浙教版初升高一數學暑假預習專練：絕對值（原卷版+解析）

絕對值

1、絕對值的定義

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值，例如+2的絕對值等于2,記作|+2|=2；

-3的絕對值等于3,記作卜31=3.

①絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.即

對于任何有理數a都有：

a(a>0)

0(a=0)

{-a(a<0)

②絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越

大；離原點的距離越近，絕對值越小.

③一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的.

2、絕對值的性質

①0除外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數.

②互為相反數的兩個數(0除外)的絕對?值相等.

③絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0.

3、數軸上兩點之間的距離

若A、B是數軸上的兩個點，它們表示的數分別為內、則A、B兩點之間的距離為山一&|.

4、含絕對值的方程與函數

①含有絕對值的方程要先去掉絕對值的符號，再求未知數的值；

②絕對值函數的定義：y=\x\=<X92?，絕對值函數的定義域是一切實數，值域是非負數.

例I、利用絕對值的性質化簡

如果a、b、c、d為互不相等的有理數，且|a-c|=|D-c|=口一"=1,那么|。一〃|等于()

A.1B.2C.3D.4

【解答】C

【解析】由已知可得bWc,不妨設6Vc,

V\a-c\=\b-c\,，a—c與b—c互為相反數,即a—c=—(b—c)?a+b=2c,

又,：b<c,*.a>Ci

V\b-c\=\d—b\t，b—c與d—b相等，即b—c=d—b,2b=c+d,

Vfc<c,?\b>d,d<b<c<a,|a—J|=a—(Z=(a—c)+(c—6)+(6—(/)=14-1+1=3,

同理，若設b>c,可得|a一d|=3,?,.C選項正確.

例2、化簡求最值

已知實數x、y、z滿足(|c+l|+|，一3|)(歷一2|+|"-5|)(|z+3|+|N—6|)W108,則代數式

x-\-3y—2z的最大值是.

【解答】24

【解析】:?當-10T&3時，|工+1|+—3|=i+l+3—工=4,

當2<-1時，\x+1|+\x-3|=一2一1+3—1=2—2/>4,

當$A3時，\x+1|+\x—3|=c+l+z—3=2i—2>4,

故|化+1|+|x—3|的最小值為4,

同理可得，當24夕45時，|0一2|十囪一5|最小值為3；

當-3WzW6時,|z+3|+|z—6|最小值為9,則4X3X9=108,

故K、y取最大值，z取最小值時，代數式2+3沙-2/的值最大，最大值為3+3X5—2X(-3)=24.

例3、絕對值方程

解方程：4|④一1|—6=0

51

【解答】為二2/2=-9

【解析】計算步驟如下：

4|w—1|—6=0

4k-l|=6

x-1=±l

.51

=-x2=-X-

例4、絕對值函數

作出函數?/="一2|—1的圖像.

【解答】見解析

【解析】由題意可刖—=｛二;m函數圖像如圖所示:

絕對值鞏固練習

一.選擇題

1.把有理數。代入|。+4|-10得到⑶，稱為第一次操作，再將m作為。的值代人得到的稱為第二次操作，…,

若。=23,經過第2020次操作后得到的是（)

A.-7B.-1C.5D.11

2.設x為有理數，若則（）

A.x為正數B.%為負數C.x為非正數D.x為非負數

3.已知x是正實數，則|x-l|+|2x-l|+|3x-l|+|4x-l|+|5x-1|的最小值是()

7O

A.2B.-TC.7"D.0

45

”=*+*+!半，則0H9的值為()

4.已知實數4、b、C滿足a+0+c=0,abc<0,

M1“|c|

A.1B.1C.3239D.32019

5.能使等式|2x-3|+2|x-2|=1成立的x的取值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

6.已知x,），都是整數，若x,y的積等于8,且x-y是負數，則|x+.y|的值有（）個.

A.1B.2C.3D.4

二.填空題

7.已知得且=3,則工=.

8.若x=|x?|x-2017||,貝ljx=.

9.若對于某一范圍內的x的任意值,|1-2r|+|l-3x|+…+|1?10乂的值為定值，則這個定值為

10.已知同=3,族|=2,且。＞力，則。-2人的值為.

11.^\m-n\=n-in,且|，川=4,|刑=3,則〃?+〃=.

三.解答題

12.已知〃、。、c,的大致位置如圖所示：化簡|a+c|+族-d-|a-

21

13.計算：已知|/|=不㈤=歹，且x＜yV0,求6+(A--y)的值.

14.設。＜0,且1&匕，求|x+l|?|x?2］的值.

1?1

15.已知實數a,b,c滿足：。+加c=-2,abc=-4.

