中考數學《二次函數》總復習

二次函數

一、中考要求：

1.經歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數關系的過程，進一步

體驗如何用數學的方法描述變量之間的數量關系.

2.能用表格、表達式、圖象表示變量之間的二次函數關系，發(fā)展有條理

的思考和語言表達能力；能根據具體問題，選取適當的方法表示變量

之間的二次函數關系.

3.會作二次函數的圖象，并能根據圖象對二次函數的性質進行分析，逐

步積累研究函數性質的經驗.

4.能根據二次函數的表達式確定二次函數的開口方向，對稱軸和頂點坐

標.

5.理解一元二次方程及二次函數的關系，并能利用二次函數的圖象求一

元二次方程的近似根.

6.能利用二次函數解決實際問題，能對變量的變化趨勢進行預測.

二、中考卷研究

（一）中考對知識點的考查：

2009、2010年部分省市課標中考涉及的知識點如下表：

序

所考知識點比率

號

二次函數的圖象和性

12.5~3%

質

2二次函數的圖象及系6%

數的關系

二次函數解析式的求2.5~10

3

法.5%

二次函數解決實際問

48~10%

題

(二)中考熱點:

二次函數知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的主要內容，本章

主要考查二次函數的概念、圖象、性質及應用，這些知識是考查學生綜合

能力，解決實際問題的能力.因此函數的實際應用是中考的熱點，和幾何、

方程所組成的綜合題是中考的熱點問題.

三、中考命題趨勢及復習對策

二次函數是數學中最重要的內容之一，題量約占全部試題的10%?

15%,分值約占總分的10%?15%,題型既有低檔的填空題和選擇題，又

有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現了設計新

穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數應用題，

這部分試題包括了初中代數的所有數學思想和方法，全面地考查學生的計

算能力，邏輯思維能力，空間想象能力和創(chuàng)造能力。

針對中考命題趨勢，在復習時應首先理解二次函數的概念，掌握其性

質和圖象，還應注重其應用以及二次函數及幾何圖形的聯系，此外對各

種函數的綜合應用還應多加練習.

★★★(I)考點突破★★★

考點1：二次函數的圖象和性質

一、考點講解:

1.二次函數的定義：形如，=?+隊+C（aWO,a,b,c為常數）的函數為

二次函數.

2.二次函數的圖象及性質：

⑴二次函數z（aWO）的圖象是一條拋物線，其頂點是原點，對稱軸是y

軸；當a>0時，拋物線開口向上，頂點是最低點；當aVO時，拋物

線開口向下，頂點是最高點；a越小，拋物線開口越大.（x—h）?+k的

對稱軸是，頂點包標是（h,k）0

⑵二次函數k/+瓜+。的圖象是一條拋物線.頂點為（一擊，），對稱軸

—3當a>0時，拋物線開口向上，圖象有最低點，且x>-A,y

2a2a

隨x的增大而增大，x<-A,y隨X的增大而減小；當aVO時，拋物

2a

線開口向下，圖象有最高點，且X>—y隨x的增大而減小，x<

2a

一jy隨x的增大而增大.

2a

注意：分析二次函數增減性時，一定要以對稱軸為分界線。首先要看

所要分析的點是否是在對稱軸同側還是異側，然后再根據具體情況分

析其大小情況。

解題小訣竅：二次函數上兩點坐標為（X"）,（z，y），即兩點縱坐標

相等，則其對稱軸為直線。

（3）當a>0時，當一白時，函數有最小值；當aVO時，當一*時，函數

la2a

有最大值.

3.圖象的平移：將二次函數2（aWO）的圖象進行平移，可得到？+c,（X

-h）2,（x—h）?+k的圖象.

(1)將2的圖象向上(c>0)或向下(c<0)平移個單位，即可得到2+c的圖

象.其頂點是(O),形狀、對稱軸、開口方向及拋物線2相同.

(2)將2的圖象向左(h<0)或向右(h>0)平移個單位，即可得到(x—h)2

的圖象.其頂點是(h,0),對稱軸是直線，形狀、開口方向及拋物線

z相同.

⑶將之的圖象向左(h<0)或向右(h>0)平移個單位，再向上(k>0)或向

下(k〈O)平移個單位，即可得到(x—hT的圖象，其頂點是(h,k),對

稱軸是直線，形狀、開口方向及拋物線,相同.

