小學數學五年級上冊《一個數除以小數》導學案

小學數學五年級上冊《一個數除以小數》導學案

??一、課程核心定位與學情全景透視

??本課隸屬于“數與代數”領域“數的運算”模塊，是小學數學整數、小數四則運算知識體系中的關鍵樞紐與教學難點。在此之前，學生已經牢固掌握了除數是整數的除法（包括小數除以整數）、小數乘法的計算法則，并對商不變的性質有了初步的理解和應用經驗。然而，從“除數是整數”到“除數是小數”的跨越，絕非簡單的算法遷移，而是涉及數系擴張（從整數到小數）背景下運算意義與算理的深度重構。五年級學生正處于具體運算思維向形式運算思維過渡的關鍵期，其思維特點表現為：能基于具體情境和直觀模型進行邏輯推理，但對完全抽象化的算理歸納與形式化的算法提煉仍存在一定困難。常見的迷思概念包括：機械地將“小數點對齊”遷移為除法的計算法則；對“為什么要把除數轉化為整數”的理解停留在表層指令，未能內化為對除法運算本質的堅守；在移動小數點時，對被除數發生同步變化的必要性認識模糊，容易遺漏。因此，本教學設計旨在超越單純技能訓練的傳統模式，以“理解算理、掌握算法、發展思維”為核心目標，通過創設階梯式探究任務、多元表征互譯（情境、操作、圖形、符號）、以及高認知水平的思辨活動，引導學生親歷知識的“再創造”過程，實現從機械操作到意義理解的躍升，并在此過程中培養運算能力、推理意識、模型意識和應用意識。

??二、學習目標三維矩陣

??（一）知識與技能維度

??1.在具體問題情境中，理解一個數除以小數的算理根基：將除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法，其核心依據是商不變的性質。

??2.通過自主探究與合作交流，能夠正確、清晰、完整地表述和歸納一個數除以小數的計算方法，并能熟練、準確地進行筆算。

??3.能根據實際需求，靈活運用“四舍五入”法對除法的結果取近似值，初步形成根據情境處理計算結果的能力。

??4.能夠綜合運用小數除法知識解決稍復雜的實際問題，提升信息提取、數量關系分析與數學建模的能力。

??（二）過程與方法維度

??1.經歷“發現問題-提出猜想-驗證猜想-形成結論-應用拓展”的完整數學探究過程，體驗轉化、遷移、類比等基本數學思想方法。

??2.學會運用直觀模型（如人民幣單位換算、面積模型、線段圖等）輔助理解抽象算理，實現算理直觀化與算法程序化的有效鏈接。

??3.通過對比分析不同情境下的除法算式，培養觀察、分析、概括和語言表達的邏輯嚴謹性。

??（三）情感、態度與價值觀維度

??1.在探究算理的過程中，感受數學知識之間的內在聯系和邏輯之美，激發對數學嚴謹性與系統性的認同感。

??2.通過解決富有現實意義的問題，體會數學在生活中的廣泛應用價值，增強數學應用意識。

??3.在小組合作與思辨交鋒中，養成獨立思考、敢于質疑、樂于合作、嚴謹求實的科學態度。

??三、教學重難點解構與突破路徑

??（一）教學重點：理解并掌握一個數除以小數的計算算理與算法。

??（二）教學難點：

??1.算理層面：深刻理解“利用商不變的性質，將除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法”這一轉化思想的本質與必要性。學生需理解，轉化是為了堅守“除法是求一個數里包含多少個另一個數”的基本定義，使運算在已掌握的認知結構內得以進行。

??2.算法層面：正確處理除數與被除數小數點移動的聯動關系。明確“除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也必須向右移動幾位”這一操作背后的原理，并能正確處理被除數位數不足時需補“0”的情況。

??（三）突破路徑：

??1.多重情境錨定：創設“編制中國結”、“購買文具”、“分配彩帶”等貼近學生生活且蘊含相同數學結構的問題情境，讓學生在反復的“問題解決-模式識別”中感知共性。

??2.多元表征橋接：設計從“具體實物操作”（如兌換人民幣）到“半抽象圖示”（如畫圖表示數量關系），再到“完全符號運算”的遞進式活動，幫助學生構建從具體到抽象的認知階梯。

