直線(xiàn)與直線(xiàn)平面垂直【12個(gè)題型歸納】原卷版-2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版）

【專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)09：直線(xiàn)與直線(xiàn)，平面垂直】

總覽

題型1：證明異面直線(xiàn)垂直

題型2:求異面直線(xiàn)的夾角〕

A?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題型

題型3:正方體/長(zhǎng)方體模型直接判定定理謝^面

垂直

直

題型4:線(xiàn)面垂直定理?xiàng)l件辨析與正誤判斷

線(xiàn)

與

題型1:等腰三角形三線(xiàn)合一結(jié)合判定定理證線(xiàn)面

直垂直

線(xiàn)題型2:勾股定理逆定理證:垂直推導(dǎo)線(xiàn)面垂直

分支主題2

，

平題型3:線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直雙向轉(zhuǎn)化證明

面

題型4：菱形/IE方形對(duì)角線(xiàn)（梯形）垂直綜合證

垂線(xiàn)面垂直

直

（題型1：多步垂直鏈條"證明線(xiàn)面垂直

題型2:淺面垂直點(diǎn)的存在性探究與證明)

分支主題3

題型3:線(xiàn)面垂直結(jié)合體積、距離、最磔東合題

題型4：不規(guī)則多面體純幾何法線(xiàn)面垂直證出

rA?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題型】

【題型1：證明異面直線(xiàn)垂直】

【題型專(zhuān)練】

1.（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）在直三棱柱力BC-力iBiG中，AC1BC,求證：ACLBCX.

2.（24-25高二上?云南昭通?期中）如圖所示，在正方體48。。一48心。1中，48=1.證明：

⑴皿1BC

（2MD］與是異面直線(xiàn).

3.（24-25高一下?吉林長(zhǎng)春?期末）如圖，在直三棱柱ABC-中，AB1AC,D,￡分別為8C,4當(dāng)?shù)?/p>

中點(diǎn).

（I）求證：AB1DE.

⑵若力4=3,AB=AC=2,求三棱錐A—BCE的體枳.

4.（24-25高一下?山西?月考?）已知下面給出的三個(gè)圖都是正方體，A,8為頂點(diǎn)，E,尸分別是所在棱的中

點(diǎn)，則滿(mǎn)足直線(xiàn)4B1Er的圖形的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.（2024高一.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCC中，底面/BCD是平行四邊形，人IBC=120°,AB=1,

3c=4,M為3c的中點(diǎn)，PD1DC.證明：AB±PM.

M

AB

【題型2：求異面直線(xiàn)的夾角】

【題型專(zhuān)練】

6.（24-25高一下?貴州畢節(jié)?期末）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則直線(xiàn)4B與EF所

成角的大小為（）

A.0°B.45°

7.（25-26高二下?山西長(zhǎng)治?期中）如圖，正方體力—中，的中點(diǎn)為N,則異面直線(xiàn)力當(dāng)與

CN所成角的余弦值是（）

A.在B.這

55

8.（2026.遼寧大連?一模）在四面體A4CO中，AB=AC=AD=BD=CD=2,BC=2r，E為CD的中

點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與A。所成角的余弦值為（）

A.在B.立dD.2

105510

9.12027高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在正四棱錐P-48CD中，M為棱48上的點(diǎn)，且P4=48=24M，設(shè)平面PRD

與平面PMC的交線(xiàn)為I,則異面直線(xiàn)/與BC所成角的正切值為（）

A.-B.3C.-D.立

6346

10.（2027高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA1平面ABC,Z-BAC=60°,PA=AB=

AC=2,E是PC的中點(diǎn).

（1）求證：4E與PB是異面直線(xiàn);

(2)求異面直線(xiàn)4E與PB所成角的余弦值.

【題型3:正方體/長(zhǎng)方體模型直接判定定理證線(xiàn)面垂直】

【題型專(zhuān)練】

11.(25-26高一下?北京朝陽(yáng)?期中)如圖，在正四棱柱ABC。-4181cl中,AB=1,AAr=2,M是0%的

中點(diǎn).

