2026年高考數(shù)學一輪復習（新高考）重難點專訓03 平面向量中的隱圓問題（學生版+解析）

重難點專訓03平面向量中的隱圓問題

解題方法及技巧提煉................................................................1

題型通法及變式提升................................2

題型一：模長為定值..........................................................................2

題型二：兩向量垂直或數(shù)量積為0................................................................................................................2

題型三：數(shù)量積為定值.......................................................................3

題型四：平方和為定值.......................................................................3

題型五：關于某一向量的一元二次方程.........................................................4

重難專題分層過關練................................................................4

鞏固過關....................................................................................4

創(chuàng)新提升....................................................................................5

解題方法及技巧提煉＜＜＜、

一、模長是定值構造圓

記A,B,C為定點，若出現(xiàn)AP=A,,|/4P±Ac|=Z,Q一布一叫=2，都可以得出隱圓.

有時也會出現(xiàn)小一萬一3=入這種形式，我們可以設力=O/i，b=OB^c=OC也能轉化成上面第三種

形式

二、兩向量垂直構造圓

圓的直徑所勸的圓周角為直角，因此當兩個向最相互垂直怔，可以選擇一個共同的起點，則該起點在

以兩個向量的終點構成的線段為直徑的圓上.

三、數(shù)量積為定值構造圓

定理：平面內，若A,B為定點,且兩.而=2,則尸的軌跡是以AA中點M為圓心Ji+；為半徑

的圓

22

證明：由西.麗=九，根據(jù)極化恒等式可知，PM-\AB=At所以PM=、RAB2+/1,P的軌跡

是以M為圓心卜+卜兇為半徑的圓.

四、平方和為定值構造圓

定理：若為定點，P滿足租2+尸82=4,則2的軌跡是以45中點“為圓心，卜產(chǎn)為半

徑的圓。(A--AB2>0)

2

證明：PA2+PB2=21PM2+AB)2J=A,所以妨,\^~2^，即，的軌跡是以中點"為圓

2PM=V%

心，(IpE為半徑的圓.

五、關于某向量的一元二次方程構造圓

利用坐標法即可得到圓的方程

題型通法及變式提升<?]

題型一：模長為定值

典例1-1.已知少,5是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量^滿足|"-￡|=則|3+〃-2|+2|2-5|

最小值為.

典例1-2.已知2、b>c>7都是平面向量，.且|21=|2￡-石|=|5￡-2|=1,若(a,d)吟,則

仍-7|+|2-7|的最小值為.

變式1-1.平面內非零向量3，5,小有同一3,W=4,加萬=0且卜卜2,則，的最大值為一.

變式1-2.己知向量小否滿足性+4=3,w=i,則同+2忖+囚的最大值為一.

題型二：兩向量垂直或數(shù)量積為0

典例2-1.已知7方均為單位向量，且夾角為：，若向量2滿足0-2辦(2-歷=0,則|2|的最大值為

A7+y/5R"-，3px/H4-\/lnyjl+

2222

典例22已知平面向量不及方茜足：0與B的夾角為冬(…)?(”5)=0如同=2,記M是|『叫

的最大值，則M的最小值是.

變式2-1.已知〃，5是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量。滿足(3-2)-(2〃-2)=0,則科的最大值

是()

A.41B.2C.75D.當

變式2-2.已知平面向量2G,若|/|=4,|6|=3,且〃4=0.若向量d=3依+4防，且|由=12及，則

網(wǎng)=;若向量，滿足m-2),(2-楊，則|2|的取值范圍是.

題型三：數(shù)量積為定值

典例3-1.若正VA4c的邊長為4,尸為VA4c所在平面內的動點，且小=1,則麗?定的取道范圍是

A.[3,15]B.[9-2?9+2⑻

C.[9-3x/3,9+3x/3]D.[9—4石,9+4、與]

變式3-1.已知向量滿足同=4,同=2,2,〈萬,小=(,("m.("/:)=一1,則|人司的最大值為

變式32設〃、石是單位向量，且小石毛，向量S滿足傳-司=則同的取值范圍是.

題型四：平方和為定值

典例4-1.已知澗￡2是單位向量,滿足打5,而=2+歡|拓-請+|拓—-『=20，則打一2|的最大值

為一.

