分?jǐn)?shù)連除與乘除混合運(yùn)算（轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用）教學(xué)設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)連除與乘除混合運(yùn)算（轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用）教學(xué)設(shè)計(jì)一、課程基本信息【基礎(chǔ)】課程名稱：分?jǐn)?shù)連除與乘除混合運(yùn)算（轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用）【基礎(chǔ)】授課年級(jí)：小學(xué)六年級(jí)【基礎(chǔ)】授課版本：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)【基礎(chǔ)】課時(shí)安排：1課時(shí)（40分鐘）【基礎(chǔ)】教材分析：本節(jié)課是蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第三單元《分?jǐn)?shù)除法》中的第5課時(shí)（3.5）。在此之前，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘法的意義及計(jì)算法則、分?jǐn)?shù)除法的意義及計(jì)算法則，以及簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)乘除一步計(jì)算應(yīng)用題。本節(jié)課是分?jǐn)?shù)乘、除法計(jì)算的綜合與拓展，它將單一的除法或乘法計(jì)算延伸到兩步及以上的混合運(yùn)算。其核心在于引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握分?jǐn)?shù)連除、乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，更為重要的是，要讓學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中深刻體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想——即將除法轉(zhuǎn)化為乘法，將混合運(yùn)算轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的連乘運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化與簡(jiǎn)化。這部分內(nèi)容是學(xué)生從簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)運(yùn)算邁向復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題解決的關(guān)鍵橋梁，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。【重要】教學(xué)內(nèi)容核心：1.分?jǐn)?shù)連除運(yùn)算的計(jì)算法則（如：a÷b÷c=a×(1/b)×(1/c)）。2.分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的計(jì)算法則（如：a×b÷c=a×b×(1/c)）。3.運(yùn)算過(guò)程中“除法轉(zhuǎn)化為乘法”的算理理解。4.計(jì)算過(guò)程中“先約分，后計(jì)算”的策略優(yōu)化。5.利用分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。【核心素養(yǎng)指向】：1.數(shù)感與運(yùn)算能力：在復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，能敏銳感知數(shù)字特征，選擇最優(yōu)計(jì)算路徑，準(zhǔn)確、熟練地進(jìn)行計(jì)算。2.推理意識(shí)：理解并解釋為何“除以一個(gè)數(shù)”可以“轉(zhuǎn)化為乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，并能將這一規(guī)則推廣到連除和混合運(yùn)算中。3.轉(zhuǎn)化思想：經(jīng)歷將未知（分?jǐn)?shù)連除、乘除混合）轉(zhuǎn)化為已知（分?jǐn)?shù)連乘）的探究過(guò)程，初步建立轉(zhuǎn)化意識(shí)。二、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)【核心·教學(xué)目標(biāo)】：1.【知識(shí)與技能】使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)連除和分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的計(jì)算方法，能夠正確、熟練地進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過(guò)程中，能靈活運(yùn)用“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的規(guī)則，將算式統(tǒng)一為連乘形式，并養(yǎng)成先約分后計(jì)算的良好習(xí)慣。2.【過(guò)程與方法】通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中列出分?jǐn)?shù)乘除混合算式；通過(guò)自主探究、小組合作、比較歸納等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算方法形成的過(guò)程，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題中的價(jià)值。3.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在探索與交流中，培養(yǎng)學(xué)生的遷移類推能力和抽象概括能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。