線性基礎(chǔ)代數(shù)13

1.4

逆矩陣第1章矩陣與線性方程組1.概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)時(shí)，有其中為a的倒數(shù)，或稱為a的逆．在矩陣的運(yùn)算中，單位陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，那么，對于矩陣A，是否存在一個(gè)矩陣(記作)，使得2.逆矩陣的定義顯然，n階單位陣E是可逆的，n階零矩陣O是不可逆的.定義1.13設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

則稱矩陣A是可逆的，方陣B稱為A的逆矩陣．因此，根據(jù)定義，A是可逆的，B是A的逆矩陣．例如：2.逆矩陣的定義(續(xù))又如：，對任何矩陣，都有定義1.13設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

則稱矩陣A是可逆的，方陣B稱為A的逆矩陣．因此，根據(jù)定義，

是不可逆的．2.逆矩陣的定義(續(xù))注：

(1)“可逆”的概念只對方陣而言，只有方陣才有可逆或不可逆的說法.定義1.13設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

則稱矩陣A是可逆的，方陣B稱為A的逆矩陣．

(2)有的方陣是可逆的，有的方陣是不可逆的.

(3)若方陣A有逆矩陣B，則B也是可逆的，B的逆矩陣就是A.3.逆矩陣的性質(zhì)于是，所以，A的逆矩陣是唯一的，即B=C．

證明：設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則有注：

由于A的逆矩陣是唯一的，所以像數(shù)a存在唯一倒數(shù)，A的逆矩陣也用表示，即有

(1)逆矩陣的唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))

證明：由條件可得

(2)若A是可逆矩陣，數(shù)，則均可逆，且有3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))

證明：由條件可得

(3)若A,B是同階可逆矩陣，則AB可逆，且有.因此，AB可逆，且有3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))

(3)若A,B是同階可逆矩陣，則AB可逆，且有.注：當(dāng)A,B可逆時(shí)，A+B不一定可逆，且一般情況下，.例如：

顯然A，B都可逆，但不可逆.

顯然A，C可逆，可逆，但是3.逆矩陣的性質(zhì)(續(xù))進(jìn)一步，若A可逆，k為正整數(shù)，則可逆，且有

(4)若是同階可逆矩陣，則可逆，且有4.方陣冪的擴(kuò)充當(dāng)A可逆時(shí)，定義其中，k為正整數(shù)．于是，可逆矩陣的冪運(yùn)算可以擴(kuò)充到全體整數(shù)，即當(dāng)A可逆，為整數(shù)時(shí)，有5.例1例1判斷矩陣是否可逆.若可逆，求出其逆矩陣.

解：若A可逆，則存在，使得，即于是得到5.例1(續(xù))易得唯一解：因此，A可逆，且有注：利用定義判斷一個(gè)矩陣是否可逆或者求其逆矩陣，計(jì)算過程比較復(fù)雜！應(yīng)尋找更方便的判斷矩陣可逆和求逆矩陣的方法.6.初等矩陣的逆矩陣我們先觀察5階初等矩陣的情形.更一般地，有6.初等矩陣的逆矩陣(續(xù))更一般地，有6.初等矩陣的逆矩陣(續(xù))更一般地，有6.初等矩陣的逆矩陣(續(xù))也就是說：初等矩陣都是可逆的，其逆矩陣都是同一類型的初等矩陣.將上述討論總結(jié)如下：7.矩陣可逆的等價(jià)條件定理1.3設(shè)A的是n階矩陣，則下列命題等價(jià)：(1)A是可逆矩陣；(2)A行等價(jià)于n階單位矩陣；(3)A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.證明：采取循環(huán)證明的方式進(jìn)行.

(1)(2)：

設(shè)A是n階可逆矩陣.由定理1.1可知，A可經(jīng)有限次初等行變換化為行最簡形矩陣R：再由定理1.2可知，存在有限個(gè)初等矩陣，使得7.矩陣可逆的等價(jià)條件(續(xù))

因此，n階行最簡形矩陣R沒有全為零的行，而沒有全為零的行的行最簡形矩陣即是單位矩陣，故R=E，即這說明：即A行等價(jià)于n階單位矩陣E.由可逆矩陣的性質(zhì)和初等矩陣的可逆性可知，R是可逆的.