(1)求4,b,c中的最小者的最大值；

(2)求同+。|+匕|的最小值.

16.四個數分別是a,b,c,d,滿足Ia-M+|c-"=一|a-（〃23且為正整數，a<b<c<d）.

n

（1）若〃=3.

①當d-a=6時，求c-Z?的值；

4

②對于給定的有理數e"<e<c）,滿足|〃-6|二不|。-力，請用含從c的代數式表示e；

（2）若e=-c|,/=4I”-",且|e-力>白|a-⑼，試求〃的最大值.

//JLU

17.若斯），為非零有理數，且x=|.y|,yVO,化簡:|}1+|-2>1-3y-2x|-2y.

18.已知：〃是最大的負整數，且小〃，c滿足|a+/?|+（4-c）286=0,試回答問題：

（1）請直接寫出a,b,c的值；

（2）若a,b,c所對應的點分別為A,B,C,點P為一動點，其對應的數為心點P在。到I之間運動時

（即0WI），詩化簡式子：|.什1|-|1-衛+2卜-4|.

9已知小b,c都不等于零，且向+小+土裔的最大值是出最小值為〃，求黑的富

20.再看絕對值

(1)當x=3,卜-2|=；當工=2,|x-2|=：當x=-l,|x-2|=：

(2)化簡：仇?2|；

(3)在|x+l|+|x-2|+|x-3|中.當.『.卜+1|+田-2|+卜-3|有最小值，最小值為；

(4)在|x-為|+田-刈+k-刈+…+|x-x”|中，若KlVx2Vx3V…Vx”(其中：X[,X2?孫…，X”為常數)，試

回答:當X為何值時，田-X1I+K-X2I+I-V-X3I+--+K-&|有最小值,最小值為多少？

絕對值

1、絕對值的定義

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值，例如+2的絕對值等于2,記作|+21=2；

-3的絕對值等于3,記作卜31=3.

①絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是（）.即

對于任何有理數a都有：

a（Q>0）

0（Q=0）

{-a（a<0）

②絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越

大；離原點的距離越近，絕對值越小.

③一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的.

2、絕對值的性質

①0除外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數.

②互為相反數的兩個數（0除外）的絕對■值相等.

③絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0.

3、數軸上兩點之間的距離

若A、B是數軸上的兩個點，它們表示的數分別為內、則A、B兩點之間的距離為40=INI-ZZI.

4、含絕對值的方程與函數

①含有絕對值的方程要先去掉絕對值的符號，再求未知數的值；

②絕對值函數的定義：y=M=\xy彳?，絕對值函數的定義域是一切實數，值域是非負數.

I-x（X<0）

例I、利用絕對值的性質化簡

如果a、b、c、d為互不相等的有理數，且|a-c|=|6-c|=口一“=1,那么|。一山等于（）

A.IB.2C.3D.4

【解答】C

【解析】由己知可得bWc,不妨設。Vc,

V\a-c\=\b-c\,c與b—c互為相反數，即a—c=—(b—c),a+b=2c,

又,：b<c,?\a>c,

V\b-c\=\d-b\,，b—c與d—b相等，即b—c=d—b,2b=c+d,

*.*fc<c>,*.b>d,d<b<c<at|a—J|=a—J=(a—c)+(c—6)+(6—rf)=14-1+1=3,

同理，若設6>c,可得|a—d|=3,.'C選項正確.

例2、化簡求最值

已知實數x、y、z滿足(|c+l|+比一3|)(歷一2|十|“一.5|)(|z+3|+|z-6|)W108,則代數式

出+3?一2z的最大值是.

【解答】24

【解析】,??當時，|N+1|+怔-3|=2+1+3—H=4,

當￡<一1時，\x+1|+\x-3|=一勺一1+3一1=2—2%>4,

當e>3時，|c+l|+—3|=i+l+c—3=2c—2>4,

故歷+1|+|①一3|的最小值為4,

同理可得，當2WJW5時，|"一2|+|夕一5|最小值為3；

當-3WzW6時,|z+3|+|z—6|最小值為9,則4X3X9=108,

故X、y取最大值，z取最小值時，代數式N+3沙一2N的值最大，最大值為3+3X5—2X(-3)=24.

例3、絕對值方程

解方程：4\x-l\-6=0

【解答】g=*&=—2

【解析】計算步驟如下：

4k-1|-6=0

4|c—1|=6

"11=9

一=±9

.51

??①1=?啊=_2,

例4、絕對值函數

作出函數y=I7一2]—1的圖像.

