用相似三角形解決問題（講義）-蘇科版九年級《數學》下冊

專題6.5用相似三角形解決問題（舉一反三講義）

【蘇科版】

颼題型歸納

【題型1燈光下的測量問題】...........................................................................1

【題型2標桿測量問題】................................................................................7

【題型3利用鏡子進行測量】..........................................................................II

【題型4利用視線進行測量】..........................................................................17

【題型5古典文化中的測量問題】.....................................................................22

【題型6光學成像中的測量問題】.....................................................................26

【題型7裁剪問題】...................................................................................30

【題型8三角形中內接矩形】..........................................................................34

【題型9實物抽象HI相似問題】.......................................................................40

舉一反三

知識點相似三角形的應用

（1）利用影長測量物體的高度

①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相

笠和“在同一時刻物而與匿氐的匕相等”的原理解決；

②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長，再計算出被測量物的長度.

⑵利用相似測量河的寬度（測量距離）

①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“4”型或“X”型相似圖,三點應在一條直線

上，必須保證在一條直線上,為了使問題簡便，盡顯構造直角三角形;

②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度.

⑶借助標桿或直尺測量物體的高度

利用桿或直測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區的知識構建相似三

角形，用相似三角形對應邊的比相笠的性質求物體的高度.

【題型1燈光下的測量問題】

【例1】如圖，在同一水平地面上豎直地立有兩個高度相同的路燈，已知兩路燈之間的水平距離是24米，路

燈燈光正好照在地面上的E處和尸處，且8尸==4E與Cr相交于點0.

（1）若AE1C尸,求路燈AB的高度;

（2）連接。氏若48=8米，求0B的值.

【答案】（1）16米

崎

【分析】本題考查相似三角形的應用，勾股定理.

（1）根據題意得到8F===8米，BE=OF=16米，證明△OEF-△8￡71,△

3OFEDFC

得畀翁黑=祟講而噴吟，講而可得答案：

（2）過點。作?！?8。于點兒則力BIIOHIICD,證明△OEH?AHEB,&OFHFCFD,得器=瞿，襄=曾，

ABEBCDFD

進而得瞿=襄，進而可求得EH=/H=：E尸=4米，BH=BF+FH=12（米），。"="詈=2,再由

noFD2BE

勾股定理求得08=y/BH2+OH2=2后（米）.

【詳解】（1）解：由題意知：80=24米，

^BF=FE=DE,

團=8米，16米,

=FE=DE=-3BDBE=DF=

即IE1CF,

0ZEOF=Z.ABE=乙CDF=90°,

ySL^-OEF=Z.BEA,乙OFE=(DFC,

0AOEFBEA,AOFEsXDFC,

理=0,即生=絲,

ABDFAB16

又(LAB=CD,

團AB=CD=16米，

答：路燈48的高為16米;

（2）解：由題意得=CD=8米，BF=FE=DE=8米，8E=。F=16米,

^AB\\OH\\CD,

（HAOEHAEB,△OFHCFD,

0/i_EH_OH_FH

AB~EB,CD~FD'

EBFD

團EH=FH=^EF=4米，BH=BF+FH=12（米），

國。"=筌=誓=2（米）,

團在RtaOB"中，OB=+QH?=7童+22=2府（米）

【變式1-1]（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）小明家窗外有一個路燈，每天晚上燈光都會透過窗戶照進房

間里，小明想利用相關數學知識測最這個路燈的高.如圖，路燈頂部4處發光，光線透過窗子DC照亮地面

的長度為EF（點心。、E在一條直線上，點/、C、尸在一條直線上），小明測得窗戶距離地面高度。。=1m,

窗高CO=1.5m,OE=lm,FF=4m,其中3、0、E、小四點在同一條直線上，C、D、。三點在同一條直

線上，且A818E,CO10E.求出路燈的高度48.

【答案】路燈的高度為4m

【分析】本題考杳了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵.根據相似三

角形的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】解：???力B1BE,C010E,

/.ABE=乙DOE=90°,

XvLAEB=乙DEO,乙AFB=乙CFO,

???△DOE?-'AABE?△COF-'AABF,

￡9_OFCO_OF

AB~BE'AB~BF

111.5+11+4

nn1—1

ABBEABBE+4

解得：AB=BE=4(m),

答：路燈的IWJ度力8為4m.

【變式1-2】如圖，小華在晚上由路燈人走向路燈4,當她走到P點時，發現身后影子的頂端剛好接觸到路

燈A的底部,當她向前再步行12m到Q點時，發現身前影子的頂端剛好接觸到路燈4的底部.已知小華的

身高是1.6m,兩路燈的高度都是9.6m.