??3.對比辨析深化：組織學生對比“7.65÷0.85”與“765÷85”、“7.65÷8.5”等算式，在異同點分析中強化對轉化條件和變化規律的認識。

??4.關鍵問題驅動：貫穿“為什么一定要把除數變成整數？”、“只移動除數的小數點行不行？”、“被除數的小數位數不夠怎么辦？”等系列問題鏈，驅動學生深度思考。

??四、教學準備全景圖

??（一）教師準備：

??1.多媒體課件：包含問題情境動畫、動態演示小數點移動過程的交互式課件、對比分析圖表、梯度練習與拓展素材。

??2.教具：放大版的計算過程卡片、可移動的磁性小數點模型、人民幣學具（元、角、分）圖示卡。

??3.預設學生學習單：包含探究記錄表、算理理解圖示區、分層練習區。

??（二）學生準備：

??1.復習商不變的性質，并能舉例說明。

??2.熟練掌握除數是整數的除法筆算。

??3.準備草稿本、筆。

??五、教學實施過程精細化設計（核心環節）

??（一）第一課時：算理的生發與算法的建構

??環節一：創設沖突，孕伏轉化（預計用時：8分鐘）

??1.情境導入，呈現問題。

???師：（課件出示）為慶祝元旦，五年級（1）班的同學們準備用彩帶編織中國結。已知編一個大的中國結需要0.85米彩帶，現在有一卷總長為7.65米的彩帶。請問，這卷彩帶最多可以編多少個這樣的中國結？

???學生齊讀題目，教師引導找出已知條件和所求問題。

??2.列出算式，引發認知沖突。

???師：如何列式解決這個問題？（預設學生列出：7.65÷0.85）

???師：觀察這個除法算式，與我們之前學過的除法有什么不同？（預設：以前學的除法，除數都是整數，這個算式的除數是小數。）

???師板書課題核心：一個數除以小數。

???師：除數是小數，該怎么計算呢？能不能直接用我們以前學過的除法豎式來計算？請大家先估一估，大約能編幾個？再試著用豎式算一算，看看會遇到什么困難。

???學生獨立嘗試豎式計算，教師巡視，收集典型做法（包括錯誤的和試圖轉化的）。

??3.暴露困惑，聚焦核心。

???展示學生可能出現的錯誤豎式（如直接將小數點對齊后進行除法）。

???師：這樣算對嗎？為什么？計算除數是小數的除法，我們面臨的真正挑戰是什么？（引導學生說出：不會算除數是小數的除法；除數是小數，不知道商的小數點該怎么點。）

???師：我們的目標是求出7.65米里包含了多少個0.85米。但“0.85”這個標準不是整數，不方便我們直接用已有的除法知識去“數”。怎樣才能讓它變得方便呢？

??環節二：多元探究，深析算理（預計用時：20分鐘）

??1.策略一：依托生活經驗，進行單位換算。

???師：想一想，在生活中有沒有遇到過類似的問題？比如，0.85米和7.65米，如果用更小的單位來表示呢？

???生：可以把“米”化成“厘米”。0.85米=85厘米，7.65米=765厘米。

???師：現在問題變成了什么？（765厘米里面有多少個85厘米）算式怎樣列？（765÷85）

???學生口算或豎式計算：765÷85=9。

???師：看，通過單位換算，我們把除數是小數的除法（7.65÷0.85）變成了除數是整數的除法（765÷85），結果不變。這是一種非常智慧的“轉化”方法。

??2.策略二：運用商不變性質，實現數學轉化。

???師：單位換算是通過改變單位來實現的。在數學運算內部，有沒有一個通用的“法寶”，能讓我們在不改變商的大小的前提下，把除數變成整數？

???生回憶：商不變的性質——被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變。

???師：太好了！現在，我們要把除數0.85變成整數85，需要怎么做？

???生：把0.85乘100。

???師：根據商不變的性質，要使商不變，被除數應該怎么辦？

???生：也要乘100。

???師生共同完成轉化過程板書：7.65÷0.85=(7.65×100)÷(0.85×100)=765÷85。

??3.策略三：可視化模型，直觀理解。

???利用課件動態演示：將一條代表7.65的線段和一條代表0.85的線段同時放大100倍，變成765和85。清晰地展示“標準”（除數）和“總量”（被除數）同步擴大的過程，強化“同時變化”的視覺印象。