注意：二次函數，及一2的圖像關于x軸對稱。平移的簡記口訣是“上

加下減，左加右減”。

?、經典考題剖析：

【考題1](2009、貴陽),拋物線-4(2)2+5的對稱軸是

【考題2】(2009、寧安)函數六一4的圖象及y軸的交點坐標是()

A.(2,0)B.(-2,0)

C.(0,4)D.(0,-4)

【考題3】在平面直角坐標系內，如果將拋物線)，=2/向右平移2個單位,

向下平移3個單位，平移后二次函數的關系式是()

A.y=20-2尸+3

B.y=2(x+2/+3

C.y=2(x+2)2—3

D.J=2(X-2)2-3

【考題4】(2009、貴陽)已知拋物線的部分圖象(如圖圖象再

次及X軸相交時的坐標是(

A.(5,0)B.(6,0)

C.(7,0)D.(8,0)

【考題5］（深圳）二次函數,'="-+陵

圖像如圖所示，若點A（1,%），B（2,為）是它的圖像上兩點，則

月及內的大小關系是（）

B

A.yVy2-必=為

C.y>%D.不能確定

三、針對性訓練：（分鐘）（答案：）

1.已知直線及二次函數之一2x-l的圖象的一個交點M的橫標為1,則a

的值為（）

A、2B、1C、3D、4

2.已知反比例函數的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，則二次函

數2之一?的圖象大致為圖1—2—3中的（）

4.拋物線2—4x+5的頂點坐標是（）

A.(—2,1)B.(—2,—1)

C.(2,1)D.(2,-1)

5.二次函數2（x-3）2+5的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別

為（）

A.開口向下，對稱軸一3,頂點坐標為（3,5）

B.開口向下，對稱軸x=3,頂點坐標為（3,5）

C.開口向上，對稱軸一3,頂點坐標為（一3,5）

D.開口向上，對稱軸一3,頂點（一3,—5）

6.二次函數），=/+/2x+c的圖象上有兩點（3,一8）和（-5,-8）,則此

拋物線的對稱軸是（）

A.x=4B.x=3

C.x=-5D.x=-l

7.在平面直角坐標系內，如果將拋物線y=3/向右平移3個單位，向下

平移4個單位，三移后二次函數的關系式是（）

A.），二3。一3尸十4

B.y=3（x+3）2+4

C.），=3。+3）2—4

D.），=33-3）2-4

8..已知，點A（—1,月），B（-V2,為），C（-5,%）在函數y=--的

圖像上，則凹，為，乃的大小關系是（）

A.必>%>）’3B.月>尢>%

C.y3>）'2>%D.

9.已知二次函數y=d+以+c（aXO）及一次函數2（kWO）的圖象相交于點

A（-2,4）（8,2）,如圖1—2—7所示，能使”＞丫2成立的x取值范

圍是

10.（襄樊）拋物線產-/+板+'的圖像如圖所示，則拋物線的解析式為。

11.若二次函數y=-12+"+c的頂點坐標是（2,—1）,則，。

12直線2及拋物線2+2x的交點坐標為.

13讀材料：當拋物線的解析式中含有字母系數時，隨著系數中的字母取值

的不同，拋物線的頂點坐標也將發(fā)生變化.

例如：由拋物線…2.2〃…/+2〃一①，有。一〃?）2+2〃?-1②，所以拋物線的

頂點坐標為（m,2m—1）,即③④。

當m的值變化時,x、y的值隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化,

將③代人④，得2:《一11⑤.可見，不論m取任何實數，拋物線頂點的縱

坐標y和橫坐標x都滿足2x—1,回答問題：（1）在上述過程中，由①

到②所用的數學方法是，其中運用了公式，由③④得到⑤所用的數學方

法是;（2）根據閱讀材料提供的方法,確定拋物線+2昧一+l

頂點的縱坐標及橫坐標X之間的關系式.

14拋物線經過第一、三、四象限，則拋物線的頂點必在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

15已知M、N兩點關于y軸對稱，且點M在雙曲線上，點N在直線上,

設點M的坐標為（a,b）,則拋物線―2+（a+b）x的頂點坐標為.

16當b<0時，一次函數和二次函數2++c在同一坐標系中的圖象大致是

圖1一2一9中的（）

考點2：二次函數的圖象及系數的關系

一、考點講解：

1、a的符號：a的符號由拋物線的開口方向決定,拋物線開口向上，則a

>0；拋物線開口向下，則a<0.

2、b的符號由對稱軸決定，若對稱軸是y軸，則0；若拋物線的頂點在y

軸左側，頂點的橫坐標一即勺>0,則a、b為同號；若拋物線

2a2a

的頂點在y軸右側，頂點的橫坐標一白>0,即?V0.則a、b異號.間

2a2a

“左同右異”.

3.c的符號：c的符號由拋物線及y軸的交點位置確定.若拋物線交y軸

于正半，則c>0,拋物線交y軸于負半軸,則cVO；若拋物線過原點，

貝IJ0.

4.△的符號：△的符號由拋物線及x軸的交點個數決定.若拋物線及x

軸只有一個交點，則△=（）；有兩個交點，則△>（）.沒有交點，則△<

0.