N

、

p￡02

12

（1）當AP=QB=xm時，求工的值；

⑵當小華在路燈人與路燈"之間走動時，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個影子長的和是否發生變

化？若不變，求出兩個影子長的和：若發生變化，請說明理由.

【答案】⑴*=3

⑵不發生變化，兩個影子長的和是3.6m

【分析】（1）證明?△AB。，利用對應邊對應成比例列式計算即可；

（2）根據題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據三角形的相似比即可求出影子的長度和.

【詳解】（1）解：13MP1AB,DB±AB,

（3MPIID8,

（3A/1PMABD,

曜吟即送

2X+12

解得：x=3；

（2）解：不會發生變化;

如圖，當小華在4,3之間走動時，在A路燈下的影子長度為。"，在3路燈下的影子長度為0G,

^AD||0E||BC,

0AAHDOHEABGCOGE,

n0E_OHOE_OG

AD~AH'CB~BGf

則竺二"，竺二"，整理得：OH—AH,OG=-BG,

9.6AH9.6BG66

WH+OG=；G4"+BG）,

團GH=：G48+GH）,

6

由（1）得：48=12+3+3=18（m）,

=7（18+（7W）,解得：3.6m,

^GH6GH=

回兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，要求學生能根據題意畫出對應圖形，能判定出相似三角形，

以及能利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數形

結合的思想方法.

【變式1-31（24-25九年級上?四川成都?期末）在成都未來科技城福田T。。地鐵站臺，以銀杏為設計元素的“科

技樹”，像一個個超大雨傘，兼具集雨水收集、燈光聯動等功能，實現站臺整體的綠色低碳（如圖1）.在

數學活動課中，小明利用硬紙板自制RtaCHM測量“科技樹”的高度，即4G的長（如圖2）：已知，在

中，C”=1.2米，HM=0.5米，巴尸是樹干上兩點，目測點C到地面的距離CO=E尸=2米，到樹干的水平

距離=108.2米，他通過調整位置，使斜邊CM與點E在同一直線上，另一條直角邊CW與“科技樹〃左側最

高點人在同一直線上，樹冠小的正投影點G到樹干底端F距離即GF=17米.求“科技樹〃力G的高度.

A

【分析】本題考杳了相似三角形的應用，矩形的判定與性質，設4G交CE于點T,則有四邊形CDGT,四邊形

CDFE,四邊形E"GT是矩形，故有C。=TG=EF=2米，ET=FG=17米，然后證明^CHMCTA,根

據性質得器=音，最后代入求解即可，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，設AG交CE于點T,

由題意可得：四邊形CDGT,四邊形CDrE,四邊形EFGT是矩形,

BCD=TG=EF=2（米），ET=FG=17（米），

0C￡=108.2米，

□CT=CE-ET=108.2-17=91.2（米），

0Z/7CM=LACT,4MHe=Z-ATC=90°,

0ACHM?ACTA,

^AT=38（米），

^AG=AT+TG=38+2=40（米），

答："科技樹〃4G的高度為40米.

【題型2標桿測量問題】

【例2】（2025?河南周口一模）南陽解放紀念碑位于中國歷史文化名城南陽市白河游覽區，是南陽一處重要

的愛國主義和革命傳統教育基地.某綜合實踐學習小組在學習了《銳角三角函數》以后，開展測量物體高

度的實踐活動.他們把“測量南陽解放紀念碑的高度''作為一項課題，利用課余時間完成了實踐報告，并形成

了如下活動報告.

活動項目測量南陽解放紀念碑的高度

活動方案"測角儀"方案

4

方案示意圖

FD13

①選取與紀念碑底座點B位于同一水平地面的0處立一標桿CD；

②測量8,0兩點間的距離；

實施過程③在尸處從點E看到標桿頂點C與紀念碑頂點力在同一條直線上；

④測量D,F兩點間的距離;

⑤測量￡到地面的高度EF

測量數據①CO=2.4m；（2）BD=227m；@DF=3m；@EF=1.6m

說明①圖上所有點均在同一平面內；②AB,CD,E/均與地面垂直

根據活動報告，求南陽解放紀念碑A8的高度（結果精確到0.1m）.

【答案】約為62.9m

【分析】本題考查了相似三角形的應用，矩形的性質，過點E作EN_L/R于點N,交CD于點M,則四邊形EFCM

和四邊形8DMN均為矩形，得MN=BD=227m,EM=DF=3m,BN=MD=EF=1.6m,即得CM=

CD-MD=0.8m,進而由△ECM64N得胃=翳，代入計算求出AN即可求解，正確作出輔助線是解題

的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點E作EN1AB于點N,交。。于點M,則四邊形EFDM和四邊形80MN均為矩形，

FDB???MN=BD=227m,EM=DF=3m,BN=MD=EF=1.6m,

(3CM=CD-MD=2.4-1.6=0.8m,

vCM||4N,

ECMEAN?