【解答】見解析

【解析】由題意可得-T=；二；二小函數圖像如圖所示:

絕對值鞏固練習

一.選擇題

1.把有理數。代入|，+4|-10得到力，稱為第一次操作,再將ai作為。的值代入得到S，稱為第二次操作，…,

若＜7=23,經過第2020次操作后得到的是（）

A.-7B.-1C.5D.11

【解答】A

【解析】第1次操作，0=|23+4第10=17；

第2次操作,6/2=117+4|-10=11；

第3次操作，〃3=|11+4|-10=5；

第4次操作，?4=|5+4|-10=-1；

第5次操作，a5=\-1+4|-10=-7；

第6次操作，?6=|-7+4|-10=-7；

第7次操作，?7=|-7+4|-10=-7；

第2020次操作，02020=1-7+4|-10=-7.

2.設x為有理數，若-，則（）

A.x為正數B.x為負數C.x為非正數D.工為非負數

【解答】D

【解析】設x為有理數，若H=x，則x20,即戈為非負數.

3.已知X是正實數，則|x-l|+|2x-l|+|3x-l|+|4x-l|+|5x-1|的最小值是()

78

A.2B.~rC.yD.0

45

【解答】B

【解析】|x-l|+2?l|+|3x-1|+|4<-1|+|5x-1|

1111

=|x-l|+2|x-2l+3lx-31+4^-彳1+5卜-I

當i?4=0,即x=J時取最小值，

44

最小值為：-1|+2||-||+3||-||+4||-||+5||-||

3211

++

=V4T4T4+0+T4

_-7

4?

4.已知實數4、b、c滿足〃+"c=0,abc<0,出=畢7￡+*￡+與*，則的值為()

M1引kl

A.1B.-1C.32019D.-32019

【解答】B

【解析】已知a,h,c是有理數，a+b+c=(),ahc<0,

貝ljb+c=-a,a+c=-b,a+h=-(?>a、b、。兩正一負，

|a|丁\b\丁|c||c|\b\|c|

5.能使等式|2r-3|+2|x-2|=1成立的x的取值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】C

【解析】4、當x=0時，，原式=3+4=7,不合題意；

8、當％=1時，原式=1+2=3,不合題意；

。、當x=2時，原式=1+0=1,符合題意；

。、當工=3時，原式=3+2=5,不合題意；

6.已知x,），都是整數，若x,），的積等于8,且X-），是負數，則|戶），|的值有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【解答】B

【解析】??“，丁都是整數，心），的積等于8,且x-y是負數，

，/=-8,產-1或工=-4,產-2或4=1,y=8或3=2,產4,

???卜+）1=9或6,一共2個.

二.填空題

7.已矢口H,‘，」=3,則x=.

【解答】-5或7

【解析】因為腎2=3,

所以|1-x|=6,

所以1?x=±6,

所以1-x=6,或1?x=-6,

所以x=-5,或x=7.

8.若x=|x-|x-2017||,貝l」x=.

2017

【解答】2017或9

【解析】Vx=k-lv-2017||,

：.x=x-\x-20171或x=\x-20\l\-x

...-|x-2017|=0或2x=|x-2017|

當-|x-2017|=0時，

解得x=2017

當2x=|x?2017|時，

①若0VxV2017,

2x=-x+2017,

2汨2017

解得x=-^―,

②/>2017,

2A=X-2017,

解得x=-2017（舍去）.

9.若對于某一范圍內的x的任意值,|1-2x|+|l-3x|+…+|1-10x1的值為定值，則這個定值為

【解答】3

【解析】???尸為定值,

???p的表達式化簡后X的系數和為0：

由于2+3+4+5+6+7=8+9+10；

Ax的取值范圍是：I-7x20且1-8戈W0,

即:一號，

,5<

所以產=(1-2A)+(I-3A)+…+(1-7A)-(1-8A)-(1-9A)-(1-10A)=6-3=3.

10.已知同=3,⑸=2,且〃>力，則的值為.

【解答】-1或7

【解析】???同=3,依=2,

*.a=±,力=±2,

*：a>h,

?'?a=3,b=i2>

?"28=3-2X2=-1或a-2Q3-2X(-2)=7.

11.若|加-川=〃-/〃，且|詞=4,|川=3,則/〃+〃=.

【解答】-1或?7

【解析】???|〃”=4,|〃|=3,

.*.7?=±4,〃=±3,

而-n\=n-/”，

，“=3,〃?=-4或〃=-3,in=-4,

?,.〃i+〃=3+(-4)=-1；或，〃+〃=-3+(-4)=-7.

三.解答題

12.已知a、Z?、c的大致位置如圖所示：化簡|a+d+|b?d■I。-4.

baoc

【解答】2c

【解析】由數軸知：b<a<0<c,c>\a\,

.*.d+c>0?b-c<0,a-/?>0?

