2026初中數(shù)學(xué)58種模型：49、最值系列之瓜豆原理

最值系列之瓜豆原理

在輔助圓問(wèn)題中，我們了解了求關(guān)于動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的方式之一——求出動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可求出

關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的最值．

本文繼續(xù)討論另一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的最值問(wèn)題，在此類(lèi)題目中，題目或許先描述的是動(dòng)點(diǎn)P，但

最終問(wèn)題問(wèn)的可以是另一點(diǎn)Q，當(dāng)然P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點(diǎn)出發(fā)探討Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

軌跡并求出最值，為常規(guī)思路．

一、軌跡之圓篇

引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀(guān)察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

△

【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線(xiàn)可得：A、M、O三點(diǎn)共線(xiàn)，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．

1

引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P

點(diǎn)軌跡都是圓．接下來(lái)確定圓心與半徑．

考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿(mǎn)足AM⊥AO；

考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿(mǎn)足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APO≌△AQM．

△

引例3：如圖，APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌

跡是？

△

【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿(mǎn)足AM⊥AO；

考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿(mǎn)足AO:AM=2:1．

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APO∽AQM，且相似比為2．

△△

2

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱(chēng)點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．

此類(lèi)問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線(xiàn)的夾角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．

按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線(xiàn)得線(xiàn)，謂之“瓜豆原理”．

3

【思考1】：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊APQ．

考慮：當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)軌跡是？

POQ△

【分析】

Q點(diǎn)滿(mǎn)足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：

考慮∠PAQ=60°，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿(mǎn)足∠MAO=60°；

考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿(mǎn)足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APO≌△AQM．

△

【小結(jié)】可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例

均等于A(yíng)P與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系．

【思考2】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角APQ．

考慮：當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出點(diǎn)軌跡？

POQ△

【分析】Q點(diǎn)滿(mǎn)足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=2：1，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓．

連接AO，構(gòu)造∠OAM=45°且AO:AM=2：1．M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均

有AOP∽△AMQ．即可確定點(diǎn)Q的軌跡圓．

△4

【練習(xí)】如圖，點(diǎn)P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_______．

【分析】M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn)．考慮C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡：

取BP中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡．

當(dāng)A、C、O三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)C在線(xiàn)段OA上時(shí)，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O，利用

兩點(diǎn)間距離公式求得OA，再減去OC即可．

5

【2016武漢中考】如圖，在等腰RtABC中，AC=BC=22，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半

圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)△A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【分析】考慮C、M、P共線(xiàn)及M是CP中點(diǎn)，可確定M點(diǎn)軌跡：

取AB中點(diǎn)O，連接CO取CO中點(diǎn)D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交

AC、BC于E、F兩點(diǎn)，則弧EF即為M點(diǎn)軌跡．

當(dāng)然，若能理解M點(diǎn)與P點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)一

半，即可解決問(wèn)題．

【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，AB25，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E

是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，

連接AE、CF．求線(xiàn)段OF長(zhǎng)的最小值．

【分析】E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿(mǎn)足EO=2，故E點(diǎn)軌跡是以

O為圓心，2為半徑的圓．

6

考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F(xiàn)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，

2為半徑的圓．

直接連接OM，與圓M交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)OF最小．可構(gòu)造三垂直全等求線(xiàn)段

長(zhǎng)，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．

7

【練習(xí)】ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在A(yíng)BC外作正方形BCDE，BD、CE交于

點(diǎn)，則線(xiàn)段的最大值為．

O△AO_____________△

【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定AB，將AC看

成動(dòng)線(xiàn)段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線(xiàn)段AO的最大值．

根據(jù)AC=2，可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓．

接下來(lái)題目求AO的最大值，所以確定O點(diǎn)軌跡即可，觀(guān)察BOC是等腰直角三

角形，銳角頂點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)軌跡也是圓，

CA2△O

以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)O軌跡圓圓心．

8

連接AM并延長(zhǎng)與圓M交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O，此時(shí)AO最大，根據(jù)AB先求AM，

再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得

AO．

此題方法也不止這一種，比如可以如下構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、C、A’共線(xiàn)時(shí)，可得AO

最大值．

或者直接利用托勒密定理可得最大值．

9

二、軌跡之線(xiàn)段篇

引例：如圖，P是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線(xiàn)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線(xiàn)．

可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線(xiàn)，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)

軌跡是一條直線(xiàn)．

【引例】如圖，APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)軌跡？

BC△Q

【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話(huà)，P、Q軌跡是同一種圖形．

當(dāng)確定軌跡是線(xiàn)段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線(xiàn)即可，比如Q

點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線(xiàn)段．

10

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

結(jié)論：

P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線(xiàn)的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與

BC夾角）

P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于A(yíng)P:AQ（由ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

△

【2017姑蘇區(qū)二模】如圖，在等邊ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿

方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，以為邊，在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊，當(dāng)點(diǎn)

EAPDPD△PDDPF

從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．

PEAF________△

【分析】根據(jù)DPF是等邊三角形，所以可知F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)路徑長(zhǎng)為，故此題答案為．

A△88

11

【2013湖州中考】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為23的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥

x軸于點(diǎn)M，交直線(xiàn)y=-x于點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線(xiàn)段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，

BA⊥PA，則點(diǎn)P在線(xiàn)段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________．

【分析】根據(jù)∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=3:1，故B點(diǎn)軌跡也是線(xiàn)段，

且P點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)與B點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)之比也為3:1，P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)ON為26，故

B點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為22．

【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3,0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

C、D在x正半軸上，以AB為邊在A(yíng)B的下方作等邊ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

求的最小值．

OP△

【分析】求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌跡，根據(jù)ABP是等邊三角形且B點(diǎn)在直線(xiàn)

上運(yùn)動(dòng)，故可知點(diǎn)軌跡也是直線(xiàn)．

P△

取兩特殊時(shí)刻：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出P點(diǎn)位置P1；（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸

上方且AB與x軸夾角為60°時(shí)，作出P點(diǎn)位置P2．連接P1P2，即為P點(diǎn)軌跡．

12

根據(jù)∠ABP=60°可知：P1P2與y軸夾角為60°，作OP⊥P1P2，所得OP長(zhǎng)度即為最

3

小值，OP2=OA=3，所以O(shè)P=．

2

【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為．

△

【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求CG最小值，可以將

F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：

考慮到F點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段，故G點(diǎn)軌跡也是線(xiàn)段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線(xiàn)段位置，

初始時(shí)刻點(diǎn)在位置，最終點(diǎn)在位置（不一定在邊），即為

GG1GG2G2CDG1G2G

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡．

最小值即當(dāng)⊥的時(shí)候取到，作⊥于點(diǎn)，即為所求的最

CGCGG1G2CHG1G2HCH

小值．

13

根據(jù)模型可知：G1G2與AB夾角為60°，故G1G2⊥EG1．

13

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CH于點(diǎn)F，則HF=GE=1，CF=CE，

122

55

所以CH=，因此CG的最小值為．

22

三、軌跡之其他圖形篇

所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)與

定點(diǎn)連線(xiàn)形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而

當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是．

2

【2016樂(lè)山中考】如圖，在反比例函數(shù)y的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO

x

并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)

k

動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tan∠CAB=2，則k的值為（）

x

A．2B．4C．6D．8

14

【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線(xiàn)，分別作AM、

CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證AMO∽△ONC，∴CN=2OM，

，∴，故．

ON=2AMON·CN=4AM·OMk=4×2=8△

【思考】若將條件“tan∠CAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k