第十章時間序列分析

計量經濟學

—理論·方法·EViews應用

郭存芝杜延軍李春吉編著電子教案

第十章時間序列分析◆學習目的了解平穩和非平穩序列、單位根和協整的概念，掌握單位根檢驗、協整檢驗和誤差修正模型的估計方法。◆基本要求了解平穩和非平穩序列、弱相關序列、隨機游走、虛假回歸的概念掌握單位根的概念，掌握單位根DF檢驗和ADF檢驗的方法；掌握協整關系檢驗方法、誤差修正模型的建模方法及應用。第十章時間序列分析時間序列數據分析概述單位根檢驗協整和誤差修正模型第一節時間序列分析概述經典計量經濟模型常用到的數據有：時間序列數據（time-seriesdata)；截面數據(cross-sectionaldata)平行/面板數據（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據。經典回歸分析暗含著一個重要假設：數據是平穩的。一、靜態模型和動態模型假設有兩個變量Y、X，一個靜態模型為：例如，靜態的菲利普斯曲線表示為：這種形式的菲利普斯曲線實際上假定自然失業率不變和固定的通貨膨脹預期，可以用來研究同一時間內失業率和通貨膨脹率之間的替代關系。解釋變量中包含有滯后效應的時間序列模型則是動態模型，例如我們學習過的有限分布滯后模型（FDL）。數據非平穩，大樣本下的統計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。數據非平穩，往往導致出現“虛假回歸”問題。表現為兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性。二、平穩和非平穩時間序列平穩時間序列過程意味著，如果我們從這個序列中任取一個隨機變量集，并把這個序列向前移動h個時期，那么其聯合概率分布仍然保持不變。在實踐操作層面上，如果我們想通過回歸分析考察兩個或者多個變量之間的關系，就需要假定某種跨時期的平穩性。平穩性的定義的聯合分布相同，對于隨機過程如果對于每一個時間指標集和任意整數的聯合分布都與那么這個隨機過程就是(嚴格)平穩的。平穩性關系到一個過程在時間推移過程中的聯合分布，弱相關則是與平穩性完全不同的概念，隨著隨機變量和之間時間距離h的變大，弱相關對二者的相關程度施加限定。對于一個平穩時間序列過程若隨著h無限增大，和“近乎獨立”，則稱之為弱相關。在以后的討論中，關于平穩性的概念通常是指弱相關平穩。弱相關白噪聲（whitenoise）。最簡單的隨機時間序列是一個具有零均值同方差的獨立同分布序列：該序列常常為稱為是一個白噪聲。白噪聲序列具有相同的均值和方差，且協方差為零，因此，白噪聲序列是平穩的。弱相關平穩隨機過程滿足下列條件：（1）均值是與時間t無關的常數；（2）方差是與時間t無關的常數；（3）協方差是只與時間間隔h有關，與時間t無關的常數。在多元回歸分析中使用平穩的弱相關序列最為理想。不是弱相關的時間序列，往往會導致多元回歸分析中的虛假回歸問題。一個獨立序列無疑是弱相關序列，因此獨立同分布序列是弱相關時間序列。弱相關序列的一個例子是：這個過程被稱為一階移動平均過程，表示為MA(1)MA(1)是平穩的弱相關序列。

弱相關序列弱相關序列的另一個更為常見的例子是：這個過程被稱為一階自回歸過程，表示為AR(1)

AR(1)過程弱相關的一個關鍵假定是穩定性條件弱相關序列不平穩的隨機過程則稱為非平穩過程（nonstationaryprocess）

一個隨機時間序列如果具有時間趨勢，那么它顯然是非平穩的，因為它的均值隨時間在變化，但是時間趨勢序列也可能是弱相關的。隨機游走（randomwalk）過程也是非平穩的。隨機游走的定義

