2025-2026學年上海市黃浦區八年級（上）期中數學試卷(含解析)

2025-2026學年上海市黃浦區八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（共6題，每題3分，滿分18分）1．下列方程中，是關于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．3．近年來我國芯片技術突飛猛進，某品牌手機自主研發的最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.00000014米，將數據“0.00000014”用科學記數法表示為（）A． B． C． D．4．如圖，數軸上表示的點可能是（）A．點 B．點 C．點 D．點5．下列說法正確的是（）A．實數可分為有理數和無理數 B．的平方根是 C．數軸上的點與有理數一一對應 D．無理數與無理數的和一定是無理數6．有這樣一道題目：“已知，求的值．”甲、乙二人的說法如下，則下列判斷正確的是（）甲：的值是1；乙：甲考慮的不全面，還有另一個值．A．甲說的對，的值就是1 B．乙說的對，的另一個值是2 C．乙說的對，的另一個值是 D．兩人都不對，應有3個不同值二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．若代數式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是．8．寫出的一個有理化因式．9．比較大小：．10．不等式的解集是．11．化簡：．12．如圖，點，在數軸上表示的數分別是4，，若，則在數軸上點表示的數為．13．關于的一元二次方程有一個根為0，則的值為．14．利用方程可以將無限循環小數化成分數，例如：將化成分數，可以先設，由可知，，所以，解方程得，于是得，仿此方法，用分數表示為．15．如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形，其面積分別為6和24，則圖中陰影部分面積為．16．若，化簡：．17．若、為實數，且，則．18．對于實數，，定義運算“”：．例如，因為，所以．若，是一元二次方程的兩個根，則．三、簡答題（本大題共4題，每題5分，共20分）19．計算：．20．計算：．21．解方程：．22．用配方法解方程．四、解答題（本題共6題，第23至27題每題6分，第28題8分，滿分38分）23．已知，求的值．24．已知關于的一元二次方程．（1）如果方程的根的判別式的值為3，求的值．（2）如果方程有實數根，求的取值范圍．25．已知甲正方體紙盒的底面積為，乙正方體紙盒的體積比甲正方體紙盒的體積大，丙正方體紙盒的體積是乙正方體紙盒體積的．（1）求乙正方體紙盒的體積．（2）求丙正方體紙盒的棱長．26．任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數，（其中為滿足不等式的最大整數，為滿足不等式的最小整數），則稱無理數的“行知區間”為，如，所以的行知區間為．（1）無理數的“行知區間”是；（2）若，求的“行知區間”．27．高空拋物是一種不文明的行為，會帶來很大的社會危害，即使是一個蘋果從高處墜落也可能造成嚴重傷害．（1）研究表明，忽略空氣阻力時，物體自由下落的落地所需時間（單位：和高度（單位：滿足公式，其中．假設一個物體從的高處自由下落，如果忽略空氣阻力，那么這個物體落到地面大約需要多少秒時間？（結果保留根號）（2）物體從高空自由落下時由于運動而具有能量，實驗表明，當動能超過65焦的物體有可能對無防護的人體造成傷害．已知物體從高空自由落下，物體落地時的動能（單位：焦）可以用物體質量（單位：和初始位置的高度（單位：近似表示，公式為，其中．假設從高度為的空中落下一個質量為的蘋果，請問是否可能會對樓下的行人造成傷害（行人身高和空氣阻力忽略不計）？請通過計算說明理由．28．閱讀與思考八（3）班數學興趣小組的小李同學在解一元二次方程時遇到了這樣一個方程．對這個方程進行化簡得到：，繼續求解時發現解這個方程有些困難，于是思考解這個方程有沒有比較簡單的方法呢？