線(xiàn)性基礎(chǔ)代數(shù)3

3.5

線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)第3章向量空間與線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題：什么是線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)？答：所謂線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線(xiàn)性方程組有無(wú)限多個(gè)解時(shí)，解與解之間的相互關(guān)系．注：

(1)當(dāng)方程組存在唯一解時(shí)，無(wú)須討論解的結(jié)構(gòu);

(2)下面的討論都是假設(shè)線(xiàn)性方程組有解．1.引言2.齊次線(xiàn)性方程組的一般表示

m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組的表示形式：3.齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)3.8若為的解，則也是的解.

證明：顯然有

證明：顯然有性質(zhì)3.9若為的解，k為實(shí)數(shù)，則也是的解.4.齊次線(xiàn)性方程組的解空間記因此，S是一個(gè)向量空間，稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組的解空間.由Ax=0的解的性質(zhì)可知，S非空，并且，

(1)若，則；

(2)若，則.5.齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系定義3.18

如果是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的解空間S的一個(gè)基，則稱(chēng)是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

若是齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，則

(1)是的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量．

(2)的任一解可由線(xiàn)性表示，即

(2)當(dāng)時(shí),方程組的基礎(chǔ)解系必含n-r個(gè)解向量,此時(shí)方程組的任一解

可表示為其中為任意實(shí)數(shù)，上式稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組的通解.

(1)當(dāng)時(shí)，方程組只有零解，解空間只含一個(gè)零向量，方程組沒(méi)有基礎(chǔ)解系．6.齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)論定理3.5如果n元齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩R(A)=r<n，那么它必有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含線(xiàn)性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)等于n-r，即解空間S的維數(shù)為n-r．

(3)齊次線(xiàn)性方程組的解空間S的一個(gè)基就是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系不唯一，從而通解的表達(dá)式也不唯一．注：例1

求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系．方法1：先求出通解，再?gòu)耐ń馇蟮没A(chǔ)解系．即寫(xiě)出同解方程組7.例1令x3=c1，x4=c2，得通解表達(dá)式因?yàn)榉匠探M的任意一個(gè)解都可以表示為x1,x2

的線(xiàn)性組合．x1,x2的四個(gè)分量不成比例，所x1,x2線(xiàn)性無(wú)關(guān)．所以x1,x2是原方程組的基礎(chǔ)解系．7.例1(續(xù))方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫(xiě)出通解．即令合起來(lái)便得到基礎(chǔ)解系，得還能找出其它基礎(chǔ)解系嗎？同解方程組為7.例1(續(xù))問(wèn)題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因?yàn)槭欠癜严禂?shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其實(shí)并不影響方程組的求解．當(dāng)兩個(gè)矩陣行等價(jià)時(shí)，以這兩個(gè)矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組同解．7.例1(續(xù))令x1=c1，x2=c2，得通解表達(dá)式即從而可得另一個(gè)基礎(chǔ)解系：h1和h2

．同解方程組為7.例1(續(xù))8.例2

例2求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.

解：將方程組的系數(shù)矩陣化出行最簡(jiǎn)型：寫(xiě)出同解方程組8.例2(續(xù))令代入同解方程組，分別得到，得基礎(chǔ)解系:由此得到通解在同解方程組中，若令代入，則將得到，于是得基礎(chǔ)解系:和通解8.例2(續(xù))例2的另一種解法：同前面的解法，得到增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形：寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的同解方程組：8.例2(續(xù))將自由變量補(bǔ)全，寫(xiě)成如下形式：8.例2(續(xù))這就是所求的方程組的通解．再將右邊的自由變量提出并用任意常數(shù)表示，可得：8.例2(續(xù))

例3

設(shè)，證明.9.例3

證明：將矩陣B和O按列分塊可得于是有這說(shuō)明，都是齊次方程組Ax=0的解.記Ax=0的解集為S，則有即10.非齊次線(xiàn)性方程組的一般表示

m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的非齊次線(xiàn)性方程組可以表示為或者向量形式：其中，至少有一個(gè)不為零.以上方程組也可以寫(xiě)成矩陣形式11.非齊次線(xiàn)性方程組有解的條件非齊次線(xiàn)性方程組有解向量b能由A的列向量組線(xiàn)性表示向量組與向量組等價(jià)12.非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)3.10若是非齊次線(xiàn)性方程組的解，則是其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的解.

證明：顯然有這說(shuō)明，是其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的解.證明：顯然有性質(zhì)3.11若是非齊次線(xiàn)性方程組的解，是其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的解，則仍是的解.這說(shuō)明，是的解.

