指數(shù)【七大題型】-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（解析版）

專題4.1指數(shù)【七大題型】

【人教A版(2019)]

>題型梳理

【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化】.............................................................2

【題型2根式的化簡(jiǎn)求值】......................................................................3

【題型3指數(shù)幕的運(yùn)算】........................................................................5

【題型4指數(shù)基的化簡(jiǎn)、求值】..................................................................6

【題型5指數(shù)式的給條件求值何題】.............................................................6

【題型6指數(shù)鼎等式及呆的方程問(wèn)題】...........................................................10

【題型7指數(shù)累等式的證明】...................................................................11

A舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕】

1.根式

(i)〃次方根的定義與性質(zhì)

定義一般地，如果/=〃，那么x叫做。的〃次方根，其中n>\,且〃￡N*

(1)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根

是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)近表示；

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的〃次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反

性質(zhì)

數(shù)，記為±五；

(3)負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

(4)0的任何次方根都是0,記作</0=0

(2)根式的定義與性質(zhì)

定義式子孤叫做根式，〃叫做根指數(shù)，〃叫做被開方數(shù)

([(〃為奇數(shù))(遍)"=a(〃wN?，且月>1)

性質(zhì)同(〃為偶數(shù))’

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

整數(shù)指數(shù)累指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累

塞中

正整數(shù)指數(shù)'幕：

的指正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)轅：

數(shù)從m

a-a.......a(/?eN*)(T=>0,〃八〃GN*,〃>1)

n冷整數(shù)

負(fù)整數(shù)指數(shù)暴：拓展正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累：

到了

-絲]1

有理an=—=(a>0,w,/7GN*,n>1

〃-"=N*）

數(shù)

規(guī)定：0的。次方?jīng)]有意義；規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0:0的負(fù)分

非零整數(shù)的（）次方都等于1數(shù)指數(shù)冢沒有意義

注：分?jǐn)?shù)指數(shù)塞是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)累是根式的一種新的寫法，不可理解為蔡個(gè)

相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累是表示相同意義的量：只是形式不同而已.

【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)第的互化】

【例1】（23?24高二下?四川南充期末）將會(huì)=（a>0）表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)凝，其結(jié)果是（）

5

A.02B.

C.加D.az

【解題思路】利用指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】7^==上7=

■問(wèn)“+|廣

故選：c.

【變式皿】（24-25高一上?全國(guó),課后作業(yè)）化簡(jiǎn)需了（其中心。，^>0）的結(jié)果是（）

2a

A.

3b

16

C.D.

81a4b481a4b4

【解題思路】運(yùn)用指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)公式化簡(jiǎn)即可.

8、士8323X316

【解答過(guò)程】____13——_________—_______

道》3(27a3b3)3(3ab)3x*81a4b4

故選：C.

化簡(jiǎn)Ja-=()

【變式i-2]（23-24高一上?全國(guó)?單元測(cè)試）

31127

A.Q；B.aSC.a^2D.?28

【解題思路】由根式與有理數(shù)指數(shù)幕的關(guān)系及指數(shù)塞運(yùn)算，化簡(jiǎn)為指數(shù)幕形式即可.

由Ja?y/a2-y[a—[a-(a2?Va)^]^—aZ?(a2??u?a*—a記.

【解答過(guò)程】

故選：c.

【變式1-3］（23-24高一?全國(guó)?課后作業(yè)）下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化中，正確的是（）

A.-Vx=（-x）-2（XHO）B.X-3=Vx

c-（獷=府（盯H。）D,=（y<0）

【解題思路】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)察與根式的互化公式逐個(gè)判斷即可.

【解答過(guò)程】A中，一6=T；3H0）,故A錯(cuò)誤；

B中，x3=3^?故B錯(cuò)誤;

C中，G）4=W=<）,（到工。），故C正確;

D中，次=（一、放（y<0）,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【題型2根式的化簡(jiǎn)求值】

【例2】（23-24高一上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）若abvO,則化簡(jiǎn)aR+b的結(jié)果是（）

A.-IB.0C.1D.2

【解題思路】先化簡(jiǎn)得出aR+b6=（諭+粉產(chǎn)尤然后根據(jù)已知范圍，即可得出答案.

【解答過(guò)程】aR+bR=a.+b

二熱中+卷中=（3+蒜廣正

因?yàn)閍b<0,

所以a,b異號(hào)，a\b\+\a\b=0,

所以上+2=也比處=（）,

小小lallbllallbl

所以，a+bj—,=0.

故選:B.