通過(guò)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。【教學(xué)重點(diǎn)】：掌握分?jǐn)?shù)連除、乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算方法，能將其轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)連乘進(jìn)行計(jì)算。【教學(xué)難點(diǎn)】：理解在分?jǐn)?shù)連除和乘除混合運(yùn)算中，“除法轉(zhuǎn)化為乘法”的算理，并能靈活、準(zhǔn)確地應(yīng)用于計(jì)算過(guò)程中，特別是在處理帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)參與運(yùn)算時(shí)的約分技巧。三、教學(xué)準(zhǔn)備1.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件（PPT），內(nèi)含精心設(shè)計(jì)的生活情境圖（如分果汁、分藥材等）、計(jì)算過(guò)程動(dòng)態(tài)演示動(dòng)畫、分層練習(xí)題組。板書設(shè)計(jì)卡片。2.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法和除法的計(jì)算法則。預(yù)習(xí)課本相關(guān)內(nèi)容，標(biāo)記出自己的疑惑點(diǎn)。準(zhǔn)備練習(xí)本和草稿紙。四、教學(xué)實(shí)施過(guò)程（一）喚醒經(jīng)驗(yàn)，以舊引新（預(yù)設(shè)時(shí)間：5分鐘）1.【基礎(chǔ)·復(fù)習(xí)鋪墊】課件出示口算題，請(qǐng)學(xué)生快速回答，并隨機(jī)提問(wèn)計(jì)算依據(jù)。1.2.口算一：直接說(shuō)出得數(shù)。1.2.3.(3/4)×(2/5)=2.3.4.(5/8)÷(1/4)=4.5.口算二：說(shuō)出下面各數(shù)的倒數(shù)。1.5.6.2/3，5，7/4，1/26.7.口算三：分?jǐn)?shù)除法如何計(jì)算？1.7.8.教師指名回答，引導(dǎo)學(xué)生完整敘述：“除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)?！?.9.【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)口算熱身，激活學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)乘、除法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，特別是對(duì)“倒數(shù)”概念和除法計(jì)算法則的回顧，為新課的“轉(zhuǎn)化”環(huán)節(jié)掃清認(rèn)知障礙，奠定知識(shí)基礎(chǔ)。】10.【情境導(dǎo)入，引出課題】利用PPT呈現(xiàn)生活情境：“周末，小明和朋友們來(lái)家里玩，媽媽榨了3盒新鮮的果汁。每盒果汁有4/5升，如果每個(gè)杯子能裝2/5升，這些果汁一共可以倒?jié)M幾杯呢？”1.11.教師引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題：要解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要知道什么？應(yīng)該先算什么，再算什么？2.12.學(xué)生思考后回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生列出分步算式。1.3.13.方法一（常見(jiàn)思路）：先算3盒一共有多少升？(4/5)×3=12/5(升)。再算可以倒幾杯？(12/5)÷(2/5)=(12/5)×(5/2)=6(杯)。4.14.教師追問(wèn)：能把這兩步合在一起，列成一個(gè)綜合算式嗎？5.15.學(xué)生嘗試列式，教師板書：(4/5)×3÷(2/5)6.16.揭示課題：同學(xué)們，這個(gè)算式里既有乘法，又有除法，這就是我們今天要研究的“分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算”。如果連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，就是“分?jǐn)?shù)連除”。（板書完善課題：分?jǐn)?shù)連除與乘除混合運(yùn)算）7.17.【設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，將抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算置于具體的生活背景中，不僅激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，更重要的是讓學(xué)生親歷了從問(wèn)題到算式的建模過(guò)程，明確了算式每一步的含義，為后續(xù)理解算理打下堅(jiān)實(shí)的表象基礎(chǔ)?！浚ǘ┳灾魈骄浚魑憷恚A(yù)設(shè)時(shí)間：12分鐘）1.【難點(diǎn)·初次嘗試，暴露思維】出示問(wèn)題情境中列出的綜合算式：(4/5)×3÷(2/5)。1.2.教師提問(wèn)：這個(gè)綜合算式我們以前沒(méi)有學(xué)過(guò)，它應(yīng)該按什么順序計(jì)算？你能嘗試著算一算嗎？2.3.學(xué)生獨(dú)立嘗試計(jì)算，教師巡視，搜集不同的計(jì)算樣本。預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)以下幾種情況：1.3.4.樣本A（分步計(jì)算）：先算(4/5)×3=12/5，再算(12/5)÷(2/5)=(12/5)×(5/2)=60/10=6。2.4.5.樣本B（轉(zhuǎn)化為連乘）：將除法轉(zhuǎn)化為乘法，即(4/5)×3×(5/2)=(4×3×5)/(5×2)=60/10=6。3.5.6.