定理5.4設(shè)Ax=b是n元非齊次線(xiàn)性方程組，且R(A)=R(A,b)=r<n，則該方程組的任意一個(gè)解x可以表示為其中，是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組Ax=0(一般稱(chēng)之為其導(dǎo)出組)的基礎(chǔ)解系，是任意常數(shù)，是Ax=b的某一個(gè)解．13.非齊次線(xiàn)性方程組的通解

證明：令則由非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)可知，是Ax=b的解．13.非齊次線(xiàn)性方程組的通解(續(xù))又設(shè)是Ax=b的任一解，則由非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)可知，是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的解．即

于是，存在一組數(shù)使得

(3)非齊次線(xiàn)性方程組的通解形式：

對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的通解+一個(gè)特解．(4)對(duì)于n元非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b，它有唯一解的充分必要條件是：

r

=R(A)=R(A,b)=n．(5)對(duì)于n元非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b，它有無(wú)窮解的充分必要條件是：

r

=R(A)=R(A,b)<n．

(2)稱(chēng)為Ax=b的特解．

(1)稱(chēng)為Ax=b的通解.注：13.非齊次線(xiàn)性方程組的通解(續(xù))14.非齊次線(xiàn)性方程組的解法

(1)對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，判斷它的解的情況．

(2)若非齊次線(xiàn)性方程組有解(設(shè)R(A)=R(A,b)=r)，則進(jìn)一步進(jìn)行初等行變換，將行階梯形矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣．

(3)寫(xiě)出Ax=b的同解方程組，并求出一個(gè)特解.

(4)求出其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

(5)寫(xiě)出非齊次線(xiàn)性方程組的通解：其中，是任意常數(shù)．15.例4

例4求解線(xiàn)性方程組

解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可得：可得，故方程組有解.繼續(xù)進(jìn)行初等行變換，將行階梯形化為行最簡(jiǎn)形：15.例4(續(xù))寫(xiě)出同解方程組：取，可得，得方程組的一個(gè)特解：于是，所求線(xiàn)性方程組的通解為取，對(duì)應(yīng)得到，即得對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：同解方程組對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組為15.例4(續(xù))15.例4(續(xù))16.例4的另一種解法

例4求解線(xiàn)性方程組

解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形可（與前一解法相同）：寫(xiě)出同解方程組16.例4的另一種解法(續(xù))將上式改寫(xiě)為令，得到方程組的通解17.例5

例5求解線(xiàn)性方程組

解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可得：17.例5(續(xù))可得，故方程組有解，且有于是再將右邊的自由變量提出并用任意常數(shù)表示，可得：為原方程組的通解.17.例5(續(xù))18.本節(jié)小結(jié)(2)齊次線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解系與通解的求法.(1)齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì).(3)非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì).(4)非齊次線(xiàn)性方程組特解與通解的求法.19.思考題1

求解線(xiàn)性方程組解：將方程組的系數(shù)矩陣化出行最簡(jiǎn)型：19.思考題1(續(xù))方程組的基礎(chǔ)解系中有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量.同解方程組為于是.將其寫(xiě)成如下形式：令，得到通解19.思考題1(續(xù))此時(shí)基礎(chǔ)解系為：19.思考題1(續(xù))設(shè)B是一個(gè)三階非零矩陣，它的每一列都是如下線(xiàn)性方程組的解，求的值和.

解：因?yàn)锽非零，所以B中至少有一個(gè)非零列向量，因此齊次線(xiàn)性方程組有非零解，其系數(shù)矩陣的秩小于3，從而由此可得：.20.思考題2當(dāng)時(shí)，，齊次線(xiàn)性方程組的解空間的維數(shù)為，基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量.因此，B的三個(gè)列向量線(xiàn)性相關(guān)，故.

20.思考題2(續(xù))21.思考題3設(shè)A是m×3矩陣，且R(A)=1，若非齊次線(xiàn)性方程組的三個(gè)解向量

滿(mǎn)足求的通解.解：由A是m×3矩陣和R(A)=1可知，Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有3-1=2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量.

令

21.思考題3(續(xù))則有

得到

為的解，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以它們可作為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系.因此，的通解為

21.思考題3(續(xù))當(dāng)為何值時(shí)，非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮解情形求其通解.解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可得：22.思考題4

(1)當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解．因此，，方程組無(wú)解.

(2)當(dāng)且時(shí)，22.思考題4(續(xù))

(3)當(dāng)且時(shí)，因此，，方程組無(wú)解.

(4)當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，