式挑戰(zhàn)臺(tái)

一綜合演練?能力進(jìn)階場(chǎng)

學(xué)業(yè)要求?思維銜接坊

小學(xué)視角初中展望

數(shù)系擴(kuò)大了，上升到有理數(shù)域，最后到實(shí)數(shù)域,

這是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一個(gè)飛躍。同時(shí)數(shù)的運(yùn)算也

小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)正有理數(shù)和零的加減乘除混合運(yùn)在小學(xué)正數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算上升到

算，培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力了有理數(shù)和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，并增加乘方、開

方運(yùn)算。主要培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)

算能力、抽象能力、應(yīng)用意識(shí)等。

銜接引導(dǎo)

時(shí)于四則混合運(yùn)算，我們要求學(xué)生熟練地掌握運(yùn)算順序和計(jì)算的正確率；到了初中后，只要弄懂

符號(hào)法則，那有理數(shù)的運(yùn)算教學(xué)也能達(dá)到事半功倍之效。

對(duì)于運(yùn)算技巧（簡(jiǎn)便運(yùn)算;，希望大家能發(fā)自內(nèi)心想要讓運(yùn)算簡(jiǎn)便，而不是題目要求要簡(jiǎn)便。通

過本專題希望大家能同學(xué)們多觀察、體會(huì)，勤總結(jié)，靈活運(yùn)用簡(jiǎn)算方法，深刻理解簡(jiǎn)算的數(shù)學(xué)思想。

知識(shí)過渡?方法訓(xùn)練營(yíng)

考點(diǎn)闡釋

1.運(yùn)算定律

1）力U法交換律：a+b=b+a力U法結(jié)合律：a+b+c=a+(.b+c')

2）乘法交換律：axhxc=axcxh乘法結(jié)合律：（ax垃YC=垃

3）乘法分配律：（a±））xc=〃xc±5xc乘法分配律的逆用：axb±axc=a（b±c）

2.運(yùn)算性質(zhì)

1）減法的性質(zhì)：a-b-c=a-（b+c）a-b+c=a-（b-c）

2）除法的性質(zhì)：a+b+c=a+（〃xc）a+bxc=a+（6+c）

3）商的“不變性”，即若a+/?=c,貝iJ（a4）+SM）=c,（。+4）+。+4）=0卜/wO）；

3.裂項(xiàng)公式（補(bǔ)充）：把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。

1

第一類（“裂差〃型運(yùn)算）：z,一一1或一—-=-xf-一一匚'

+n〃+1〃（〃+相）m\nn+tn）

第二類「裂和”型運(yùn)算）：—或絲士=工+，

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的“，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消''型的，同時(shí)還有

轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

4.數(shù)列求和公式（補(bǔ)充）

①等差數(shù)列求和

等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2

等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)一首項(xiàng)）+公差+1

②等比數(shù)列求和

等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)義公比一首項(xiàng)）彳（公比一1）（公比W1）

5.乘法公式（補(bǔ)充）

平方差公式：e+b）（〃一人）=/一〃完全平方公式：（a+b）2=/+2帥+/,（a-b^=a2-2ab+b2

項(xiàng)目闖關(guān)?題型對(duì)點(diǎn)練

題型1活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想）

【解題技巧】“湊整”就是把“一些分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）湊成整數(shù)”，把“一些整數(shù)湊成10的整倍數(shù)”，使有理數(shù)式

子容易計(jì)算出結(jié)果。在湊整過程中，常用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解因數(shù)、提公因數(shù)等方法技巧。

一般情況下，小學(xué)階段的湊整主要使用運(yùn)算定律或減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)及商的不變性達(dá)到湊整的H的。

例1.（2024?內(nèi)蒙古通遼?小升初真題）脫式計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。

7.6：＜2.5x487x—26.4-3.28~6.4-4.72

1.25x8x4x2.573x101

變式1.（2024.河南周口.小升初真題）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。

（4、55

1--k-+（13.8-13）--857x1.9-8.57x80-85.7

9566x345+567

---X—

2.5567x345+222

ooQ

變式2.（2025六年級(jí)下?全國(guó)?競(jìng)賽）計(jì)算：（1彳三+3/+9二三）(1---十3———+9——)

2007669223

變式3.(24-25六年級(jí)下,北京海淀?開學(xué)考試)計(jì)算。

(33、1

11--4--+1.25-0.85+7TTTT(12345+23451+34512+45123+51234)+(1+2+3+4+5)

