2025-2026學年高二數學下學期期末模擬卷【北師大版測試范圍：數列、函數與導數、集合、常用邏輯用語與不等式】（全解全析）

高二數學下學期期末模擬卷(北師大版)

全解全析

(考試時間：120分鐘，分值：150分)

注意事項：

1.答卷前.考牛務必將自己的姓名、準考訐號填寫在答題卡卜C

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：數列、函數與導數、集合、常用邏輯用語與不等式。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若集合力={小=/―6工+7},5={x|(x+4)(x-2)<0},則(C/)nB=()

A.(T-2]B.(-4,-2)C.[-2,-KO)D.(—,2)

【答案】B

【解析】因為y=V-6X+7=(X-3>-2,所以VxcR,由y2-2,

所以/={y|y=/_6x+7}={j，|y2-2},所以CRA={y\y<-2},

解不等式(x+4)(x-2)<0,可得—4vxv2,所以4={x|(x+4)(x—2)<()}={x|-4<2},

所以(CM)n8=(-4,-2).

故選：B.

2.已知等差數列{4},則"=9”是"%+%=24”成立的(：條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】當k=9時，由等差數列下標和性質得%+%=2為顯然成故充分性成立，

1/15

設等差數列首項為6,公差為d,當"=o時，無論左取何值，%+卬=2%一定成立,

無法推出〃=9,可得必要性不成立，

則”=9”是"%+%=2勺”成立的充分不必要條件.

故選:A.

3.已知曲線y=/（x）在x=5處的切線方程是y=-2x+8,則/⑸+/（5）的值為（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】直線y=-2x+8的斜率為—2,由導數的幾何意義可得/'（5）=-2,

因為點（5,/（5））在直線y=-2x+8上，則/（5）=-2x5+8=-2,

因此，/（5）+r（5）=-2-2=-4.

故選：A.

【解析】由題意,函數/（X）的定義域為（T,0）D（0，+8），

因為/'（x）=|x|—瞿，所以/（一）=卜*19果=卜卜坐=/（幻，所以/（x）是偶函數，排除C和D；

當x>0時，/（x）=x-答，r（x）=」+2hl,令/”（x）<0,則丁+21門-1<0,

XX

2

令g（x）=x'+21nx-l,x>0,g'（x）=3x2+->（）,所以g（x）在（0,+功單調遞增，

x

因為g（l）=l+21nl-1=0,所以由F+Zlnx-lvO可得0cx<1,

所以/”（x）>0時，A>1,所以/*）在（0,1）上單調遞減，在（1,十8）上單調遞增，所以B錯誤.

2/15

故選:A.

5.在新型太空艙生命維持系統的儲液罐設計中，采用一種膠囊形結構：中間部分為圓柱體，左、右兩端均

為半球形封頭，圓柱底面半徑和半球半徑均為〃.已知儲液罐外表面積為定值S,當儲液罐的體積P取最

大值時()

A，品B.島C.后D.日

【答案】C

2

【解析】設圓柱的高為力，則儲液罐的表面積為5=2兀町?+4成2,所以〃=-4)TTR,

2itR

則由力=SfR-20得O〈RW憚,儲液罐的體積為展成2力+±獻、睫-也-,

2兀RV44323

所以片=5-2乃配>0,所以函數/(R)在定義域(o,店]上單調遞增，

所以R=屆時，P取最大值.

故選:C.

6.己知等比數列｛4｝的各項均為正數；/3，/4是函數/(X)=；F一/2+4.Y+1的兩個極值點，則

JL

3026

E10gM=()

<=|

A.2026B.2025C.1014D.1013

【答案】D

[解析】/(X)=!?-|X2+4X4-1^f\x)=x2-5x+4,

令/”(x)>0,解得x>4或x<l,

所以函數/(x)的單調遞增區間為(4,-KO)和(一雙1),

令令(x)<0,解得1cx<4,所以函數/(x)的單調遞減區間為。,4),

因此1,4是函數/(x)的兩個極值點，因此.3~4=1x4=4,

2026

Elog，氏=log4q+log,%+…十log4生026=log*!(力生???^2026)

X=1

10B

=log4[(a1a2O26)(a2a2025)---(aI0Ba1014)]=log4(4x4x--.x4)=log44=l013.

