向量坐標表示與運算-2026蘇教版高中數學必修第二冊章節練（含解析）

2026蘇教版高中數學必修第二冊

9.3.2向量坐標表示與運算

基礎過關練

題組一向量的坐標表示

1.(2025湖南邵陽海誼學校月考)下列說法中不正確的有()

A.相等向量的坐標相同

B.平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標

C.一個坐標對應唯一的向量

D.平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應

2.(2025江蘇徐州大許中學月考)已知乂(3「2),用5,-1),若標=就則P點的坐標為()

A.(3,2)B.(3,-l)

C.(7,0)D.(LO)

3.如圖所示，單位向量ei?是平面內的一組基底，則向量a,b的坐標分別是()

A.(3,4),(2,-2)B.(2,3),(-2,-3)

C.(2,3),(2,-2)D.(3,4),(-2,-3)

4.(教材習題改編)在平面直角坐標系xOy中，點A在第二象限內,OA=2,NxOA=1則向量

4

3?的坐標為.

題組二向量加、減運算的坐標表示

5.(2025江蘇鹽城五校聯盟階段考試)在平行四邊形ABCD中,AC為對角線，若

48=(2,4)心(1,3),則。8=()

A.(3,5)B.(-2,-4)

C.(-3,-5)D.(2,4)

6.(2024四川綿陽南山中學實驗學校期中)已知點A(-l,2),B(3』),向量就=(2,1),則向量

BC=()

A.(-2,2)B.(-UO)

C.(3,-DD.(4,-l)

7.(教材習題改編)已知點0(0,0),A(l,2).

⑴若點B(3t,3t),9=C?+而,則實數t為何值時，點P在x軸上?點P在y軸上?點P位于第

二象限？

⑵若B(4,5),P(l+3m,2+3m),則四邊形OABP能成為平行四邊形嗎?若能，求出m的值;若不

能,請說明理由.

題組三向量數乘的坐標表示

8.(易錯題)(2025江蘇宿遷沐陽南湖高級中學開學考試)設點A(2,0),B(4,2),若點P在直線

AB匕日|麗=2|通廁點P的坐標為()

A.(3,l)B.(h-l)

C.(3,-l)或(-1,1)D.[3,l)或(1,-1)

9.(2024天津濱海新區田家炳中學月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=(),則

c=()

A.0,9BG，3

C(抬)D.(TT)

10.(2024重慶巴南部分學校階段測試)如圖,在矩形ABCD中，點E是線段AB上靠近A的

三等分點，點F是線段BC的中點，則屁=()

A.：而T祀B^DF-lAC'

9999

C.-^DF+lACD-^DF^AC

9999

11.(2025江蘇宿遷沐陽建陵高級中學月考)己知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若點P滿足

存=萬+屈入￡R),則當點P在第四象限內時區的取值范圍為.

題組四向量數量積的坐標表示

12.(2024重慶第八中學校月考)己知瓦?=(3,4),配=(a,2),|就1=2,則萬?就(=)

A.-8B.8C.-6D.6

13.(2025江蘇鎮江丹陽質量檢測)已知|a|=2V5,b=(21),且a在b上的投影向量的坐標為

(-2,-1),則向量a與b的夾角為()

A.120。B.60°C.45°D,30°

14.(2025江蘇南京田家炳高級中學階段測試)在菱形ABCD中,AC=2,BD=4,且施=2而，則

ZDEC的余弦值為.

15.(教材習題改編)已知點A(-4,0),B(2,-l),C(-l,3),則點C到直線AB的距離為.

16.(2025江蘇蘇州大學附屬中學期中)如圖,在梯形ABCD中,AB〃CD,AB=5,AD=2DC=4,

且配?麗=0,E是線段AB上一點，且AE=4EB,F為線段BC上一動點.

(1)求NDAB的大小；

(2)若F為線段BC的中點，直線AF與DE相交于點M,求cosNEMF;

(3)求赤?而的取值范圍.

題組五向量垂直的坐標表示

17.(2025江蘇南通月考)若向量a=(x+l,2)和向量b=(l,-l)垂直，則|a+b|=()

A.<10B.坐C.V2D.￥

18.(多選題)(2025江蘇無錫第一中學期中)已知向量a=(l,3),b=(-2,x),則下列說法中正確的

是（）

人.當2_1_1）時,|a-3bl二舊

B.當x=I時，向量b在向量a上的投影向量為

C.當a與b的夾角為銳角時,x>|

D.與向量a垂直的單位向量-嚕,甯

19.在△ABC中,|而=2,點A（l,l）.