題型2、巧分組法

【解題技巧】基本運(yùn)算中的分組策略

觀察算式，找出算式分布規(guī)律，然后適當(dāng)分組，利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡(jiǎn)化計(jì)算。

1）加減法的相鄰分組：針對(duì)連續(xù)加減混合運(yùn)算，優(yōu)先將相鄰的數(shù)按固定規(guī)律分組，簡(jiǎn)化計(jì)算,

示例：計(jì)算100-99+98-97+...+2-1

分析:每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)為一組：（100-99）+（98-97）+…+（2-1）；每組結(jié)果為1,共50組，總和為50。

2）等差數(shù)列與等比數(shù)列分組：若數(shù)列由不同規(guī)律的分段組成，可拆分為多個(gè)子數(shù)列分別求和。

例1.(24-25六年級(jí)下?江蘇?單元測(cè)試)計(jì)算：(1+6+11+16+...+126)-(2+7+12+...+122)

999555

變式1.（2025六年級(jí)下全國(guó)?競(jìng)賽）計(jì)算：(1^—k3—4-9—?(1^—1-3—+9°)

20076692232007669223

變式2.（2024七年級(jí)上?全國(guó).專題練習(xí)）計(jì)算：1+3工+5白+7白+9^+114+13上+15工+17工.

612203042567290

變式3.（24-25六年級(jí)下?北京海淀?開學(xué)考試）計(jì)算。

(33、1

11--4—+1.25-0.85+TTTTT(12345+23451+34512+45123+51234)+(1+2+3+4+5)

題型3、換元法

【解題技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。通過引入字母轉(zhuǎn)化命

題結(jié)構(gòu)，這樣不但可以減少運(yùn)算過程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過程中起到橋梁作用。

例1.（2024.成都市小升初模擬）計(jì)算（寫出必要的計(jì)算過程）。

變式1.（2024六年級(jí)上?遼寧?專題練習(xí)）算一算。

i）“高+康+1

(1)(1H-------1------+----+----)—(1H--------1------+H------)

199920002001200120021999200020012002

、（康+募+擊）

1-J)

(2)(IH---1---K...+)-(I+-+-+...+

232017232018232018232017

變式2.（2023?廣東?校考小升初模擬）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。

111

-?-4--

234

變式3.（2024六年級(jí)下?全國(guó).專題練習(xí)）計(jì)算。

題型4、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算

【解題技巧】把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。利用下面的拆項(xiàng)公式課

化簡(jiǎn)些有理數(shù)式子的計(jì)算

第一類「裂差”型運(yùn)算）：①—二二」一一二或一——"

n（n+\）n〃+1n\Jn+m）m\nn+mJ

②________J________』_J_____________!Uo

nx（n+l）x（n+2）nx（n+l）（n+l）x（/i+2）2

裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：

（1）分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可■為都是x（x為任怠自然數(shù)）的，但是只要將x提取

出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。

（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”

（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。

第二類「?裂和”型運(yùn)算）：—=^—f-+-l或^-=-+~

m-nm-\-n\mn）m-ntnn

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比:

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的“，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有

轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整''型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

例1.

（24-25七年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）觀察下列等式:

1,111111

—1，一，

1x222x3233x434

1

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：（1）猜想并寫出：7T

n[n-1）

（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果:

??1I]

①-------1---------1---------1-H------------------+------+

1x22x33x42017x20181x22x33x4/?(/!+1)

⑶探究算式，直接寫出計(jì)算結(jié)果：￡+木

+201()x2012

變式1.（24-25六年級(jí)上.江蘇常刑期中）先觀察下列等式再完成題后問題。

111111111

2x3233x4344x545

1

(1)請(qǐng)你猜想:

2010x2011

探究并計(jì)算:白+白+羨+

(2)

2010x2012

變式2.（2024?四川綿陽(yáng)?小升初真題）計(jì)算下列各題（寫由必要的計(jì)算過程）。

|7|r1,41419cl,5,1

⑴9--8—+7------6------F5------4—+3------2—+1—

9072564230201262

4

(2)—x+++-----------

251x55x99x1397x101

變式3.（2024六年級(jí)上?遼寧?專題練習(xí)）計(jì)算。

T------T

2x44x66x88x1010x12

3,519I17十33,65

214rr16十32,64

8

9?2514981?121

2x44x66x88x1010x12

151>1?卜9701+9899

11r[--

26122097029900

題型5、數(shù)列求和（等差、等比數(shù)列）

【解題技巧】

①等差數(shù)列求和

等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2；等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)一首項(xiàng)）+公差+1

②等比數(shù)列求和

等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)X公比—首項(xiàng)）?（公比—1）（公比￥1）

例1.（2024.四川成都?小升初模擬）計(jì)算。

1+3+5+7+9++2013

2015+2017+2019+…+4027

變式1.（2025六年級(jí)下?全國(guó)?競(jìng)賽）計(jì)算：（1+表）+（1+^x2）+（1+^x3）+……+（1+9

10）

變式2.（24-25六年級(jí)上?山東淄博階段練習(xí)）【閱讀】

求值2+2242?+9+…+10

解：設(shè)S=l+2+22+23+2,+-r^0?

