2026年陜西省榆林市高考數學模擬試卷（5月份）帶答案解析

2026年陜西省榆林市高考數學檢測訓練試卷（5月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.（5分）已知復數z滿足z（1-/）=-2+i（i是虛數單位），則復數z為（）

31311313

A.-i-iiB.---iC.-i-iiD.~--i

22222222

2.（5分）已知集合4={1,2,3,4,5},B={R0Vlog2x<2},則4nB=（）

A.{2,3}B.{2,3,4）C,{1,2,3}D.{1,2,3,4}

3.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五名同學排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，則不同的站

法共有（）

A.12種B.36種C.72種D.96種

4.（5分）已知函數/（X）=Si7l（3X+芻（3>0）的圖象關于點（泉0）中心對稱，則3的最小值為（）

*JO

A.1B.2C.3D.4

5.（5分）己知雙曲線C：/一苓=1伯>°）的左、右焦點分別為為（??0），F2（c,0）,。的一條漸

近線與直線/：無=：交于點若尸2的面積為企，則C的離心率為（）

A.2V3B.V3C.4D.2

6.15分）在平行四邊形4BCO中,E是邊上的點，啟=4記,F是線段OE的中點，若於=入京+

則入+四的值為（）

791113

A.-B.-C.-D.一

8888

7.（5分）已知函數/。）=（"°氏刈'℃43,若函數gG）=/a）-〃?有三個不同的零點，則〃？的

2-log2x,x>3,

取值范圍為（）

A.（0,1）B.[0,1）C.（0,1]D.[0,1]

8.（5分）球面上有A,B,C三點,NA6C=60°,A8=6C=6,球心O到平面A4C的距離是2,則球O

的體積是（）

327r2567r

A.---B.64nC.----D.256n

33

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項得2分，有兩個正確選項的，每個選項

得3分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）設拋物線氏d=4y的焦點為R過點。（0,3）的直線與E相交于A,B兩點，且|AF1

=2,|8F|=10,則（）

A.E的焦點坐標為（0,1）B.E的準線方程為），=-1

C.\AB\=4x/2D.△AO尸的面積為1

（多選）10.16分）已知函數/■（%）=，nx+芒及，則（）

A.函數的定義域為（0,+8）

B./（i）+/（%）=0

C.函數/（x）在區間（1,+8）上單調遞減

D.函數/（X）有兩個不同的零點XI,X2,且X1X2=1

（多選）11.（6分）已知數列｛由｝滿足山=1,an+1=4an+3%設他〃｝的前〃項和為S〃，則下列結論中

正確的是（）

A.42=7

B.數列｛冊+3"｝是等比數列

C.數列｛板｝中存在最大項

D.數列｛8｝中存在最小項

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）tan230+tan220+tan23°tan220=.

13.（5分）已知變量小），滿足線性相關關系，經驗回歸方程為y=0.4X+Q旦^=20,y=7.現有一對

觀測數據為（30,n）,若該數據的殘差為06則〃=.

14.（5分）對于三次函數/?）=0?+小+5+4（4W0）,給出定義：設/（x）是函數/'（X）的導函數，

r（X）是函數，（X）的導函數，若方程/（X）=0有實數解加，則稱點（沖，/（A0））為函數/（X）

的拐點.研究發現，任何二次函數/（X）都有拐點，又:有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設g（X）

1=1

=j?-6X2+17,數列｛“〃｝的通項公式為?2〃+11,則9（%）=.

8

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足〃=2,bc=2.

（I）若s出力=,，求sinB*sinC的值；

（2）求角A的最大值，并判斷此時△人BC的形狀.

16.（15分）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，側面布。_L底面A8CQ,底面A8CQ為梯形，AB//CD,AB

A.BC,AB=2BC=2CD=2a

（1）證明：4。_1_平面以。：

（2）若△以。為等腰直角三角形，PA=PD,求二面角B-P。-C的余弦值.

17.（15分）已知函數/（X）-x.

（1）當Q=［時，求函數/G）的最小值；

（2）若函數/（%）有極小值，記/（X）的極小值為g（?）,證明：g（a）<〃-1.

18.（17分）已知橢圓C：l（a>匕>0）的離心率為當右頂點為NG,0）.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點M（l,1）的直線/與C交于A,3兩點，在線段AB上取異于A,B的點P,且滿足粵=震.