5、及a-的符號：是拋物線產6+灰+。（aWO）上的點（1,）的縱坐標，a

一是拋物線>=+（aWO）上的點（一1,a—b+c）的縱坐標.根

據點的位置，可確定它們的符號

二、經典考題剖析：

【考題1】（2009、濰坊）已知二次函數、="+6?+，?的圖象如圖1―2—2

所示，則a、b、c滿足（）

A.a<0,b<0,c式—?'>>0

B.a<0,b<0,c?1-22<0

C.a<0,b>0,c>0

D.a>0,b<0,c>0

【考題2】（2009、天津）已知二次函數），=++以+。（aWO）且aVO,a-

>0,則一定有（）

A.b2-4>0B.b2-4=0

C.b2-4<0D.b2-4^0

【考題3】（2009、重慶）二次函數k"+力"c的圖象如圖1一2-10,則

點（b,）在（）片、

A.第一象限B.第二象限I'

圖1-2-10

C.第三象限D.第四象限

三、針對性訓練：（60分鐘）

1.已知函數”辦2+尻的圖象如圖1一2一11所示，給出下列關于系數a、

b^c的不等式：①aVO,②bVO,③c>0,④2a+b<0,⑤a+b+c

>0.其中正確的不等式的序號為

2.已知拋物線>+辰+《及x軸交點的橫坐標為一1,則a+.

圖1-2-11圖1-2-12

3.拋物線y=*+，>+c中，已知a：b：：2：3,最小值為6,則此拋物線的

解析式為

4.已知二次函數的圖象開口向下，且及y軸的正半軸相交，請你寫出一

個滿足條件的二次函數解析式：.

5.拋物線好加+加+c如圖1—2—12所示,則它關于y軸對稱的拋物線的

解析式是.

6.若拋物線過點（1,0）且其解析式中二次項系數為1,則它的解析式為.（任

寫一個）

7.已知二次函數y=的圖象及X軸交于點（一2,0）,（X”0）且1

<x,<2,及y-軸正半軸的交點連點（0,2）的下方，下列結論：①aV

b<0：②2a>0：③4a<0,?2a->0.其中的有正確的結論是（填寫

序號）.

8.若二次函數），=”+法+c的圖象如圖，則0

第8題圖困1-2.14

9.二次函數廣江+6+。的圖象如圖1一2—14所示，則下列關于a、b、c

間的關系判斷正確的是O

A.<0B、<0

C.+c>0D.a—b十c<0

10.拋物線y=++bx+c（a>0）的頂點在X軸上方的條件是（）

A.b2—4ac<0B.b2-4ac>0C.b2

—4ac20D.c<0

11二次函數⑴3x2；（2）x2；⑶x?的圖象的開口大小順序應為（)

A.(1)>(2)>(3)B.(1)>(3)>(2)

C.(2)>(3)>(1)D.(2)>(1)>(3)

考點3：二次函數解析式求法

一、考點講解：

1.二次函數的三種表示方法：

⑴表格法：可以清楚、直接地表示出變量之間的數值對應關系；

（2）圖象法：可.以直觀地表示出函數的變化過程和變化趨勢；

⑶表達式：可以比較全面、完整、簡潔地表示出變量之間的關系.

2.二次函數表達式的求法：

⑴一般式法：若已知拋物線上三點坐標，可利用待定系數法求得

,=法將已知的三個點的坐標分別代入解析式，得到一個三元

一次方程組，解這個方程組即可。

⑵頂點式法：若已知拋物線的頂點坐標或對稱軸方程，則可采用頂點

式：3，=,心-獷十七其中頂點為（h,k）,對稱軸為直線；

⑶交點式法：若己知拋物線及x軸的交點坐標或交點的橫坐標，則可

采用交點式：y="（x-K）（x3）,其中及x軸的交點坐標為（x”0）,（x2,

0)o

解題小訣竅：在求二次函數解析式時，要靈活根據題目給出的條件來

設解析式。例如，已知二次函數的頂點在小=已知

頂點(0,c),即在y軸上時可設＞=辦2+°；已知頂點(h,0)即頂點

在x軸上可設)，=〃(1-/?)2.

注意：當涉及面積周長的問題時，一定要注意自變量的取值范圍。

二、經典考題剖析：

【考題1】(2009、長沙)如圖1一2—16所示，要在底邊160,高120的

△鐵皮余料上，截取一個矩形，使點〃在上，點G在上，點艮尸在上,

交于點M此時。

(1)設矩形的長，寬，確定y及x的函數關系式；

(2)當x為何值時，矩形的面積S最大？

(3)以面積最大的矩形為側面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣圍時，才

能使鐵桶的體積較大？請說明理由(注：隹鐵桶側面時，接縫無重疊，

底面另用材料配備)。

【考題2】在直角坐標系中，△的頂點坐標分別為A(0,2),0(0,0),

B(4,0),把△繞0點按逆時針方向旋轉90°到

(1)求3D兩點的坐標;

