2026初中數(shù)學58種模型：40、圓中最定值（修訂版）

圓中最定值

類型一、圓中將軍飲馬

例1、如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個三等分點，N是半圓AB的一個六等分點，

P是直徑AB上一動點，連接MP、NP，則MP+NP的最小值是_______

1、已知圓O的面積為3π，AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80度，弧BD的度數(shù)為20度，點P為直徑AB上任

一點，則PC+CD的最小值為______

2、如圖，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3,圓A、圓B的半徑為2和1,P、E、F分別是CD，圓A和圓B上

的動點，則PE+PF的最小值為_________

類型二、折疊隱圓

【基本原理】（一箭穿心）

點A為圓外一點，P為圓O上動點，連接AO并延長交圓于P1、P2，則AP的最小值為AP2,,最大值為AP1

例、如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動

點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′B長度的最小值．

1、已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標洗中，點A（11，0），點B（0，6），點P為

BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，則CB’的最小值為______

2、四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是線段AD上一動點，將△ABP沿BP所在直線翻

折得到△QBP，則△CQD的面積最小值為____

1

類型三、隨動位似隱圓

例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．點D是邊

AC上一點D且AD=2√3，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)得線段AD′，點F始終為BD′的

中點，則將線段CF最大值為_________

[分析]：易知D’軌跡為以A為圓心AD為半徑的圓，則在運動過程中AD’為定值2√3，故取AB中點G，則

FG為中位線，F(xiàn)G=1/2AD'=√3,故F點軌跡為以G為圓心，√3為半徑的圓。問題實質(zhì)為已知圓外一點C和

圓G上一點F，求CF的最大值。

思路2：倍長BC到B’，則CF為△B’D’B的中位線，CF=1/2B’D’,當B’D’最大時，CF也取最大值，問題實質(zhì)

為D在圓A上運動至何處時，BD取最大。

【方法歸納】①、如圖，點A和點O1為定點，圓O1半徑為定值，P為圓O1上動點，M為AP中點點

運動軌跡為圓，且為中點。、構造中位線

②?M

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OOAO

1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中點，M是BD的中點，將線段AD繞A點任意旋轉(zhuǎn)（旋

轉(zhuǎn)過程中始終保持點M是BD的中點），若AC=4，BC=3，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍

是_______

2、如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，以AC為直徑作半圓，P為半圓上任意一點，M為BP中點，則

在點P由A到C運動過程中，點M運動路徑長為________

2

類型四、定性分析——垂線段最短

例、如圖，半圓O的半徑為1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圓上任意一點，

則封閉圖形ABDPC面積的最大值是_______________

【分析】：思路1、連接CD、梯形ABCD面積為定值，要使封閉圖形ABDPC面積取最大值，則使△

CPD面積取最小即可，△CPD中，底邊CD為定值，則當高取最小值時，面積有最小值，故問題變成當點P

在圓上運動至何處時，點P到CD距離最小。C、D、O為定點，則點O到CD距離為定值,計算CD、OC、OD

長，由勾逆知OC⊥CD，設點P到CD距離為h，則h+r≥OC，∴h≥OC-r，即當O、P、M三點共線時，h有最

小值，此時M與點C重合，故OC與圓O交點即為所求點P。

思路2：P點的確定也可以這樣想，平移CD，設平移后的直線為m，則直線m與CD間的距離即為

CD邊上的高，顯然，當直線m與圓O相切時，高h有最小值。

1、如圖，P為圓O內(nèi)一個定點，A為圓O上一個動點，射線AP,AO分別與圓O交于B，C兩點，若圓O的

半徑為3，OP=√3，則弦BC的最大值為________

2、如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓的中點，⊙C的半徑為2，AB=8，點P是直徑AB上的一動點，PM與

⊙C切于點M，則PM的取值范圍為___________

3

類型五、定弦定角

【基本原理】

如圖1\⊙O中，A、B為定點，則AB為定弦，點C為優(yōu)弧上任一點，在C點運動過程中則∠ACB的度數(shù)不

變逆運用如圖、點、為定點，點為線段外一點，且∠θ（θ為固定值）點在以

為弦的圓上運動（不與、重合）

??2ABCABACB=?C

ABAB

圖1圖2

例、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足∠ACB=60度，請在圖中畫出點C的運動軌跡，簡要

說明作圖步驟

步驟1、___________________________________________________

步驟2、___________________________________________________

練習、1、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足∠ACB=120度，請在圖中畫出點C的運動軌跡,

并寫出圓心角∠AOB=__________

2、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足∠ACB=120度，請在圖中畫出點C的運動軌跡,

4

【實戰(zhàn)應用】

例、如圖，⊙O的半徑為1，弦AB=1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最

大面積是_______________

1、如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC上的動點，BE⊥AD于E，則CE的最小值為___________