⑴若（：（2,（））,且aABC為直角三角形，求點B的坐標；

（2）在x軸上是否存在點B,C,滿足方?充=0?若存在，求出點B,C的坐標;若不存在，請說明理

由.

能力提升練

題組一向量線性運算的坐標表示

1.（2024河南洛陽強基聯盟聯考）古希臘數學家特埃特圖斯利用如圖所示的直角三角形來

構造無理數.已知AB=BC=CD=2,AB±BC,AC±CD,^55=x7S+|.t?C>WlJ入+N=（）

A-T

A/2+1口學

r

2.（2025江蘇邳州毓秀高級中學月考）在直角△ABC中,C是直角,CA=4,CB=3qABC的內

切圓分別交CA,CB于點D,E,點P是圖中陰影區域（不包含邊界）內的一點，若濟x加+y。,

則xiy的值可以是（）

仁G

EB

A.lB.2.5

C.4D.5.5

3.（2025浙江杭州高級中學月考）分別以直角三角形的三條邊的長為邊長作正方形，則以斜

邊長為邊長作出的正方形的面積正好等于以兩直角邊的長為邊長作出的正方形的面積之

和，這就是著名的畢達哥拉斯定理.現在對直角三角形CDE按上.述操作作圖后，得如圖所示

的圖形，若赤=xj^+yZ5（x,yeR）,則x-y=.

題組二向量數量積的坐標表示及其應用

4.（2025江蘇無錫江陰南菁高級中學月考）△ABC中,AH為BC邊上的高且明=3沅;動點P

滿足力?路前）則點P的軌跡一定過△ABC的（）

A.外心B.內心

C.垂心D.重心

5.（2025江蘇蘇州九校聯考）若^ABC的三個內角均小于120。,點M為〉ABC內一點，且滿

足NAMB二NAMC=NBMO120。,則點M至必ABC三個頂點的距離之和最小，比時稱點

M為^ABC的費馬點.根據以上性質，已知a是平面內的任意一個向量，向量b,c滿足b±c,

且|b|=3,|c|=V5,則|a-b|+|a.c|+|a+c|的最小值是（）

A.9B.4V3C.6D.3V3

6.（多選題）（2024江蘇南京金陵中學學情調研）定義平面向量的一種運

算:aOb=|a+b|x|a-b|xsin<a,b>,其中<a,b>是a與b的夾角，下列說法正確的是（）

A.若<a,b>=90°,則aOb=a2-?-b2

B.若|a|=|b|,貝lj(aib)O(a-b)=4ab

C.若間=|b|,則aObS21al2

D.若a=(l,2),b=(-2,2),WJ(a+b)Ob=VTo

7.（多選題）（2025江蘇徐州期中）如圖,△ABC是邊長為2的等邊三角形，以AC的中點O為

圓心」為半徑作一個半圓，點P為此半圓弧上的一個動點，則下列說法正確的是（）

A?亞那十兩

C.喬元的最大值為5

D.若麗=x0+y就，則當B,O,P三點共線時,x+y=9

8.（2025江蘇徐州九里中學月考）在邊長為2的正方形ABCD中,M,N分別是邊BC,CD上

的兩個動點，且BM+DN=MN,則初?病的最小值是.

9.（2024江蘇無錫輔仁高級中學質量檢測）已知向量a=（l,V3）,b=（cosa,sina）,設

m=a+tb（t￡R）.

⑴若求當|m|取最小值時實數t的值；

（2）若aJ_b,是否存在實數t,使得向量a-b與向量m的夾角為:?若存在，求出實數t的值;若

不存在，請說明理由.

10.（創新題）（2025江蘇鹽城五校聯盟階段性考試）對任意兩個非零向量m.n,定義新運

算:m十n=喂淇中。為m與n的夾角.

1?1

⑴若非零向量a,b滿足|a|二2|b|,且a十b>￡,求b十a的取值范圍；

(2)若向量a=(t,4),b=(2,。，且a十b=l,求正數t的值;

(3)已知非零向量a,b滿足間二k|b|(k是正整數)，向量a,b的夾角0￡(^^再十b和b十a都是

有理數，且(a任b>+(b十a)2號，求sin0.

答案與分層梯度式解析

9.3.2向量坐標表示與運算

基礎過關練

1.C

2.C由題意得麗=(5-3,-1+2)=(21),設點P的坐標為(x,y),則行二(x-5,y+l),

因為和=赤,即(x-5,y+1)=(2,1),

所以院言，解得K：所以p(7，°)?