故選：D.

3/15

7.已知函數/(x)=ln4,當0<。<］時?，/(加sin。+1)+/("〃?)〉()恒成立，則實數機的取值范圍是

2-x2

()

A.(-U)B.(-1,0)C.(0,1)D.El)

【答案】B

【解析】v/(x)=ln-^-,xe(Ci2),KJ/(2-x)=In-,

2-xx

;.f(x)+f(2-x)=In1=0,BP/(l-w)+/(I+m)=0,

由x?0,2),.?/a)=LJ->0,則〃x)在(0,2)上單調遞增,

x2-J

由/(〃?sin6+l)+/(I—〃i)>0,得f(nisin+1)>-/(I-m)=/(w+1),

根據函數單調性可得2>msin6+1>1+m>0,

W7+1>0

?.?0<0<色，.,.sinee(0,l),.,.<巾5出6+1>1+〃7在(0,三)上恒成立，

wsin^+l<2

w>-1m>-1

叩<〃?（sin。-1）>0,/.<m<0,解得用e（-l,0）.

1m<\

m<----

sin〃

故選：B.

8.若實數x,J"z滿足4=2-1=-logzz,則x,V,z的大小關系不可能是（）

A.z>x>yB.z>y>x

C.y>x>zD.y>z>x

【答案】c

【解析】由&=2一）'=一108/可得1=（；）=108小=￡,

Z=bg」x與互為反函數，故其交點。在直線/=x上，且交點橫坐標小于1,

22'

而1=五與/=X交點的橫坐標等于1,

從而y4,/=/=4■在同一直角坐標系中的大致圖象如圖所示：

22X

/=泉與f=4的圖像交點為8」=l°g/與/=4的圖像交點為力，

4/15

且4<%<%

當直線y=6位「點力的上方時，此時宜線），=機與三個函數的交點橫坐標滿足X>Z>），,

當直線歹=〃?位丁點8的上方，力的下方時，此時直線丁=〃?與三個函數的交點橫坐標滿足z>x>y,

當直線y=〃?位于c點的上方，8的下方時，此時直線卜=〃?與三個函數的交點橫坐標滿足z>y>x,

當直線y=，〃位于。點的卜.方時，此時直線、=機與三個函數的交點橫坐標滿足v>z>x,

故選：c.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列求導運算正確的有（）

A.（8。）"B.圖="嚴

\c7c

322

C.[cos（4x-5）y=-4sin（4x-5）D.（xIog2x）=3xlog2x+xln2

【答案】BC

【解析】對于A,（9°）’=0,A選項錯誤；

MB,田；（/"H嘰…『此二B選項正確；

exe2xe2veT

對于C,[cos(4x-5)y=-sin(4x-5)(4x-5),=-4sin(4x-5),C選項正確；

??.1丫2

對于D,(x+og,x)=(x3)log,X4-.￥5(log,X)=3.￥2log,X+X3,----=3x2log,x+-—,D選項錯誤.

故選：BC.

10.已知正數"7，”滿足3/〃+2〃=1,則()

A.1<4"<2B.mn<C.D.m2+n2>^~

48“乙一io13

【答案】ACD

5/15

【解析】V/M>0,W>0,3/W+2W=1,

..3ni=1-2/7>0,解得（）<〃<?，

?.指數函數歹=4、單調遞增，

4°<4"<4",即Iv4"v2,故A正確;

由基本不等式得1=3/7/+2n>2、’3，〃?2n=2\j6mn>

兩邊平方得■24〃?〃，解得〃?〃4卷，當且僅當3/〃=2〃時等號成立，故B錯誤;