假定擾動項是零均值、同方差為的獨立同分布序列隨機游走的期望值不取決于時間但是，隨機游走的方差卻是隨著時間而變化。

隨機游走的方差是時間的線性函數，隨著時間而遞增，是一個非平穩過程。通常隨機游走過程也包含了明顯的趨勢，如帶漂移的隨機游走（randomwalkwithdrift）:其期望值具有一種線性時間趨勢，方差則與不帶漂移項的純粹隨機游走過程的方差完全相同。類似隨機游走（帶或不帶漂移項）這樣的過程，一旦用于回歸分析，則可能導致誤導性的結果，幸運的是，只要做一些簡單變換，就可以使它們變成弱相關平穩的過程。單位根檢驗是運用統計檢驗時間序列是否平穩的一種普遍應用的方法。

通過上式判斷y是否有單位根,就是時間序列平穩性的單位根檢驗。

對該式回歸，如果確實發現ρ=1，則稱隨機變量y有一個單位根。

等價于通過該式判斷是否存在=0。

一般檢驗模型原假設：對立假設：可通過OLS法下的t檢驗完成。但是，在零假設（序列非平穩）下，即使在大樣本下t統計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為

統計量），即DF分布。由于t統計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零均值的偏態分布。如果t<臨界值，則拒絕零假設H0：=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩的。單尾檢驗為什么將DF檢驗擴展為ADF檢驗？DF檢驗假定時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成，或者隨機誤差項并非是白噪聲，用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關，導致DF檢驗無效。如果時間序列含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），也容易導致DF檢驗中的自相關隨機誤差項問題。ADF檢驗模型模型1

模型2模型3原假設：對立假設：檢驗過程實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩序列，何時停止檢驗。否則，就要繼續檢驗，直到檢驗完模型1為止。檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值表。檢驗模型滯后項階數的確定：以隨機項不存在序列相關為準則。一個簡單的檢驗過程：同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗原假設H0：=0。只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了原假設，就可以認為時間序列是平穩的；當三個模型的檢驗結果都不能拒絕原假設時，則認為時間序列是非平穩的。三、ADF單位根檢驗在Eviews中的實現從中國統計年鑒中獲取名義GDP和GDP指數數據，然后計算得到1979-2011年真實GDP數據，對真實GDP做ADF單位根檢驗。

Eviews

中提供的檢驗方法Eviews

中提供的滯后階數選擇1、單整如果一個時間序列經過一次差分變成平穩的，就稱原序列是一階單整序列，記為I(1)。一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩序列，則稱原序列是d階單整序列，記為I(d)。I(0)代表一平穩時間序列。四、單整、趨勢平穩與差分平穩現實經濟生活中只有少數經濟指標的時間序列表現為平穩的，如利率等;大多數指標的時間序列是非平穩的，大多數非平穩的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變為平穩的。但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，都不能變為平穩的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。2、趨勢平穩與差分平穩隨機過程

含有一階自回歸的隨機過程：如果ρ=1，β=0，y成為一帶位移的隨機游走過程。根據α的正負，y表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastictrend）。如果ρ=0，β≠0,y成為一帶時間趨勢的隨機變化過程。根據β的正負，y表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）。如果ρ=1，β≠0，則y包含有確定性與隨機性兩種趨勢。

判斷一個非平穩時間序列的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量，即分離出了確定性趨勢的影響。如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢；如果沒有單位根，且時間變量前的參數顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。差分平穩過程和趨勢平穩過程具有隨機性趨勢的時間序列通過差分的方法消除隨機性趨勢。該時間序列稱為差分平穩過程（differencestationaryprocess）；具有確定性趨勢的時間序列通過除去趨勢項消除確定性趨勢。該時間序列稱為趨勢平穩過程（trendstationaryprocess）。

第三節協整檢驗和誤差修正模型一、協整關系二、協整檢驗三、誤差修正模型一、協整關系1、問題的提出將一個隨機游走變量對另一個隨機游走變量進行回歸可能導致荒謬的結果，因為傳統的顯著性檢驗說明變量之間的關系事實上是不存在的，這就是為什么要檢驗一個變量是否是隨機游走的一個原因。那有沒有對兩個即使都是隨機游走的變量進行回歸，而不會造成荒謬結果的情形呢？我們的回答是肯定的，因為有時雖然兩個變量都是隨機游走，但它們的某個線性組合卻可能是平穩的。