3.C由題圖可知a=2ei+3e>,b=2ei-2e2,

.\a=(2,3),b=(2,-2).

4.答案(-V2,V2)

解析由NxOA=^，得cos□xOA=-y,sin□xOA=1，

VOA=2,

???A(-V5,V5),???向量力的坐標為(-V5,V5).

5.A由題意得刀-配=Z正(1,1),

則而衣+而=方+而=(2,4)+(1,1尸(3,5).

6.A設C(x,y),則/C=(x,y>(-1,2)=(2,1),

所以｛：］二；’解得「；；所以C(1,3),

所以加=(1,3)-(31)=(-2,2).

7.解析⑴???0(0,0),A(1,2),B(3t,3t),

.*.O4=(l,2),dS=(3t,3t),

???OP=OA+OS=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).

若點P在x軸上，則2+3t=0,At=-|.

若點P在y軸上，則l+3t=0,/.t=-1.

若點p位于第二象限，則cm.??*?<-?.

(2)由題意得汴(1,2)歷=(3?3m,3?3m).

若四邊形OABP為平行四邊形，則而=為，

???!：("二;'該方程組無解.

故四邊形OABP不能成為平行四邊形.

8.D由題意得刀二(2,2),

??,點P在直線AB上，且而|=2凝

/.AB=2AP^AB=-2AP(易錯點)，

???N=(i,i)或萬二(”,/),

???P點坐標為(3,1)或(1,-1).

二級結論線段定比分點的坐標公式:已知Pl(Xl,yi),P2(X2,y2),P是直線PR上一點，且

印乂麗(師T),則點P的坐標為等，詈)，其中X叫作P分有向線段左耳

的比，點P叫作有向線段耳名以X為定比的定比分點.

在本題中，需將“方=2萬或方=-2"”轉化為“據而或據-1而”然后可套用公式求解.

9.D因為a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,

所以c=-j(a-2b)=-j(13,4)=(-

10.A解法一：建立于直直急坐甌系酸化為坐標運至

以D為原點,DC,DA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖.

設DC=a,DA=b,a,b>O^iJD(O,O),EQ,b),F(a,；),A(O,b),C(a,O),

設瓦:人而+入定QigeR),

則G，b)=Q(〃])+入2(a,-b),

(巾2吟,

所以解得

G“2)b=b,

故瓦［得沃.

解法二:利用生面向量基本定理求解.

依題意得歷蘇+；DC?,DF=5C+；DA?JC=DC-DA?,

由②③得刀二:DF-jAC^DC=I醇W，

將這兩個式子代入①，得方2=：方聲］%.

11.答案(-")

解析由已知可得彳2=(3,1)其二(5,7),

則據75+沆=(3,1)+(51加=(5人+3,7入+1),

設點P(x,y),則萬=(x-2,y-3),

則吐流解得得皴

即點P的坐標為(5入+5,7入+4),

因為點P在第四象限內，所以｛裝就解得

因此實數入的取值范圍是(-1,-；).

12.B由已知得充=於一瓦J=(a?3,?2),

因為國=2,所以J(a-3)2+4=2,解得a=3(二重根)，所以就=(0,-2),又荏=-初=(-3,-4),

所以方?就二-3x0十(-4)&-2)=8.

13.A由題意得IbtJFXPf/S,

則a在b上的投影向量為法b4(2,1)=(-2,-1),故”=-1,所以ab=-5,

|t>r55

則3初心=備力=一

因為0°<<a,b><180°,!U<a,b>=120°,

所以向量a與b的夾角為120°.

14.答案等

解析設AC,BD交于點O,分別以BD,AC所在直線為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐

標系.

EC

貝I」A(0』),B(20),C(0,?l),D(2,0),

由左=2屁，知B為AE的中點，所以E(-4,-l),

則加=(6,1),比=(4,0),

EDE^6x4+0_6后

所以cosNDEC=

成1而4X-/62+12371

15.答案等

解析由已知可得荏=(6,-1)/左(3,3),

則而衣=18-3=15,港1=小2+(-1)2=收,

|^C|=A/32+32=3V2,

在?玄_15_5

所以cosNBAO

\AB\-\AC\一后x3a一舊,

所以sinZBAC=V1-cos2□BAC=117

故點C到直線AB的距離d二|^|sin]BAC=3A/5X親二喑,

16.解析⑴連接AC,BD,由題意得方JDCjB^DC,

所以正與方的夾角和布與灰的夾角相同，設為0,0e。兀)，

則充麗=(而+就)?(亦一而)=(而+的.(Z5-|5c)=|JD|2-|J^-DC-||PC|2

----->23?>5>2

=\AD\-^\AD\\DQcose-||DQ,

由市5瓦D=0,得16Tx4X2COSgx4=0,得?COS-，又6口。兀)，所以即UDAB三.