23(23_X,_4〃9〃？、仁I4n9m..一?.,,..口

—+—=—+—(3w+2??)=12+一+——>12+2.1---------=24,當M且僅當2〃=3〃?時取nr等A號,

mn\mnJmnymn

2^-2;=2^+;>224=(24)6=16^故C正確；

1—2〃

?「3m+2n=\,貝ijm-———,0</:<—

2

222l-4n+13n2

..nr+/r=-------+n-=----------------

I3)9

42（1、

由于函數y=l-4x+131的圖象開口向上，對稱軸X=丁^=GW0,-,

2x13132J

收匕擔土包的最小值為1-4（司+13圖],則〃故D正確.

7==13

9913

故選:ACD.

11.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美稱.函數/（戈）=[可稱為高斯函數,

其中xeR,[x]表示不超過x的最大整數.如：[1.3]=1,[-0.5]=-1,函數g（x）=x-/（江則（）

A.g（x）最大值為1

B.不等式/?）-/。）-2<0的解集為{疝）=<2}

廠廿「

c-若/2-x卜+31一10？.r-一3，則ril戶正3或戶歷9

D.函數歹=g（x）-與x有2026個零點

2020

【答案】BC

6/15

【解析】對于A,由高斯函數的定義可知所以0。-卜]<1,即g(x)?O,l),所以g(x)無

最大值，故A錯誤；

對于B,令Z=/(K)=[X],原不等式化為一――2<(),解得-1々<2,

又”但為整數，故/=0或f=l,所以0"<2,即不等式的解集為｛x|()Kx<2｝,故B正確：

萬/2x+3EI\rilO.r-310x-3?

對于C,令，=「一，則/(。=上=一;一，故一;—eZ,

466

設=二2=〃(AWZ),則|0X—3=6〃，即》=空口，所以一2*與」+3_3八9,

610'=-4-二丁

因為[4=3所以人與^^<4+1,解不等式組得

又kwZ,所以％=0或1,對應的x=6X]：+3=2或)=6x；;3=?,故C正確：

1IC

對于D,?.-g(X)=X-/(X)=X-[A-],則y=g(x)-玉法x=x-3—布工=菰..國，

170^S70?S

令y=g(x)-春X=O,得就x-[x]=。，即訴x=[x]，卜]為整數，

ZOZo2U262u2b

所以設黑、=NkeZ),則心喘<心1，

2U26202?

解不等式女?微黑，得％20：解不等式微祟<太+1，得A<2025,

所以不等式44弓等<&+1的解集為0<％<2025,所以1的取值為0,1,2,…,2024,共2025個,

即函數J，=g(x)-上7工有2025個零點，故D錯誤.

2026

故選：BC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數列｛%｝,也｝均為等差數列，若.+々=1,%=4,則佝+4=.

【答案】7

【解析】因為數列｛4｝，也｝均為等差數列，由等差數列的性質得數列｛4+"｝也為等差數列,

所以氏+&為q+4，為+4的等差中項，所以(《+乙)+(。9+%)=2(%+&),

所以為+4=2x4-1=7.

7/15

故答案為：7.

13.已知定義在R上的奇函數/(X)滿足/(-3)=0,當x>0時，/(力一/(力<0,則/(力>0的解集為

【答案】(一%―3)u(0,3)

【解析】設g(x)="°，*>0),則其導數g'(x)=V'")：/"),

JVX

而當x>0時〃x)<0,所以g'(x)<o,即g(x)在(0,+”)上為減函數,

又由/(一3)=0,/(X)為定義在R上的奇函數，則/(3)=-/(-3)=0,

則g(3)=牛=(),

所以g(x)=Z&D在區間(0,3)上，g(x)>0,在區間(3,+8)上，g(x)<0,

X

則在區間(0,3)上,/")>(),在區間(3,+8)上,/(x)<0,

又由/(x)是定義在R上的奇函數，則/(。)=0,

且在區間(70,-3)上,/(x)>0,在區間(—3,0)上，〃力<0,

綜合可得：不等式/(力>0的解集為(-3,-3)5。,3).