??4.溝通聯系，提煉本質。

???師：比較一下“單位換算”和“應用商不變性質”這兩種方法，它們有什么共同點？

???引導學生發現：本質都是將被除數和除數同時擴大到原來的相同倍數（這里是100倍），把除數是小數的除法，轉化成了除數是整數的除法來計算。這體現了數學中非常重要的“轉化”思想。

???師：在這個轉化過程中，關鍵看誰？（除數）我們把除數變成了整數，被除數跟著發生相應的變化。

??環節三：抽象算法，形成技能（預計用時：12分鐘）

??1.從算理到算法，規范豎式過程。

???師：我們理解了算理，如何在豎式中實現這個轉化過程呢？請大家以7.65÷0.85為例，嘗試寫出規范的豎式計算過程。

???學生嘗試，教師規范板書：

???第一步：寫豎式，先寫成7.65÷0.85的形式。

???第二步：移動小數點。重點講解：為了把除數0.85變成整數85，需要將小數點向右移動兩位。在豎式中，我們可以直接劃去除數0.85的小數點，并在其后面（上方）寫一個“→2”的標記，表示它的小數點向右移動了兩位。

???第三步：根據商不變性質，被除數7.65的小數點也必須向右移動兩位。但是7.65只有兩位小數，移動兩位后，小數點移到5的后面，變成了765。在豎式中，劃去被除數7.65的小數點，并在其后面（上方）也寫一個“→2”的標記。因為位數正好，所以不需要補0。

???第四步：在新的算式765÷85上進行計算。注意商的位置：因為我們現在算的是765除以85，所以商應該寫在5的上面。

???第五步：計算并得出結果9。

??2.對比辨析，深化理解。

???出示變式：12.6÷0.28。

???師：這個算式該如何轉化？除數0.28變成整數28，小數點要向右移動幾位？（兩位）被除數12.6的小數點也要向右移動兩位，但12.6只有一位小數，位數不夠怎么辦？

???引導學生討論得出：位數不夠時，要用“0”補足。所以12.6的小數點右移兩位后變成1260。

???學生完成豎式計算，教師強調補“0”的關鍵步驟。

??3.嘗試歸納，總結算法。

???師：通過剛才的學習和計算，你能總結一下“一個數除以小數”的計算方法嗎？先獨立思考，再小組交流。

???預設學生歸納，教師整理并板書算法要點：

???一看：看清除數有幾位小數。

???二移：先移動除數的小數點，使它變成整數；再移動被除數的小數點，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動幾位（位數不夠的，在被除數的末尾用“0”補足）。