（2）求經過C,D,B三點的拋物線解析式。

【考題3］如圖，拋物線的對稱軸是直線1,它及x軸交于兩點，及y軸

交于C點。點的坐標分別是（一1,0）,（0,3）。

2

（1）求此拋物線對應的函數解析式；

（2）若點P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，求△的面積的最大值。

【考題4】（2009、南寧）目前，國內最大跨江的鋼管混凝土拱橋一一永和

圖1-2-18

大橋，是南寧市又一標志性建筑，其拱形圖形為拋物線的一部分（如圖

1-2-18）,在正常情況下，位于水面上的橋拱跨度為350米，拱高為8.5

米。

⑴在所給的直角坐標系中（如圖1—2—19）,假設拋物線的表達式為

〉，=?+"請你根據上述數據求出〃、〃的值，并寫出拋物線的表達式（不

要求寫自變量的取值范圍，〃、人的值保留兩個有效數字）。

八期

⑵七月份汛期將要來臨，當陽江水位上漲后，位于水面上的橋拱跨度將

會減小，當水位上漲4小時，位于水面上的橋拱跨度有多大？（結果保留

整數）

【考題5】（2009、海口）已知拋物線2+（2n—1尸一1（n為常數）.

⑴當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的

函數關系式；

⑵設A是⑴所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個

動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D,再作_Lx軸于B,_Lx

軸于C.

圖1-2-21

①當1時，求矩形的周長；

②試問矩形的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并

指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由.

【考題6】（2009、鄲縣）如圖1—2—24,△是邊長為2+的等邊三角形,

其中。是坐標原點，頂點B在y軸的正方向上，將^B折疊，使點A落

在邊上，記為A',折痕為.

（1）當A'E〃x軸時，求點卜和E的坐標；

（2）當A'E〃x軸，且拋物線經過點A'和E時，求該拋物線及x釉的

交點的坐標；

（3）當點A'在上運動但不及點0、B重合時，能否使4A'成為直角三

角形.若能，請求出此時點A,的坐標；若不能，請你說明理由.

【考題7］如圖，已知二次函數圖像的頂點坐標為C（l,0）,直線y=x+

及二次函數的圖像交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3,4）,B點在y

軸上。

(1)求m的值及二次函數的解析式；

(2)P為線段上的一個動點(點P及不重合)，過點P做x軸的垂線及

二次函數圖像交于點E,設線段的長度為h,點P的橫坐標為x,求h及

x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)D為直線及這個二次函數圖像對稱軸的交點，在線段上是否存在一

點P，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請說明理由。

三、針對性訓練：(45分鐘)

1.二次函數的圖象經過點(一3,2),(2,7),(0,-1),求其解析式.

2.已知拋物線的對稱軸為直線一2,且經過點(-1,-1),(-4,0)

兩點.求拋物線的解析式.

3.已知拋物線及x軸交于點(1,0)和(2,0)且過點(3,4),求拋物線

的解析式.

4.已知二次函數戶江+以+c的圖象經過點A(0,1)B(2,—1)兩點.(1)

求b和C的值；（2）試判斷點P（—1,2）是否在此拋物線上?

5.已知一個二次函數，=公」+隊+c的圖象如圖1—2—25所示，請你求出這

個二次函數的表達式，并求出頂點坐標和對稱軸方程.

H1-2-25

6.已知拋物線尸?+尿+c過三點（一1,一1）、（0,一2）、（1,1）.

（1）求拋物線所對應的二次函數的表達式；

（2）寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

（3）這個函數有最大值還是最小值？這個值是多少？

7.當4時，函數的最小值為一8,拋物線過點（6,0）.求:

（1）頂點坐標和對稱軸：（2）函數的表達式；

（3）x取什么值時，y隨x的增大而增大；x取什么值時，y隨x增大

而減小.

8.在△中，Z=90°，點C在x軸正半軸上，點A在x軸負半軸上，點B

在y軸正半軸上（圖1—2—26所示），若Z,求經過A、B、C點的拋

物線的解析式.

9.已知：如圖1—2—27所不，直線一3及x軸、

y軸分別交于點B、C,拋物線-x?++c經過點B、C,點A是拋物線及

x軸的另一個交點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點P在直線上，且S,、SA,求點P的坐標.

10四邊形為△的內接矩形（圖1—2—28）,為邊上的高，長為x,矩形的

面積為y,請寫出y及x之間的函數關系式，并判斷它是不是關于x的

二次函數.

考點4：根據二次函數圖象解一元二次方程的近似解

一、考點講解：

1.二次函數及一元二次方程的關系：

（1）一元二次方程加+法+c=O就是二次函數，=?+法+C當函數y的值為

0時的情況.

（2）二次函數k江+法+c的圖象及X軸的交點有三種情況：有兩個交

點、有一個交點、沒有交點；當二次函數尸內?+法+C的圖象及X軸有交

點時，交點的橫坐標就是當。時自變量X的值，即一元二次方程2++0

的根.

（3）當二次函數）：=〃/+阮+C的圖象及X軸有兩個交點時，則一元二次

方程k+C有兩個不相等的實數根；當二次函數尸的圖象

及X軸有一個交點時，則一元二次方程2++c=0有兩個相等的實數根;

當二次函數y='+的圖象及x軸沒有交點時，則一元二次方程

沒有實數根.