\MB\\BP\

（/）求證：點P在定直線上；

（"）設直線NA,NP,N8的斜率分別為內，k2,依，求證：ki,h,以成等差數列.

19.（17分）某校園社團為分析一款文創產品在學生群體中的受歡迎程度與傳播規律，構建加下概率模型：

研究團隊選定〃名學生進行研究，假設每名學生對該產品的“基礎心動度”參數均相同，記為〃（OVa

<1）.規則如下:第一天，研究團隊從〃名學生中隨機招募"？（1W〃?V〃，且〃氏N*）名進行初始體驗,

每名學生體驗后購買的概率為P，且彼此相互獨立.從第二天起，每一天每名購買者會推薦未購買者參

與體驗，?旦成為購買者，將參與后續的推薦傳播，以此類推.

（1）當加=5,p=）l寸，求第一天結束，初始體驗的學生中恰有3名成為購買者的概率；

（2）求第一天結束，機名初始體驗的學生中，成為購買者的人數為奇數的概率：

（3）對于任意一位未購買者，若某天有kaeN”）名購買者嘗試向他推薦，則他當天成為購買者的概

率為1（1-d）k.當〃=6,6=2,p=2時，求在前兩天，學生甲成為購買者的概率（用含”的式子

表示）；基于此模型，簡要說明為什么在實際校園場景中，一款產品有時會突然“爆發式”走紅.

2026年陜西省榆林市高考數學檢測訓練試卷（5月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.（5分）已知復數z滿足z（17）=-2+i（，是虛數單位），則兔數z為（）

113

A.-B.-iC.D.-i

222

【解答】解：復數z滿足z（1-/）=-2+i（i是虛數單位）,

,,,,1-2+i(-2+i)(l+i)-2-2i+i-l3

則2=『=%_m+/=-2—=2

故選：A.

2.(5分)已知集合人={1,2,3,4,5},B={x|0<log2x<2},則AP8=()

A.{2,3}B.{2,3,4}C.{b2,3}D.{1,2,3,4)

【解答］解:B={x|0<log2r<2）={x\1<x<4},

又4={1,2,3,4,5},故4nB={2,3}.

故選：A.

3.（5分）甲、乙、丙、丁.、戊五名同學排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，則不同的站

法共有（）

A.12和1B.36種C.72種D.96種

【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊五名同學排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端,

則最左端有3種排法，

剩下的位置共4個元素，全排列為屬種，

所以共有34；=3x4x3x2xl=72種不同的站法.

故選：C.

4.（5分）已知函數/G）=sE（3x+?）⑷>0）的圖象關于點段,0）中心對稱，則3的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因為/（X）的圖象關于點弓，0）中心對稱,

所以-3+—=kn（keZ）,即3=62-2（AeZ）,

63

所以3（3>0）的最小值為4.

故選：D.

2

5.（5分）已知雙曲線C/-$v=1（5>0）的左、右焦點分別為g（-c,0）,Fi（c,0）,。的一條漸

近線與直線/：%=：交于點"，若AMF尸2的面積為注,則C的離心率為（）

A.25/3B.V3C.4D.2

【解答】解：雙曲線Cx2=l（b>0）的左、右焦點分別為Fl（-c,0）,Fl（c,0）,C的一條漸

設雙曲線的實軸長為24,則4=1.

根據雙曲線的對稱性，不妨取C的漸近線>=云,

與聯立，得點M的坐標為

所以SAA4F/2=4x2cx[=V2,解得b=V2,

從而c=+2=W,故離心率為*=

a

故選：R.

6.15分）在平行四邊形ABC。中,E是BC邊上的點,BZ=4日:,尸是線段DE的中點，若於=2.4%+〃6,

則入+四的值為（）

791113

A.一B.-C.—D.—

8888

【解答】解：因為平行四邊形A8CQ中，￡是8C邊上的點，BC=4EC,〃是線段QE的中點,

所以還=2（疝）+啟），

TTTT.TT.T

又力f=AB+BE=AB+^BC=AB+^AD,

T1TTI-7T

所以AF=4（i4D+AE）=+^AD,

g、ii1_7-_1,7_11

所以4=2，〃=g,a+〃=&+g=石?

故選：c.