改答案為：(一%一3)50,3).

14.設集合M={x|14x4100,xcN},若對于滿足力=股的任意〃個元素的集合力={3,%「??,%},都存在

q,a產力。工力使得幺￡；,3,則k的最小值是______.

aj；—?1

【答案】5

【解析】根據題意，"=k|lKxQ00，xeN},

設集合8={卬,生，〈/<…〈為)，。”wM，對于任意外，%旦￡：,3,

a/；jJ-1

現計算此時〃的最大值，

要使〃最大，貝I」數歹IJ的增長速度應該盡可能的慢，首先盡可能小，

所以％=1,則《+1應該是滿足>3q的最小整數,故《+]=M+l,iNl,

??q+i+；=3(q+g),

8/15

則數列卜是首項為%+；=）公比為3的等比數列，

13X11

所以%+：=]x3"T,??=!—1<100,即3”201,

又3）=81,3,=243且〃GN*>

工〃的最大值為4,例如8=｛1,4,13,40｝,

則〃的最小值是是

故答案為：5.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知數歹U｛｝滿足。1=3,。“=4%+3卜?N2,〃eN）

（1）求證：｛"”+1｝是等比數列，并求。.：

（2）設以=巴上,求數列｛4｝的前〃項和小

anan+\

15.（13分）

【解析】（1）由題意，得“N2時，4+1=4（/T+1）,

又q+l=4,所以&二=4（〃之2）,

%+1

所以數列｛/+1｝是以4為首項，公比為4的等比數列，

所以4+1=4X4"T=4"，所以4=4"-1.

a+14"\（11）

⑵因為4=4一,所以“廣大=（4=l）（4"-l）=「l"rEj.

所以]=3+…+“中土一土+土一土+…+土一也）

m七）.

16.（15分）

已知aeR,函數/（x+l）=b&

（1）若。=2,求函數/（X）的表達式及定義域；

9/15

(2)若關于％的方程/圖-蚓(。-2卜+3"5]=0的解集中恰好只有一個元素，求實數。的取值范圍.

16.(15分)

【解析】(1)/(.丫+1)=1%1+，],令X+l=/,

則/(0=晦(*)/")=晦&+")

因為4=2,所以/(x)=log2(2+：,

又2+!>0得，解得或了>0,

X2

則函數/⑺的定義域為f-8，-；]u(0，”).

(2)由(1)得/a)=iog26+。)，

方程」(9一1°當[(”2卜+%一51=0,即log'Z+Q-log2[(t7-2)x+36r-5]=0

7

可轉化為(。-2)/+(2a—5)x—2=0,且*+a>0

①當。一2=0即。=2時，x=-2,符合題意;

②當。-2w()即ah2時，玉=-2,X,=------

-a-2

(i)當-2=」1=時，3符合題意；

a-22

13

(ii)當—2*--Ebj,且。工2時，要滿足題意，則有

a-22

-1+?>04-\+G<0

n1<a工工或《n無解.

3a-4KoJ3?-4>0

f41f3]

綜上可得，〃的取值范圍(i，5卜卜鼠.

17.(15分)

已知應｝是單調遞增數列，記X為數列｛/｝的前〃項和，且a：+〃=2S”.

(1)證明：｛凡｝是等差數歹U;

(2)令4=2%,求他+a也-+a3bl+…+%瓦+a1fy.

17.(15分)

【解析】(1)令〃=1,得a；+1=2S[=24,所以6=1：

10/15

4；+〃=2S

由題意得n

+n-\=2Sn_],n>2

所以當〃22時，心。3+1=2%,即(。“一1)2=。3,

所以%—1=或/-1=-^-i

所以4一《I=1或=1.

因為數列｛〃“｝是單調遞增數列，所以當〃22時，%>q=l,>1

所以4+q122Hl,

所以〃N2,即｛。』是首項為1,公差為1的等差數列.

(2)由(1)知％=l+(〃-l)x|=〃，所以乩二2".