【變式2-1］（23-24高一上?新強(qiáng)烏魯木齊?階段練習(xí)）把代數(shù)式（a-l）?底中的移到根號(hào)內(nèi)，那么

這個(gè)代數(shù)式等于（）

A.—V1—aB.Va—1C.y/1—aD.—Va—1

【解題思路】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出-^->0,進(jìn)而求出a的取值范闈，然后確定a-1的正負(fù)情況,

l-a

再將a-1移入根號(hào)內(nèi)即可.

【解答過(guò)程】v^->0,BP1-a>0,.%a-1<0,

l-a

???(。_1).后=_(1_。)奈=7(1一知焦7(1一必±=一L^.

故選：A.

【變式2-2](23-24高一上?江蘇連云港?期中)下列各式正確的是()

A.4=〃-8)2B.7(3-K)2=3-IT

C.=|a|(n>l,nEN*)D.(Va)n=a(n>l,nEN')

[解題思路】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出正誤.

【解答過(guò)程】口二一2,1(-8)2=.=/=2,故A錯(cuò)誤；

^/(3—H)2=|3-ii|=n-3,故B錯(cuò)誤；

??F>N",???當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，府二Q；當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，/=|a|,故C錯(cuò)誤；

(Va)n=a(n>l,n6N")成立，故D正確.

故選：D.

【變式2-3](23-24高一上?全國(guó),課后作業(yè))化簡(jiǎn)(1一a)柒鼻的結(jié)果是()

A.Va^iB.-Va^lC.D.

【解題思路】先分析a的取值范闈，再進(jìn)行根式化簡(jiǎn).

【解答過(guò)程】由題意得，a-l>0,BPa>l,

所以(1—a)/5=-J”])“高=

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)嘉的運(yùn)算】

1.有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性

質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)幕也同樣適用，即對(duì)于任意有理數(shù)入S,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①qZs=，+s(4>0,rj￡Q);

②")、=出$3>0,r,s￡Q)；

③("尸。夕(。>02>0,￡Q).

(2)指數(shù)塞的幾個(gè)常用結(jié)論：

①當(dāng)a>0時(shí)，aA>0；

②當(dāng)時(shí)0時(shí)，。。=1,而當(dāng)〃=0時(shí)，a°無(wú)意義；

③若4r=。'(a>0,且/1),則r=s；

④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)累.

2.無(wú)理數(shù)指數(shù)幕及實(shí)數(shù)指數(shù)幕

(1)無(wú)理數(shù)指數(shù)哥

一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)暴。“3乂)”是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).這樣，我們就將指數(shù)事(2())中指數(shù)x

的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)：

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)累，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.

整數(shù)指數(shù)募底數(shù)、指數(shù)實(shí)數(shù)指數(shù)賽底數(shù)、指數(shù)

的運(yùn)算性質(zhì)的取值范圍的運(yùn)算性質(zhì)的取值范圍

/?,/?ez,”eRar-as=ar+sR,且?>0

(優(yōu)')(，尸n￡RJBLa>0

(ab)“=a"b"〃WZe￡R,b￡R(ab)r=arbrreR,且a>[\b>()

3.指數(shù)塞運(yùn)算的一般原則

(1)指數(shù)基的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須

同底數(shù)基相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.

(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

【題型3指數(shù)暮的運(yùn)算】

【例3】(24-25高一上?全國(guó)?隨堂練習(xí))下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是()

A.a2-a3=a5B.(—a2)3=(—a3)2C.(Va—1)°=1D.(—a2)4=a6

【解題思路】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可逐一判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,a2-a3=as,故A正確，

對(duì)于B,(-a2)3=(-l)3(a2)3=-(a2)3,故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,當(dāng)aHl時(shí)，才有(乃一1)°=1,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,(-a2)4=(_1)4(a2)4=a8t故D錯(cuò)誤,

故選:A.

【變式3-1](23-24高二下?浙江,期末)若m滿足22m=4律，則根的值為()

A.1B.2C.-1D.0

【解題思路】將兩邊底數(shù)化為同樣，得到22m=228刃=22妨+\對(duì)應(yīng)相等，得出方程，解方程即可.

【解答過(guò)程】22m=4產(chǎn)，得22m=22(產(chǎn))=222%】，得2m=22m+l,得m=2/71+1,解得m=-1.

故選：c.

【變式3-2]（24-25高一上?全國(guó),課后作業(yè)）對(duì)于Q>0,匕>0,以下運(yùn)算正確的是（）

A.ar-as=arsB.（ar）s=ars

C.Q）r=arbrD.arbs=（ab）r+s

【解題思路】根據(jù)幕的運(yùn)算法則判斷即可.

