北京市豐臺區2025-2026學年高二下學期期末數學試題（含答案）

2025～2026學年度第二學期期末練習

高二數學

2026.07

1.答題前，考生務必先將答題卡上的學校、班級、姓名、教育ID號用累色字跡

簽字筆填寫潸楚、并認真核對條形碼上的教育ID號、姓名，在答題卡的“條

考形碼粘貼區”貼好條形碼。

生2.本次練習所有答題均在答題卡上完成。選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方

須式將各小題對應選項涂黑，如需改動，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項。

知非選擇題必須使用標準黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚。

3.請嚴格按照答題卡上題號在相應答題區內作答，超出答題區域書寫的答案無

效、在練習卷、草稿紙上答題無效。

4.本練習卷滿分共150分，作答時長120分鐘。

第I卷(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項。

(1)已知集合A=|x10<x<2|,B=|xl-I≤x≤1|,則A∩B=

(A)|xl-I≤x<2|(B)|xII≤x<2|

(C)|x10<x≤1|(D)|xl-1≤x<0|

(2)若復數x滿足(1+i).z=2,則Izl=

V(B)√2(C)I(D)2

(3)下列散點圖中所對應的成對樣本數據呈現正相關關系的是

(A)B)(C)(D)

(4)已知命題p:Vx>1,r-x>0,則┐p是

(A)Vx>1,x2-x≤0(B)3x>1,x2-x>0

(C)3x>1,x2-x≤0(D)Vx≤1,x2-x≤0

(5)下列求導運算正確的是

(1)(B)

(C)(cosx)'=Bnx(D)(e*)'=-e-

(6)在的展開式中，若x2的系數為-14,則a的值為

(A)2(B)1(C)-1(D)-2

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(7)已知隨機變量X-N(μ,o)(a>0),若P(1X-μl<1)=0.6,則P(X≥μ+1)=

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

(8)已知xy>0,則“y≠2x”是‘的

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

(9)某中學舉辦主題為“十八而志承大任，芳華待灼赴海贏”的高三成人禮活動，現有語

言類節目2個、歌唱類節目2個、舞蹈類節目1個，共5個節目登臺演出.若要求同一

類型的節目不能連續表演，則不問的節目表演順序的種數為

(A)24(B)32(C)44(D)48

(10)已知集合A=|x∈N'II≤x≤201,且集合B?.B?.B,B.滿足如下兩個條件：

①每個集合均恰有5個元素；

②B?UB?UB,UB?=4.

稱集合B,中元素的最大值與最小值之和為B.的特征數X(:=1,2,3,4),

則X?+X?+X,?+X的值可能為

(A)64(B)65(C)102(D)103

第Ⅱ卷(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(2,1),則z的共軛復數i=

(12)從集合|1,2,3,4|中依次不放回地隨機抽取兩個不同的數，分別記為a和b.已知a是偶

數，則a+b>5的概率為_

(13)已知(1-3x)?=a?-3a?x+9azx2-27a,x3+81az3,則展開式中各二項式系數的和

為;a?+a+a+a?=.

(14)已知集合A=|x∈Zlax2-(a2+a)x+a2<0.a∈RI,若集合A中恰有兩個元素，則

a的一個取值為

(15)曲線y=f(x)在不同兩點A(x?,y?),B(x?,y?)處的切線斜率分別是k?,kg,規定

(IABI為A與B之間的距離)叫做曲線y=f(x)在點A與點B之

間的“彎曲度”.給出下列四個結論：

①設函數(x)=kx+b,則其圖象上任意兩點之間的“彎曲度”都為0;

②設函數,則其圖象上存在兩點之間的“彎曲度”為0;

③已知A(x,f(x))與B(x+π,f(x+π))是函數(x)=sinx圖象上兩點，則當x∈

)時，φ(A,B)不存在最大值；

④已知A(x,(x))與B(x+1,f(x+1))是函數f(x)=e'圖象上兩點，則φ(A,B)

隨著x的增大而增大，且對于Vm>0,3x∈R,使得lφ(A,B)-11<m.

其中所有正確結論的序號為

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三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題12分)

2026年“五一”假期、北京文旅市場持續火熱，相關數據顯示，腰和園、天壇公園、故

宮博物院、景山公園、奧林匹克公園成為北京熱度前五的景區.現有4名游客，計劃在

五月五日當天，每人從這5個景區中選擇1個景區參觀

(I)若這4名游客選擇參觀的景區互不相同，那么共有多少種不同的選擇方法?