典例42在平面直角坐標系中，已知點A(2,o),8(0,2),圓C:(x-a『+丁=1,若圓C上存在點M,使

得|M4+|M51=12,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[1,1+272]B.[1-2&,1+2閭

C.[1,1+272]D.[1-V2J+V2]

變式4-1.已知平面向量麗、而滿足回叼西2="|幅2=2,設留=2肌筋，則|定卜—.

變式4-2.正方形ABC。與點P在同一平面內，已知該正方形的力長為I,且附『+|朝2=歸。2,則|尸。

的取值范圍為.

題型五：關于某一向量的一元二次方程

典例5-1.已知7尻。是平面向量，*是單位向量.若非零向量口與9的夾角為J,向量5滿足

4

(B-4刃?出一2乃=0,則卜一同的最小值是()

A.—y[2—\B.5/2

C.25/2D.2-V2

典例5-2.已知口Re是平面向量，3是單位向量，若非零向量不與0的夾角為三，向量6滿足

m-4@」；+3=0,則可的最小值是().

A.1B.y/3C.y/3—1D.＞/3+1

變式5-1.已知平面單位向量1的夾角為60。，向量2?滿足于-(區(qū)+可]+|=0,若對任意的/eR,

記冢|的最小值為M,則M的最大值為

A.』+正B.C.1+辿D.1+G

2424

變式5-2.己知。、5、3是平面向量，"是單位向量.若/TD+ZB?=0，片-3-2+2^2=0，貝【J

二—歷小芯的最大值為一.

＞重難專題分層過關練＜?、

鞏固過關

1.己知人囚是兩個單位向量，與2,5共面的向量乙滿足于-m+B)^+萬?5=o,則同的最大值為

A.2V2B.2C.42D.1

2.已知萬，5為單位向量，且卜-2方卜近，向量^滿足于-4%+3=0,則於伍V）的最大值為（）

A.y/^—1B.\/3+1C.>/3—3D.—\/3+3

3.己知平面向量Z,瓦"滿足同=l,cos（￡,0=g,/：一4￡./；+3=0,則的最小值是（）

A\/3-iR.也C.73D.73-1

22

11

4.已知向量向=田=，.0=-8,；="2且收-[=1,則7與2夾角的最大值為（）

2

ne冗-兀、5兀

A.-B.-C.-D.—

64312

5.（多選）已知平面上的向量…；、3滿足同=2,慟=2,（*二與，伍-0（"）=0,則下列命

題正確的是（）

A.在〃上的投影的數(shù)量為3

B.同的最小值是G-1

C.卜+留=26

r

D.若c〃（Lb）,則同最大值為2G

6.已知2瓦"是平面向量，且工是單位向量，若非零向量Z與工的夾角為5，向量石滿足9一411+3=0,

則上一河十區(qū)―a的最小值是（）

A.>/5-2B.x/5-1C.2D.Js

7.設向量入h，"滿足同=忖=1,dci-c,b-c=^\則同的最大值等于

8.已知心5是單位向量，且。4=0.若向量[滿足k-。-26卜1,則同的最大值是—.

9.已知14是平面內兩個包相垂直的單位向量，且此平面內另一向量^在滿足（3Z+??e-24=0時，均

能使悴一可儀成立，則攵的最小直是

創(chuàng)新提升

1.已知平面向量7反乙。滿足同=4,同=1,忖-@=1,7。=^，且對任意的實數(shù)/，均有心一回之歸一2十則

卜-可的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知平面向量。6忑滿足|町=1,歷|=2,且於B=—l，若向量否-d的夾角為60。,則忖I的最大

值是

3.已知向量2,萬工滿足|=6,|5|=2近，2與方的夾角為二，（2-7）?（2-力=-4,則|2-2|的最小值

為.

4.已知"，弓為單位向量，且〃$=（）.若向量C滿足"（￡+城=/叫，貝M3的最大值是_.