(2)(3)：

設(shè)A行等價(jià)于n階單位矩陣.存在有限個(gè)初等矩陣，使得7.矩陣可逆的等價(jià)條件(續(xù))由于初等矩陣都是可逆的且其逆矩陣仍為初等矩陣，不妨設(shè)的逆矩陣分別為，于是有即這說明A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.

(3)(1)：

設(shè)A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，其中，均為初等矩陣，它們均可逆.由逆矩陣的性質(zhì)可知，A可逆.8.兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件由定理1.3可以推出得到以下關(guān)于兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件：推論一

設(shè)A與B均為m×n矩陣，那么(1)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使得PA=B；(2)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使得AQ=B；

(3)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B.

9.方陣可逆的充分必要條件推論二

方陣A可逆的充分必要條件是：存在有限個(gè)初等矩陣使得.由定理1.3容易得到以下關(guān)于方陣可逆的充分必要條件：推論三

方陣A可逆的充分必要條件是：.進(jìn)一步有：10.判斷方陣可逆并求逆矩陣的初等行變換方法當(dāng)n階矩陣A可逆時(shí)，存在有限個(gè)初等矩陣，使得，于是因此，上式說明：若對n×2n矩陣(A,E)施行初等行變換，當(dāng)A可化為E時(shí)，則A可逆.此時(shí)，原來的E就變成了.10.判斷方陣可逆并求逆矩陣的初等行變換方法(續(xù))判斷n階矩陣A可逆并求的方法：

(1)構(gòu)造矩陣；

(2)對矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行最簡形；

(3)若不能行等價(jià)于E，則矩陣A不可逆.若A行等價(jià)于E，則矩陣A可逆，且原來的E就變成了.11.例2例2判斷矩陣是否可逆.若可逆，求出其逆矩陣.

解：因?yàn)?1.例2(續(xù))所以，12.例3例3判斷矩陣是否可逆.若可逆，求出其逆矩陣.

解：因?yàn)樗裕仃嘇不可逆.13.矩陣方程含有未知矩陣的等式稱為矩陣方程.可利用逆矩陣求解的矩陣方程有三種基本形式：14.求解矩陣方程AX=B的初等行變換方法設(shè)有矩陣方程，其中可逆，則有如何求呢？由于這說明:初等行變換而可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積：，于是有15.例4

解：若A可逆，則.于是，

例4求解矩陣方程AX=B，其中15.例4(續(xù))因此，16.求解矩陣方程XA=B的初等行變換方法設(shè)有矩陣方程，其中可逆，該方程等價(jià)于方程這個(gè)方程的解為再按前述方法，用初等行變換計(jì)算出，從而得到X.17.例5

解：設(shè)

例5求解矩陣方程則原方程為XA=B，轉(zhuǎn)置后化為.而

17.例5(續(xù))17.例5(續(xù))因此，從而18.求解矩陣方程AXB=C的初等行變換方法設(shè)有矩陣方程，其中可逆，如何求解這個(gè)方程？令，用初等行變換求解.求得Y后，再來求解方程.即用初等行變換求解.求得后，再轉(zhuǎn)置得到X.19.例6

解：設(shè)XB=Y,則得到AY=C.先求Y：例6設(shè)AXB=C，，求矩陣X.19.例6(續(xù))得到，19.例6(續(xù))再求解方程，即求解：19.例6(續(xù))得到從而20.例7

解：若P可逆，則，于是例7設(shè)，求.而只需求出，就可以計(jì)算.20.例7(續(xù))

因?yàn)樗砸虼耍?1.本節(jié)小結(jié)

(1)逆矩陣的概念及性質(zhì).

(2)初等矩陣的逆矩陣.

(3)矩陣可逆得等價(jià)條件