⑵過點D作DOLAB,垂足為0,則AO=ADcosNDAB=2,DO=ADsinNDAB=2g,

以0為原點,AB,D0所在的直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系，如圖所示,

則A(-2,0),D(0,2V5),E(2,0),B(3,0),C(2,2V5),F(|,V3),

所以萬=g,V3),DE=(2-2V3),

易知NEMF與萬和屁的夾角相等，

療瓦_學2-26x0_回

且cos<AF,DE>=，故COSUEMFY.

麗?由「百X標=益62

⑶由(2)知品=(-1,2逐),

設而=*5己九□[()[],貝I」F(3-k,2V3X),

所以書(5-兒2鳳,弟(3-九2?-2途)，

月『以喬?弟(5)x(3-入)+25入x(2V51—275)=1312—20入+15=13(a-/)?+￡,

貝IJ當入甘時，(左.詞min=/；當X=0時,(N?協max=15,

所以萬?標的取值范圍為島15.

?IJ

17.A由a_Lb,得a-b=(x+1)x1+2x(-1)=0,解得x=l,

，a+b=(2,2)+(11)=(3,1),???|a+b|=V32+l2=710.

18.BC對于A,當a±b時,a?b=2+3x=0,得x=1則b=(-2。，

所以a-3b=(1,3)-(-6,2戶(7,1),故|a-3bl=斤甲=5a,故A錯誤；

對于B,當x=l時,b=(-2』)晌量b在向量a上的投影向量為與二故B正確;

\a\1+3IU

對于C,當a與b的夾角為銳角時聲由二-2+3乂＞0且1XX彳3x(-2)(易錯點).解得x*,故C正確;

對干D,設與向量a垂直的單位向量c=(m?n),

3V。Hi'或(3xT。io’

事嘛得I1"-I

則博算片”

10I1()

故c=(軍嘲或c=(喘制，故D錯誤.

19.解析⑴易得衣二(1,-1),設點B(x,y),

則福(x-1,y-1M=(x?2,y).

???阮IN.??|西=J(x-2)2+產2,

A(x-2)2+y2=4.

V|7C|=V2<|^C]=2,/.NBMO。.

當NA=90。時，源.據O,；?x-y=O出|1x=y.

又???(x-2)2+y2=4;.局或域

???點B的坐標為(0,0)或(2,2).

當ZC=90°W,C5JC=0,???x-2-y=0.

卜=2-75,

XV(x-2)2+y2=4,或

???點B的坐標為(2+VIV5)或(2-

綜上所述，點B的坐標為(0,0)或(2,2)或(2+75,75)或(2-a,-夜).

⑵存在.假設存在滿足條件的點B,c,依題意可設點B(b,O),C(c,O),屏c,

則荏=(b-1,—1),衣=(。1,?1).

???|沅|=2,而充=0,

：.\8C\=\b-c\=2,A^AC=(b-l)(c-l)+1=0,

??-OK

???存在滿足條件的點B,C,且點B的坐標為(0,0),點C的坐標為(2,0)或點B的坐標為(2,0),

點C的坐標為(0,0).

能力提升練

1.B以C為坐標原點,CD,CA所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標

系，

由題意得AC=2V2,MA(0,2V2),B(V2,V2),C(0,0),D(-2,0),

則拔=(&,-&)巧(0,-2近),麗=(夜+2,夜).

近+2=①

因為萬力=/2+函,所以

V2=-V2X-2V2g,

2=75+1,

解得所以入+|1=寧.

2.B在RtAABC中,CA=4,CB=3,則AB=5,設內切圓半徑為r,則3-r+4-r=5,解得r=l,

以C為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設內切圓圓心為M,連接MD,ME,

則C(O,O),D(O,1),E(1,0),則瓜(0,1)存(1,0),

故萬=x^+y^=x（0』）+y（1,0A（y,x）,

令x+y=t，則點P在直線y=-x+t上，

由點P是圖中陰影區域（不包含邊界）內的一點,得直線y=-x+t與陰影區域（不包含邊界）有

公共點，

由圖可知，當0<t<4且t#1時滿足題意，結合選項知B正確.