重難點專訓I03平面向量中的隱園問題

解題方法及技巧提煉................................1

題型通法及變式提升................................2

題型一：模長為定值.........................................................................2

題型二：兩向量垂直或數(shù)量積為0................................................................................................................2

題型三：數(shù)量積為定值............................................................3

題型四：平方和為定值.......................................................................3

題型五：關于某一向量的一元二次方程.........................................................4

重難專題分層過關練................................................................4

鞏固過關....................................................................................4

創(chuàng)新提升....................................................................................

???解題方法及技巧提煉<<<

一、模長是定值構造圓

記A,B,C為定點，若出現(xiàn)=2,都可以得出隱圓.

有時也會出現(xiàn)2-￡一6=九這種形式，我們可以設a=3/i，5=0后，c=oc?也能粘化成上面第三種

形式

二、兩向量垂直構造圓

圓的直徑所對的圓周角為直角，因此當兩個向量相互垂直時，可以選擇一個共同的起點，則該起點在

以兩個向量的終點構成的線段為直徑的圓上.

三、數(shù)量積為定值構造圓

定理：平面內,若A6為定點,旦百?瓦=2，則P的軌跡是以AB中點M為圓心為半徑

的圓

證明：由后.而=4,根據(jù)極化恒等式可知，所以嬴1，P的軌跡

是以M為圓心心+；AB?為半徑的圓.

四、平方和為定值構造圓

定理：若A,B為定點、,P滿足以2+依2=丸,則尸的軌跡是以48中點加為圓心，號竺為半

\2~

徑的圓。(A,——A13">0)

證明：PA2+PB1=2[PM2+(1AB)2]=A,所以，上2空I，即P的軌跡是以中點M為圓

2PM=\---彳--

心，卜;AB。為半徑的圓.

五、關于某向量的一元二次方程構造圓

利用坐標法即可得到圓的方程

題型通法及變式提升<<<、

題型一：模長為定值

典例1」.已知"，石是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量e滿足|2-￡|二則|3+，；-2|+2|2-/；|

最小值為.

【答案】|

【詳解】如圖，A(1,0)1(0,1),001)，設畫=2彷=5,則向量d滿足6-2|=3,設近=3所以點c

為以A為圓心，以g為半徑的圓上的一點，

所以|￡十萬一2|=|0萬一0二|=|8|,同理26一〃|=2|8。|,

取點E1。，則會=黑，又因NC4E=NOAC,

I4JACAD

所以AAECSAAC。，

CF1

所以=—,即CD=2CE,

CD2

【點睛】本題考查向量的坐標運算，向量的模，向量模的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思

想、數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解的注意構造相似三角形等知識，屬于難題.

典例1-2.已知￡、b>c>Z都是平面向量，且|Z|=|2d-M=|5d-2|=l,若(出2)=5，則

仍-1|+|2-7|的最小值為.

【答案】V29-2

【詳解】

bc

因為|2々-可=1,所以加起點在原點，終點在以8為圓心，I為半徑的圓上；

同理，|5U-W=1,所以3起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上,

所以防-2|+|2-1的最小值則為(|附+|<7。)由-2,

因為(￡,/)=；,忸。=忸"，當8'，。，C三點共線時，(忸q+15L=I北C|=62+2?=回,所以

(忸D[+|C嘰-2=回一2.

故答案為：y/29-2.

變式1-1.平面內非零向量入b，2,有同=3,*4,2出=0且?」.卜2,則用的最大值為一

【答案】7

平面內非零向量九八o有同=3,忖=4,a-s=o.

故可建立如圖所示的坐標系，則人(3,0),8(0,4),設C(x,)，),

因為卜_己_@=2,

???(x-3)2+(y-4)2=4,

工對應點在以。(3,4)為圓心，2為半徑的圓上的點，

因為O￡>=序不=5，

故忖的最大值為:5+2=7,

故答案為：7.

變式1-2.已知向量3,坂滿足肉+母=3,『1,則同+2歸+4的最大值為

【答案】5

【詳解】令2d+b=(3cosa,3sina),〃=(cos/?,sin/3),

2(67+/>)=(3cos?+cos/7,3sin<2+sin/?),25=(3cosa-cos/7,3sina-sin,

2\d+b|=J(3cosa+cos6)2+(3sina+sin0)?=J10+6cos(a-3)，

2\a\=J(3cosa-cos6)2+(3sina-sin￡尸=J10-6cos(a一尸),

令S=|MI+216+61=；?J10-6cos(a-夕)+Jl0+6cos(a-￡),

設，=cos(a-/7)(—lK/4l),則S」J10-6/+J10+6/,S'?~~6+,6

令S=0=4(10-6/)=10+6/=>/=l,易知：在上S'NO,即S遞增,

所以S在f=l取得最大值，Sa=；*4+V^=5.