D

}G

4

，供7,C

AB

(1)求證：BD"/平面4MC；

(2)證明：4cl平面BD2

12.(22-23高一下?北京順義?月考)

(1)求證：A8//平面/hoc/；

(2)求證:BCi_L平面A10CB1；

13.(21-22高一下?北京通州?期末)如圖，在正方體ABC。-41B1G5中，AB=1.

⑴求證：48〃平面4必平1；

(2)求證:BG，平面為DCBi；

⑶求直線(xiàn)4道和平面4。。當(dāng)所成的角.

14.(21-22高一.湖南?課后作業(yè))如圖,在正方體4BCD—48iCiDi中，E,尸分別是棱&Q,的中點(diǎn),

求證：CF1平面EAB.

Pl

15.（25-26高二上?上海?期末）在正方體ABG）-中，E,F,M分別為棱CD,BC,441的中點(diǎn)，P為底

面48]GD]的中心，則直線(xiàn)MP與直線(xiàn)（）

A.異面且垂直B.不異而且垂直

C.異面且不垂直D.不異面且不垂直

【題型4：線(xiàn)面垂直定理?xiàng)l件辨析與正誤判斷】

【題型專(zhuān)練】

16.（25-26高一下?浙江寧波?期中）已知尸為空間中一點(diǎn)，加，〃，/為互不相同的直線(xiàn)，a,}了為互不相

同的平面，則下列推理中正確的是（）

A.Pea,Pep=>aC\p=PB.I\\mfm\\a=>I\\a

C.a1y,0工y,aCi/?=Z=>/1yD.11m,11n,mca,nua=，1a

17.（25?26高一下?福建福州?期中）已知m,"是兩條不同的直線(xiàn)，a,0是兩個(gè)不同的平面，下列命題中為

真命題的是（）

A.若m//a,n//a>貝1]a//九B.若nGa，貝l」7”//a

C.若a〃夕，m1.a,n///??則m_L九D.若m〃a,mJ.ri,則711a

18.（25-26高二上?上海?期末）已知直線(xiàn)a,b和平面見(jiàn)氏則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若0/a,a//b,則b〃aB.若Q1a,a//b,則匕1a

C.巖al[a,a〃0,則。〃￡D.若ala,al￡,則a〃/?

19.（2026?江蘇?一模）已知兩條直線(xiàn)m,九和平面a,則下列命題為真命題的是（）

A.若m〃九，m//a,則n〃aB.若小〃戊，n“a,則m〃九

C.若mJ,a,7九〃幾，則〃J,漢D.若m171,m/fa,則"1a

20.（25-26高一下.全國(guó)?課后作業(yè)）若Q,匕表示直線(xiàn)，a表示平面，下列命題中正確的有（填序號(hào)）.

①G1a,b//a=a1匕；②a1a,a1b=b//ax③a〃a,a1.b=b1a；?a1a,b1a=a//b\⑤a1

a,a//b=>b1.a.

【B?能力提升題型】

【題型1:等腰三角形三線(xiàn)合一結(jié)合判定定理證線(xiàn)面垂直】

【題型專(zhuān)練】

21.（2026?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在四面體ABC天中,AB=a,CD=b,AC=AD,4B與CD間的距離為d（即

與43、CD同時(shí)垂直相交的線(xiàn)段長(zhǎng)為d）,且48J.GX

（1）求證：BC=BD：

22.（25-26高一下?四川成都?期中）（本題若使用空間向量，相關(guān)步驟不得分）如圖，已知正四面體P-的

棱長(zhǎng)為28，Q為底面△力8C的外心，D為AB中點(diǎn).

C

（1）連接PQ，證明：PQ_L平面A8C.