CM_EM

,?AN~EN'

.OB_3

?'4V-227+3’

,融=0.8x(227+3；6i.33m.

3

???AB=AN+ND=61.33+1.6。62.9m,

答：南陽解放紀念碑/B的高度約為62.9m.

【變式2-1](24-25九年級上?陜西咸陽?期末)一個陽光明媚的午后，瑩瑩游玩期間，想測量一座信號塔的

高度，出于安全考慮，瑩瑩不能到達信號塔的正下方;于是她決定利用太陽光線來進行測量.如圖，她在

地面上的點。處豎立一根長為4.5米的標桿C。，此時發現標桿CD與塔力8在太陽光下的影子末端恰好重合于

地面上的點E處，已知8、0、E三點在一條直線上，ABCD1BE,用測距儀測得BD=49.5米.

⑴請在圖中畫出標桿與塔力B在太陽光下的影子末端E；

(2)若測得此刻OE=5.5米，請你求出信號塔的高度力從

【答案】(1)見解析

(2)45米

【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，相似三角形的判定和性質.

(1)利用中心投影的性質畫出圖形：

（2）證明?△E84得詈=詈，再代值計算即可得力B的值.

Aoco

【詳解】（1）解?：如圖，線段。E即為所求，

0AEDC?EBAt

AB5.5+49.5

團4B=45（米）.

答：信號塔的高度48的長為45米.

【變式2-2］（24-25九年級上?山西晉中?期中）太谷鼓樓位于山西省晉中市太谷區舊城十字街中心，始建于

明萬歷四十三年，是晉汾地區鼓樓建筑中的代表作品，鼓樓是太谷的象征，有風眼之稱.某校數學興趣小

組決定采用如下方法來測顯鼓樓的高度.如圖2,該小組成員選取與底端8在同一水平地面上的E,G兩點,

分別垂直地面豎立兩根高為2m的標桿“和G”，兩標桿間隔EG約為13.5m.從標桿“后退1.5m到點。處（即

ED=1.5m）,從點。處觀察頂端4處，使力、F、。三點共線；從標桿GH后退3m到點C處（即CG=3m）,

從點C處觀察頂端4處，使4、H、C三點共線，其中點4、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內.請根據

上述測量數據，求鼓樓48的高度.

【答案】鼓樓48的高度為20m.

【分析】本題主要考查了相似三角形的應用舉例，設8。=xm,則BC=8。+DG+CG=%+13.5-1.54-3=

（x-F15）m,由AB18C,EF1BC,^ABWEF,證明△43。得到三=",同理得到2=上，

ABXAbX+15

進而建立方程求出工的值，然后代入即可求解，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

【詳解】解：設8D=xm,則BC=8D+DG+CG=x+13.5-1.5+3=(x+15)m,

團AB1BC,EF1BC,

^ABWEF,

[?]△ABDFED,

gEFDE21.5

喘=而,即Hn方

同理可證△4BCHGC,

0^=—,即三==-,

ABBCABx+15

0^=—,解得x=15,

xx+15

經檢驗，x=15是原方程的解，

■=三，

AB15

團4B=20(m)>

回鼓樓48的高度為20m.

【變式2-3]如圖1,4B為路燈主桿，8C為路燈的懸臂，48=4.6m,8c=0.5m.MN為足夠長的標桿，標

桿垂直地面且掛有若干個燈筑.已知于點8,AM=4.5m,高度為1.6m的小藝同學沿地面走著

去看燈籠與路燈C,GD=2m,繪制示意圖(如圖2),G,。，〃三點共線，“0E=90咀WFH=

乙EDH,連結CH能滿足△CD”與點。、E、”為頂點的三角形相似，此時所看到的燈籠廠與〃點的距離為_

【答案】5

【分析】過。作CN1G”于點N,證明ACDN?即可求得結果.

【詳解】過C作CN_LGH于點N,

配W=BG=AB-AG=4.6-1.6=3(m),

團BC=GN=0.5(m),GH=AM=4.5(m),

團N”=GH—GN=4(ni),DN=DG—GN=1.5(m),

WH=NH-ND=4-1.5=2.5(m),

0ZCDE=90°,

0ZCD/V+Z.EDH=90°,

⑦乙CDN+Z.DCN=90°,

團4DON=乙EDH,

^DFH=乙EDH,

?乙DCN=乙DFH,

?乙CND=/-FHD=90°,

[?)△CDNFDH,

勝=絲，

FHDH

MH=5(m),

故答案為：5.

