線性基礎代數22

4.6

用配方法及初等變換法化二次型為標準形第4章相似矩陣與二次型1.引言用正交變換化二次型為標準形，其特點是保持幾何形狀不變．問題：有沒有其它方法，也可以把二次型化為標準形？回答是肯定的．下面介紹一種行之有效的方法——Lagrange配方法.配方法是將二次多項式配成完全平方和的方法，類似于初等數學中的配完全平方.配方法的基本思想是，配出平方項，消除交叉項.2.配方法化二次型為標準形的步驟(1)若二次型含有某個的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經過可逆線性變換，就得到標準形;(2)若二次型中不含有平方項，但是有某個，則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按(1)的方法配方.3.例1

例1化二次型為標準形，并寫出所用的變換矩陣.

解：先進行配方3.例1(續)令則線性變換將二次型化為標準形3.例1(續)所用的變換矩陣為4.例2

例2化二次型為標準形，并寫出所用的變換矩陣.

解：二次型中無平方項，只有交叉乘積項，所以令代入，可得再進行配方，有4.例2(續)令得到4.例2(續)所用變換矩陣為5.用初等變換法化二次型為標準形

用初等變換法化二次型為標準形，其實質是正交變換法.

這種方法留作自學內容.6.二次型的規范形化一個二次型為標準形，若所用的可逆線性變換不同，則得到的標準形一般也不同.因此，二次型的標準形不唯一.一個二次型的所有標準形中，有一個特殊的標準形，稱為規范形：

定義4.16若一個秩為的二次型的標準形的所有平方項系數只在三個數中取值，即則稱這種形式的標準形為二次型的規范形.6.二次型的規范形(續)

推論

一個秩為的n元實二次型，總有可逆變換x=Cz，使f(Cz)為規范形.

證明：由上一節的討論可知，總有正交變換x=Py，使得6.二次型的規范形(續)由于二次型f的秩為r，則特征值中只有r個不為0，不妨設令6.二次型的規范形(續)顯然K可逆.變換y=Kz將f(Py)化為而6.二次型的規范形(續)記C=PK，則x=Cz將f

化為7.慣性定理

一個二次型化為標準形時，若所用的可逆線性變換不同，則得到的標準形也可能不同．

例如：二次型經可逆線性變換化為也可以經可逆線性變換7.慣性定理(續)化為

這說明：一個二次型的標準形是不唯一的！

然而，一個二次型的標準形所含項數是確定的，它就是二次型的秩．一個二次型的標準形中所含項的正負系數的個數也是確定的.7.慣性定理(續)定理4.14(慣性定理)設二次型的秩為r，且有兩個可逆線性變換x=Cy和x=Pz分別使得則中正數個數與中正數個數相等.注：中負數個數與中負數個數相等.

證明略去.8.正(負)慣性指數定義4.17

二次型的標準形中，正系數的個數稱為二次型的正慣性指數，負系數的個數稱為負慣性指數.注：若二次型f

的秩為r，正慣性指數為p，則f一定有規范形：9.本節小結將一個二次型化為標準形

正交變換法的好處是有固定的步驟且保持幾何形狀不變，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數較少，使用Lagrange配方法反而比較簡單．如果要求找出一個正交矩陣(正交變換)，應使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么兩種方法均可．Lagr