23.（2026?湖北鄂州?模擬預(yù)測(cè)）（多選）在四面體4BCD中,△4BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,△A8D,ACD

均為等腰直角三角形，則該四面體的體積可能是（）

A.士B.氈C.2D.立

3333

24.（25-26高一下?安徽阜陽(yáng)?期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，AD=BD=2,AD1BD,開(kāi)為△BCD的

中線(xiàn)，將zBCF沿8"折疊，使點(diǎn)C到點(diǎn)E的位置，連接4E,DE,CE,且CE=2.

（1）求證：EF1平面ABCD.

25.（2026.廣東深圳.一模）（多選）在正三棱臺(tái)48C—4B1G中，。為BC的中點(diǎn)，則（）

A.A\D“ABB.力。〃平面4/Ei

C.AD1D.8C_L平面

【題型2：勾股定理逆定理證垂直推導(dǎo)線(xiàn)面垂直】

【題型專(zhuān)練】

26.（25-26高一下?廣西柳州?期中）如圖，已知在直三棱柱4"-481丹中,AC=3,AB=5,BC=4,AA.=4,

點(diǎn)。是48的中點(diǎn).

（1）求證：AC1〃平面CD為：

（2）求證：_L平面8B1GC；

（3）求三棱錐&一/CD的體積.

27.（25-26高一下?浙江?期中）如圖，在正三棱柱/8C-4當(dāng)?shù)闹校榈闹悬c(diǎn)，441=48=4,瓦^(guò)=3而.

⑴證明:CDI。血

（2）證明:ADI平面CDE；

28.（2026高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形力88中（圖I）"B=2BC=2,M為AB的中點(diǎn)，將等邊△ADM

沿DM折起，連接且AC=2（圖2）.求證：CM1平面4DM.

29.（24-25高一?全國(guó)?寒假作業(yè)）如圖，在中，48=V5,AC=2企,CD=2BO=2.將△4CD沿A。

翻折至△4ED.求證：AD上平面BDE；

E

30.（24-25高一?全國(guó)?寒假作業(yè)）如圖，梯形8cop中，BJ嚴(yán)、BA1PD于點(diǎn)A,PA=&，且48=BC=

1=沿力8把^PA8折起到△P'AB的位置，使=V6.若E為P'C的中點(diǎn)，/為P'。上一點(diǎn)，證明CF1AE.

【題型3:線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直雙向轉(zhuǎn)化證明】

【題型專(zhuān)練】

31.（25-26高二下?上海?期中）如圖，在四棱錐P中，P41平面=AC=2,BC=1，AB=V3.

（1）證明：BC1PB；

（2）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中，記載了一種特殊的三棱錐——鱉嚅，其四個(gè)面均為直角三角形，

本屆圖中三棱錐。-48。即為一個(gè)鱉嚅，請(qǐng)計(jì)算它的體積和表面積.

32.（2026席三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸一力BCD中，底面48CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，乙4BC=60。,

「4_1_平面力8。。，點(diǎn)E是棱P8的中點(diǎn).求證：AB1CE.

33.（25-26高一下?全國(guó)?課堂例題）如圖，已知空間四邊形4BCD的邊BC=AC,3。=BD,作BE1C。于

點(diǎn)E,作4H1BE于點(diǎn)H.求證：4Hl平面BCD.

A

34.（25-26高一.全國(guó)?假期作業(yè)）如圖，在四棱錐P—中，P41平面4BCD,E為尸。的中點(diǎn)，AD“BC,

乙BAD=90°,PA=AB=BC=1,AD=2.求證：DC1平面PAC；

35.（24-25高一?全國(guó)?寒假作業(yè)）如圖，在正三棱柱88C-A81G中，。為48的中點(diǎn)，人為=A8=4,用了=

3前.

（1）證明：CO1&E.

（2）證明：&。_1平面。。七.

【題型4：菱形/正方形對(duì)角線(xiàn)（梯形）垂直綜合證線(xiàn)面垂直】

【題型專(zhuān)練】

36.（25-26而一下?天津薊州?期中）如圖，在四棱錐P-力BC。中，底面力BC。為平行四邊形，LADC=45°,

AD=AC=1,。為AC中點(diǎn)，POL^ABCD,PO=2,M為P0中點(diǎn).