【點睛】本題考杳了相似三角形的應用，解題的關鍵在于構造相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定定理.

【題型3利用鏡子進行測量】

【例3】塔剎位于塔的最高處，是“觀表全塔〃和塔上最顯著的標記.如圖①，北寺塔為九級八面磚身木檐混

合結構，塔剎高聳，宏偉秀逸.小明采用了如下方式測量北寺塔的塔剎高度.

信息傳遞

,法線：過入射點并垂直于鏡面的直線。

入射角：法線N

入射光線與法

線的夾角。

反射角：

反射光線與法

隘線的夾角C

圖①圖②

【學科融合】光的反射定律：如圖②，光反射時，反射光線、入射光線和法線在同一平面內，反射光線、入

射光線分居在法線兩側，反射角等于入射角;

【探索活動】如圖③，小明先測量了北寺塔CD的高度，他先在地面點P處平放一面鏡子，然后沿直線CP退

至點力處，此時眼睛夕恰好在鏡子中看到北寺塔塔剎的頂端0.經測最，小明的眼睛到地面的距離AB=1.6m,

AP=1.2m,CP=57.0m,求北寺塔CD的高度；

【解決問題】小明再將鏡子移至直線力C上的點Q處，當他回到點4處時，恰好可以通過鏡子看到塔剎的頂部￡

①請用無刻度直尺和圓規，在圖④中作出表示鏡了?位置的點Q（不寫作法，保留作圖痕跡）：

②經測量，AQ=1.5m,求塔剎DE的高度（精確到0.1m）.

【答案】探索活動：北寺塔CD的高度為76m；解決問題：①見解析；②塔剎DE的高度為15.5m

【分析】

本題考查了圖形的相似和尺規作圖，解題的關鍵在于讀懂題意，正確作圖.

［探索活動］由題意知，乙APB=LCPD,乙BAP=^DCP,可知△APB&kCPD,進而求解；

［解決問題］①根據題意作圖即可；

②根據題意可知,△AQB^XCQE,利用相似求解.

【詳解】

解：［探索活動］由題意知，乙APB=LCPD,^BAP=LDCP,

0A/4P50ACPD,

監=”

CPCD

建=竺，

57CD

團CD=76,

故北寺塔CD的高度為76m；

［解決問題］①如圖，

②由［探索活動］同理得，黑=熬，

盧="，

56.7CE

解得CE=60.48,

DE=CD-CE=76-60.48=15.52=15.5m,

故塔剎DE的高度為15.5m.

【變式3-1］（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）為了測量物體48的高度，小小帶著工具進行測量.方案如下:

如圖，小小在C處放置一平面鏡，她從點C沿BC方向移動,當移動2米到。處時（即CD=2米），恰好在

鏡子中看到物體頂點A的像，此時測得小小眼睛到地面的距離ED為1.5米.然后，小小在尸處豎立了一根裔

1.8米的標桿尸G,發現地面上的點H、標桿頂點G和物體頂點A在一條直線上，此時測得F”為6米，DF為

8米.已知481B”,ED1BH,GF18”,點仄C、。、F、”在一條直線上.請根據以上所測數據，計

算物體的高度.

【答案】物體的高度為8米

【分析】本題主要考杳了相似三角形的實際應用，先證明△4BC—E0C得到翌=3求出8C="8,再

BCCD3

證明△ABH八G/"得到啜=——，解方程即可得到答案.

AB6+8+2+嚴

【詳解】解：由題意得：LACB=LECD,

團4B1BH,ED1BH,GF1BH,

回NB=Z.EDC=乙GFH=90。，

（3aABC^△EDC>

之二叱

EDCD

吟h零

解得：BC=^AB,

0Z/7=乙H,乙ABH=乙GFH=90°,

（?!△GFHsAABH,

監=受，

ABBH

建二―一，

AB6+8+2+和

解得：AB=8.

答：物體48的高度為8米.