3.答案

解析如圖，以A為原點,AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系，

//

■y

設正方形ABCD的邊長為2a,a>0,則正方形DEHI的邊長為Via,正方形EFGC的邊長為a,

可知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(V3+l)a,

則XF=(V3+1)a-cos30o,yp=(V3+1)a-sin300+2a,即

5LAF=xAB^yAD,

??(等a,竽a)=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),

f2ar=—^a,r：

即15+百即2ax-2ay=—a

(2^=-y-a,

化簡得x-y=

4.A以H為原點，灰，南的方向分別為x,y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標系,

設BC=4a(a>0),AH=b，則BH=3a,HC=a,

則H(0,0),B(-3a,0),C(a,0),A(0,b),

所以品=(4a,0),設P(x,y),則據(x,y-b),

1

-所以

因為,4P8C=-4,94ax=-：x(4a)2,所以x--a,即點P的軌跡方程為x--a,

4

而直線x-a垂直平分線段BC,即點P的軌跡為線段BC的垂直平分線，

根據三角形外心的性質可得點P的軌跡一定過△ABC的外心.

5.C設0為坐標原點,3J=a,而=b,瓜c,A(x,y),B(3,0),C(0,6),D(0,-V5),

則a-b=Q4-08=(x-3,y),a-c=O4-0C=(x,y-V5),a+c=Q4-0C=(x,y+V5),

所以|a-b|+|a-c|+|a+c|=J(x?3尸十y2十十十J/十①刊3)2=|豆彳田日彳田萬前,

若要使|反?|+|B|+QR取最小值，則A'為&ABC的費馬點，

易知△BCD為等邊三角形，所以△BCD的費馬點為△BCD的中心,

此時I歷1|+|。|+|。4|=；|。8區3=6.

所以|a-b|+|a-c|+|a+c|的最小值為6.

6.AC對于A,若<a,b>=90。,則|a+b|=|a-b|,a-b=O,

貝ijaOb=|a+b|x|a-b|xsin9(r=|a+bF=a2+b2+2a-b=a2+b2,故A正確;

對于B,若|a|二|b|,則|aF=|bF,(a+b)JL(a-b),

則a+b與a-b的夾角為90。，

則(a+b)O(a-b)=|(a+b)+(a-b)|x|(a+b)-(a-b)|xsin900二4|a||b|,而4a-b=4|a||b|cos<a,b>?,￡們不一定

相等，故B錯誤；

對于C,若|a|二|b|,則aOb<|a+b|x|a-b|<a2+b2=2|a|2,SfcC正確;

對于D,若a=(l,2),b=(?2,2),則a+b=(-l,4),a+2b=(-3,6),

則—a端一小10皿5.

又va+b,b>￡[0,兀],

所以sinva+b,b>jl-忌)、意,

貝ij(a+b)。b=|a+2b|x|a|xsin<a+b,b>=3V5xV5x-^==-^=D錯誤.

V34V34

.-,.■■■?■■■1■>>,■>i>>i1,">)i,,>i>..,._

7.ACD對于A,BO=BC+CO=8C+；CA=BC+1(BA-BQ=A正確;

對于B,由A知瓦瓦圮，

則褶初=而Q~BA+^BC)=-^AB+\ABBC

二-；刀2-;胡?正二一；x4-；x2x2xcos60。=-2-1=-3,故B錯誤；

對于C,以B為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,

則B(0,0),C(2,0),A(l,V3),og,y),

設PG+COSJ,9+S喇力□[!,"

所以加反5=2(|Icos〃)=312cos0,

當0=0時/PNC取得最大值，為5,故C正確;

對于D,當B,O,P三點共線時而|=6,|而|=1,瓦而，

所以濟南+而=(?+1)而，

又砂溝+；那所以而=?而+?元

落］91(-廣

所以x二牙,丫=三，所以x+y=f+1=?，故D正確.

8.答案8(V2-1)

解析以點A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

設點M(2,m),N(n,2),其中m,n>0,

則而=(2,m)喬(n,2),

所以4M4N=(2,m>(n,2)=2m+2n,

由BM+DN=MN,得m+n=J(2-w)2+(n-2)2,

整理得2(m+n)+mn-4=0,

易知2(m+n)+mn-402(m+n)+(W)-4,當且