故答案為：5.

題型二：兩向量垂直或數(shù)量積為0

典例2-1.已知刁出均為單位向量，且夾角為和若向量2滿足（12辦（2-歷=0,則|2|的最大值為

（）

A7+6Ry/7-y/3rVn+x/7ng+6

2222

【答案】D

【詳解】將向量入瓦小的起點平移到原點0,設向量竊，6,。的終點分別為A8,C,

則=灰-礪=/,c-b=OC-OB=BCf

由G-2辦（2-應=0得AC=0，得衣J.團,

則點C在以48為直徑的圓上，

因為之出均為單位向量，且夾角為（不妨設a=（i，o）,B嗎與）,

則4（2,0）,嗎岑），所以以A5為直徑的圓的圓心吟，當，半徑為gJ（2-g）2+（0-*）2哈,

乂|聞0|=符|=孝，所以|4=|0。|。00|+等=等+#，

故選:D

典例22已知平面向量汰B、*滿足:乙與5的夾角為等，管-可.卜-町=（恫+同=,記M是k.”可

的最大值，則M的最小值是.

【答案】更tl

2

【詳解】如圖，

設函=70巨=反0二=心后為48中點，令|M|=x,|B|二y,|A8|=2r,|OE|=/,

則NAOB=y,x+)，=2①，

因為OZ=，(OA+OB).AB=OB-OA,

2

故有方O8=|OE^~\AB^~xy=t2-r2,

cosNAOB="+'-「n-xy=x2+y2-4r2n4/=(x+y)2-xy(2),

2xy

由①@得，=1一?，從而產(chǎn)=/一?孫=]_1孫，孫w(oj,

424

因為傳-1)?卜-6)=0,所以AC_LAC,即點C在以A8為直徑的圓石上.

-.-\c-a-bHc-(d+b)\=\OE+EC-2OE\^W+EC\<\EO\+\EC\,

...Al=|c-a-Z?|nm=|Ed|+|￡C|=t+r=^l--1^+^l--^A3'

當且僅當Ia\=\b|=1時，即中=1時等號成立.

故答案為：邑！

2

【點睛】關鍵點點睛：在平面上分別作出向量對應的有向線段，利用極化恒等式得出

①IDS=|OE|2-?|A8|2,聯(lián)十方程后可得/=1_4產(chǎn)=1-1，㈤，6(0.1]是解題的關健,再將向量模

444

用孫表示出來，即可利用函數(shù)單調性求最值.

變式2-1.已知心石是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量3滿足(Z--(25-2)=(),則同的最大值

是()

A.41B.2C.75D.當

【答案】C

【詳解】如圖，設3=3，麗=加OE=2b，OC=c，

貝1」2—"二行，2h-c=CE>

因為(H3-2)=0,故6./=0，故b_L在，

所以。在以AE為直徑的圓上，故同的最大值為圓的直徑|4同=JH4=石，

故選：C.

變式2-2.已知平面向量之力，若|加=4,|〃|=3,且。?萬=0.若向量d=3姐+4歷，且|4=120,則

陶=;若向量】滿足團-才)，(2-而，則|日|的取值范圍是.

【答案】2=±1[0,5]

【詳解】因為|=4,|B|=3,且日./；=o,

所以不妨在直角坐標系中，設1=(40)石=(0,3).

(1).=3歷+4肪=3%(4,0)+4?0,3)=(124,121),

所以|人=J(12A『+(I2&)2=120，解得：上=±1；

(2)設2=(x,y),PPJ6i-J=(4-x,0-=(x,y-3)

因為伍-2)j_(d-5),所以d?(a-5)=o,

即，4x+)，2-3y=0表示以(用為圓心，，=|為半徑的圓，并且圓經(jīng)過原點

22

而IdI=\!x+y表示圓上的點到原點的距離，所以1dlm=0,121rax=5,

所以的取值范圍是[0,5].