(1)證明：PB〃平面/CM；

(2)證明:A。_L平面PAC；

(3)求直線(xiàn)4M與平面ABC。所成角的余弦值.

37.(25-26高一下?全國(guó)?課后作業(yè))如圖1,在梯形4BCD中，AD//BC,AB=BC=^AD,E為AD中點(diǎn),。是

4c與8E的交點(diǎn)，將沿8E翻折到圖2中△為8E的位置得到四棱錐力1-8CDE.求證：CD1AtC

38.(25-26高一?全國(guó)?假期作業(yè))如圖1,等腰梯形A8CD中，4D//8C,E為4D邊上一點(diǎn)，月.48=AE=8E=

CD=2,BC=ED=4,。為BE中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△48E的位置，如圖2.證明：CD1

平面4。/；

39.(25-26高三?全國(guó)?二輪復(fù)習(xí))如圖，在四棱錐P—48C。中，△P40為等邊三角形，48_L平面PCD,且

AD//BC,AD<BC,PB=PC,PA=V2，ZPAB=?.

證明：CD1平面248.

40.⑵-26高三上?陜西咸陽(yáng)?月考）在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD是直角梯形，AB//CD,AB1BC,PD1

平面力BCD,PD=CD=BC=\AB,點(diǎn)￡i是P力的中點(diǎn).求證：

（l）DE〃平面P8C；

（2）/1。1PB.

[C-拓展培優(yōu)題型】

【題型1：多步垂直鏈條綜合證明線(xiàn)面垂直】

【題型專(zhuān)練】

41.（25-26高一下?全國(guó)?課堂例題）如圖，在四楂錐P—力BCO中，底面力是矩形，力B_L平面R4D,/W=

力P,E是PD的中點(diǎn)，M,N分別在AB,PC上，且MN148,MN1PC.則4E與MN的位置關(guān)系為.

42.（25-26高三上?安徽?月考）如圖，在三棱臺(tái)/1BC-71181G中，入4J?平面ABC,AB=AC,M,N分別為

棱BC,A4i的中點(diǎn).

（1）證明：MN1BC；

⑵若48=2力=4,BB、=2?MN=正,求三楂臺(tái)力BC-&81cl的體積.

43.（23-24高一下.江蘇淮安?期中）已知三棱柱力BC—A/Ci中，底面A/IBC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，G為

△ABC的重心,LAXAB=z.AxAC=60°

(1)求證：BrB1BCx

⑵已知44=2.PW平面ABC,且C$1平面48c.求證：AG〃JP.

44.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，已知正方體4BCD-48165的棱長(zhǎng)為2.M,N分別為名名與G。

上的點(diǎn)，且MNlBWi，MN1CyD.

求證：MN“AG

45.(2026高一?廣東?專(zhuān)題練習(xí))已知直三棱柱力BC-AB'C'滿(mǎn)足乙B4C=90°,AB=AC=\AA'=2,點(diǎn)M,

N分別為AB,夕分的中點(diǎn).

⑴求證:MN〃平面A4CC'；

(2)求證:AN1平面BCN.

(3)求三棱錐C-MN8的體積.

【題型2:線(xiàn)面垂直點(diǎn)的存在性探究與證明】

【題型專(zhuān)練】

46.(24-25高一下?河北承德?月考)已知，在四棱錐P-ABC。中，PC1底面A8CD,底面;4BCD為正方形,

CD=CP=4,E為PD的中點(diǎn)、.

(I)在棱8c上是否存在點(diǎn)尸，使小"1BE?若存在，求BF的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

(2)已知點(diǎn)M同時(shí)滿(mǎn)足卜列條件：

①M(fèi)€平面BCE；?DM_L平面48P.