7.(5分)已知函數/(%)=1°V》一3’若函數g(%)=/(x)-m有三個不同的零點，則機的

.2-log3Xfx>3,

取值范圍為()

A.(0,I)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1J

【解答】解：如圖,

令g(x)=0得/(x)=m.由題意可知函數/(x)的圖象與直線)，=〃?有三個交點，由圖可知"匯(0,

1).

故選：A.

8.(5分)球面上有A,&C三點，NA4C=60“，A4=4C=6,球心O到平面A4c的距離是2,則球O

的體積是()

327r2567r

A.---B.64nC.----D.256n

33

【解答】解：根據題意可得三角形人8c為邊長為6的正三角形，

所以三角形ABC的外接圓的半徑r=n裊市=2遮，

zstnou

又A,R.。三點在球O的球面上，且球心O到平面A4C的距離是2,

所以球的半徑R=^22+(2V3)2=4,

所以球。的體積為V=基R3=半.

JO

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項得2分，有兩個正確選項的，每個選項

得3分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)設拋物線E：/=4y的焦點為F,過點P(0.3)的直線與E相交于A,B兩點，且

=2,\BF]=\0,則()

A.￡的焦點坐標為(0,1)B.E的準線方程為)，=-1

C.\AB\=4V2D.ZVIO產的面積為1

【解答】解：由題可得：〃=2,

則E的焦點坐標為(0,1),準線方程為選項A,3均正確;

pE

設A\8z)2O

X1J\f,--2

yl2y2

可得*=4yl=4,xf=4y2=36,

設A(-2,1),8(6,9),則|4B|=8&,選項C錯誤;

因為A(-2,1),則^A。尸的面積SAA0F=5|OHd=5xlx2=L選項。正確.

故選：ABD.

圖，則(

(多選)10.(6分)已知函數f(x)=濟不+)

A.函數/(x)的定義域為(0,+8)

B./1》+f(x)=0

C.函數/(x)在區間(1,+8)上單調遞減

D.函數/(X)有兩個不同的零點XI，X2，且X1X2=1

【解答】解：對于4選項，根據題意可知Q0且1?1工0,解得x>0且XW1,

函數f(x)的定義域為(0,1)U(1,+8),因此選項A錯誤；

對于B選項，f?)+fQ)=上1------+m工+產；2=/1++；+：2=0，因此選項B正確;

對于C選項，/'(%)=,+僅〉o,函數/G)在(1,+8)和(o,1)上單調遞增，因此選項C

”(1-x2)

錯誤；

對于。選項，因為f(e)=占(0,/(M)=2+匿=^^°，

因此存在唯一的&e(e,e2),使得/(xo)=0.

根據選項B可知f(；)=一/(劭)=0，e(3'

x0xoee

因此函數/(x)有兩個不同的零點XI,.V2.

不妨設與=3，x2=x0,那么X\X2=1,因此選項D正確.

xo

故選：BD.

（多選）11.（6分）已知數列｛小｝滿足m=l,an+i=4an+3\設｛的｝的前〃項和為S〃，則下列結論中

正確的是（）

A.42=7

B.數列｛冊+3口是等比數列

C.數列｛“〃｝中存在最大項

D.數列｛&｝中存在最小項

【解答】解：當〃=1時，可得42=4.1+3,乂41=1,所以〃2=7,A正確；

n

閨/A晌、產"1+3計14即+3叮3吁14an+4-3

因為冊+1=4即+3'所以即+3'=a*'=不5r=4,

乂山+3=4#0,所以數列｛冊+3〃｝是以4為首項，4為公比的等比數列，B正確；

由8選項分析可得知+3n=4-"T=4髓，所以=4n-3n,

所以即+i-Qn=4〃+i-3"+i-（4"-3"）=3?4"-2?3">2?4”-2?3”>0怛成立,

所以“〃+]>〃〃，所以數列｛〃”｝為單調遞增數列，所以他“｝中不存在最大項，C錯誤；

因為數列｛〃〃｝為單調遞增數列，所以=

所以對任意S“2s。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）tan230+tan220+tan23°tan220=1.

【解答】解：???23°+22°=45°,tan45°=1,

tQ7i23°+tan22°

，

tan(230+23°l-tan23°tan22°

去分母整理，得tan230+tan23°=1-tan230tan220,

，原式=1Tan23°lan220+tan23°tan22°=1.

故答案為：1.

