2026年高考數學一輪練習：拋物線（附答案）

§8.8拋物線

分值：100分

1ST知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.頂點在原點，對稱軸是），軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為（）

Ajr=±3yB./=±6x

Cy=±12yD./=±12r

2.已知拋物線C：P=2〃），（〃>0）的焦點為凡P（x0,8）是C上一點，且P到”的距離與P到C的對稱軸的距

離之差為2,則“等于（）

A.1B.lC.2或4D.4或36

3.已知拋物線C：的焦點為凡準線為/,尸是/上一點，。是直線尸尸與C的一個交點，若而=4而,

則IQF1等丁（）

7S

A二B.-C.3D.2

22

4.在平面直角坐標系。沖中，拋物線。：V=8x,尸為x軸正半粕上一點，線段OP的垂直平分線/交C于4,

B兩點,若NOAP=60。,則四邊形OAPB的周長為（）

A.64B.64V3C.—D.—

33

5.已知過拋物線C：）2=2pMp>0）的焦點尸的直線/垂直于x軸I,且與拋物線。交于P,。兩點，點E在x軸

」.，且比名二2.若％“次卬=2（。為坐標原點），則C的潴線方程為（）

A~r=-1B.%=--

2

3

dD..1

2

6.已知x軸上一定點A（a,0）（a>0）,和拋物線）2=2pMp>0）上的一動點M,若恒成立，則實數。的取

值范圍為（）

A.（0,外B.（0,p]

C.（0,D.（0,2p]

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知拋物線），=2px（p>0）的焦點為凡點P（5,刃）在拋物線上，且|Pf]=6,過點P作PQ_Lx軸于點Q,則

（）

A.p=2

B.拋物線的準線為宜線尸-I

C..yo=2V5

D.ZXFPQ的面積為4遍

8.已知拋物線）2=2/>（/>0）的焦點為凡A8是經過拋物線焦點尸的弦，M是線段A8的中點，經過點4,B,

M作拋物線的準線/的垂線AC,BD,MN,垂足分別是C,D,N,其中MN交拋物線于點。，連接QF,

NF,NB,NA,則下列說法正確的是（）

A.|MM5用

B.FNLAB

C.Q是線段MN的一個三等分點

D./QFM=NQMF

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.拋物線的準線方程是尸2,則實數a的值為.

10.已知點M（20,40）不在拋物線C：y2=2px（p>0）上，拋物線C的焦點為E若對于拋物線上的一點P,

IPM+IPQ的最小值為41,則〃的值等于.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知動點M與點F（2,0）的距離與其到直線.『-2的距離相等.

（1）求動點M的軌跡方程；（5分）

（2）求點M與點A（6,0）的距離的最小值，并指出此時M的坐標.（8分）

12.（15分）已知動圓過定點（4,0）,且在y軸上截得的弦長為8.

（1）求動圓圓心C的軌跡方程；（6分）

（2）已知戶為軌跡C上的一動點，求點戶到直線戶產4和y軸的距離之和的最小值.（9分）

能力拓展

每小題5分，共20分

13.已知拋物線）2=2pMp>0）上不同的三點A,B,C的橫坐標成等差數列，P為拋物線的焦點，則（）

A.A,B,C的縱坐標成等差數列B.A,B,。到x軸的距離成等差數列

C.A,B,C到原點的距離成等差數列D.A,B,。到點P的距離成等差數列

14.一個工業凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是f=2y,ye|0,101，在凹槽內放入一個清潔鋼

球（規則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）

A,-B.lC.2D.-

22

15.設做物線C：f=2)?的焦點為F,過拋物線C上的點尸作C的切線交x軸于點M,若NFPM=30。，貝U

尸PI等于()

A.gB.2C.A/2D.V3

16.已知拋物線y=和y=+5所圍成的封閉曲線上如圖所示，點M,N在曲線E上，定點A(0,a),

41b

則下列說法中不正確的是()