將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2s=2+22+2'+24+25++2"@

由②-①得：2S-S=2"-1,

即：5=1+2+22+23+24++21（1=2"-1

【運(yùn)用】

仿照此法計(jì)算：

⑴l+3+32+3'+34+.+350；

^,1111

（2）1+]+3+聲+…+源■

【延伸】

如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S上選取右下角的小

正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，Sa,依次操作2024次，依次得到小正方形

S]、S2>S3'512024-

51

S?

S3

完成下列問題：

⑶小正方形S.4的面積等于_；

（4）求正方形&$2、$3…S2c24的面積和.

變式3.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?假期作業(yè)）【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一

般形式可以寫成：《，/，％一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同

一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等匕數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用,表示.如：數(shù)列

1,248….為等比數(shù)列，其中4=1，%=2,公比為令=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）等比數(shù)列3,9,27….的公比夕為,第5項(xiàng)是—.

【公式推導(dǎo)】如果一個(gè)數(shù)列/生，?…?，凡…?，是等比數(shù)列，且公比為4,那么根據(jù)定義可得到：

a、&q""+1，3

—=q，—=q，—=%…，—=，.所以生=qq,%=4?夕=q4?夕=45-，出二叼夕二卬夕-二。//，…

a\a2an

（2）由此，請(qǐng)你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，“二《?一?

【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不及雜，但是其推導(dǎo)過程——錯(cuò)位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特.下面

是小明為了計(jì)算1+2+2?+…+2239+22儂的值，采用的方法:

設(shè)S=l+2+2?+...+2劉9+22020①，則2s=2+22+...+223+22⑵②，

?-?^25-5=5=2202,-l,.-.S=1+2+224-...+22O,9+22O2O=22O2,-1.

【解決問題】（3）請(qǐng)仿照小明的方法求11+1F+U3+…+11的的值.

題型6、運(yùn)用乘法公式運(yùn)算

【解題技巧】平方差公式：（〃+〃）（〃一〃）=〃2一〃2

完全平方公式：（。+〃）2=/+勿〃+從，一人）2=/-2出?十從

例L（24-25七年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）計(jì)算：

（1）38.92-2x48.9x38.9+48。；

（2）20252-2027x2023.

變式L（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

（1）79x81；

⑵99x101x10001.

變式2.（24-25九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）i+Jf：1.345x0.345x2.69-1.3453-1.345xO.3452

變式3.（24-25七年級(jí)下?重慶?階段測(cè)試）計(jì)算：t2+Z1±區(qū)+..?+竺士121+此也.

1x22x318x1919x20

題型7、利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算

【解題技巧】利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法，通常被稱為圖形法或幾何法。這種方法通過將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化

為圖形問題，利用圖形的直觀性和幾何性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。需要注意的是，雖然圖形法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過

程并提高解題效率，但在使用時(shí)應(yīng)確保圖形的準(zhǔn)確性和規(guī)范性。此外，對(duì)于?些特殊問題或復(fù)雜情況，可

能需要結(jié)合其他數(shù)學(xué)方法或工具來(lái)共同求解。

例L（24-25七年級(jí)上?廣東深圳?期中）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，張老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙

片，請(qǐng)同學(xué)們思考如何通過折紙的方法求出《+；+（+…+/的值.

【操作探究】“乘風(fēng)”小組的同學(xué)經(jīng)過一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下操作：如圖1,將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的

正方形紙片分割成7個(gè)部分，第①部分是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，第②部分是第①部分面積的

一半，第③部分是第②部分面積的一半，…，依次類推，則圖1中空白部分的面積為《+；+（+…+泉?

“破浪”小組是這樣思考的：設(shè)s=；++…

將等式兩邊同時(shí)乘以3得:ls=l+l+...+l+1,

將上式減去下式得即s=i-gq,即；+*+..得哈.

圖1圖2

【過程思考】

（1）圖I中陰影部分的面積是一4+:+：+...+/=_______.

24H2.