故答案為:k±1；[0,5].

【點睛】向量類問題的常用處理方法——向量坐標化，利用坐標運算比較簡單.能夠用“向量坐標化”處理

的題目：①題目直接以坐標形式呈現(xiàn)；②題目中有明顯的垂直關系，可以建系；③題目中有向量的夾角，

為特殊角，可以建系.

題型三：數(shù)量積為定值

典例3-1.若正VA8c的邊長為4,P為VA4C所在平面內的動點，且24=1,則/爪臣的取直范圍是

()

A.[3,15]B.[9-26,9+27?]

C.[9—36,9+3石]D.[9—46,9+4?]

【答案】D

【洋解】由題知，

以A為中標原點，以A8所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖，

則8(4,0),C(2,2百)，

由題意設夕(cosasin。)(0＜。＜2兀),

則PA=(4-cosa-sin。)，

卮=(2-8s6,2召一s砌,

/.PB-PC=(4-cos^)(2-cos^)-sin<9(2>/3-sin<9)

二9一6cosg一2\/5sinJ=9-2X2>/5—cos6^+—sin6^

22

=9-4石sin仿十二］,

I3J

-,-0<<9<2n,

7i,八九7n

/.-<^+-<一,

333

可得9-4瓜皿(6>+寸丘［9-4"9+4句.

故迄D

變式3-1.已知向量工滿足同=4,同=2拒，〈瓦/；〉=：,R——力=-1,則口」同的最大值為

【答案】V2+1/1+V2

【詳解】

設"5=2,礪=反反=",以。4所在的直線為x軸，。為坐標原點建立平面直角坐標系(如圖)，

因忖=4,同=2夜，〈萬,6〉=；,則4(4,0),以2,2),設C(x,y),

由值-萬)?G-B)=-1可得:(x-4,y)-(X-2,y-2)=(x-4)(x-2)+y(y-2)=-1

即d+y2_6.-2)，+9=0,整理得：(x—3)2+(y—I)2=l,.??點。在以(3,1)為圓心，1為半徑的圓匕

則|”司表示點人，C的距離，即圓上的點與A(4,0)的距離，???圓心到點A的距離為&,???卜-司的最大

值為a+1.

故答案為：O+1.

變式32設萬、萬是單位向量，且向量^滿足修-司?卜-26)=；,則同的取值范圍是.

【答案】［手一+

【詳解】單位向量口〃滿足必〃=；，則|Z+%|=七2+4尸+42石=77,

Fil(c-fl)-(c-2Z?)=—,得-(?+2b)c+2ab=—,

44

則著上"2辦Ea+2,詳64當且僅當"2旅同向時取等號,

因近解得g印呼+L

所以同的取值范圍是[]-1,咚+1].

故答案為：

題型四：平方和為定值

典例4-1.已知是單位向量，滿足21尻正==+流|正-工『+|防-"=20,貝|JR-2|的最大值

為一.

【答案】撞

5

【詳解】依題意，可為與X軸、y軸同向的單位向量，設

=(1,0),/?=(O,l),c=(cosx,sinx),J=(cosy,sin)。

2

/.7?Z=(1,2),/.|/?/—C|2+\m-d|=2D=(COSJV—1)~十(sin%—2y十(cosy-1)~十(siny-2)'

化簡得：4=cosx+2sinx+cos_v+2siny

運用輔助角公式得：4=6sin(x+w)+6sin(.y+e),lan?=；9￡(().1)

9二sin(x+e)+sin(),+e)=2sin(%^+e卜,

x-y2

cos-----=--------7------------

即得：23《；)」,，

4

cos2---=------

故25sin2

cosx-cosy)2+(sinx-siny)2=j2-2cos(x-y)=卜-4cos20?”

2逐

可

故答案為：正

5

【點睛】思路點睛：涉及給定長度夾角的向量，可以建立坐標系，借助坐標運算求解，四個向量都是單位

向量，其終點都在單位圓上，故可以將向量用圓的參數(shù)方程表示出來，將整個向量題轉化為已知一個條件

三角的值，求另一個三角函數(shù)的值.