13.（5分）已知變量工、），滿足線性相關關系，經驗回歸方程為y=0.4%+Q且元=20,y=7.現有一對

觀測數據為（30,〃），若該數據的殘差為06則〃=11.6.

【解答】解:由題意，經驗回歸方程y=0.4x+。經過樣本中心點（元，y）,即點（20,7）.

所以7=0.4x20+a,

解得a=-l,

所以y=0.4x-1.

當x=30時，y=30x0.4-1=11,

則n=ll+0.6=11.6.

故答案為：11.6.

14.(5分)對于三次函數/(x)=辦3+/爐+5+4(〃K0),給出定義：設，(x)是函數/(公的導函數,

(X)是函數/'(X)的導函數，若方程/(X)=0有實數解加，則稱點(加/Go))為函數/(x)

的拐點.研究發現，任何三次函數/(x)都有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設g(x)

i=i

=？-6X2+17,數列｛“〃｝的通項公式為?2〃+11,則2T。(出)=8.

8

【解答】解：對三次函數g(幻=/-6』+17求導，得g'(幻=37-⑵，再求導得g”(x)=6,v-12.

令g"(x)=0,解得x=2,代入得g(2)=23-6X22+17=l,

故g(x)的對稱中心為(2,1),滿足g(A-)+g(4-x)=2.

數歹！的通項為?2〃+H,4|+。8=9+(-5)=4,42+07=7+(-3)=4,

43+46=5+(-1)=4,44+45=3+1=4,

即對i=l,2,3,4,均有5+49-7=4,故月(?,)+g(679-1)=2.

因此,%9@)=■(%)+g98)]+[g(g)+9(%)]+-&)+g(%)]+[gM+9(劭)]=4x2=

8.

故答案為：8.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知△ABC中，內角4,B,。的對邊分別為。，b,c,且滿足a=2,bc=2.

2

(1)若sim4=至，求sinB?sinC的值;

(2)求角A的最大值，并判斷此時△ABC的形狀.

【解答】解：(1)——=-y—=——=—=3,

sinAsinBsinC-

3

hchr2

所以=區，sinC=?所以出sinC；

。《DsJ8-J=-5-=5

2hc-a2_2x2-22

(2)cosA=

2bc_2bc=2x2

當且僅當b=c=/時，等號成立,

AG(0,n),則A的最大值為]此時上式等號成立,

即。=2,b=c=a，所以△ABC為等腰直角三角形.

16.(15分)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，側面布。_L底面A8CQ,底面A8CQ為梯形，AB//CD,AB

A.BC,AB=2BC=2CD=2a

(1)證明：4。_1_平面以。：

(2)若△以。為等腰直角三角形，PA=PD,求二面角B-P。-C的余弦值.

【解答】解：(1)因為AB〃CO,AB1BC,AB=2BC=2CD=2企，

所以N8CO=90°,80=2,/A8O=45°,

在梯形48co中，AD=J(直尸+(2&一遮產=2,

由4^+以^^人狀，可得AO_L8。，

又因為側面粗加，底面ABCD,側面小0G底面ABCD=AD,BDu底面ABCD,

所以8O_L平面抄1。，得證；

(2)以￡＞為坐標原點，DA,OB所在直線分別為x軸，)，軸，過點。且垂直于底面A8CD的直線為z

軸，

建立如圖空間直角坐標系D-移z,

xy

因為側面以￡>_!_底面ABCD,

所以P6平面xDz,

又△出。為等腰直角三角形，PA=PD,

則D(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,\,0),P(1,0,1),

所以法=(0,2,0),DP=[1,0,1),DC=(-1,L0),

設平面PBD的法向量為％=Q,y,z),平面PCD的法向量為蔡=(Q,b,c)

則九."=2y=°,故可取]=(Lo,一i)；

(n-DP=x+z=0

\m-DP=a+c=O,故可取蔡=(1,1,-1),

-DC=—a+b=0

則|cos<^,.〉|=呼叫=

|m||n|、'3XJ23

V6

又二面角B-PD-C為銳角，故其余弦值為?.

17.(15分)已知函數/(x)=ak-x.

(1)當a=；時，求函數/(X)的最小值；

(2)若函數f有極小值，記/(x)的極小值為g(〃)，證明：g(a)<ea-1.