數學興趣小組的同學為此展開討論，有人提出能否將方程進行變形，利用求平方根來求解，于是做了如下嘗試：第一步：令；第二步：原方程可變形為；第三步：完成本題的求解之后，數學小組又用此方法解出了幾個類似的方程．經過多次嘗試，小組內部進行了反思：該方法的第一步實際上是對方程等號左邊的兩個多項式取平均值，再通過換元得到一個相對簡單的一元二次方程，其本質是求平方根法的推廣，不過只有特殊形式的一元二次方程才能運用．（1）請完成材料中第二步以后的求解過程．（2）依照材料內容，小趙同學嘗試解方程：．他的解法如下：第一步：令；第二步：原方程變形為；接下去，小趙同學遇到了困難，他發現直接模仿該方法并沒有使方程變得簡單，在換元到第二步后也難以繼續往下進行．你能幫助他解決這個困難嗎？請優化小趙同學的解題過程，并運用材料中的方法完成該方程的求解．（3）材料中解法的本質是求平方根法．回顧課本中對求平方根法的歸納：形如的一元二次方程可以通過求平方根來求解．請你結合材料內容，觀察并歸納：當一元二次方程可化成形如的方程時，可用材料中的方法求解．

參考答案一、選擇題（本大題共有6題，每題3分，滿分18分）1．下列方程中，是關于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．解：、含有兩個未知數，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；、，整理得，是一元一次方程，故此選項不符合題意；、不是整式方程，故此選項不符合題意；、，是一元二次方程，故此選項符合題意；故選：．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．解：．，無意義，選項計算錯誤，不符合題意；．，選項計算錯誤，不符合題意；．，選項計算正確，符合題意；．，選項計算錯誤，不符合題意．故選：．3．近年來我國芯片技術突飛猛進，某品牌手機自主研發的最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.00000014米，將數據“0.00000014”用科學記數法表示為（）A． B． C． D．解：．故選：．4．如圖，數軸上表示的點可能是（）A．點 B．點 C．點 D．點解：，，數軸上表示的點可能是點，故選：．5．下列說法正確的是（）A．實數可分為有理數和無理數 B．的平方根是 C．數軸上的點與有理數一一對應 D．無理數與無理數的和一定是無理數解：實數可分為有理數和無理數，選項符合題意；的平方根是，選項不符合題意；數軸上的點與實數一一對應，選項不符合題意；無理數與無理數的和是無理數或0，選項不符合題意，故選：．6．有這樣一道題目：“已知，求的值．”甲、乙二人的說法如下，則下列判斷正確的是（）甲：的值是1；乙：甲考慮的不全面，還有另一個值．A．甲說的對，的值就是1 B．乙說的對，的另一個值是2 C．乙說的對，的另一個值是 D．兩人都不對，應有3個不同值解：，或，當時，；當時，；當時，；即有3個不同的值，故兩人說法都不對．故選：．二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．若代數式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是．解：代數式在實數范圍內有意義，，．故答案為：．8．寫出的一個有理化因式（答案不唯一）．解：的一個有理化因式是（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．9．比較大小：．解：，，．故答案為：．10．不等式的解集是．解：，，．故答案為：．11．化簡：．解：原式．故答案為：．12．如圖，點，在數軸上表示的數分別是4，，若，則在數軸上點表示的數為．解：點，在數軸上表示的數分別是4，，，，．，在數軸上點表示的數為，故答案為：．13．關于的一元二次方程有一個根為0，則的值為．解：把代入方程得，解得，，，的值為．故答案為：．14．利用方程可以將無限循環小數化成分數，例如：將化成分數，可以先設，由可知，，所以，解方程得，于是得，仿此方法，用分數表示為．