典例4-2.在平面直角坐標系中，己知點A（2,0）,8（。,2）,圓C:（x-a『+y2=],若圓。上存在點M,使

得則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.[11+2伺B.[1-272,1+2^2]

C.[1,1+2向D.[1-V2J+V2]

【答案】B

【解析】先求出動點M的軌跡是圓D,再根據(jù)圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.

【詳解】設M（x.v）,則@—2）2+），2+/+（）,—2）2印2,

所以（x-l）2+（y-l）2=4,

所以點M的軌跡是一個圓D,

由題得圓C和圓D相交或相切，

所以14Jd-af+FW3,

所以l-20W〃Kl+2&.

故選：B

【點睛】本題主要考查動點的軌跡方程的求法，考查兩圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平.

變式4-1.已知平面向量同、加滿足厚間西2=「?揄=2,設置=2那+路則附e—.

【答案】[嗎烏嗎叵

【詳解】因為,耳=卜戶+同=國2+網(wǎng)2_2尸屋尸"=2且|叫+附2=4，所以麗?麗=1；

又因為國+而卜網(wǎng)2+附2+2麗麗=6,所以恒+而卜瓜

由網(wǎng)2=|麗-珂=眼-兩p=2,所以慳_國=&；

根據(jù)Ad=2P/i+2方=]a（尸目+p/j）+11（尸大一尸8）可知:

<|PC|<||PA+PB|+||PA-PB|

左端取等號時：代44三點共線且2在線段AB外且"靠近3點；右端取等號時，P，A4三點共線且尸在

線段48外且尸靠近A點,

所以吟也《同卜嗎克，所以同卜吟且，嗎變.

故答案為：［嗎烏嗎邁.

【點睛】本題考查向量的三角不等式的運用，難度較難.向量的三角不等式形式：已知向量Z九則

忖-忖卜歸+4&忖+|4,取左端等號時〃與〃反向，取右端等號時〃與力同向.

變式42正方形45CD與點P在同一平面內,已知該正方形的邊長為1,且1PAi?+|P四2=|pq2,則歸胃

的取值范圍為.

【答案】［2-夜,2+a］

【詳解】如圖，以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，

則A（O,O）,5（1,O）,C（L1）,D（O,1）,

設點P（x,y）,則由|Rf+|PBT=|PCf,

得/+9+（1）2+9=（1）2+（）,一1）2,

整理得Y+（y+l）2=2,

即點尸的軌跡是以點M（O,-1）為圓心，及為半徑的圓，

圓心M到點。的距離為|DW|=2,所以|叫向二2-應,|PD1m「2+0,

所以|町的取值范圍是［2-夜

故答案為：［2-&,2+&］.

題型五：關于某一向量的一元二次方程

典例5】已知是平面向量’2是單位向量.若非零向量a與3的夾角為］向量，?滿足

（5-4》（5-2刃=0,則k一司的最小值是（）

A.1^5/2—IB.5/2

C.25/2D.2->/2

【答案】A

(詳解】設Z=(x,y),b=(/〃,〃)，e=(l,O),

則由亍與己的夾角為5得同同COS；,4=等4+),2,得丁=±工@>0),

由6―40).(方一2。)=0,知伍_甸_1_(5_2)=>(々_4,〃)(所2,〃)=0,

得m2+n2-6〃?+8=0,BP(m-3)2+n2=1,

因此，卜一■卜y](x-m)2+(y-n)2表示圓(5-3尸+/=1上的點(見，。到射線y=±Mx>())上的點(尤>')的距

離，

故其最小值為圓心(3,0)到射線)，=±x(x>0)的距離4=2=*區(qū)減去半徑1，即述-1.

V222

典例5-2.已知色反。是平面向量，a是單位向量，若非零向量a與z的夾角為向晟5滿足

于—4*5+3=0,貝|」歸一5|的最小值是().

A.1B.&C.>/3—1D.-^3+1

【答案】c

【詳解】如圖，設。X=OB=b?加=。，0^=20.