(Ⅱ)若這4名游客中，恰有2名游客選擇了同一個景區，那么共有多少種不同的選擇

方法?

(17)(本小題13分)

某班級數學興趣小組共有6名同學，其中2名男生，4名女生.

(I)該小組甲、乙兩名同學參加一項闖關游戲.已知甲同學闖關成功的慨率為,乙同

學闖關成功的概率為,且兩人闖關的結果互不影響.求甲、乙兩人中恰有一人闖

關成功的概率；

(Ⅱ)若從這6名同學中隨機選出3名同學組成一個競賽小組，設選出的3名同學中女生

的人數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.

高二數學第3頁(共6頁)

(18)(本小題IS分)

巳知函數(x)=x3-ux3+a(a∈R).

(1)若a=1,求(x)的極值；

(Ⅱ)若(x)在區向(0,+c∞o)上的最小值小于零，求a的取值范圍；

(Ⅲ)若a>0,設F(x)=If(x)I,記F(x)在區間[-1,1]上的最大值為R(a).當g(a)最

小時，直接寫出一個滿足條件的a的值.

(19)(本小題15分)

某科技公司為優化旗下的人工智能助手“小智”的性能，針對“語音交互”和“圖像識

別”兩項核心功能設計了相應的優化方案：方案A與方案B.為了解“小智”的全體用戶

(18歲及以上)對新方案的支持惰況，對“小智”的青年用戶(18-35歲)和中老年用戶

(36歲及以上)進行簡單隨機抽樣，獲得數據如下表：

青年用戶中老年用戶

支持不支持支持不支持

方案A400人200人200人200人

方案B350人250人150人250人

假設所有用戶對方案是否支持相互獨立.用頻率估計概率.

(I)分別估計“小智”的青年用戶和中老年用戶支持方案A的概率；

(Ⅱ)從“小智”的全體青年用戶中隨機抽取2人，全體中老年用戶中隨機抽取1人估計

這3人中恰有2人支持方案A的概率；

(Ⅲ)用51=1(k=1,2,3)分別表示“小智”的青年用戶、中老年用戶以及全體用戶支持方

案B,用E=0(k=1,2,3)分別表示“小智”的青年用戶、中老年用戶以及全體用戶

不支持方案B.寫出方差D5?,D5?,D?,的大小關系.(結論不要求證明)

吉一敞興啪4頁1共6頁1

(20)(本小題I5分)

已知函數的定義域為(0,+∞),其導函數

f(x),且(1)

a+Ina.曲線γ=f(x)在點A(1,f(1))處的切線為直線L.

(1)若直線1與x軸平行，求a的值；

(Ⅱ)求證：除切點A外，曲線γ=f(x)在直線l的上方；

(Ⅲ)若a>1,直線1與x軸，y軸分別交于B,C兩點，0為坐標原點.是否存在實數o·

使得△BOC的面積為2?若存在，求出滿足條件的a的個數；若不存在，說明理由.

:

:

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(21)(本小題I5分)

設n∈N",考慮正整數數列a?,a?,…,a.,將其以n為周期構造成無窮數列，即對所

有正整數i,均有a..=a,當該無窮數列滿足如下兩個條件時，我們稱其為“C數列”:

①a?≤a?≤…≤a,≤a?+n;

②對每個i=1,2,…,n,均有a。,≤n+i-1.

(1)當n=4時，判斷下列兩個數列Q..Q?是否為“C數列”?

Q?:2,

Q?:2,

(Ⅱ)若正…,a。,…為“C數列”,則

(i)求證：對每個i=1,2.…,n,均有a?≤n+i-1;

(ii)求證：a?+a?+…+a,≤n2.

(考生務必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效)

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2025~2026學年度第二學期期末練習

高二數學參考答案

第I卷(選擇題共40分)

題號12345678910

答案CBACDABCDC

第IⅡ卷(非選擇題共110分)

二.填空題(每小題5分，共25分)

(11)2-i;(12)(13)16;15

(14)4;(15)①②④

(注：15題給出的序號中，有多個序號符合題目要求.全部選對得5分，只選對2個得3

分，只選對1個得2分，不選或有錯選得0分.)