所以|a+d+g-c\-\a-b\

a+c-b+c-a+b

=2c.

21

13.計算：已知⑶=w，WI=彳，且x<y<0,求6彳(x-y)的值.

【解答】-36

91

【解析】IM=可，M=爹，且A<V<O,

._2_1

-w，產_5，

21

.*.64-(.x-y)=64-(-Q+5)

=-36.

14.設aVO,且zW/,求|x+l|-|x-2|的值.

【解答】-3

【解析】因為“VO,

所以xWg=-l,

所以X+1WO,x?2V0,

所以仇+1|-|x-2|=-X-1+x-2=-3.

15.已知實數小h,c滿足：a+h+c=-2,abc=-4.

(1)求a,b,。中的最小者的最大值；

⑵求同+網的最小值.

【解答】(1)-4；(2)6

【解析】(1)不妨設。是。，從c中的最小者，即aW。，aWc,由題設知qVO,

且b+c=-2-m兒=-，于是從c是一元二次方程/一(2—a)L?=0的兩實根，

即4=(2-a)2+4X->O,

a

a2+4?2+4?+16<0,(?2+4)(a+4)WO,

所以aW-4；

又當a=-4,匕=。=1時，滿足題意.

故a,b,。中最小者的最大值-4.

(2)因為。力cVO,所以a,b,c為全小于0或二正一負.

①當a,b,c為全小于0,則由(1)知，a,b,c中的最小者不大于-4,這與a+b+c=-2矛盾.

②若a,b,c為二正一負，設“VO,b>0,c>0,則同+|〃|+|c|=-a+8+c=-2a-228-2=6,

當”=-4,0=c=l時，滿足題設條件且使得不等式等號成立.

故IM+向+同的最小值為6.

16.四個數分別是。，b,c,d,滿足S23且為正整數，a<b<c<d).

n

(1)若n=3.

①當4-a=6時，求c-力的值；

4

②對于給定的有理數eBVeVc),滿足也?0=al〃-a，請用含b,c的代數式表示e；

(2)若e=?c|,/=-M，且|6-力>白|。?如試求〃的最大值.

【解答】⑴①c-b=4,②的最大值是4

JJ

【解析】⑴①:〃=3,

\a-b\+\c-(l\=\\a-(1\,

'：a<b<c<d,

2

?二c-/?=可(.d-a)t

???d?a=6,

Ac-Z>=4；

4

?'：b<e<c,\b-e\=~^\a-d\,

J

4

:.e-b=9(d-a),

'?e-b=(c-〃)，

432

?不義w

:e-b=J/(cJ-b)=Q(c-b),

(2)**\a-b\+\c-d\=16?-i7|,a<b<c<d,

：,c-b=(1-(d?a),

n

e=^\b-c\,/=3|。-切，且|6-7|>5］。-切，

-c\-^\a-d\\>^\a-d\,

/.||l（1-：）（-）I-昇-訓/la-4

???5|4-心告|4-切，

???2〃V10,

???“V5,

??"23且為正整數，

???”的最大值是4.

17.若x,y為非零有理數,且x=|y|,>,<0,化簡：|>>|+|-2y\-3y-2x\-2y.

【解答】原式=-2?2y

【解析】VA=|.V|,y<0,

??4>0,x=-y,

A-2,v>0,3y-2x<0,

則原式=-y-2y+3y-2x-2y=-2x-2y.

18.己知：〃是最大的負整數，且小b,。滿足|a+加+（4-c）2（|,6=0,試回答問題：

（1）請直接寫出小b,c的值;

（2）若〃，匕，c所對應的點分別為4,B,C,點P為一動點，其對應的數為x,點P在0到I之間運動時

（即OWxWl）,請化簡式子：|x+l|-|1-A|+2|.V-4|.

【解答】（1）b=-1,a=-b=\,c=4；（2）原式=8

【解析】（1）??力是最大的負整數，\a+b\+（4-c）刈6=o,

，6=-1,a=-b=\,c=4；

（2）:OWxWl,

AA+1>0,I-x^O,x-4<0,

Ak+ll-II-x\+2\x-4\=x+\-（I-x）+2（4-x）=8.

9已知小b,c都不等于零,且高+。+者一磊的最大值是m最小值為小求累的值.

【解答】原式=-1

當a,b,c三個都大于0,可得含+3+三一J-r—2,

【解析】

|a|\b\|c|\abc\

如I十八一da.b,cabc3

當a,b,c,都小于0,可得■；-7+777+]—r-~―r=-2,

l?lI"kl\abc\

十一行-ri口a.b