由廬一42.6+3=0得伍-2@『=1,即師卜1,

所以點8在以尸為圓心，1為半徑的圓上，

過點尸作04的垂線，垂足為G,乂|。尸|=2,ZFOG=^M\FG\=43

所以卜-司=|陰的最小值為|叫—1=6—1.

故選：C.

變式5-1.己知平面單位向量4,1的夾角為60。，向量3滿足-2—(2不+項^+白=0,若對任意的

記6一年|的最小值為M,則M的最大值為

A.L立B.C.1+更D.1+G

2424

【答案】A

【詳解】由工2-(2&+?￡+]=0推出/_2冢+研-=_3+(2"*2)J所以3一"幺=:，如圖，

'-'2[2)24422

3終點的軌跡是以為半徑的圓，設西二耳，OB=e2,OC=C'麗=鬲，所以修一阿1表示CO的距離，

顯然當CO_LQ4時-璃I最小，W的最大值為圓心到Q4的距離加半徑，即

%心=l.sin60°4--=^^>

224

【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算律，考查模的定義，解題關鍵是利用平面向量數(shù)量積的運算律得

出3終點的軌跡是圓，從而問題轉化為點到直線的距離，圓上的點到直線距離的最大值問題.

變式52已知日、5、"是平面向量，"是單位向量.若藍-41工+2工2=0,石LB國"+/2=0，則

的最大值為?

【答案】7

【詳解】因為丁一4￡二+2『=0，則歸-2工『=2,即2-20=&,

因為點_場3+%2=0,即伍詞.伍-23)=0,

作函=￡，UB=6,OE=e?配=%，則112a=同=>,

伍-麗0=0,則E8_LCB,

固定點則E為。。的中點，則點8在以線段CE為直徑的圓。上,

點A在以點。為圓心，血為半徑的圓。上，如下圖所示：

|［甲+用=網(wǎng)2+?/《網(wǎng)++同2,

'設<BCE=O,貝ijB4=cos。,

因為閾=2,OB2=(CS-CO)2=Cfi2-2|cB||co|cos6>+Ccf=4-3cos26>,

故〃2-2￡$+2^4忸4+可+的=觸8+可+4-332口

=-2cos20+2V2cos+6=-2cos。-+747,

當cos6=等時，等號成立，即^一2H+打2的最大值為7.

故答案為：7.

【點睛】方法點睛：求向量模的常見思路與方法：

（1）求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用/=￡‘，勿忘記開方:

（2）76=才=忖2或同=仔，此性質可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化;

(3)一些常見的等式應熟記：如(a±B)-d+2ab+b,(〃+葉(〃-8)="-5等.

???重難專題分層過關練＜?

鞏固過關

1.已知2,方是兩個單位向量，與2,方共面的向量還滿足。2-m+力^+a.5=（）,則同的最大值為

A.272B.2C.拉D.I

【答案】C

【詳解】由12一3+1).、+萬石=0得:(c-a)(c-b)=O,BP(c-a)l(c-b),

設況=a，方C=B,*=m,

則C-d=AC,c-b=BC,

則點C在以A/3為直徑的圓O上運動，

由圖知：當。C_L4B時，|。。因。。|,

設.乙\DC=@,

Z

則兇=|。0|+|AO|=sinO+cos6=夜sin8吟

所以當〃=5時，|QC|取最大值”，

故選：C.

【點睛】本題考查了平面向后數(shù)所積的性質及其運算及三角函數(shù)求最值問題，屬中檔題.

2.已知右方為單位向量，且卜-2囚=4，向量^滿足于一4叱+3=0,則機0叫的最大值為()

A.V3-1B.V3+1C.G-3D.-6+3

【答案】C

【詳解】由不，5為單位向最，且卜-2可=77,則,-叫一=同=4萬-5+4網(wǎng)-=5-4萬.5=7,解得

ab=1,

2

d'b1

H=麗=-2,解得"，人_=7爭TT，

不妨設d=(l,O),6=一；當，?=(x,y),

由丫一4d^+3=0,則f+),2-41+3=0,整理可得(x-2『+y2=l,易知圓心(2,0),半徑為1，

設，伍-萬）=女

易知當直線3x-Gy+2k=0與圓（x-2『+尸=1相切時，及取得最值，

可^^—I----1=1,整理可得《+6&+6=0，解得A=—3±JJ,

V9+3

所以占伊一耳的最大值為6-3.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于向量運算的坐標表示，根據(jù)題意建立合理的坐標系，設出向量

的坐標，整理未知向量終點的軌跡方程，利用解析幾何的解題思想，將向量問題等價轉化為直線與圓的位

置關系問題.