解題小訣竅：拋物線及x軸的兩個交點間的距離可以用|X1一X21來表示。

二、經典考題剖析：

【考題1】（2009、湖北模擬）關于二次函數尸++小+c的圖象有下列命

題：①當0時，函數的圖象經過原點；②當c>0且函數的圖象開口向

下時，'++0必有兩個不等實根;③函數圖象最高點的縱坐標是；④

當0時，函數的圖象關于y軸對稱.其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【考題2】（2009、青島模擬，8分）

已知二次函數2—68,求：

（1）拋物線及x軸y軸相交的

（2）拋物線的頂點坐標；

（3）畫出此拋物線圖象，利用

圖象回答下列問題：

①方程X?—6x+8=0的解是什

么？

②x取什么值時，函數值大于0?

③x取什么值時，函數值小于0?

【考題3】（2009、天津）己知拋物線y=xz-2x—8,

（1）求證：該拋物線及x軸一定有兩個交點；

（2）若該拋物線及x軸的兩個交點分別為A、B,

且它的頂點為P,求△的面積.

三、針對性訓練：（45分鐘）

1.已知函數2-7x—7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（）

77

A.k>一一B.k之一一且kwO

44

C.k>--D.k>--Rk^O

44

2.直線3x—3及拋物線2—1的交點的個數是（）

A.0B.1C.2D.不能確定

3.函數k”+版+c的圖象如圖1一2一30,那么關于x的方程G+機+.0的

根的情況是()

A.有兩個不等的實數根B.有兩個異號實數根

C.有兩個相等實數根D.無實數根

4.二次函數)，=，￡+歷+。的圖象如圖1一2—31所示，則下列結論成立的是

()

A.a>0,>0,A<0

<0,>0,A<0

C.a>0,<0,A<0

<0,<0,A>0

5.函數。的圖象如圖1—2—32所示，則下列結論錯誤的是()

A.a>0B.b2-4>0

C^版+c=O的兩根之和為負

D、加+bx+c=o的兩根之積為正

6.不論m為何實數，拋物線,一+m一2()

A.在x軸上方B.及x軸只有一個交點

C.及x軸有兩個交點D.在x軸下方

7.畫出函數y2—2x—3的圖象，利用圖象回答：

(1)方程x2—2x—3=0的解是什么？

(2)b取什么值時，函數值大于0?

(3)b取什么值時，函數值小于0?

8.已知二次函數y之一x-6?

（1）求二次函數圖象及坐標軸的交點坐標及頂點坐標；

（2）畫出函數圖象；

（3）觀察圖象，指出方程x?-x—6二0的解；

（4）求二次函數圖象及坐標軸交點所構成的三角形的面積

考點5：用二次函數解決實際問題

一、考點講解：

1.二次函數的應用：

（1）二次函數常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數的

最大（小）值；

（2）二次函數的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題

中變量之間的二次函數關系；運用二次函數的知識解決實際問題中的最

大（小）值.

注意：二次函數實際問題主要分為兩個方面的問題，兒何圖形面積問題

和經濟問題。解幾何圖形面積問題時

要把面積公式中的各個部分分別用同

一個未知數表示出來，如三角形二，圖1-2-33

我們要用X分別把力，/表示出來。經濟問題：總利潤二總銷售額一總成

本；總利潤二單件利潤X銷售數量。解最值問題時，一定要注意自變量的

取值范圍。分為三類：①對稱軸在取值范圍內；②取值范圍在對稱軸左

邊；③取值范圍在對稱軸右邊。

2.解決實際問題時的基本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量

和常量；（3）用函數表達式表示出它們之間的關系；（4）利用二次函數

的有關性質進行求解；（5）檢驗結果的合理性，對問題加以拓展等.

二、經典考題剖析：

【考題1】（2009、貴陽，12分）某產品每件成本10元，試銷階段每件產

品的銷售價x（元）及產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

若口銷售量y是銷售價x的一次函數；

（1）求出日銷售量y（件）及銷售價x（元）的函數關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時

每日銷售利潤是多少元?

【考題2】（2009、鹿泉）圖1—2—33是某段河床橫斷面的示意圖.查閱

該河段的水文資料，得到下表中的數據:

510230450

00

0.10.24.812

2555.5

（1）請你以上表中的各對數據（x,y）作為點的坐標，嘗試在圖1—2

-34所示的坐標系中畫出y關于x的函數圖像；

（2）①填寫下表:

X51020304050

x~

y

②根據所填表中數據呈現的規(guī)律，猜想出用x表示y的二次函數關系

式：.