⑵請(qǐng)你利用圖2,再設(shè)計(jì)能求＜+：+：+…+4的值的幾何圖形.（只畫出圖形即可）

24o2

（3）根據(jù)以上規(guī)律，

①1+3:+…+3=.（〃為正整數(shù)）

?TO乙

②2+4+8+16+...+2"=.為正整數(shù)）

變式1.（24-25七年級(jí)上?重慶黔江期末）（1）為了計(jì)算1+2+3++8的值，我們構(gòu)造圖形［圖1）,共8

行，每行依次比上一行多一個(gè)點(diǎn).此圖形共有（1+2+3++8）個(gè)點(diǎn).如圖2,添出圖形的另一半，此時(shí)共8

行9列，有8x9=72個(gè)點(diǎn)，由此可得1+2+3++8=gx（l+8）x8=36.

用此方法，可求得1+2+3+?,+20=_（直接寫結(jié)果）.

（2）觀察下面的點(diǎn)陣圖（如圖3）,解答問題：

填空：①1+3+5++49=_；

②1+3+5++（2n+l）=_.

（3）請(qǐng)構(gòu)造一圖形，求g+/+。++白（畫出示意圖，寫出計(jì)算結(jié)果）

變式2.（24-25七年級(jí)下,四川達(dá)州期中）數(shù)學(xué)問題計(jì)算,+之十二+二（其中〃?，〃都是正整數(shù)，且〃

mmnrm

W>1)

探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個(gè)面積為1的正方

形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究.

探究一：計(jì)算:+*■+*++*.

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為｝.

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為4.

22,

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，L.

L

第〃次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和;+（■+/++5,

最后空白部分的面積是《?

第〃次分割圖可得等式：*』+六++±=1-±.

第n次分割

第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為2:.

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為;

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，L.

第"次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分,所有陰影部分的面積之和為：2+（2+2+，2,

最后空白部分的面積是5.

22221

根據(jù)第〃次分割圖可得等式：&+至+9++77=1-77.

探究三：計(jì)算卜，+卜+卜

（仿照上述方法，只畫出第〃次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程）

第n次分割

解決問題：根據(jù)前面探究結(jié)果：

\二+3++±=1.±

222L2〃2〃

—+——+——++--=--------

33-353"22x3”

1III

-+r+r++-=

4424’4"------------

L

-4A-+4++」7=.(只填空，其中，〃，〃都是正整數(shù)，且/心2,〃之1)

m相~nrm

土匚產(chǎn)戶田.、4?笛5—15"-155—15”-1

拓廣應(yīng)用?計(jì)算不~+丁+=++—?

綜合演練?能力進(jìn)階場(chǎng)

一、選擇題

1.（2024?河南開封?小升初真題）計(jì)算3白加Ix訴99時(shí)，用（）計(jì)算比較簡(jiǎn)便。

A.加法結(jié)合律B.乘法分配律

C.乘法交換律D.乘法結(jié)合律

2.（2024?山西晉中?小升初真題）張麗用計(jì)算器計(jì)算“45.7x9.9”時(shí)，發(fā)現(xiàn)鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確

結(jié)果的是（）。

A.45.7x3.3x3B.45.7x10-0.1C.45.7x8.8+45.7x1.1

3.（2025?廣東深圳?小升初真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著。它介紹了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的另

32211021

一種方法：先通分，再把分子直接相除。例如：=V+與=荒。下面（）是采用這種方法計(jì)算的。

31525315

A.--=--=0.75-^05=1.5R.--:=—X-=

42838216

53(57)(3713532989

?6'r7=l6X3/l7X3j=18D.—+—=—+—=

4312128

二、填空題

4.（2。24.河北石家莊?小升初真題）觀察下列式子：1=1_11111山

而=15…請(qǐng)計(jì)

6~2~31234

1111

算阜+L—+—+.—.+—.）。

2612203042567290

3

5.（2024.浙江溫州.小升初真題）計(jì)算“0.36+元”。

方法一：用分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算，和是個(gè)!相加;

方法二：用小數(shù)加減法計(jì)算，和是個(gè)0.01相加。

6.（2025?湖南長(zhǎng)沙?小升初題）計(jì)算:---+--------F---------++--------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3++19

三、計(jì)算題

7.（2024六年級(jí)上.遼寧?專題練習(xí)）計(jì)算。

一

1x2x32x3x43x4x598x99x100

2x3x5+8x12x20+10x15x25

3x5x7+12x20x28+15x25x35

「1八5/002八…、"

(2------x9-+7------x9.625)4-96-

2003820034

9+25+49+81+121

2^44^6嬴