【解答】解：(1)當。=:時，/(x)=^ex-x,函數/(x)的定義域為R,f'(x)=冬薩，

當xVl時，/(4)VO,/(x)單調遞減；當4>1時，，(x)>0,/(x)單調遞增，

因此f(X)min=f(1)=0.

(2)證明：函數/(公的定義域為R，/(x)=aex-1.

當時，/(x)<0,/(x)在R上單調遞減，/(x)無極小值，不符合題意；

當〃>0時，令，(x)=0?解得％=

當％<7n：時，f(x)<0,f(x)單調遞減；當x>仇:時，f(x)>0,f(x)單調遞增.

因此函數/(x)有極小值，極小值為/■(/*)=1+仇a，故g(a)=\+lna.

令h(a)=^-\-(1+加a)=d?Ina-2,則"(a)在(0,+8)上單調遞增.

因為打心)=Ve-2〈0,"⑴=e-1)0,

1

所以存在唯一的Qo6(*,1),使得九'(劭)=0,即ao=-Inao.

當托(0,ao)時，h'(a)<0,h(a)單調遞減；當赤(的，+?>)時，(〃)>0,h(a)單調

遞增，

a<e(t1

因此h(a)>/i(a0)=e°-lnaQ-2=^-+aQ-2=("。"故g(〃)~?

a。aQ

18.(17分)已知橢圓C：，+今=l(a>b>0)的離心率為當右頂點為N(l,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點M(l,1)的直線/與C交于43兩點，在線段4B上取異于A,B的點P,且滿足粵=二

\MB\\BP\

(/)求證：點P在定直線上;

(/7)設直線NA,NP,NB的斜率分別為內，內，依，求證：內，幻，七成等差數列.

【解答】解：⑴由題意可知，b=l,好學

又/-。2=廬，所以。2一,。2=1,解得。=2(4=-2舍去)，

所以橢圓C的方程為：［+#=1.

4

(2)證明：(儲由題意直線/的斜率存在，設直線/的方程為y-1=Z(x-1),

不妨設人(xi,y\),B(X2>*),P(x,y),且-1WxiVx〈x2<1,

(y-1=k(x-1),

由〈v2可得(4+9)/?(2必?22)x+必?2k-3=O,

信+-=1，

依題意△=(29-2%)2-4(4+后)(必?2k-3)=32&+48>0,

2/一2kk2-2k-3

所以%1+必=

4+必%1%2=4+k27

2

又|M川=V/c+l|%i-1|=7k2+1(1-X1),

222

同理|M8|=\!k+1(1—匯2)，18Pl=y/k+l(x2—x),\AP\=V/c+l(x—/),

,\MA\1/lPL^l-Xix-Xy/t-—

由;----=----；得----=----,化簡得2X1X2-(X1+X2)=(X1+X2-2)X,

\MB\\BP\l-x2x2-x

所以2xd_空二至二組二生_整理得攵=譚3,

4+必4+k24+必x-1

代入y-\=k(x-1),并化簡得4x+y-4=0,

所以點夕在直線4.v+j'-4=0二.

(ii)依題意向=言『攵2二壯『&二津T

由(i)易知心=噩=-4(點N,P都在直線4x+y-4=0上)，

_y1，力—巧(%2-1)+丫2(4一1)—(無2-1)(依1+1-幻+(4—1)(入2+1-〃)

1

3-叼_1+犯-1一(X1-1)(X2-1)一(%1-1)(%2-1)

_2kx1%2+(1-2k)(％1+%2)-2(1-1)

-XiX2-(x1+x2)+l'

又%1+%2=2k一.，XIx2=k_2km3,代入并整理得k\+ki=-8,

4+必4+kz

所以2&2=內+&3,即依，心,43成等差數列.

19.（17分）某校園社團為分析一款文創產品在學生群體中的受歡迎程度與傳播規律，構建如下概率模型：

研究團隊選定〃名學生進行研究，假設每名學生對該產品的“基礎心動度”參數均相同，記為。（0V。

<1）.規則如下：第一天，研究團隊從〃名學生中隨機招募〃？（1W〃?V〃，且〃?WN"）名進行初始體驗，

每名學生體驗后購買的概率為P，且彼此相互獨立.從第二天起，每一天每名購買者會推薦未購買者參

與體驗，一旦成為購買者，將參與后續的推薦傳播，以此類推.

（1）當m=5,時，求第一天結束，初始體驗的學生中恰有3