A.任意。￡(0,5),都存在點M,N,使得|AM|二|AN|

B.任意。￡(0,5),都存在點M,N,滿足這對點關于點A對稱

C.存在。￡(0,5),當點M,N運動時，使得IAM+HMW10

D.任意。￡(0,5),恰有三對不同的點M、N,滿足每對點M,N關于點A對稱

答案精析

LC2.D3.C

4.D［根據拋物線的對稱性以及AB為線段OP的垂直平分線，

可得四邊形。AP3為菱形,

又NO4P=60。，可得NAOP=60°,

故可設4(。,V3a)(a>0),

代入拋物線方程可得(Ha)2=8a,

解得“q,

故|Q4|=2a#,

故四邊形0AP8的周長為4X?=

5.A［由拋物線的方程)2=2px(p>0),

得咯，0),

由拋物線的對稱性，

不妨設P),

鳴-p),

當點E的坐標為6+2,0)時，

.-p-op

k^=P^=2，

22

因為kop-k，EQ=-2,

所以2X}-2,

則〃二2(不符合題意，舍去)；

當點E的坐標為《一2,0)時，

因為kop'kp,Q=-2,

所以2X(-y=-2,

貝|J〃=2,所以拋物線。的準線方程為戶-1」

6.B［設M(xo,yo)(xo20),

貝i」?=2pxo,

所以|AM二J(x°—a)2+V

2/(無0-a)2+2/0

二扃一(2。-2p)%+M,

因為恒成立，

所以詔-(2a-2")xo+"2〃2恒成立，

所以詔-(2a-2p)M)20恒成立，

當x()=0時，顯然恒成立，

當%o>O時,檢22。-2P恒成立，

所以2a-2pW0,則aWp,

又〃>0,所以0<aW〃，

即實數。的取值范圍為(0,〃].]

7.AD|拋物線V=2pMp>0)的準線為直線廣￡,

過點P向準線作垂線，垂足為M,由拋物線的定義可知|PF|=|PM=5++6,解得p=2,則拋物線的方程為

y2=4x,準線為直線產-1,故A正確，B錯誤；

將A-=5代入拋物線方程，解得.yo=i2V5,故C錯誤；

焦點尺1,0),點P(5,±275),

即「。|二2花，所以2x/5X(5-1)=475,故D正確」

8.ABD[如圖，由拋物線的定義，

得|AQ=|AF|,

\BD\=BF],

又二幽廿也

則二"為竺,A正確；

22

由|歷川|與依陰，,

得IMM=HM,

所以NMAN=NMNA.

而NMNA=NCAN,

所以NMAN=NCAN,

所以△4NCg△ANF,

可知/ACN=N4”290°,

所以FN上AB,B正確；

在RtAMNF中,|QN|=|QF|,可知NQNF=NQFN,所以NQFM二NQMF,D正確；

由N。氏M=NQMf\可知IQF1=|QM,所以|QN)=|QM，即。是MN的中點，C不正確.]

解析由題意-；=2,

4a

解得a吟

10.42或22

解析當點M(20,40)位于拋物線內時，如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D,

貝二,

\PM\+\PF]=\PM\+\PD\.

當點M,P,。三點共線時，

IPMHPQ的值最小.

由最小值為41,得20+舁41,

解得p=42；

當點M(20,40)位于拋物線外時，如圖②，當M,P,〃三點共線時，

IPM+IPQ的值最小為幽凡

由最小值為41,

f1j4D2+(2O-02=41,

解得p=22或p=58.

當p=58時，y2=l16x,點M(20,40)在拋物線內，故舍去.

綜上,p=42或p=22.

①②

11.解(1)由題意知動點M到82,0)的距寓與它到直線廠-2的距離相等，所以動點M的軌跡為以F(2,0)

為焦點，以直線4-2為準線的拋物線，

因此動點M的軌跡方程為〉?二8工

(2)設陪，m),

由兩點間的距離公式得

|MA|二J償-6)2+7712

(加-16尸+32,

當m2=16,即m=±4時，|MA|min=4\攵,

即當M的坐標為(2,4)或(2,-4)時，點M與點A的距離最小，最小值為4注.

