線性基礎(chǔ)代數(shù)10

3.3

向量組的秩第3章向量空間與線性方程組解的結(jié)構(gòu)引例

討論R4

中的向量組：

1

=(1,2,-1,2)T

,

2

=(2,4,1,1)T,

3

=(2,4,-2,4)T

,

4

=(-1,-2,-2,1)T中線性無關(guān)的部分組最多可以包含多少個(gè)向量.將這個(gè)例子推廣到一般的情況，可以得到以下概念：解：向量組

1

,

2

,

3

,

4中線性無關(guān)的部分組最多包含兩個(gè)向量.

1

,

2

就是這樣的一個(gè)線性無關(guān)的部分組.

1

,

2

可以作為該向量組的“代表”，而其余向量均可由

1

,

2

線性表出.1.引例2.極大線性無關(guān)向量組和向量組的秩定義3.8設(shè)有向量組A，如果：(1)向量組A有r個(gè)向量線性無關(guān)；

(2)向量組A中任意r+1個(gè)向量（如果存在r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)，那么，稱向量組是向量組A的一個(gè)極大線性無關(guān)向量組，簡稱為極大無關(guān)組.

定義3.9極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩.注：只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.2.極大線性無關(guān)向量組和向量組的秩(續(xù))按照定義，向量組有一個(gè)極大無關(guān)組，這個(gè)向量組的秩為1.

進(jìn)一步，向量組A的極大無關(guān)組有無窮多個(gè).

2.極大線性無關(guān)向量組和向量組的秩(續(xù))同樣，按照定義，向量組有一個(gè)極大無關(guān)組，這個(gè)向量組的秩為2.

進(jìn)一步，向量組B的極大無關(guān)組也有無窮多個(gè).

3.例1

例1求以下向量組的一個(gè)極大無關(guān)組：

解：因?yàn)椋跃€性相關(guān)．而故向量組、向量組、向量組都線性無關(guān)．3.例1(續(xù))因此，向量組、向量組、向量組都是極大無關(guān)組，原向量組的秩為2．注：這個(gè)例子再次說明：一個(gè)向量組的極大無關(guān)組可能不唯一，但它的秩是唯一的．

例2全體n維向量構(gòu)成的向量組記作，求的一個(gè)極大無關(guān)組和的秩.4.例2

解：中n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的.由性質(zhì)3.4知，中任意n+1個(gè)向量都線性相關(guān).因此，單位坐標(biāo)向量組是的一個(gè)極大無關(guān)組，且的秩等于n.類似地，可以證明：中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量組成的向量組都是的極大無關(guān)組.4.例2(續(xù))

例如：5.極大線性無關(guān)向量組兩點(diǎn)說明

(1)向量組的極大無關(guān)組可能不唯一，向量組的秩是唯一的.

(2)若向量組A線性無關(guān)，則A就是它本身的一個(gè)極大無關(guān)組，其秩等于它所含向量的個(gè)數(shù).6.極大線性無關(guān)向量組的等價(jià)定義定理

向量組是向量組A的極大無關(guān)組的充分必要條件是：

(1)向量組線性無關(guān)；

(2)向量組A中任一向量都能由線性表示.

證明：必要性．假設(shè)向量組是向量組A的一個(gè)極大無關(guān)組，由定義，線性無關(guān)．對(duì)于A中任意向量，根據(jù)極大無關(guān)組的定義可知，線性相關(guān)．因此，向量可由向量組線性表示（且表示式唯一）．6.極大線性無關(guān)向量組的等價(jià)定義(續(xù))充分性．

只需證明A中任意r+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的．假設(shè)線性無關(guān)，而它們都可以由線性無關(guān)向量組線性表示，由推論3.2可知，r+1≤r，矛盾.因此，線性相關(guān).性質(zhì)(2)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)．性質(zhì)(3)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同．7.向量組與其極大線性無關(guān)向量組的等價(jià)性

證明：顯然，A的極大無關(guān)組可由A線性表示.性質(zhì)(1)向量組A的極大無關(guān)組與向量組A等價(jià)．另一方面，對(duì)于A中的任一向量a，由性質(zhì)3.5可知：a可由線性表示.這說明，向量組A可以由它的極大無關(guān)組表示，因此，它們是等價(jià)的.