樣本C（轉(zhuǎn)化為連乘+先約分）：(4/5)×3×(5/2)=4×3×5/(5×2)=(4×3)/(2)（5和5約掉）=12/2=6。4.6.7.樣本D（運(yùn)算順序錯(cuò)誤）：可能先算3÷(2/5)等。8.【核心環(huán)節(jié)·小組研討，碰撞思維】將搜集到的不同樣本（特別是A、B、C）呈現(xiàn)在大屏幕上，組織小組討論。1.9.討論提綱：1.2.10.這些計(jì)算過(guò)程合理嗎？結(jié)果為什么都是6？2.3.11.哪一種計(jì)算方法最簡(jiǎn)便？為什么？3.4.12.在計(jì)算過(guò)程中，除號(hào)變成了什么？數(shù)字發(fā)生了什么變化？5.13.學(xué)生分組熱烈討論，教師參與到小組中，傾聽(tīng)并引導(dǎo)。14.【重要·集體匯報(bào)，明晰算理】請(qǐng)小組代表匯報(bào)討論結(jié)果，教師適時(shí)引導(dǎo)、提煉。1.15.針對(duì)樣本A：大家同意這種算法嗎？這實(shí)際上是把兩步計(jì)算合在了一起，體現(xiàn)了運(yùn)算順序（從左往右）。這是可行的。2.16.針對(duì)樣本B和C：這位同學(xué)把除法變成了什么？為什么可以這樣變？引導(dǎo)學(xué)生回顧“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的法則，明確(2/5)變成了它的倒數(shù)(5/2)，除號(hào)變乘號(hào)。整個(gè)算式就變成了一個(gè)連乘算式。3.17.對(duì)比B和C：兩個(gè)算式結(jié)果一樣，你更喜歡哪一個(gè)？為什么？引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“先約分，后計(jì)算”的優(yōu)越性——可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，避免最后結(jié)果需要再次約分的麻煩。4.18.教師利用課件動(dòng)態(tài)演示“轉(zhuǎn)化”過(guò)程：將“÷(2/5)”這一部分高亮，然后通過(guò)動(dòng)畫翻轉(zhuǎn)變成“×(5/2)”，整個(gè)算式瞬間統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)連乘。19.【歸納小結(jié)，提煉算法】教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)算法。1.20.教師：通過(guò)剛才的探究，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算應(yīng)該怎么算？2.21.學(xué)生總結(jié)，教師板書核心法則：在分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算中，遇到除以一個(gè)數(shù)，只要乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，就可以把所有的除都轉(zhuǎn)化為乘，然后按分?jǐn)?shù)連乘的方法進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算過(guò)程中，能約分的要先約分，再計(jì)算，這樣比較簡(jiǎn)便。3.22.板書核心公式模型：a×b÷c=a×b×(1/c)（其中c不為0）4.23.【設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)是整節(jié)課的核心，充分體現(xiàn)了“以生為本”的教學(xué)理念。不直接灌輸算法，而是讓學(xué)生在嘗試、對(duì)比、討論中，自主發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)知識(shí)。通過(guò)暴露不同思維層次的計(jì)算樣本，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察比較分析優(yōu)化”的完整探究過(guò)程，深刻理解“轉(zhuǎn)化”的算理，并自主選擇最優(yōu)算法，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)?！浚ㄈ╊惐冗w移，深化理解（預(yù)設(shè)時(shí)間：8分鐘）1.【高頻考點(diǎn)·嘗試練習(xí)，類推遷移】課件出示“試一試”題目：計(jì)算(8/9)÷(2/3)÷(4/7)1.2.教師提問(wèn)：這道題又有什么特點(diǎn)？（連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)）你能用我們剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)計(jì)算嗎？2.3.學(xué)生獨(dú)立完成計(jì)算，請(qǐng)兩名學(xué)生板演（預(yù)設(shè)一人不轉(zhuǎn)化直接逐步除，另一人轉(zhuǎn)化為連乘）。1.3.4.板演一：(8/9)÷(2/3)÷(4/7)=(8/9)×(3/2)÷(4/7)=(4/3)÷(4/7)=(4/3)×(7/4)=7/32.4.5.板演二：(8/9)÷(2/3)÷(4/7)=(8/9)×(3/2)×(7/4)=(8×3×7)/(9×2×4)=(8和4約，3和9約)=(2×7)/(3×2)=7/3（或直接約分后計(jì)算）6.【難點(diǎn)突破·對(duì)比辨析，鞏固模型】組織學(xué)生對(duì)板演進(jìn)行評(píng)價(jià)。1.7.提問(wèn)：哪種方法你更喜歡？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生再次體會(huì)一次性轉(zhuǎn)化為連乘并一次性約分的優(yōu)越性）2.8.追問(wèn)：如果遇到帶分?jǐn)?shù)或者整數(shù)，比如2÷(3/4)或者1(1/2)×(2/3)÷3，我們?cè)撛趺崔k？3.9.學(xué)生討論后明確：遇到帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)；整數(shù)可以看作分母是1的分?jǐn)?shù)。