12.解(1)設圓心C的坐標為(孫歷,

則半徑r=yj(x-4)2+y2,

又動圓在y軸上截得的弦長為8,

所以4?+/=(x-4尸+尸，化簡得產=心，

即動圓圓心C的軌跡方程為)?=8x.

(2)如圖，設軌跡C的焦點為F(2,0)，點P到直線產x+4的距離為|PP||,到)，軸的距離為IPP2I,點F"到直

線尸:+4的距離為|仍|,

由拋物線的定義，可知|PP2|=|PA|-2,所以|PPI|+|PP2|:|PPI|+|PF|-2,

由圖可知IPPil+IP/q的最小值為點/到直線y=x+4的距離，

所以（|PPi|+|PF|）min=|FBIq^=3&,所以IPP1I+IPP2I的最小值為3V2-2.

即點P到直線產葉4和y軸的距離之和的最小值為3yli-2.

13.D［設點A,B,C的坐標分別為3,》），8,力），8,”），P?，0），準線方程為x=-^,

因為拋物線戶2Pxs>（））上不同的三點A，B,。的橫坐標成等差數列，所以有24書+內,于是有

2%”（用=卜-（-9卜卜3-（一朗.

根據拋物線定義可得218Pl=|AP|+|CP|,顯然選項D正確；

當三點A,8,C的坐標分別為（0,0）,（2,2萬），（4,2回）時，因為〃>0,所以2X2而=0+2歷不成立，

因此選項A不正確；

因為A,8,C到x軸的距離分別為0,2赤，2歷，p>0,所以2X2血=0+2再不成立，因此選項B不

正確；

因為|AO|=0,|BO|=J4+4P,\CO\=y/16+8p,/?>（）,所以2義J4+4P=（）+J16+8P不成立,因此選項C不

正確.］

I4.B［作截面，如圖所示，設清潔鋼球截面圓的圓心為（（），yo）（yo>O）,若清潔鋼球能觸及凹槽的最底部，

則清潔鋼球的半徑三則，

又拋物線f=2y,y￡[0,10]上的點(x,y)到圓心距離的平方為

222

d=r-(y-y0)=2v+(y-y0)

二）12（1?州））葉羽，）心［0,10］,

若"的最小值在.尸0時取到，則清潔鋼球觸及凹槽的最底部，

故二次函數如)守+2(1?必》+光圖象的對稱軸方程應滿足-1+和W0,

所以yoW1,所以0<rW1,

從而清潔鋼球的半徑7?的取值范圍為(0,1],

所以清潔鋼球的最大半徑為1.J

15.B[由已知得/(0,,

設P(xo,yo)，的WO,yoWO,則1=2泄,

由jv2/,，即尸吳,則尸x,

所以過點5的拋物線C的切線的斜率為xo,

則切線方程為y->,o=xo(x-xo),

當),=()時，X=H;曳，

%0XO

即用點的坐標為管,0),

貝=J(&一1)2+仇—0)2=心+%,

1”產加+J

又/尸。河;30。，

則在△"M中，由余弦定理得，

\FMf=\FP\2+|PM?-2伊P||PM|cosNFPM,

2

則葭+4=(y0+I)+技+'A2。0+

整理得2y尹州?百(y0+0xR+%=0,

解得vo=|,

所以儼P|*+>2.]

16.D映物線產務2和產-白？+5的對稱軸都為)，軸，因此封閉曲線E關于)，軸對稱，

416

對于A,任意〃￡(0,5),在曲線E上取關于)，軸對稱的兩點M,N,而點A(0,〃)在)'軸上，有|AM|=|4N|,

A正確；

對于B,對任意〃W(0,5),過點A且垂直于y軸的直線與曲線上的交點M,N關于點A對稱，B正確；

對于C,聯立y=%2與y=-5V2+5,

x=-4,\x=4,

或

(y=4(y=4，

取a=1,即A(0,1),拋物線y=V,

即f=4)，