高一數學：有限樣本空間與隨機事件

第十章概率

10.1隨機事件與概率

10.1.1有限樣本空間與隨機事件

課標要求結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與

樣本點的關系.

【引入】(1)拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現的情況；

(2)拋擲一枚骰子，觀察出現點數的情況；

(3)買一注福利彩票，觀察中獎、不中獎的情況.

這類現象的共性是：就一次觀測血言，出現哪種結果具有偶然性，但在大量重復

觀測下，各個結果出現的頻率卻具有穩定性，這類現象叫做隨機現象.概率論是研

究隨機現象數量規律的數學分支.概率是對隨機事件發生可能性大小的度量.

一、有限樣本空間

探究1做一個試驗：一個盒子中有4個質地和大小完全相同的小球，分別標有數

字1,2,3,4,從中任取一個小球.

(1)可能的結果有哪些？

(2)這些結果可否用一個集合來表示？

提示(1)可能的結果有4個，分別是取出1號小球，取出2號小球，取出3號小

球，取出4號小球.

(2)可以用集合｛1,2,3,4｝表示.

【知識梳理】

1.隨機試驗

(1)隨機試驗：我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,

常用字母E來表示.

(2)隨機試驗的特點：

①試驗可以在相同條件下重復進行：

②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結

果.

2.樣本空間

定義子里衣不

把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本

樣本點用”表示樣本點

點

樣本

全體柱本直的集合稱為試驗E的樣本空間用q表示樣本空間

空間

如果一個隨機試驗有〃個可能結果3,砒，…,

有限樣

5,則稱樣本空間…，為有Q={CO\?CD2,…，CDn]

本空間

限樣木空間

例1(1)(犍接教材P229例2)將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察它落地時朝上的面的

點數，試寫出這個試驗的樣本空間；

(2)(鏈接教材P229例3)連續拋擲3枚硬幣，觀察落地時這3枚硬幣朝上的面的情

況，試寫出這個試驗的樣本空間.

解(1)兩次擲出的點數列表如下：

第二次

第一次

123456

1(1，1)(1，2)(1,3)(1,4)(1，5)(1，6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

所以其樣本空間0={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(I,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,

5),(3,6),(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),

(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,

6）｝,也可寫成。=｛（"2,//)|11W/W6,

（2）畫樹狀圖如圖所示.

正正

//

正正

正/'反反/,反

正反

\/正T\/正T

反反

\

反反

因此這個試驗的樣本空間。=｛（正，正,正），（正，正，反），（正，反，正），（正,

反，反），（反，正，正），（反，正，反）,（反，反，正），（反，反，反）｝.

思維升華不重不漏地列舉試驗的所有樣本點的方法

（1）結果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結果，必須首先明確試驗中的條件.

（2）根據日常生活經驗，按照一定的順序列舉出所有可能的結果，可借助畫樹狀圖、

列表等，確保樣本點不重、不漏.

訓練1袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗的條

件和樣本空間.

⑴從中任取1球；

⑵從中任取2球.

解（1）條件為：從袋中任取1球.

若“紅”表示一次試驗中，取出的是紅球，

則樣本空間為｛紅，白，黃,黑｝.

⑵條件為：從袋中任取2球.

若記（紅，白）表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，

則樣本空間為｛（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑）｝.

二、隨機事件、必然事件、不可能事件

探究2盒子中有6個質地和大小完全相同的小球，分別標有1,2,3,4,5,6,

從中任取一個小球，得到樣本空間。={1,2,3,4,5,6).

(1)事件A={2}一定發生嗎？

(2)事件A=”取出小球的標號小于或等于6”一定發生嗎？

⑶事件A={7}會發生嗎？

提示(1)不一定，可能發生也可能不發生.

(2)一定發生.

(3)不會.

【知識梳理】

三種事件的定義

我們將樣本空間。的壬集稱為E的隨機事件，簡稱事件，并把只包含

隨機;±樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…

事件表示,在每次試驗中，當且僅當4中某個樣本點出現時，稱為事件A

發生

必然。作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本

事件點發生，所以。總會發生，我們稱。為必然事件

不可能空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱為不可

事件能事件

溫馨提示(1)必然事件和不可能事件可作為隨機事件的極端情形.(2)每個事件都

是樣本空間。的子集.

例2指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：

⑴某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；

⑵三角形的內角和為180°：

(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；

(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現正面向上；

⑸從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；

(6)科學技術達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現.

解(1)某人購買福利彩票一注，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件.

(2)所有三角形的內角和都為180。，所以是必然事件.

(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可

能事件.

(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機事件.

(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4號標簽中的任意一張，所以是隨機事件.

(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永動機”不會出現，所以是不可能

事件.