2、如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段

CP長的最小值為_________

類型六、定弦定角——反客為主

例、如圖，∠XOY=45°，一把直角三角尺ABC的兩個頂點A、B分別在OX、OY上移動，其中AB=10，那

么點O到頂點A的距離最大值為_______點O到AB的距離的最大值為______

【分析】：題意中AB為定長線段在角的兩邊滑動，O為定點，滑動中C為動點，AB兩點位置發(fā)生變化，點

O到AB距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借助物理中運動的相對性可知，若將△ABC固定，將∠

XOY的兩邊繞AB滑動，與原題中運動效果等價，題目中數(shù)量關系不會發(fā)生改變。問題則變?yōu)楫旤cO在圓上

運動至何處時，點O到AB距離最大。

1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形ABC的邊AC、AB上的點，且DE=2√2,以DE為邊向外作正方形DEFG，

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則AF的最大值為__________

2、如圖，△ABC中，∠ABC=45°，AC=2，半徑為√5的圓O始終過A、C兩點，連接OB，則線段OB長的的

最大值為__________

類型七、定弦定角——條件的確定

例、如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQ⊥OD

于點Q，點I為△OPQ的內(nèi)心，則當點P在弧AD上運動時，求I點運動路徑長。

[分析]：由內(nèi)心的基本結論知∠PIO=90o+1/2∠PHO=135o為定角，但其所對的邊OP

并非定弦，連ID，易證△AIO≌△OID，∴∠OID=∠PIO=135O,且其所對的邊為OD，

符合定弦定角條件，故I點軌跡為圓弧，問題易解。

1、如圖，邊長為3的等邊△ABC，D、E分別為邊BC、AC上的點，且BD＝CE，AD、BE交于P點，則CP的

最小值為_________

2、如圖，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D為AC上一動點，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點，連

CE，則CE的最小值為（）

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類型八、隱切線

例、已知A（2，0），B（4，0）是x軸上的兩點，點C是y軸上的動點，當∠ACB最大時，則點C的坐

標為__________

[分析]：將∠ACB看作以AB為弦的圓上的角，則圓心在AB的垂直平分線上，當圓心運動時，∠ACB的大

小也隨之改變，又因為點C為為y軸上的點，所以可將點C理解為圓O與y軸交點。Y軸與圓o的位置關

系有兩種：相交或相切，當圓O與y軸相交時，記交點為C1，當圓O與y軸相切時，記交點為C，如圖所

示，∠AC1B=∠AC2B,由圓上的角大于圓外的角可知，∠ACB＞∠AC2B，故當圓O于y軸相切時，∠ACB有

最大值。考慮對稱性可知，點C的位置有兩個，y軸正半軸和y軸負軸上各有一個點。

1、已知點A、B的坐標分別是（0，1）、（0，3），點C是x軸正半軸上一動點，當∠ACB最大時，點C的

坐標為____

2、在RtABC中，∠BAC=30°，斜邊AB=2√3，動點P在AB邊上，動點Q在AC邊上，且∠CPQ=90°，則線

段CQ長的最小值=____________

△

類型九、捆綁旋轉(zhuǎn)

例、已知A（2，0），B（5，0），點P為圓A上一動點，圓A半徑為2，以PB為邊作等邊△PMB，求線段

AM的取值范圍。

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[分析]：思路1：要求AM的取值范圍，則先確定M點運動軌跡。由等邊三角形聯(lián)想共頂點的雙等邊結構，

可構造和△PBM共頂點B的等邊△ABH，則△APB≌△HBM，所以點運動軌跡為以為圓心，

半徑為的圓上的點。過圓心時取得相應最大和最小值。

?HM=PA=2MH

思路：線段可看作由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)度得到，當點在圓上運動時，作出其

2HAM

繞點順時針旋轉(zhuǎn)度后的每一個對應點，則其應點的集合就是點運動軌跡。顯然其軌跡為圓。因為

2BMPBB60PA

每個對應點都是點繞點順時針旋轉(zhuǎn)度得到，所以點所在圓的圓心即為將點所在圓圓心繞點

B60M

順時針旋轉(zhuǎn)度得到。想象成鐘擺繞點順時針旋轉(zhuǎn)度

PB60MPA

B60[B60]

1、如圖，已知A（2，0），圓O半徑為1，點B為圓O上一動點，點C在第一象限，且△ABC為等腰直角

三角形，∠BAC=90度，求線段OC的最大值_____________

2、如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，點C為半圓AB上動點，以BC為邊在⊙O外作正方形BCDE，（點D在直

線AB的上方）連接OD．當點C運動時，則線段OD的最大值為__________