（3）當水面寬度為36m時，一般吃水深度（船底部到水面的距離）為1.8m

的貨船能否在這個河段安全通過？為什么？

【考題3］我區(qū)某鎮(zhèn)地理環(huán)境偏僻，嚴重制約經濟發(fā)展，豐富的花木產品

只能在本地銷售，我區(qū)政府對該花木產品每投資x萬元，所獲利潤為P=

-（x-30）2+10萬元。為了響應我國西部大開發(fā)的宏偉決策，我區(qū)政府

在制定經濟發(fā)展的10年規(guī)劃時，擬開發(fā)此花木產品，而開發(fā)前后可用于

該項目投資的專項資金每年最多50萬元。若開發(fā)該產品，在前5年中，

必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路，且5年修通。公

路修通后，花木產品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外地銷售

的花木產品，每投資x萬元可獲利潤Q=-（50-x）2+（50-x）+308

萬兀O

⑴若不進行開發(fā)，求10年所獲利潤的最大值是多少？

⑵若按此規(guī)劃進行開發(fā)，求10年所獲利潤的最大值是多少？

⑶根據（1）、⑵計算的結果，請你用一句話談談你的想法。

【考題4】學校要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花

形柱子.。恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水

流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.且在過的任意平面上的

拋物線如圖1—2—36所示，建立平面直角坐標系（如圖1—2—37）,水

流噴出的高度y（m）及水面距離x（m）之間的函數關系式是，請回答下列

問題：

（1）花形柱子的高度;

（2）若不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不至

于落在池外？

m1-2-36圖1-2-37

【考題5】（2009、青島）某工廠現有80臺機器，每臺機器平均每天生產

384件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發(fā)

現，由于其他生產條件沒變，因此每增加一臺機

器，每臺機器平均每天將少生產4件產品.

（1）如果增加x臺機器，每天的生產總量為y件，請你寫出y及x之

間的關系式;。

（2）增加多少臺機器，可以使每天的生產總量最大？最大生產總量是

多少？

三、針對性訓練：（60分鐘）

1.小王家在農村，他家想利用房屋側面的一面墻，圍成一個矩形豬圈（以

墻為長人現在已各足可以砌10米長的墻的材料.他想使豬圈的面積最

大，你能幫他計算一下矩形的長和寬應當分別是多少米嗎？此時豬圈

的面積有多大？

2.數學興趣小組幾名同學到某商場調查發(fā)現，一種純牛奶進價為每箱40

元，廠家要求售價在40?70元之間，若以每箱50元銷售平均每天銷

售90箱，價格每降低1元平均每天可多銷售3箱.老師要求根據以上

資料，解答下列問題，你能做到嗎？

⑴寫出平均每天銷售量y（箱）及每箱售價社元）之間的函數關系；

⑵寫出平均每天銷售利潤W（元）及每箱售價x（元）之間的函數關系；

⑶求出⑵中M次函數的頂點坐標及當40、70時的W的值.

3.某商人開始時，將進價為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天

可售出100件.他想采用提高售價的辦法來增加利潤，經試驗，發(fā)現

這種商品每件每提價1元，每天的銷售量就會減少10件.

⑴寫出售價x（元/件）及每天所得的利潤y（元）之間的函數關系式；

⑵每件售價定為多少元，才能使一天的利潤最大？

4.圖1—2—38所示是一條高速公路上的隧道口在平面直角坐標系上的示

意圖，點A和A”點B和氏分別關于yy以八軸對稱，

隧道拱部分I為一段拋物線，最高點c~~、用離路面I

的距離為8米，點,B離路面I的距離為一函3迷弓6米，隧道

國1JL-4-oo

的寬?為16米.

⑴求隧道拱拋物線Bi的函數解析式；

⑵現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設

備的頂部及路面的距離為7米，它能否安全通過這個隧道？說明理由.

5.啟明公司生產某種產品，每件產品成本是8元，售價是4元，年銷售

量為10萬件.為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣

告.根據經驗，每年投人的廣告費是x（萬元）時，產品的年銷售量將

是原銷售量的y倍，且，如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣

告費：

（1）試寫出年利澗S（萬元）及廣告費x1萬元）的函數關系式，并計

算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利澗最大，最大年利潤是多少萬

元？

（2）把（1）中的最大利潤留出3萬元做廣告，其余的資金投資新項目，

現有6個項H可供選擇，各項FI每股投資金額和預計年收益如下表：

項目AH(;DEF

每股（萬元）526468

收拄（萬元）0.550.40.60.50.91

如果每個項目只能投一股，且要求所有投資項目的收益總額不得低于

1.6萬元，問：有幾種符合要求的投資方式？寫出每種投資方式所選的

項目.

6.某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為40只，且每日生產

出的產品全部售出，已知生產X只玩具熊貓的成本為R（（元），售價每

只為P（元）且R,P及X的關系式為500+3.5x,170-2x.