請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出與點(diǎn)M有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論：一個(gè)為“線(xiàn)面平行”，一個(gè)為“線(xiàn)面垂直”：,.(結(jié)論不

要求證明)

47.(23-24高一下?安徽亳州?月考)如圖，已知正方體力BCD-的楂長(zhǎng)為2,點(diǎn)、E,F分別在棱A8和

CG上

(1)證明：當(dāng)。1141/；

(2)若三棱錐尸一八也名的體積是點(diǎn)為尸_L平面當(dāng)口拉，試確定點(diǎn)￡的位置，并證明你的結(jié)論.

48.(22-23高一下?山東青島?期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中,P41^ABCD,AB=BC=2,AD=CD=巾,

PA=6,々IBC=120。，G為線(xiàn)段PC上的點(diǎn).

(1)證明：8。_L面APC；

⑵若G滿(mǎn)足PCI面BGD,求生勺值.

GC

49.(2025高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四棱錐尸一/1BCO中，AB1ADtCDLAD,PA_L底面48c0,PA=

AD=CD=2,AB=1,M為PC的中點(diǎn).

⑴求證：CM〃平面PAD；

（2）在側(cè)面/MD內(nèi)找一點(diǎn)N,使得MN_L平面P8。，并求點(diǎn)N到P4/W的距離.

50.（24-25高一下?河北?月考）如圖1,在矩形38CD中，AB=1,BC=a,M是線(xiàn)段4D上的一動(dòng)點(diǎn)（0<AM<

V2）,如圖2,將AABM沿著8M折起，使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)P的位置.，滿(mǎn)足點(diǎn)PC平面8C0M.

⑵若點(diǎn)P在平面8CDM內(nèi)的射影E落在線(xiàn)段BC」：.

①是否存在點(diǎn)M,使得BPJL平面PCM?若存在，求PM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)三棱錐E-P8M的體積最大時(shí)，求點(diǎn)E到平面PCD的距離.

【題型3：線(xiàn)面垂直結(jié)合體積、距離、最值綜合題】

【題型專(zhuān)練】

51.（25-26高一下?安徽阜陽(yáng)?期中）如圖，在四棱臺(tái)A8G）-Ai8】GDi中，1平面48CD,兩底面均為正

方形,AB=6,=5,占當(dāng)=2,點(diǎn)E在線(xiàn)段8D上，且OE=5EB.

（1）證明：01E〃平面418cl.

⑵求點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫?BG的距離.

52.（2026?廣東湛江?二模）已知長(zhǎng)方體中，AB=BC=2,8仇=4,N是的中點(diǎn)，點(diǎn)

P在線(xiàn)段4。1上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），則點(diǎn)P到平面A8N的距離的最大值為（）

A.2V2B.4V2C.2V3D.46

53.（2026高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某景區(qū)一座仿古建筑的屋頂是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中常見(jiàn)的“虎殿頂”，其頂蓋兒

何模型如圖所示，E尸〃平面"CO,底面A8C。是邊長(zhǎng)為18的正方形，側(cè)面A4FE與CQEF是全等的等腰

梯形，側(cè)面AOE與8b是等腰直角三角形，若EF=6,則所到平面ABC。的距離為.

54.（2026?天津河北?一模）如圖，點(diǎn)、E,H,G,尸是矩形218co中DC,CB,BA,40邊的中點(diǎn)，依次沿FE,

EH,HG,GF,EG折疊，使得矩形四個(gè)頂點(diǎn)C,B,人重合于一點(diǎn)，得至U三棱錐F—EHG.若AB=20，

AD=2,則三棱錐F-EHG的體積為.

55.（25-26高三上?江西?月考）已知正三棱柱ABC-A.B.C,的各條棱長(zhǎng)均為I,。是側(cè)棱力兒的中點(diǎn)，

則四棱錐D-BCC.Br的體積是（）

A.在B.在

1812

C.立D.逅

63

【題型4：不規(guī)則多面體純幾何法線(xiàn)面垂直證明】

【題型專(zhuān)練】

56.（2026?廣西南寧?一模）（多選）如圖，在幾何體力BCDE中，BE=2,四邊形4