三.解答題(共85分)

(16)(本小題12分)

解：(I)不同的選擇方法共有A'=5×4×3×2=120種.……………6分

(Ⅱ)因為恰有2名游客選擇了同一個景區參觀，

所以不同的選擇方法共有C2A3=6×5×4×3=360種.………12分

(17)(本小題13分)

解：(I)設事件A=“甲同學闖關成功”,事件B=“乙同學闖關成功”,

事件C=“甲、乙兩人中恰有一人闖關成功”,

則

.………………6分

(Ⅱ)X的所有可能取值為：1,2,3,且

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隨機變量X的分布列為：

X123

P

數學期望………………13分

(18)(本小題15分)

解：(I)當a=1時，f(x)=x3-x2+1,f'(x)=3x2-2x.

令f(x)=0,得x?=0,

當x變化時，f(x)與f(x)變化如下表：

2

x(-∞0,0)03

f(x)+0一0+

f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

所以f(x)的極小值為學-2,極大值為f(0)=1.………………6分

(Ⅱ)f(x)=3x2-2ax.

①當a=0時，f'(x)≥0.

所以f(x)在區間[0,+00]上單調遞增，f(x).=f(0)=0.

所以a=0不滿足條件.

②當a<0時，因為x∈(0,+c0),所以f(x)≥0.

所以f(x)在區間[0,+00]上單調遞增，f(x):n=f(0)=a<0.

所以a<0滿足條件.

③當a>0時，令f(x)=0,得x?=0,

當x變化時，f'(x)與f(x)變化如下表：

第2頁共6頁

x

f(x)一0+

f(x)單調遞減極小值單調遞增

f()==rea)-2?+a<0.

所以

綜上，滿足條件的a的取值范圍為(-0,0)U……………13分

………………15分

(Ⅲ)a=1(答案不唯一，(0,1)的數均可)

(19)(本小題15分)

解：(I)設事件M=“‘小智’的青年用戶支持方案A”,

事件N=“‘小智’的中老年用戶支持方案A”.

………………5分

(Ⅱ)設事件E=“這3人中恰有2人支持方案A”.

由(I)可知，青年用戶支持方案A的概率為中老年用戶支持方案A的概率為

所以………………12分

(III)Dξ3>Dξ1>Dξ2.………………15分

(20)(本小題15分)

解：(I)因為,所以f'(1)=a-1.

因為直線1與x軸平行，所以a-1=0,a=1.

當a=1時，f(1)=1≠0,所以a=1滿足條件.……………4分

(Ⅱ)直線l:y=f(1)+f'(1)(x-1).

要證：除切點外，曲線y=f(x)在直線l的上方，

即證：x∈(0,1)U(1,+00)時，f(x)>f(1)+f'(1)(x-1),

即證：x∈(0,1)U(1,+∞o)時，f(x)-f(1)-f'(1)(x-1)>0.

設g(x)=f(x)-f(1)-f'(1)(x-1),

所以g'(x)=f'(x)-f'(1).

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因為a>0,與在區間(0,+∞)上單調遞增，

所以f'(x)在區間(0?+∞)上單調遞增.

又因為g'(1)=0,

所以當x變化時，g'(x)與g(x)變化如下表：

x(0,1)1(1,+c)

g'(x)一0+

g(x)單調遞減極小值單調遞增

所以g(x).in=g(1)=0.

所以x∈(0,1)U(1+00)時，g(x)>0即f(x)>f(1)+f'(1)(x-1).

所以結論得證.………………9分

(Ⅲ)直線l:y=(a-1)x+Ina+1.

令x=0,得y=1na+1,所以點C(0,Ina+1).

令y=0,,所以點

因為a>1,所以Ina+1>0,

假設存在實數a,使得△BOC的面積為2,

則!

所以，(Ina+1)2=4(a-1)即：Ina+1=2√a-1在區間(1+)有解.

設F(a)=Ina+1-2√a-1(a>1)

因為a>1,

所以a2>a>a-1

所以F'(a)<0,F(a)在區間(1,+o)上單調遞減.

又因為F(1)=1>0,F(e)=2-2√e-1<0

所以F(a)在區間(1,+∞)有且只有1個等點，

所以存在滿足條件的a,且滿足條件的a只有一個.………………15分

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(21)(本小題15分)

解：(I)Q是“C數列”,Q?不是“C數列”.………………4分

(Ⅱ)(i)假設存在i,使得a>n+i-1.

考慮使這個不等式成立的最小的i,

則a≥a?1≥…≥a≥n+i.

因為數列的周期性和a≤n+i-1,

所以a=1+kn,2+knz,…,i-1+kn,keN.

又a≥n+i,可得a≥2n+1.

因為a?+n≥a≥a≥2n+1,