⑴當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元；

⑵當日產量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

★★★（）2010年中考題一網打盡★★★

【回顧1】（2010、嘉峪關，3分）拋物線2—2x+3的對稱軸是直線（）

A.x=2B.x=-2C.x=—1D.x=1

【回顧2】（2010、嘉峪關，3分）如圖1—2—39,半圓。的直徑4,及半

圓（）內切的動圓。及切于點M,設。（1的半徑為y,x,則y關于x的

函數關系式是（）

A.

0

%

圖1-2-39

44

D.y=-x

4

【回顧3]（2010、南充，3分）二次函數2+2x—7的函數值是8,那么對

應的x的值是（)

A.3B.5C.一3和5D.3和一5

【回顧4】（2010、臺貢，3分）拋物線2-x的頂點坐標是（）

A.(l,l),1)c.(—,—))

【回顧5]（2010、自貢，3分）二次函數），="+法+c的圖象，如圖1-2

—40所示，根據圖象可得a、b、c及0的大小關系是（）

A.a>0,bV0,c<0B.a>0,b>0,c>0

C.a<0,b<0,c<0D.a<0,b>0,c<0

【HI顧6]（2010、紹興，4分）小敏在今年的校運動會跳遠比賽中跳出了

滿意一跳，函數3.5t-4.9t?（t的單位s；h中的單位：m）可以描

述他跳躍時重心高度的變化.如圖1—2—41,則他起跳后到重心最高

時所用的時間是（）

A.0.71sB.0.70sC.0.63sD.0.36s

【回顧7】（2010、溫州，4分）己知拋物線的解析式為一（x-2）2+1,

則拋物線的頂點2標是（）

A.(-2,1)B.(2,1)

C.(2,-1)D.(1,2)

【回顧8】（2010、江西，3分）若二次函數2—x及一X?的圖象的頂點重合,

則下列結論不正確的是（）

A.這兩個函數圖象有相同的對稱軸

B.這兩個函數圖象的開口方向相反

C.方程一x」0沒有實數根

D.二次函數一六+k的最大值為

【回顧9】（2010、衡州）拋物線2+2x—3及x軸的交點的個數有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【回顧10］（2010、金華）拋物線（X—1）2+2

的對稱軸是（）

A.直線一1B.直線1

C.直線2D.直線2

【回顧11］（2010、湖州，3分）已知二次函數八汗+法的圖象如圖1

一2—42所示，則在“①a<0,②b>0,③eV0,@b2-4>0>,中，

正確的判斷是（）

A、①②③④B、④C、①②③D、①④

【回顧12］（2010、武漢，3分）已知二次函數產內、法+c（aW0）的圖象

如圖1—2—43所示，則下列結論：①a、b同號；②當1和3時，函數

值相等；③4a0；④當一2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【回顧13］（2010、麗水，4分）如圖1一2—44,拋物線的頂點P的坐標

是（1,-3）,則此拋物線對應的二次函數有（）

A.最大值1B,最小值一3

C.最大值一3D.最小值1

圖1-2-44

【回顧14］（2010、杭州，3分）用列

表法畫二次函數廣的圖象時先列一個表，當表中對自變量x的

值以相等間隔的值增加時，函數y所對應的值依次為：20,56,110,

182,274,380,E06,650.其中有一個值不正確，這個不正確的值是

（）

A.506B.380C.274D.182

【回顧15］（2010、江西）將二次函數2—4

6化為（x—hT的形式：

【回顧16］（2010、金華，5分）在直角坐標系中。是坐標原點，拋物線2

—x—6及x軸交于A,B兩點（點A在點B的左?側），及y軸

交于點C,如圖1-2-45,如果點M在y軸右側就廣的拋物線

上，SASA,那么點M的坐標是圖1245

【回顧17］（2010、衡州,5分）把

二次函數2—45化成（x—hT的形式：

【回顧18］（2010、溫州）若二次函數之一4x

的圖象及X軸沒有交點，其中C為整數，則

（只要求寫一個）.

【回顧19］（2010、重慶，3分）拋物線（X—1尸+3的頂點坐標是.

【回顧20］（2010、南充）已知點P（a,m）和

Q（0,m）是拋物線2x44x—3上的兩個不同點，貝人

【回顧21］（2010、嘉峪關）二次函數2—2x

-3及x軸兩交點之間的距離為.

【回顧22］（2010、嘉峪關）如圖1—2—46,已知兩點A（—1,0）（4,0）

在x軸上，以為直徑的半圓P交y軸于點C

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設的垂直平分線交于D,連結并延長交半圓P于點E,AC與CE相

等嗎？

（3）設點M為x軸負半軸上一點，，是否存在過點M的直線，使該直線

【回顧23］（2010、武漢，10分）如圖1一2—47,隧道的截面由拋物線

和矩形構成，矩形的長為8m,寬為2m,以所在的直線為x軸，線

段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，y軸是拋物線的對稱軸，頂

點E到坐標原點0的距離為6m.

（1）求拋物線的解析式;

（2）如果該隧道內設雙行道，現有一輛貨運卡車高4.2m,寬2.4m,

這輛貨運上車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論.