【變式3-2］（24-25九年級上?浙江寧波?階段練習）榆林人民大厘，以榆林代表性的古跡“鎮北臺和凌霄塔"

為建筑造型設計立意，配以天圓地方的設計理念.安安和明明想利用所學的幾何知識測量榆林人民大廈的

高度，測量方案如下：如圖，安安位于明明和大廈之間，在直線BM上的點C處放置一個平面鏡，鏡子不動,

安安來回走動，走到點。時，恰好在鏡子中看到大廈頂端4的像，此時測得安安眼睛與地面的高度ED=1.6

米，CD=0.8米，同時，在陽光下，大廈48的影子頂端與明明的影子頂端恰好重合于從測得明明身高”為

1.8米、影長F”為1.2米，已知ED1BM,GF1BM,。產=14.5米，C、。、F、H均在BM上，

圖中所有點均在同一平面內，請你根據上述信息，求該大廈48的高度.（平面鏡的大小忽略不計）

A

【答案】99米

【分析】本題主要考杳了相似三角形的判定與性質，平面鏡成像的性質等知識點，連接。凡利用平面鏡成像

的性質得到N4C8=4ECD,利用相似三角形的判定與性質得到AB=2BC,設48=工米，則8c=：%(米)，

利用等式的性質求得8"=BC+CD+DF+FH=(16.5+gx)米，利用平行線的判定得到rGII48,最后利

用相似三角形的判定與性質解答即可得出結論，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

【詳解】解：連接CE,如圖,

???走到點。時，恰好在鏡子中看到大廈頂端A的像,

???Z.ACB=Z.ECD,

vZ.ABC=乙EDC=90°,

???△ABC-^△EDC?

A3DE1.6r

"BC-CD_0.8-'

AB=2BC,設48=x米，則米)，

???影長產H為1.2米,。尸=14.5米,CD=0.8米,

BH=BC+CD+DF+FH=(16.5+米，

?：AB1.BM.GFIBM,

???FGIIAB,

:AHFG?AHBA,

FGFH

：

?—A3―-B-H-,

1.8_1.2

x~16.5+|x,

，X=99,

???大廈48的高度為99米.

【變式3-3】為了測量路燈EP的長度，小明從燈桿底部N沿人行道拉一皮卷尺到8處，在BN之間水平放置

一平面鏡，移動鏡子的位置分別到C，。兩點時，小明恰好能在鏡中分別看到兩燈全貌，其視線如圖所示，

己知點B,C,D,N在同一水平直線上，且為8,MN均垂直于BN,D、P、F三點共線，且“上MN,FMtMN.已

知小明眼睛離地面的高度力8=1.8m,BC=1.2m,CD=0.6m,DN=10m,MF=3m.求路燈EP的長.（平

面鏡的大小忽略不計，結果精確到0.1）

【答案】約3.9m

【分析】本題考查相似三角形的應用，解答的關鍵是靈活運用相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、

等腰直角三角形的判定與性質等知識解決問題.先根據反射知識和等腰直角三角形的判定與性質得到PN=

DN=10m,過E作EG1BN于G,則EG=PN=10m,EP=GN,證明△ABCEGC求得CG=gm,進

而求得GN即可.

【詳解】解：^AB=1.8m,BC=1.2m,CD=0.6m,

EL4B=BD=1.8m,

0EP1MN,FM1MN,

0Z/WF=/.BAD=45°,則NPDN=乙DPN=45°,

團PN=DN=10m,

過E作EG1BN于G,則四邊形EGNP是矩形，

團4ABC=Z.EGC=90°,/.ACB=4ECG,

（?!△ABC?匕EGC,

脛=也，即^=竺，

ABBC1.81.2

解得CG=^m,

3

團GN=DN+CD-CG=10+0.6--^3.9（m）,

3

BEP=GN=3.9m.

答：路燈EP的長約為3.9m.

【題型4利用視線進行測量】

【例4】（24-25九年級下?陜西西安期中）周末，小凱和同學帶著皮尺，去測后楊大爺家露臺遮陽篷的寬度.如

圖，由于無法直接測量，小凱便在樓前地面上選擇了一條直線￡口通過在直線上選點觀測，發現當他位

于N點時，他的視線從M點通過露臺。點正好落在遮陽篷4點處；當他位于N，點時，視線從“點通過。點正

好落在遮陽篷B點處，這樣觀測到的兩個點4、8間的距離即為遮陽篷的寬.已知A8||CD||",點C在4G上,

AG.DE、MN、M'N'均垂直于EF,MN=M'N',露臺的寬CD=GE,測得GE=2.5米，EN'=3米,N'N=3.9

米.請你根據以上信息，求出遮陽篷的寬A8是多少米？（結果精確到0.1米）

【答案】遮陽篷的寬AB是1.4米

【分析】本題主要考查相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

延長交DE于H,則HM=6.9米，CD=GE=2.5米，MM'=NN'=3.9米，先證明Rt△ACD-Rt△DHM,

則根據相似三角形的性質得空=要=名再證明則利用相似比得到空=名然后利用

比例性質求4B即可.