解：設①，等式兩邊乘100得：②，②①，得，解得：，即，故答案為：．15．如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形，其面積分別為6和24，則圖中陰影部分面積為6．解：設兩個正方形的邊長是、，則，，．陰影部分的面積是．故答案為：6．16．若，化簡：．解：，、，原式．17．若、為實數，且，則3．解：設，則方程為：，，解方程得：（不符合題意，舍去），，，故答案為：3．18．對于實數，，定義運算“”：．例如，因為，所以．若，是一元二次方程的兩個根，則204或．解：由得，，則或，所以，或，．當，時，．當，時，，綜上所述，的值為204或．故答案為：204或．三、簡答題（本大題共4題，每題5分，共20分）19．計算：．解：．20．計算：．解：．21．解方程：．解：，，，則或，所以，．22．用配方法解方程．解：，，，，．四、解答題（本題共6題，第23至27題每題6分，第28題8分，滿分38分）23．已知，求的值．解：，，原式．24．已知關于的一元二次方程．（1）如果方程的根的判別式的值為3，求的值．（2）如果方程有實數根，求的取值范圍．解：（1）△，，；（2）由題意得：且△，且，且，的取值范圍是：且．25．已知甲正方體紙盒的底面積為，乙正方體紙盒的體積比甲正方體紙盒的體積大，丙正方體紙盒的體積是乙正方體紙盒體積的．（1）求乙正方體紙盒的體積．（2）求丙正方體紙盒的棱長．解：（1）根據題意可知，甲正方體紙盒的底面積為，甲正方體紙盒的邊長為，甲正方體紙盒的體積為：，乙正方體紙盒的體積比甲正方體紙盒的體積大，乙正方體紙盒的體積為．答：乙正方體紙盒的體積為；（2）丙正方體紙盒的體積是乙正方體紙盒體積的，丙正方體的體積為：，丙正方體紙盒的棱長為．26．任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數，（其中為滿足不等式的最大整數，為滿足不等式的最小整數），則稱無理數的“行知區間”為，如，所以的行知區間為．（1）無理數的“行知區間”是；（2）若，求的“行知區間”．解：（1），無理數的“行知區間”是，故答案為：；（2），都有意義，，，，當時，，，，的“行知區間”為，即的“行知區間”為．27．高空拋物是一種不文明的行為，會帶來很大的社會危害，即使是一個蘋果從高處墜落也可能造成嚴重傷害．（1）研究表明，忽略空氣阻力時，物體自由下落的落地所需時間（單位：和高度（單位：滿足公式，其中．假設一個物體從的高處自由下落，如果忽略空氣阻力，那么這個物體落到地面大約需要多少秒時間？（結果保留根號）（2）物體從高空自由落下時由于運動而具有能量，實驗表明，當動能超過65焦的物體有可能對無防護的人體造成傷害．已知物體從高空自由落下，物體落地時的動能（單位：焦）可以用物體質量（單位：和初始位置的高度（單位：近似表示，公式為，其中．假設從高度為的空中落下一個質量為的蘋果，請問是否可能會對樓下的行人造成傷害（行人身高和空氣阻力忽略不計）？請通過計算說明理由．解：（1）由題意得，當時，，答：從高空拋物到落地的時間為；（2）可能會對樓下的行人造成傷害．理由如下：由題意得，，，可能會對樓下的行人造成傷害．28．閱讀與思考八（3）班數學興趣小組的小李同學在解一元二次方程時遇到了這樣一個方程．對這個方程進行化簡得到：，繼續求解時發現解這個方程有些困難，于是思考解這個方程有沒有比較簡單的方法呢？數學興趣小組的同學為此展開討論，有人提出能否將方程進行變形，利用求平方根來求解，于是做了如下嘗試：第一步：令；第二步：原方程可變形為；第三步：完成本題的求解之后，數學小組又用此方法解出了幾個類似的方程．經過多次嘗試，小組內部進行了反思：該方法的第一步實際上是對方程等號左邊的兩個多項式取平均值，再通過換元得到一個相對簡單的一元二次方程，其本質是求平方根法的推廣，不過只有特殊形式的一元二次方程才能運用．（1）請完成材料中第二步以后的求解過程．（2）依照材料內容，小趙同學嘗試解方程：．他的解法如下：第一步：令；第二步：原方程變形為；接下去，小趙同學遇到了困難，他發現直接模仿該方法并沒有使方程變