令S=a｝bn+他一+a3bn_2+…+an_｝b2+岫，

則S=lx2"+2x2"T+3x2”-2+...+(〃—i)x22+〃x2i①

兩邊同乘以2,得2s=lx2向+2x2"+3x2"T+…+(〃-l)x23十〃x22②

n+132+2

②-①，得S=2+2"+2”T+--+2+2-2?=2(>2)_2/?=2?-2/7-4,

1-2

fl+2

所以哂+a2b“7+4也.2+…+4血+a?bx=2-2/7-4.

18.(17分)

已知〃x)=e2*-or+2,“eR,e是自然對數的底數.

⑴求函數V=/(x)的單調區間：

(2)若關于x的方程/(x)-2=。有兩個不等實根，求々的取值范圍；

(3)當。=2e時,若滿足/(占)=/(%2)&<"),求證：演+/<1.

18.(17分)

【解析】(1)函數/(x)=e2'-ax+2的定義域為R,求導得/'(x)=2e?x-%

當a?0時，恒有/'(x)>0,則函數/(%)在R上單調遞增；

11/15

當a>()時，由/'(x)<0,得由/'(x)>0,得x>?n，

2222

即函數/(X)在1上單調遞減，在(gln],+8)上單調遞增;

所以當a?0時，函數/(x)的單調遞增區間為(一巴+8),無單調遞減區間；

當。>0時，函數/(力的單調遞減區間為單調遞增區間為宗+J.

\L乙)122/

(2)方程/")一2=0,即《2'-改=0，當x=0時，方程不成立，則。=匚；

x

令g(x)=B,依題意，方程/。)-2=0有兩個不等實根，即直線y="與y=g(x)的圖象有兩個交點,

X

求導得g'(x)=(2"：)L,當x<0或0<x<：時，gf(x)<0,當時，g'(x)>0,

所以函數g(x)在(-e,0),(0,上單調遞減，在上苴調遞增，

而當XV。時，g(x)<0,當x>0時，g(-r)>o.旦當丫=；時，g(x)取得極小值g(g)=2e,

作出函數，V=g(x)的大致圖象，如圖，

觀察圖象，當。>2e時，直線與函數P=g(x)的圖象有兩個交點,

所以〃的取值范圍為(2e,+8).

(3)當〃=2e時，f(x)=c2x-2cx+2,求導得/'(x)=Ze?*-2c,

由(1)知，函數在(-8,9上單調遞減，在+3)上單調遞增；

由王<.%且/(再)=/(&)，得

令函數/，(x)=/(x)-/(l-x),,

求導得〃(x)=/'(x)+/'(1_x)=2e2x-2e+2e2(,-x)-2e>2(2y]e2x-e2-2x-2e)=0,

12/15

-叫；)上單調遞增，有h(x)〈h

則函數a(x)在=0,于是/(x)v/(lr),

<2>

而x1<g,因此/(再)</(1一王)，即/(/)</(1-再)，

c,I1

又X2>2,

函數/(x)在(g,+8)上單調遞增，所以々<1-占，

所以x+w〈I

19.(17分)

e八兀

已知函數/")=-tanx,xe0,—.

COSJI2)

⑴證明：/(x)>2tanx；

(2)已知數列"}滿足：0e0,-,3'm=/(。，3〃cN”.記

n\一)

(i)證明：ltan^-tan^+l<2+l；

(ii)是否存在小于義的實數。，使得tanQva"對任意的正整數〃成立？若存在，求。的取值范圍；若不

存在，請說明理由.(參考數據：eR?23.14)

19.(17分)

[解析1(1)f(x)>2taiix=----->3tanxoe'>3siavo3e'sia￥<1,

cos.r

設〃(x)=3eTsinx,xe0,撲小)=3e-'(cosx-siiu),

令/(x)>0,得0<x<：,令/⑺<(),得：

n7t

???”(x)在((),：)上單調遞增，在上單調遞減,

4'2