【詳解】解：延長MM，交DE于H,如圖，則"M=EN=E"+NN=3+3.9=6.9米，CD=GE=2.5米,

MM'=NN'=3.9米，

I3CDII”M,

???Z.ADC=乙DMH,

:.Rt△ACD?Rt△OHM,

.AD_CD_2.5

“DM~HM~6.9’

:AABDFMM'D,

解得AB?1.4（米）.

回遮陽篷的寬4F是1.4米.

【變式4-1］（2025?河南鄭州?一模）我們知道當人的視線與物體表面互相垂直時的視覺效果較好.如圖，一

副展覽畫懸掛在墻上，展覽畫的寬相=0.6m,畫框的下邊緣緊貼在墻上，上邊緣與墻壁的距離8C=0.2m,

為了使觀賞者欣賞畫作時的視覺效果最佳，視線OE需落在展覽畫中心位置七處，且與48垂直，已知觀賞者

眼睛。與展覽畫底端A在同??水平線上（即求達到最佳視覺效果時，觀賞者與墻壁的距離4。

的長.

【答案】觀賞者與墻壁的距離4。的長為0.9m

【分析】本題考查了相似三角形的實際應用，證明-△DE4,推出*=笠，即可解答.

AEAD

【詳解】解：根據題意得：AE=^AB=0.3m,Z.AED=90°,^ACB=90°,

WALAC,

^CAD=90%

^CAB+/.DAB=4DAB+/.ADE=90%

=Z.ADE,

^AED=AACB=90°,

0AABCDEA,

^AD=0.9m,

答：觀賞者與墻壁的距離AD的長為（）.9m.

【變式4-2］（2025?廣東佛山?二模）【項目主題】測量距離

【項目背景】在?次數學項目式學習活動中，老師帶領同學們測量池塘兩點間的距離（A、6兩點距離不可直

接測得）.

【實踐工具】皮尺，測角儀等工具.

【實踐操作】

方案一：如圖1,一位同學在離池塘邊B點不遠處的C點站立，人、&C三點在同一條直線上.調整帽子，

使得視線通過帽檐正好觀測到池塘對面的A點.該同學保持剛才的姿勢，轉過180。，這時視線剛好落在點￡

處.利用皮尺測得CE=am,BC=bm.

同學們還設計了方案二、方案三......

E

D

圖1

【問題解決】

⑴根據方案一，求力、8兩點間的電離；

⑵嘗試設計與方案一不同的方案，在圖2中畫出幾何圖形，并求小B兩點間的距離(為使表達簡潔，需要

測量的角建議用乙1、乙2、乙3等表示).

【答案】⑴(a-b)m

⑵詳見解析

【分析】本題考查的是全等三角形的應用，相似三角形的應用；

(1)由4/10C=NE0C,DC=DC,Z.ACD=Z-ECD=90°,可得△4。。三△EOC(ASA),從而可得結論.

(2)利用相似三角形的性質涉及含48的兩個相似三角形即可.

【詳解】(1)解：在△AOC和中，

^ADC=Z.EDC,DC=DC,LACD=Z.ECD=90°,

^ADC=△EDC(ASA).

圓AC=EC.

團AB=AC-BC=EC-BC=(a-b)m.

①在池塘邊上確定點C；

②測量4C與8。的長度，取兩邊點。、E,使得普二3=匕且DE的長度皮尺可測量；

L"GC

③測量的長度；

④由霽=券=攵，"="，WACDE-△CAB,

回/B=kDE.

【變式4-3](24-25九年級上?陜西咸陽?期中)如圖，小明和爸爸二人配合測量小區內一棵樹的高度40.小

明在距離樹0.3m的8處(AB=0.3m),看樹的頂端。的視線為EO,原地再看爸爸的頭部，視線為EF,爸爸經

過移動調整位置，當￡F_LE。時爸爸停止移動，這時測得4C=l.lm.已知點4B,。在地平面的一條直線

上，樹和二人都垂直于這條直線，小明的眼睛到地面的距離1.6m,爸爸的身高CF=1.8m,求樹的高

度m

BA

【答案】2.8m

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質與判定，過點E作EG1CF于點G,延長GE交AD于

點H,^IGH1AD,先證明四邊形C8EG和四邊形4A/EB是矩形，得到A”=BE=CG=1.6m,EG=BC=

0.8m,HE=AB=03m,再證明△EFG-△DEH,可得二=銬，求得DH,進而可求得4D即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過點E作EG_LCF于點G,延長GE交力。于點H,則G，_L/1D,

cBA-CFLAC,ADLAC,BELAC,

四邊形C8EG,四邊形力HE8是矩形.