思維升華對事件分類的兩個關鍵點

事件的分類是與一定的條件相對而言的，沒有條件，無法判斷事件是

條件

否發生

結果發

有時結果較復雜，要準確理解結果包含的各種情況

生與否

訓練2(1)下列事件：①任取一個整數，被2整除；②小明同學在某次數學(滿分

15()分)測試中成績一定不低于12()分；③甲、乙兩人進行競技比賽，甲的實力遠

勝于乙，在一次比賽中甲一定獲勝；④當圓的半徑變為原來的2倍時，圓的面積

是原來的4倍.其中隨機事件的個數是()

A.lB.3C.OD.4

答案B

解析①②③均是可能發生也可能不發生的事件，為隨機事件，④是一定發生的

事件，為必然事件.

⑵①一批小麥種子全部發芽是事件；

②某人投籃3次，投中4次是事件.

答案①隨機②不可能

三、隨機事件的表示及含義

例3(鏈接教材P230例4)試驗及甲、乙兩人玩出拳游戲(石頭、剪刀、布)，觀

察甲、乙出拳的情況.

⑴寫出試驗的樣本空間.

⑵用樣本點表示下列事件：

①設事件A表示隨機事件“甲乙平局”；

②設事件8表示隨機事件“甲贏得游戲”；

③設事件C表示隨機事件“乙不輸”.

解（1）設石頭為如，剪刀為訕2,布為103,用（八））表示游戲的結果，其中，表示

甲出的拳，/表示乙出的拳，

則樣本空間E=｛（w\,助），（Wl,W2）,（WI,訕3）,?。2,W\）,（竄2,W2）,（Z02,33）,

（Z03,Z〃l）,（W3,ZV2）,（即3,7。3）｝.

⑵①因為事件A表示隨機事件“甲乙平局”，

則滿足要求的樣本點共有3個：（助，助），（R2,S）,（33,W3）,

所以事件4=｛（孫，Wl）,（W2,W2）,（W3,W3）｝.

②事件8表示“甲贏得游戲”，

則滿足要求的樣本點共有3個：（必,W2）（W2,W3）,儂3,孫），

所以事件/?=｛（7P1,71）2）,（7/）2,7P3）,（7〃3,7P1））.

③因為事件。表示“乙不輸”，

則滿足要求的樣本點共有6個，

（ZPl,W\）,（姐，ZP2）,（33,103）,（W2,W\）,（Wl,IP3）,（ZP3,訕2）,

，事件C=｛（訕1,W1）,（102,W2）,（W3,W3）,（IP1,IP3）,（川2,W1）,（切3,”2）｝.

思維升華事件與樣本空間的兩種題型及求解策略

（1）隨機事件的表示：先列出所有的樣本點，再確定要求的隨機事件包含哪些樣本

點，把這些樣本點作為元素表示成集合即可.

⑵說明隨機事件的含義：要先理解事件中樣本點的意義，觀察它們的規律，進而

確定隨機事件的含義.

訓練3在試驗E:“連續拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數”中,

指出下列隨機事件的含義.

（1）事件A=｛（1,3）,（2,3）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）｝；

（2）事件3=｛（1,5）,（5,1）,（2,4）,（4,2）,（3,3）｝；

（3）事件C=｛（1,3）,（3,1）,（4,2）,（2,4）,（3,5）,（5,3）,（4,6）,（6,4））.

解（1）事件A中所含的樣本點中的第二個數為3,根據樣本空間知第二個數為3

的樣本點都在事件A中，

故事件4的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點數為3.

(2)事件B中所含的樣本點中兩個數的和均為6,且樣本空間中兩數和為6的樣本

點都在事件8中，

故事件B的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點數之和為6.

⑶事件C中所含樣本點中兩個數的差的絕對值為2,且樣本空間中兩個數的差的

絕對值為2的樣本點都在事件C中，

故事件C的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，兩次擲出的點數之差的絕對值

為2.

【課堂達標】

1.以下事件不是隨機事件的是()

A.拋擲一枚硬幣，出現反面

B.某人買彩票中獎

C.標準大氣壓下，水加熱到100°。必會沸騰

D.明天下雨

答案C

解析A,B,D都是隨機事件，C是必然事件.

2.已知集合A={2,3),8={1,2,4),從A,8中各任取一個數，構成一個兩位

數，則所有樣本點的個數為()

A.8B.9C.12D.U

答案D

解析從A,B中各任意取一個數，可構成12,21,22,24,42,13,31,23,

32,34,43,共11個樣本點.

3.(多選)擲兩枚骰子，事件A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}表示()

A.至少有一枚骰子出現1點

B.兩枚骰子出現的最大點數為2

C.最多有兩枚骰子出現2點

D.兩枚骰子只出現1點或2點、

答案BD

解析由于事件A中樣本點的數字均為1或2,故選BD.

4.從數字1,2,3中任雙兩個數，則該試驗的樣本空間。=.

答案{(1,2),(1,3),(2,3))

解析從1,2,3中任取兩個數，共有3種結果(1,2),(1,3),(2,3),

所以0={(1,2),(1,3),(2,3)).

------------------------課時精練------------------------

一、基礎鞏固

1.下列事件：①連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點；②走到十字路口，

遇到紅燈；③異性電荷相互吸引；④拋一石塊，下落.其中是隨機事件的個數是

()

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析①②是隨機事件，③④是必然事件.