例如，向量組是的一個(gè)極大無關(guān)組，所以，與

等價(jià)．設(shè)A是一個(gè)m

n

矩陣記

1

=(a11,a12,…,a1n),

2

=(a21,a22,…,a2n),…,

m

=(am1,am2,…,amn),為A

的行向量組;

1

2···

m

1

2

…

n

記

1

=(a11,a21,…,am1)T,

2

=(a12,a22,…,am2)

T

,…,

n

=(a1n,a2n,…,amn)T

,為A

的列向量組;定義3.10矩陣A=(aij)m

n

的行向量組

1,

2,…,

m

的秩稱為矩陣A

的行秩；A

的列向量組

1

,

2

,…,

n

的秩稱為矩陣A

的列秩.8.矩陣的行秩與列秩

定理3.4任意一個(gè)矩陣A的行秩與列秩相等，都等于矩陣A的秩．9.例3

例3求下列向量組的秩：

解：將向量組按列寫成矩陣A，用初等行變換求A的秩：因?yàn)椋韵蛄拷M的秩為3．10.矩陣在初等行變換下列向量組的線性組合關(guān)系不變性定理

若矩陣A經(jīng)過初等行變換化為矩陣B，則A的列向量組與B的列向量組有相同的線性組合關(guān)系．

證明：對(duì)矩陣施行初等行變換化為矩陣，相當(dāng)于用m階可逆矩陣P左乘A，即．對(duì)矩陣A和矩陣B按列分塊可得：則有即10.矩陣在初等行變換下列向量組的線性組合關(guān)系不變性(續(xù))則有

若A的某些列有組合關(guān)系：即B的列向量與A的對(duì)應(yīng)列向量有相同的組合關(guān)系.反之，亦然．11.例4

例4設(shè)矩陣，求它的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并用此極大無關(guān)組線性表示其余列向量.

解：首先求A的列向量組的秩，也就是矩陣A的秩，為此，將A化成行階梯形：11.例4(續(xù))可知，于是A的列向量組的秩為3，列向量組的最大無關(guān)組含有3個(gè)向量.行階梯形中，三個(gè)非零行的非零首元分別位于第1,2,4列，所以，是列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.這是因?yàn)榭芍示€性無關(guān)，是一個(gè)極大無關(guān)組.11.例4(續(xù))要將用線性表示，再將A化為行最簡型：因?yàn)樗郧笙蛄拷M

1,

2,…,

s

的極大無關(guān)組并用極大無關(guān)組表示其余向量的方法是：STEP1:把向量組中的每一個(gè)向量作為矩陣的一列，構(gòu)造矩陣A;STEP2:對(duì)矩陣A

進(jìn)行初等行變換，并化為行最簡形，記為B;STEP3:在B

中，每一個(gè)階梯上的第一個(gè)非零元(一定為1)所在的列對(duì)應(yīng)的向量即為極大無關(guān)組中的向量，其它不在極大無關(guān)組中的列中位于階梯線上方的元素，即為用極大無關(guān)組表示該列所對(duì)應(yīng)的向量的表示系數(shù).12.求向量組的極大無關(guān)組的方法例5求下列各向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并用極大無關(guān)組表示其余向量.解:對(duì)A=(

1,

2,

3,

4

)進(jìn)行初等行變換：于是向量組

1,

2,

3,

4

的一個(gè)最大無關(guān)組為

1,

2,且

3=-3

1+2

2

,

4

=4

1-3

2.13.例514.本節(jié)小結(jié)

(1)極大線性無關(guān)向量組的概念：線性無關(guān)性、極大性.(3)矩陣的秩與其向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩.(2)關(guān)于向量組及其秩的一些結(jié)論.(4)求向量組的秩以及極大無關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換，再求秩與極大無關(guān)組．

證明：設(shè)向量組A的最大無關(guān)組為，向量組B的極大無關(guān)組為，另設(shè)向量組C為15.思考題設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，且它們的秩相等，證明向量組A