AH=BE=CG=1.6m,EG=BC=1.1-0.3=0.8m,HE=AB=0.3m,

"GE=乙EHD=乙FED=90°,

Z.EFG+乙FEG=乙FEG+"EH=90°,

￡GFE=乙DEH,

EFG—△DEH,

FGEG1.8-1.60.8

：?=91n、nJ—9

EHDH0.3DH

解得OH=1.2m,經檢驗符合題意.

???AD=DH+AH=1.2+1.6=2.8m,

答：樹的高度AD為2.8m.

【題型5古典文化中的測量問題】

【例5】《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，在“勾股〃章中有這樣一個問題："今有邑方二百步，各

中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？〃用今天的話說，大意是：如圖，OEFG是一座邊長

為200步（"步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門”位于G。的中點，南門K位于E。的中點，出東

門15步的八處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于人處的樹木（即點。在宜線AC上）.

【答案】等步

【分析】本題只需要證出△COK?△OAH，利用相似三角形的性質可以得到：得=當，然后可以求出CK

AUU113

的值，得出答案.

【詳解】解：由題意可知：DE=DG=200,AH=15

團”為G。的中點，K為。E的中點

DH=100,0K=100

^AH^DK

^CDK=^A

而RCKO=a4HD

0ACDK?△DAH

c=100

2000

團CK

答：出南門學步恰好看到位于4處的樹木.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用：本題需要把實際問題抽象到相似三角形中，利用視點和盲區的知識

構建相似三角形，用相似三角形對應邊成比例求出物體的高度.

【變式5-1】《孫子算經》中記載一題：“今有竿，不知長短，度其影，得一丈五尺.別立一表，長一尺五寸,

影得五寸.問：竿長幾何？〃其大意是：今有一根木桿，不知道其長度，量它的影子，等于15尺，另外再有

一根標桿，桿長1.5尺，量得標桿的影子為0.5尺，則木桿的長為（）

A.5尺B.15尺C.30尺D.45尺

【答案】D

【分析】本題考查的是相似一：角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關鍵.根據同一時

刻物高馬影長成正比可得出結論.

【詳解】解：設竹竿的長度為3尺，

解得％=45,

故選：D.

【變式5-2]（24-25九年級上?重慶渝中?階段練習）《周髀算經》中記載團"偃矩以望高”，是指把〃矩”（圖中4BC）

的一邊仰著放平，可以測量高度.如圖，“矩〃的一邊AB緊貼地面，BC和旗桿E/均垂直地面.測得4B長0.5m,

8D長0.2m,BE長17m,則旗桿EF的高度為m.

【答案】7

【分析】本題主要考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

根據題意可得△ABD-LAEF,然后利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】解：團乙4BC"和4E均為直角，z/l=Z/1

[?]△ABDAEF,

瞎造

團4B長0.5m,8D長0.2m,"長17m,

團4E=AB+BE=17.5m?

eLnAExBD17.5x0.2_

(3EF=--------=-----------=7m.

AB0.5

故答案為：7.

【變式5-3】《海島算經》中記載：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直,

從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地，取

望島峰，亦與表末參合.問島高幾何.”其大意是：如圖，為了求海島上的山峰48的高度，在。處和尸處樹

立高都是3丈（1丈=：步）的標桿C。和EF,D,尸相隔1000步，并且AB,CD和EF在同一平面內，從。處后

退123步到G處時，力，C,G在一條直線上；從F處后退127步到H處時，A,E,”在一條直線上，則山峰

的高度A8為步.

【答案】1255

【分析】先證明△GCD八GAB,利用相似比得到六=再證明△HEF八HAB得到M=震，即

AD1+ADHD

烹=訴黑函②，所以品=訴黑而接著利用比例的性質求出血然后計算的長.

【詳解】解：根據題意得CO=EF=5步，。尸=1000步，OG=123步，FH=127步，

???CDWAB,

△GCD?&GAB9

—=即二■=123①，

ABGBAB123+BD

vEFWAB,

???△HEFMHAB,

...竺=更，即三=__②,

ABHBAB127+1000+BD^

由①②得I2?=---竺Z------,

123+fiD127+1000+BD

即當=

BD1000+BD

.BD_123

“1000+BD-127’

BD123

:?-------,

10004

BD=250x123,

._L_123_1

"AB-123+250X123-1+250’

???4B=1255（步），

即山峰的高度AB為1255步.

故答案為：1255.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用：通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等計算相

應線段的長.