【回顧24］（2010、河南，11分）如圖1一2—48,△中，ZP=90°8,

矩形的長和寬分別為8和2,C點和M點重合，和在一條直線上，令△

不動，矩形沿所在直線向右以每秒1的速度移動（圖1—2—49）直到C

點及N點重合為止.設移動x秒后，矩形及△重疊部分的面積為y2,

求y及x之間的函數關系式.

【回顧25］（2010、河北，12分）某食品零售店為食品廠供銷一種面包，

未售出的面包可退回廠家.經統(tǒng)計銷售情況發(fā)現，當這種面包的單價

定為7角時，每天賣出160個.在此基礎上，這種面包的單價每提高1

角時，該零售店每天就會少賣出20個.考慮了所有因素后該零售店每

個面包的成本是5角.

設這種面包的單價為x（角）,零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤為

y（角）.

⑴用含X的代數式分別表示出每個面包的利潤及賣出的面包個數；

⑵求y及X之間的函數關系式；

⑶當面包單價定為多少時，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最

大？最大利潤為多少？

【回顧26]（2010、內江，12分）老師提出：如圖1一2—50,教師提出：

如圖A（l,0）,=.過點A、B作x軸的垂線交二次函數,,=/的圖象于C、

D兩點，直線交于點直線交y軸于點H,記點C、D的橫坐標分別為

%,七，點H的縱坐標為％。同學討論發(fā)現：

①SACWO:S梯形ABMC=2:3②弋?-0=-

⑴請你驗證①②結論成立；

⑵請你研究：如將上述條件“A（l,0）”改為“A（/,oXf>O）"，其他條件不

孌，結論①是否仍成立？

⑶進一步研究：在⑵的條件下，又將條件"=改為“），=?（”（）），其

他條件不孌，那么大，小和有怎樣的數值關系？（寫出

結果并說明理由）

★★★（）2011年中考題預測★★★

[100分60分鐘）答案（271）

一、基礎經典題（分）

（一）選擇題（每題2分，共20分）

【備考1】下列函數中，不是二次函數的是（）

A.2x2+2xB.—X2++1

C.—x2++1D.3—x(2—x)

【備考2】函數一(x-2)2+5的頂點為()

A.(2,5)B.(-2,5).

C.(2,-5)D.(-2,5)

【備考3】把拋物線一(x-2)2—1經平移得到()

A.向有平移2個單位，向上平移1個單位

B.向右平移2個單位，向下平移1個單位

C.向左平移2個單位，向上平移1個單位

D.向左平移2個單位，向下平移1個單位

【備考4】函數)，=2f+8x-3的對稱軸為()

A、—2B、-2C^2D^—2

【備考5］某公司的生產利潤原來是a元，經過連續(xù)兩年的增長達到了y

萬元，如果每年增長的百分數都是x,那么y及x的函數關系是()

A.2B.a(x—1)2

C.(1-x)2D.y=a()2

【備考6】設直線2x—3,拋物線2—2x,點

P(1,-1),那么點P(1,-1)()

A.在直線上，但不在拋物線上

B.在拋物線上，但不在直線上

C.既在直線上，又在拋物線上

D.既不在直線上，又不在拋物線上

［備考7］函數2的圖象是(3,2)為頂點的拋物線，則這個函數的解析

式是()

A.2+611B.2-6X-ll

C.2-611D.2-67

【備考8】如圖1一2—51,把一段長1.6米的鐵絲圍長

方形，設寬為x,面積為y.則當y最大時，x所取的值

是（）

A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6

【備考9】二次函數1—6x—3x2的頂點坐標和對稱軸分別是（）

A.頂點（1,4）,對稱軸1

B.頂點（―1,4）,對稱軸一1

C.頂點（1,4）,對稱軸4

D.頂點（一1,4）,對稱軸4

【備考10】若直線一6及拋物線2—43只有一個交點，則a的值為（）

A.2B.10

C.2或一10D、2或10

（二）填空題（每題2分，共18分）

【備考11］已知y=（a-3）x?+2x-l是二次函數；當時，它的圖象是開

口向上的拋物線，拋物線及y軸的交點坐標是.

【備考12］通過配方把函數一好一2x—1表示為，它的圖象的頂點坐標是.

【備考13】拋物線一X?的開口，在對稱軸左邊，y隨x的而增大.

【備考14］若二次函數2xz的圖象向下平移3個單位，向右平移4個單位,

得到的拋物線的關系式為

【備考15］某涵洞是拋物線型，它的截面如圖1上52,得水面寬1.6m,

涵洞頂點。到水面的距離為

2.4m,在圖中直角坐標系中，涵洞所在拋物線的函

系式是.

【備考16］若將二次函數2—23配方為(x-h)2+k的形式

【備考17】行駛中的汽車剎車后，由于慣性的作用，

還會繼續(xù)向前滑行一段距離，這段距離稱為“剎車距離