3.已知平面向量3,反2滿足問=1,8$伍0=1萬-475+3=0,則歸-4的最小值是（）

A.在二1B.2

C.y/3D.5/3—1

22

【答案】D

【詳解】

由4=i,cos(￡,0=g,不妨設￡=。4=(1,0),

又＜"'，=（，不妨設C在直線y=Gx（x＞。）上，又1；-423+3=0可得了-43坂+4=1，即

b-4ah+4a'=11

則僅-2刁=1,設力（2,0）,則歷=2次=2￡，則（0方-0q=1，即麗2=],則A在以0（2,0）為圓心,

1為半徑的圓上;

y.\b-^=\o6-oc\=^S\,則忸-4的最小值等價于同的最小值，即以。(2,0)為圓心，1為半徑的圓上

一點

到直線)，=x/it(x>0)上一點距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，gp-^-1=73-1,則MT

的最小值是x/5-i.

故選:D.

【點睛】本題關鍵點在于建立坐標系后設D=(1,O),B=麗,已由色分杉得出C在直線

)，=島(工>。)上，再由僅一2刁=1得4在以。(2,0)為圓心，1為半徑的圓上，進而轉化為圓上點到直線

上點距離的最小值求解即可.

11

4.已知向量府=向=4」)=-8二=審，且斤七1,則.與"夾角的最大值為()

717r715冗

A.—B.D.—

612

【答案】A

【詳解】

一O\4x

已知向量同=W=4,萬5=1同仰COSR,5)=-8,

即cos(〃?=，即(〃出)=—,

建立如圖所示平面直角坐標系，

設OX=1，OB=b?OC=c?ON=n，

則A(4,0),B(-2,2>/3),C(1詞,

又|*4=i,則|av|=i,即N的軌跡為以(1,6)為圓心，i為半徑的圓,

M=1

由圖可知，當ON與圓相切時，，CON最大,此時sin/CQV=

\OC\2

則NCON的最大值為5，即開與^夾角的最大值為g

OO

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，關鍵通過數(shù)形結合的方法建立坐標系解決問題.

5.（多選）已知平面上的向量日、5、3滿足同=2,同=2,〈無刀=與，他一。0一4=0,則下列命

題正確的是（）

A.4-5在6上的投影的數(shù)量為3

B.同的最小值是G-1

C.B+叫=26

D.若［〃（￡））,則同最大值為2百

【答案】BC

【詳解】解：建立平面直角坐標系，如卜.圖所示，則力二（2,0）,歸=（-1，6）,設八（工,），）,

則（日Y）?伍同=（27,一）.）?卜1T,6-）,）=0,

整理得3的終點C的軌跡方程為0-;j+）,一,、=3,

（G-6）,50，-6）（一1，G）

對于A,在6上的投影的數(shù)量為〒二■―一3故A不正確;

對于B,同的最小值是百一=V3-1，故B正確:

對于C,,+涕=（0,2網(wǎng)，所以,+%卜26故C正確；

rr/1\2f/QV

對干D,屋〃二（3,—因為1〃伍叫，所以犬=_向,，與+y-^1=3聯(lián)立解得

I2/Z1

A所以向最大值為拉，故D不正確,

邛用樗2L舒2

故選：BC.

6.己知Z瓦工是平面向量，且工是單位向量，若非零向量2與工的夾角為3,向量5滿足r_1J+3=（），

則k―司+區(qū)一目的最小值是（）

A.V5-2B.6一1C.2D.V5

【答案】B

［詳解］由62—4々.方+3=（）=52_42,5+3^=0=（5_耳.（5_3,）=0,「.（5_'）_1（萬_3'）,

設麗=",礪=反礪=￡,以。為原點，礪的方向為x軸正方向，建立如圖所示的坐標系，

由（5-4"5—30,得點B