【題型6光學成像中的測量問題】

【例6】（24-25九年級上?遼寧阜新?期末）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，如圖1中小狗

手影就是我們小時候常玩的游戲.在一次游戲中，小明的手距離墻壁3米，爸爸拿的光源與小明手的距離為

1米，如圖2.在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變為原來的一半，則小明的手與光源的距離應（）

A.增加0.5米B.增加1米C,增加2米D.減少0.5米

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質，根據題意.作出圖形，

利用相似三角形的性質，構造方程，進行解答，即可.令點。為光源，A8為小明的手，CD為小狗手影，根

據相似三角形的判定和性質，則△。力B八OCD,得到察=j設.46=x,則=3,根據題意，CD'=

則蒜=緇=壬=篇=午，計算得到答案，即可?

2X

【詳解】解：點。為光源，為小明的手，8為小狗手影，

團4BIICD,

作0E_L48交48干點E,延長OE交點F,則。尸_LC。，

團力B||CD,

^OAB=Z.OCD,Z.OBA=Z.ODC,

0AOABOCD>

的=竺，

CDOF

團OE=1,OF=3,

嗡7

設48=x,

0CD=3x,

團在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變為原來的一半,

團C'。'="

團△。力8OCD',

A3_0E'_X_0E'_0E'

雙=彳j=彳=丁，

WE'=2,

田小明的手與光源的距離為：2-1=1（米）.

故選:B.

【變式6-1]（24-25八年級下?江蘇蘇州?期末）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了小孔成像的實

驗、并在《墨經》中有這樣記載：“景到，在午有端，與景長，說在端如圖所示的小孔成像實驗中，若物

距為9cm,像距為14cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是7cm,則蠟燭火焰的高度是cm.

【答案】4.5

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，理解題意，掌握相似三角形的性質是關鍵.

根據題意可證△48。?△CO。，得到黑，代入計算即可求解.

ONCD

【詳解】解：如圖所示，根據題意，AB||CD,OM=9cm,0^=14cm,CD=7cm,

(HAABOs匕CDO,

脛="

ONCD

哈號

0/427=4.5cm?

故答案為：4.5.

【變式6-2］（2025?山西長治?三模）在初中物理課程中，我們學過凸透鏡的成像規律.如圖，MN為凸透鏡,

其厚度忽略不計，。為凸透鏡MN的光心，E為凸透鏡的焦點，在凸透鏡MN左側的主光軸上垂直放置一支

蠟燭4氏透過凸透鏡后成的像為CD.平行于主光軸的光線4G通過凸透鏡折射后經過焦點，并與光線力。會

聚于點C.若物距。B=6cm,像距。。=12cm,則凸透鏡MN的焦距0E的長為cm.

【答案】4

【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵.

由題意得，OB=AF=6,AB||CD,OE||AF,則得到唱=器，△CE。?△C凡4,再根據相似三角形的性質

OAOB

即可求解.

【詳解】解：由題意得，0B=4F=6,AB||CD,OE||AF,

碎=絲=、=2,?CEOs^CFA,

OAOB6

胖=也=二-,

AFCA2+1

律」

62+1

團OE=4cm,

故答案為：4.

【變式6-3］（24-25九年級上?上海徐匯?期中）在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規律.如圖MN為一凸透

鏡，F是凸透鏡的焦點.在焦點以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭AB,透過透鏡后呈的像為CD.光路圖如

圖所示：經過焦點的光線通過透鏡折射后平行于主光軸，并與經過凸透鏡光心的光線4。匯聚于（:點.若

焦距。r=4,物距08=6,小蠟燭的高度＜8=1,求蟒燭的像CD的長度以及像CD與透鏡MN之間的距離.

【答案】蠟燭的像CD的長度為2,像CD與透鏡MN之間的距離為12

【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵；

根據題意可得，0E=CD,AB1BO,E01BO,CD1OD,從而可得4/lB。=々EOB=々COO=90。，然

后證明△48尸?△EOF,從而利用相似三角形的性質可求出0E的長，這證明△AOB-△。。。，從而利用相

似三角形的性質可求出。0的長，即可解答；

【詳解】解：0E=CD,AB1BO,EO1BO,CD上0D,

ALABO=LEOB=Z.CDO=90°.

?:2AFB=Z.EFO,

???△ABFEOF,

tAB__BF_

,?茄―0Fr

.j__曰

OE4'

解得：0E=2,

:.0E=CD=2,

???Z.AOB=乙COD,

AOBCOD,

A3_OB

?,方-OD,

.一1=_-6,

2OD

???OD=12,

???蠟燭的像CD的長度為2,像CD與透鏡MN之間的距離為12.

【題型7裁剪問題】

【例7】現有一張Rt團ABC紙片，直角邊BC長為12cm,另一直角邊AB長為24cm.現沿BC邊依次從下往上

裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖.已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（