在現實經濟中，很多時間序列都是非平穩的，但是，如果它們之間存在協整關系，而具有協整關系的經濟變量之間具有長期的穩定關系，那么，就可以使用經典回歸模型方法建立回歸模型。式Yt=

0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibriumerror），它是變量X與Y的一個線性組合：

如果X與Y間的長期均衡關系正確，該式表述的非均衡誤差應是一平穩時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。

非穩定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩的。稱變量X與Y是協整的（cointegrated）。協整關系2、協整的定義如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量

=(1,2,…,

k)，使得Zt=XT~I(d-b)，其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協整，記為Xt~CI(d,b)，

為協整向量（cointegratedvector）。如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數相同時，才可能協整；如果它們的單整階數不相同，就不可能協整。3個以上的變量，如果具有不同的單整階數，有可能經過線性組合構成低階單整變量。（d,d）階協整是一類非常重要的協整關系，它的經濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規律，但是如果它們是（d,d）階協整的，則它們之間存在著一個長期穩定的比例關系。例如，中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，如果它們是(2,2)階協整，說明它們之間存在著一個長期穩定的比例關系，從計量經濟學模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數模型是合理的。

盡管兩個時間序列是非平穩的，也可以用經典的回歸分析方法建立回歸模型。二、協整檢驗—EG檢驗1、兩變量的Engle-Granger檢驗

為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。首先兩個變量的單整次數應該是相同的，即兩個變量是同階單整的。

第一步，用OLS方法估計方程

并計算殘差，得到：

稱為協整回歸(cointegrating)或靜態回歸(staticregression)。

第二步，檢驗殘差的平穩性，如果是平穩的，則兩個變量之間存在協整關系。非均衡誤差的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協整回歸計算出的誤差項，而非真正的非均衡誤差。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量

是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。于是對et平穩性檢驗的DF與ADF臨界值應該比正常的DF與ADF臨界值還要小。2、多變量協整關系的檢驗—擴展的E-G檢驗

多變量協整關系的檢驗要比雙變量復雜一些，主要在于協整變量間可能存在多種穩定的線性組合。假設有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關系：非均衡誤差項

t應是I(0)序列：

然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關系：

則非均衡誤差項v1t、v2t一定是穩定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩定的。例如

由于vt象

t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此vt

式也成為該四變量的另一穩定線性組合。（1,-

0,-

1,-2,-3）是對應于

t

式的協整向量，（1,-

0-0,-1,1,-1）是對應于vt式的協整向量。

一定是I(0)序列。檢驗程序：第一步，用OLS做協整回歸。首先檢驗時間序列的單整次數，其次，用OLS對協整回歸方程：進行估計，得到殘差序列。第二步，檢驗殘差的平穩性。若為平穩的，則是協整的，反之，則不是協整的。因為，若不是協整的，則它們的任意線性組合都是非平穩的，殘差也將是非平穩的。三、誤差修正模型

ErrorCorrectionModel,ECM誤差修正模型的基本思想是：如果變量之間存在協整關系，即表明這些變量之間存在長期的穩定關系，而這種長期穩定的關系是在短期動態過程的不斷調整下得以維持的。大多數經濟時間序列的一階差分序列是平穩的，同時，存在著某種聯系方式例如線性組合，可以把相互的協整過程和長期穩定的均衡狀態結合起來。即使所研究的各個變量的水平值都是一階差分平穩的，受支配于長期分量，但是這些變量的某些線性組合也可以是平穩的，即所研究變量之間的長期分量相互抵消，產生了一個平穩的時間序列。這個過程中，誤差修正機制作為一種調節過程在起作用，防止了長期關系的偏差在規模或數量上的擴大。因此，任何一組相互協整的時間序列變量都存在誤差修正機制，反映短期的調節行為。是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。由于現實經濟中很少處在均衡點上，假設具有（1,1）階分布滯后形式

Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。一階誤差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)的形式：若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解

0+1X，ecm為正，則(-

ecm)為負，使得

Yt減少；若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解

0+1X

，ecm為負，則(-

ecm)為正，使得

Yt增大。體現了長期非均衡誤差對短期變化的控制。誤差修正模型的優點：如：

a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題；

b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題；

c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視；

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