???三算：按照除數是整數的小數除法進行計算。

???師：這個算法口訣的核心是什么？（“轉化”——把新知識轉化成舊知識。）

??（二）第二課時：算法的鞏固、應用與思維拓展

??環節一：基礎夯實，辨析內化（預計用時：15分鐘）

??1.直接寫得數（快速反應練習）。

???設計如2.4÷0.4=，5.6÷0.8=，0.36÷0.09=等口算題，重點訓練學生口頭完成“移動小數點”的轉化過程，強調速度與準確性。

??2.豎式計算工坊。

???出示三組有代表性的筆算題：

???第一組：常規題。如62.4÷2.6，2.38÷0.34。

???第二組：需補“0”題。如5.98÷0.23，10.8÷4.5（被除數移動后變成整數，但商仍需點小數點）。

???第三組：商中間有“0”或整數除法。如21÷1.4，8.84÷1.7。

???學生獨立計算，同桌互批，針對錯例進行“錯因診斷會”，聚焦“小數點移動錯誤”、“補0遺漏”、“商的小數點位置錯誤”等問題。

??3.火眼金睛辨對錯。

???出示幾道典型錯誤豎式，如：

???①2.6）6.5（直接將除數當成整數，未處理被除數）

???②0.32）12.8（除數移動兩位，被除數只移動了一位）

???要求學生找出錯誤并改正，說明錯誤原因，鞏固算法關鍵步驟。

??環節二：綜合應用，解決問題（預計用時：18分鐘）

??1.情境問題串。

???問題1（單價、數量、總價）：蘋果每千克售價5.6元，媽媽付了30.8元，能買多少千克蘋果？

???問題2（速度、時間、路程）：蝸牛每分鐘爬行0.18米，爬完一段0.72米長的樹枝需要多少分鐘？

???問題3（歸一問題）：3臺同樣的抽水機，4小時可以澆地2.4公頃。照這樣計算，一臺抽水機每小時可以澆地多少公頃？

???引導學生分析數量關系，正確列式，并關注計算結果的合理性。例如，在問題3中，涉及連除或先乘后除，考察學生對小數除法運算順序的掌握。

??2.結果取近似值。

???出示問題：每個油桶最多可以裝4.5千克油。要裝完60千克油，至少需要準備多少個這樣的油桶？

???學生列式：60÷4.5≈13.33…（個）

???師：計算結果約等于13.33…個，但油桶的個數能是小數嗎？應該怎么辦？

???介紹“進一法”：在解決容器盛物、車輛運輸等問題時，無論結果的小數部分是多少，都要向整數部分進一，才能保證全部裝完。所以需要14個桶。

???對比練習：用一段25米長的絲帶包裝禮盒，每個禮盒要用1.5米絲帶。這段絲帶可以包裝多少個禮盒？

???列式：25÷1.5≈16.66…（個），這里需要用“去尾法”，因為不夠包裝第17個，所以只能包裝16個。

???引導學生討論在什么情況下用“四舍五入”、“進一法”或“去尾法”，培養根據實際情況處理計算結果的意識。

??環節三：思維拓展，聯結貫通（預計用時：7分鐘）

??1.開放探究：括號里的魔術。

???出示：()÷0.25=4.8

???師：不直接計算，你能快速想出括號里是多少嗎？你是怎么想的？

???引導學生逆向運用“商不變”或乘除法的關系：除數0.25變成1需要乘4，要使商不變，被除數也要乘4，所以4.8×0.25或4.8÷4。此題溝通乘除法互逆關系。

??2.規律探索：觀察與發現。

???計算下面每組題，并觀察規律：

???①4.8÷1.2=②4.8÷0.8=

???4.8÷0.6=4.8÷0.4=

???引導學生發現：當被除數不變時，除數大于1，商反而小于被除數；除數小于1，商反而大于被除數。并嘗試用自己的語言解釋這一規律（除數越小，被除數能被分成的份數越多，每份雖然變小，但份數增加的影響更大，導致總商變大）。此為后續學習分數除法中“除以一個數等于乘它的倒數”埋下伏筆。

??3.跨學科小鏈接（微視頻或閱讀材料）：

???簡要介紹小數在科學計量（如微生物長度、藥物劑量）、經濟金融（匯率換算）中的精密應用，體現小數除法在精密計算中的價值。例如：已知1美元兌換6.5元人民幣，一件標價325元人民幣的商品，折合多少美元？（325÷6.5）將數學學習置于更廣闊的應用背景中。

??六、分層作業設計與評價建議

??（一）分層作業設計

??1.基礎鞏固層（全體學生必做）：

???①完成教材配套練習中的基礎計算題和應用題。

???②編制一份包含5道“一個數除以小數”的計算題卡，并算出答案。

??2.能力提升層（中等及以上學生選做）：

???①解決復合型實際問題，如：“工程隊修一條長8.4千米的公路，原計劃每天修0.6千米，實際每天比原計劃多修0.2千米。實際修完這條路比原計劃少用多少天？”

???②探究題：已知A×0.5=B÷0.5（A、B均不為0），比較A和B的大小，并說明理由。

??3.思維拓展層（學有余力學生挑戰）：

???①數學小論文（提綱）：以《“變身”的除法——談商不變性質的妙用》為題，梳理本單元所學，闡述轉化思想。

???②設計一道能夠綜合運用“進一法”和“去尾法”解決的生活實際問題，并寫出解答過程。

??（二）教學評價建議

??1.過程性評價：

???課堂觀察記錄：重點關注學生在探究活動中的參與度、合作交流的效能、提出與解決問題的主動性。

???學習單分析：通過分析學生探究記錄、錯題成因自析，評估其算理理解深度和元認知水平。

??2.紙筆評價：

???設計涵蓋算理理解（如填空、判斷說明理由）、算法掌握（豎式計算）、綜合應用（解決問題）三個維度的單元小測