【解答過(guò)程】由落的運(yùn)算法則，同底數(shù)秤相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，故A錯(cuò)誤：

某的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，故B正確；

商的乘方等于乘方的商，B[jQ）r=arb-r=故C錯(cuò)誤；

不是同底數(shù)的鼎相乘，不能進(jìn)行指數(shù)相加，即W（ab）r+）故D錯(cuò)誤.

故選:B.

【變式3-3]（23-24高一上.上海嘉定.期末）己知2%=3,2、=5,貝的值（）

A.9+V5B.yC.6V5D.975

【解題思路】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得.

【解答過(guò)程】因?yàn)?》=3,2、=5,所以2?x+號(hào)=22X?2z=（2X）2?（2與：=32x5i=975.

故選：D.

【題型4指數(shù)幕的化簡(jiǎn)、求值】

【例4】（23-24高一?上海?課堂例題）化簡(jiǎn)下列各式：

【解題思路】（I）（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.

【解答過(guò)程】（I）（。3+百）"6（其中Q>0）

_c（3+V3）（3-）/3）

4d3b2

（其中Q>0,b>0）

【變式4-1]（23-24高一上?重慶永川?期中）分別計(jì)算下面兩題

（空心一】）*2-*a~i-b^

（1）化簡(jiǎn)：—

7abs

2

（2）化簡(jiǎn)求值（梯了x（^）-0'5-V4-2V3+鼻

【解題思路】利用根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算方法，即可化簡(jiǎn);

【解答過(guò)程】（1）原式=）啊"'=?444.=a-1=1；

a6-b6a

（2）原式=[（邪[（『J^+2+K

=（1）晨（獷-（8-1）+2+代

=^x9-V3+l+2+V3=7.

【變式4-2]（23-24高一?上海?課堂例題）化簡(jiǎn)下列各式（其中a>0,/）>0）：

（2高利-6Q浦）

——―Z：

3a6b6

/[―\2+^3廠

（2）（Q2-、%）.b2-^.

【解題思路】（1）（2）利用有理數(shù)指數(shù)箱的運(yùn)算性質(zhì)求解即匕.

>i

【解答過(guò)程】

2111

-1203+2b2+3

二r-5

3a6b6

75

—12Q石匕6

=15

3而3,

=-4a；

(2)(a2-6b)2+°(其中°>0,b>0)

=C(2-V3)(2+V3)^2+V3.b2-yf3

=ab4.

_3

【變式4-3](23-24高一上.山西臨汾.期中)⑴計(jì)算不可一6尸+(喬xa)6；

(2)化簡(jiǎn)曝溫+言「V9(a>0).

【解題思路】(1)由指數(shù)幕的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)計(jì)算；

(2)由分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的關(guān)系和指數(shù)幕的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)計(jì)算

二

666

【解答過(guò)程】(1)-Q)"+(V3xV2)=-4-32XI-F(V3)x(>/2)=41；

(2)JaWa-3+VVa-8-Va^=(加0一之丫+(。三成了=加+a-1=加.

【題型5指數(shù)式的給條件求值問(wèn)題】

【例5】(23-24高一上?遼寧丹東?期中)已知正實(shí)數(shù)a滿足￡一口w=1.

⑴求a+a-i的值；

(2)求金蕓的值.

a2+a-2

【解題思路】(1)將近一a~2=1兩邊平方得Q+=3.

(2)根據(jù)平方關(guān)系可得最+a*=花，進(jìn)而結(jié)合立方差公式運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】⑴將溫-=1兩邊平方得a+a-】-2=1,

所以Q+。-1=3.

(2)因?yàn)閍是正實(shí)數(shù)，令￡+a+=xQ>0),

則/=a+a-1+2=5,所以x=V5,

--1

可得成—a~z=(Q5—a2)(Q+1+a)=4,

所以其5=々=竽.

az+a-2衣5

【變式5-1](23-24高一上?四川樂(lè)山?期中)解答以下兩個(gè)小題：

_3

⑴求停好+X如X諄的值；

(2)若Q+QT=3,求6?+。-4的值.

【解題思路】(1)根據(jù)根式與指數(shù)基的轉(zhuǎn)化，及指數(shù)呆的運(yùn)算比簡(jiǎn)即可;

(2)運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】⑴得)一“+：遮乂近萬(wàn)xg

=(|)4]4+|x3lxQyxl2l=(|)-3+1X3^X35X24X(3X4)I

=(-V+-x31x35x2-iX3^x25=-+-x3扛3/x244=+1=-.

(2)由Q+QT=3,得(Q+QT)2=9,即02+Q-2+2=9,

則有a?+a~2=7,得(M+a~2Y=49,即a4+a-4+2=49,

所以小+。-4=47.