2.(多選)從2,3,8,9中任取兩個不同數字，分別記為&b,用(a,A)表示該試

驗的樣本點，則事件“log點為整數”包含的樣本點有()

A.{(2,8)}B.{(3,9)}C.{(2,9)}D.{(3,8)}

答案AB

解析只有k)g28=3,Iog39=2為整數.

3.一個家庭有兩個小孩，記錄兩個小孩的性別，則該隨機事件的樣本空間Q是

()

A.{(男，女),(男，男)，(女,女)}

B.{(男，女)，(女，男)}

C.{(男,男),(男，女)，(女,男),(女,女)}

D.{(男,男),(女，女)}

答案C

解析兩個小孩有年齡大小之分，所以(男，女)與(女，男)是不同的樣本點，樣本

空間。應有4個樣本點.

4.投擲兩枚骰子，所得句上點數之和記為X,那么X=4表示的隨機試驗結果是

()

A.一枚是3點，一枚是1點

B.一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點

C.兩枚都是4點

D.兩枚都是2點

答案B

解析投擲兩枚骰子，所得向上點數之和記為X,那么X=4表示的隨機試驗結果

是“一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點故選B.

5.先后拋擲2枚質地均勻的一角、五角的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，

則下列事件中包含3個樣本點的是（）

A.“至少一枚硬幣正面向上”

B.“只有一枚硬幣正面向上”

C.“兩枚硬幣都是正面向上”

D.“兩枚硬幣中一枚正面向上，另一枚反面向上”

答案A

解析“至少一枚硬幣正面向上”包括“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向上”

“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向下”“一角硬幣正面向下，五角硬幣正面向

上“，共3個樣本點.

6.現有?項關于運動與降低血壓之間關聯性的試驗研究，試驗將志愿者分為人數

相等且為偶數的兩組，第一組每天靜坐1小時，第二組每天快走1小時，每組一

半人服用降壓藥，另一半服用安慰劑.用mb,。和d分別表示靜坐的、快走的、

服用降壓藥的和服用安慰劑的志愿者.若從這些人中隨機抽取1人，則該試驗的樣

本空間為.

答案｛acyad,be,bd]

解析由題意可知，該試驗的樣本空間為｛oc,。乩be,bd].

7.籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，記錄剩下動

物的腳數.則該試驗的樣本空間0=.

答案｛0,2,4,6,8）

解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數最多4只，最少0

只，

所以剩余動物的腳數可能是8,6,4,2,0.

8.連續拋擲一枚硬幣3次，觀察正面、反面朝上的情況.事件A="正面朝上的次

數不超過反面朝上的次數”中含有個樣本點.

答案4

解析用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則4={(().0,

0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},即事件A含有4個樣本點.

9.先后兩次擲一枚均勻的骰子，觀察朝上面的點數.

(1)寫出對應的樣本空間；

⑵用集合表示事件4點數之和為3,事件8：點數之和不超過4.

解(1)用(1,2)表示第一次擲出1點，第二次擲出2點，其他的樣本點用類似的

方法表示，則可知所有樣本點均可表示成(i,力的形式，其中/,j都是1,2,3,

4,5,6中的數.

因此，樣本空間。={(i,力|1WW6,1WJW6,隹N,J&N}.

⑵A={(1,?.),(2,1)),

B={(1,3),(2,2),(3,1),(1,2),(2,1),(I,1)}.

10.現在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況.

(1)寫出該試驗的樣本空間；

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有哪些？

解以J,S,8表示三人游戲中出剪刀、出石頭、出布.

(1)^=((J,./,J),(J,S),(/,S,J),(S,J,J),(J,J,B),(J,B,J),(B,

J,J),(J,S,S),(S,J,S),(S,S,J),(J,B,B),(B,J,B),(B,B,J),(S,

S,S),(S,S,B),(S,B,5),(B,S,S,),(B.B,S)(&S,B),(S,B,B),

(B,B,B),(J,S,B),(J,B,S),(S,J,B),(S,B,J),(B,J,S),(B,S,

(2)“三人出拳相同”包含下列三個樣本點：

億J,J)，⑸5,S),(6,B,B).

二、綜合運用

11.從1,2,3,4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”

包含的樣本點個數為()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析任取2個數：

⑴不取4,應為2+3>4.

(2)取4時，1+4>4,2+4>4,3+4>4.

綜上，共包含4個樣本點.

12.在200件產品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：

①“在這200件產品中任意選9件，全部是一級品”；

②“在這200件產品中任意選9件，全部是二級品”；

③“在這200件產品中任意選9件，不全是一級品”.

其中是隨機事件；是不可能事件(填上事件的編號).

答案①③②

解析由于二級品只有8件，故9件產品不可能全為二級品，所以②是不可能事

件，顯然①，③是隨機事件.

13.從含有兩件正品s和一件次品bi的3件產品中每次任取1件，每次取出

后不放回，連續取兩次.

⑴寫出這個試驗的樣本空間；

⑵設A為“取出的兩件產品中恰有一件次品”，寫出集合A