6.浙江省數學競賽模擬題(三)答案

(完整word版)6.浙江省數學競賽模擬題(三)答案(完整word版)6.浙江省數學競賽模擬題(三)答案PAGE1(完整word版)6.浙江省數學競賽模擬題(三)答案浙江省數學競賽模擬題(三）班級__________姓名__________一、選擇題（共50分)1。已知集合，則下列正確的是（）A．B.C.D。解析：因為，所以有正確答案為A。2.已知,若為實數，則最小的正整數的值為（）(A） （B） （C) (D）提示：，是使為實數的最小的正整數．A。3。已知均為正實數，則的最大值為（)(A）2 （B) （C）4 (D)B.解法一令,則所以．解法二令，則，此時，即有．顯然當時,；當時，,所以函數在，即時取得最大值．4。當時，，則下列大小關系正確的是（）A．B.C。D。解析：當時，，，又因為。所以。選C。5.設在上有定義，要使函數有定義，則a的取值范圍為(）A．；B.；C.；D.解析：函數的定義域為。當時,應有，即;當時，應有,即.因此,選B.6。已知P為三角形ABC內部任一點（不包括邊界），且滿足，則△ABC一定為()A．直角三角形；B.等邊三角形；C.等腰直角三角形；D。等腰三角形解析：因為,所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形.因此選D.7。已知是偶函數,則函數圖象與軸交點的縱坐標的最大值是（）A．B.2C.D.4解析：由已知條件可知，,函數圖象與軸交點的縱坐標為。令，則。因此選A.8。有6名同學咨詢成績．老師說：甲不是6人中成績最好的，乙不是6人中成績最差的，而且6人的成績各不相同．那么他們6人的成績不同的可能排序共有（）（A）120種(B)216種 (C)384種 （D）504種D.解法一以記甲成績排名第一的所有可能的排序之集，以記乙成績排名為最后的所有可能的排序之集，則，．甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序數為．按照老師所述，這６位同學成績可能的排序數為．解法二以乙的成績不在最后為前提，考慮甲的成績不在第一的所有可能排序．(1）甲的成績排在最后的所有可能的排序數為；（2）甲的成績不在最后，又不在第一的所有可能排序數為．所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序數為．9.已知函數(為常數,)，且，則的值是（）(A）8 （B)4 （C） （D)B.提示：由已知可得又令，則有從而有即知10。在等差數列中，若，且它的前項和有最大值，那么當取最小正值時，(A)1 （B）10（C）19 (D)20（)C.提示：設該等差數列的公差為．顯然．由，知且因此由知．從而有所以．填空題（共49分)11。＝。解析：根據題意要求，，.于是有。因此。因此答案為1。12。設為非負實數，滿足，則＝。解析：顯然,由于，有.于是有，故。13.的末三位數是_______解析:（10i+1)（10i+3)(10i+7）（10i+9）=[100+100i+9]［100+100i+21]=10000+3000i(i+1）+189189(mod1000）.所以=189×100900（mod1000）。所以答案是90014.在平面直角坐標系中，定義點、之間的“直角距離”為若到點、的“直角距離”相等，其中實數、滿足、,則所有滿足條件的點的軌跡的長度之和為．解析：由條件得①當時，①化為，無解；當時，①化為,無解；當時,①化為②若，則，線段長度為１；若，則，線段長度為；若，則，線段長度為４．綜上可知，點的軌跡的構成的線段長度之和為．填．15。拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點,且|AB|=.在拋物線上是否存在一點C，使△ABC為正三角形，若存在，C點的坐標是。解：設所求拋物線方程為，由弦長｜AB｜=建立關于p的方程.解得p=或p=-（舍去),故拋物線方程為.設AB的中點為D(x0,y0）,拋物線上存在滿足條件的點C(x3,y3)，由于△ABC為正三角形.所以CD⊥AB，|CD｜=|AB｜=.EMBEDEquation.3由CD⊥AB得①由②解①②得，不在拋物線上.故拋物線上存在一點(，)。16.在數列中,＝2，，設為數列的前n項和，則的值為解析：當n為偶數時，，故當n奇數時,，，故故17.設函數，其中函數在上是單調遞減函數；則的取值范圍是_____________________。解析：（1)設,則設，則顯然.∵,∴,∵，∴只需要，就能使在上是單調遞減函數;三、解答題（共51分）18.設函數定義于閉區間，滿足，且對任意，都有，其中常數滿足,求的值．解：因為，所以8分由此得，而，所以14分已知曲線，，為正常數．直線與曲線的實軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、、、4個點，為坐標原點。（1）若,求證：的面積為定值；（2)若的面積等于面積的，求證:。解：（1）設直線：代入得：，得：，設，，則有，，設,，易得:,，由得,故，代入得，整理得：，又，，，=為定值.（2）設中點為，中點為則，，所以，、重合，從而,從而，又的面積等于面積的，所以，從而。20.設非負等差數列的公差，記為數列的前n項和，證明：1）若，且，則；2）若則.解：設非負等差數列的首項為，公差為。（1）因為，所以，，。從而有。因為，所以有于是。（2）又因為，所以有附加題(共50分）21。已知,關于的方程有一個實根，求的最小值．解:設為方程的實根，則有，即。顯然.—-—-——--——————--—-5分容易證明，于是.當且僅當且時等號成立，此時，。結合可求得或因此的最小值為8。-—--——-——-—-—--———-——20分2