這樣，所有情況都可以統(tǒng)一到分?jǐn)?shù)連乘的模型中來(lái)。4.10.板書核心公式模型擴(kuò)展：a÷b÷c=a×(1/b)×(1/c)（b、c不為0）11.【重要·總結(jié)法則，形成閉環(huán)】引導(dǎo)學(xué)生完整敘述分?jǐn)?shù)連除和乘除混合運(yùn)算的計(jì)算法則。1.12.教師總結(jié)并板書：計(jì)算分?jǐn)?shù)連除或乘除混合運(yùn)算時(shí)，先把算式中的除法轉(zhuǎn)化為乘法（即除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)），使算式變成分?jǐn)?shù)連乘，然后一次約分，最后計(jì)算出結(jié)果。2.13.【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“試一試”的練習(xí)，學(xué)生將剛剛習(xí)得的“轉(zhuǎn)化”策略遷移到新的情境（連除）中。板演對(duì)比再次強(qiáng)化了“一次性轉(zhuǎn)化為連乘”的簡(jiǎn)便性。對(duì)整數(shù)和帶分?jǐn)?shù)參與運(yùn)算的討論，進(jìn)一步拓展了算法的適用范圍，使知識(shí)體系更加完整、穩(wěn)固，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的跨越。】（四）分層練習(xí)，鞏固提升（預(yù)設(shè)時(shí)間：10分鐘）1.【基礎(chǔ)練習(xí)·鞏固算法】完成課本“練一練”題目。1.2.(2/3)÷(4/5)×(1/2)2.3.(5/6)÷(1/3)÷(5/12)3.4.學(xué)生獨(dú)立完成，同桌互批。教師巡視，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)困生的計(jì)算過(guò)程，及時(shí)給予指導(dǎo)。選取典型錯(cuò)例（如約分錯(cuò)誤、倒數(shù)取錯(cuò)等）進(jìn)行全班點(diǎn)評(píng)，分析錯(cuò)誤原因。5.【綜合練習(xí)·解決問(wèn)題】課件出示練習(xí)八第11題（或類似實(shí)際問(wèn)題）。1.6.例如：“一塊地有9/10公頃，用2臺(tái)拖拉機(jī)耕，3/4小時(shí)可以耕完。平均每臺(tái)拖拉機(jī)每小時(shí)耕地多少公頃？”2.7.引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系：要求“每臺(tái)每小時(shí)”，可以先算什么？再算什么？鼓勵(lì)學(xué)生列出綜合算式。3.8.學(xué)生獨(dú)立列式解答：(9/10)÷2÷(3/4)或(9/10)÷(3/4)÷24.9.請(qǐng)不同列式的學(xué)生上臺(tái)板演，并解釋每一步的含義，最后比較兩種方法的異同。5.10.【設(shè)計(jì)意圖：將計(jì)算技能的訓(xùn)練回歸到解決實(shí)際問(wèn)題中，不僅鞏固了新知，更讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。通過(guò)一題多解，既加深了對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，也鍛煉了思維的靈活性?！?1.【拓展練習(xí)·挑戰(zhàn)思維】（機(jī)動(dòng)處理）課件出示一道稍復(fù)雜的題目。1.12.例如：“小馬虎在計(jì)算一道除法算式時(shí)，把除以(1/2)看成了乘(1/2)，結(jié)果得到3/8。你知道正確的答案應(yīng)該是多少嗎？”2.13.留給學(xué)有余力的學(xué)生思考，鼓勵(lì)他們課后交流。（五）課堂總結(jié)，內(nèi)化提升（預(yù)設(shè)時(shí)間：3分鐘）1.【知識(shí)梳理】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程。1.2.同學(xué)們，今天我們研究了什么內(nèi)容？2.3.我們是怎樣研究分?jǐn)?shù)連除和乘除混合運(yùn)算的？（遇到了新問(wèn)題——想到了轉(zhuǎn)化——驗(yàn)證了方法——優(yōu)化了算法——應(yīng)用了解題）3.4.計(jì)算這類題的關(guān)鍵步驟是什么？（一轉(zhuǎn)化：除號(hào)變乘號(hào)，除數(shù)變倒數(shù)；二連乘：統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)連乘；三約算：先約分后計(jì)算）5.【思想升華】今天的學(xué)習(xí)，我們?cè)俅芜\(yùn)用了一種非常重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化。當(dāng)我們遇到一個(gè)復(fù)雜的新問(wèn)題時(shí)，可以想辦法把它轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的、簡(jiǎn)單的舊知識(shí)來(lái)解決。比如，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)乘法，把混合運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了連乘。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，也能主動(dòng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，去攻克更多的數(shù)學(xué)難題。1.6.【設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)不僅要梳理知識(shí)點(diǎn)，更要提煉貫穿其中的思想方法。引導(dǎo)學(xué)生從“術(shù)”的層面上升到“道”的層面，讓學(xué)生意識(shí)到“轉(zhuǎn)化”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題乃至生活問(wèn)題的一種普遍策略，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的核心