【變式5.2】(23-24高一上?江蘇無(wú)錫?期中)(1)計(jì)算：(3-'——2尸_(習(xí)]x訴+(-3)。.

(2)若Q+QT=3,求下列式子的值：

①位-a~2

②2+a4

【解題思路】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)尿與根式的關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可；

(2)①：由(標(biāo)一=a+aT—2求解：

②：由(凝+。-5)=a+a-1+2,結(jié)合隱含的條件a>0即可求解.

【解答過(guò)程】(1)原式=4：-2(2-V3)-x84-1=2-4+2V3-2V3+1=-1；

(2)①：(成—=a+a-1-2=3—2=1,所以成一。一5=±1；

②：(Q￡+Q-5)=a+a-1+2=34-2=5,由題意知Q>0,所以成+。一2二遍.

【變式5-3](23-24高一上?浙江,課后作業(yè))(1)已知％=。-3+6-2,化簡(jiǎn)/二五*

、221￡2122

(2)設(shè)加+匕彳=4,X=Q+3Q動(dòng)彳，y=8+3a動(dòng)石，求(％+y)§+(%—y*的值.

【解題思路】(1)由已知得％-。-3=匕-2,結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)；

(2)令加=力，反=B,結(jié)合因式分解可得力+y=(4+8)3,x-y=(A-fi)3,則(％+y)5+(X—y)§=

2(〃+勿)，結(jié)合已知即可求值.

【解答過(guò)程】(1)由x=a-3+夕2,得力_k3二夕2,

V%2—2a~3x+a~6=\!(x—a-3)2=V(Z?-2)2=亦

(2)令就=A,=B,則

X=A3+3AB2,y=B3+3A2B,

x^y=A3+3AB2+3A2B+爐=(A+,

x-y=A3+3A32-3A2B-B3=(A-B)3.

A(x+y)3+(%-y)5=(A+8)2+(4-B)2=2(A2+”)=2(J+向=8.

【題型6指數(shù)塞等式及塞的方程問(wèn)題】

[例6](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))方程3年一】=前勺解是()

A.-V2B.-yC.V2D.y

【解題思路】先將方程化為同底數(shù)哥的形式后，再求解即可.

【解答過(guò)程】由3、麻-1=￡得3應(yīng)XT=3-2,

所以—1=—2,V2x=—1,

解得x=-日.

故選：B.

【變式6-1](23-24高一?江蘇?課后作業(yè))方程4%-2'-2=0的解為()

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】設(shè)亡=2工>0,轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的正實(shí)數(shù)根，先求出t的值，進(jìn)而得出方程的解.

【解答過(guò)程】設(shè)亡=2、>0.即轉(zhuǎn)化為求方程M-t-2=0的正實(shí)數(shù)根由/一七一2=0得t=2或亡=一1(舍)

所以t=2X=2,則％=1

故選：B.

【變式6-2](23-24高一上?浙江臺(tái)州?開學(xué)考試)若%>1,y>0,且滿足xy=儀，^=%3^,則x+y的值

為()

A.1B,2C-D.3

【解題思路】由已知可得解得y=%再代I可已知等式求出刈可得x+y的值.

【解答過(guò)程】由%y="y,=x3y,得?1=%y?/匕即/=/匕解得>=￡

把y=：代入xy=%，，得3%=翥，即％=24，兩邊平方得/=4%,由x>1得3=4,

則無(wú)+y=4+：=g.

故選：c.

【變式6?3】（2024高一.全國(guó)?專題練習(xí)）方程5XT-1O3X=8X的解集是（）

A.{1,41B.尚C.{1$D,{4.1}

【解題思路】根據(jù)題意，先把103X轉(zhuǎn)化為53X.23X,且8*=23巴然后再化簡(jiǎn)求值即可.

【解答過(guò)程】原方程可化為：5"1,53X.23X=23X,即54Al=1,解得：%=；.

4

故選：B.

【題型7指數(shù)塞等式的證明】

zoxmn

【例7】（2024高一?全國(guó)?專題練習(xí)）已知。＞0且（2a）m=a,（3a）m=2a,求證：=2n.

【解題思路】根據(jù)題意，由群二千=2,得到（|廣=2,即可得到證明.

【解答過(guò)程】證明：＞0且a土1,（2a）m=a,（3a）m=2a,

?（3a）m_2a_./3\m_

__-2,-2?,

【變式7-1】（2024高一?全國(guó)?專題練習(xí)）已知理嗎需王^=容求證：3爐+2=2/.

【解題思路】由幽嚶筍生=/，化為2|劑項(xiàng)+2-m2=2+3總兩邊平方整理利用完全平方公式即

可得出.

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【解答過(guò)程】