【高中物理中的臨界與極值問題研究7300字（論文）】

高中物理中的臨界與極值問題研究一、臨界與極值概念所謂物理臨界問題是指各種物理變化過程中，隨著條件的逐漸變化，數量積累達到一定程度就會引起某種物理現象的發生，即從一種狀態變化為另一種狀態發生質的變化（如全反射、光電效應、超導現象、線端小球在豎直面內的圓周運動臨界速度等），這種物理現象恰好發生（或恰好不發生）的過度轉折點即是物理中的臨界狀態。與之相關的臨界狀態恰好發生（或恰好不發生）的條件即是臨界條件，有關此類條件與結果研究的問題稱為臨界問題，它是哲學中所講的量變與質變規律在物理學中的具體反映。極值問題指的是現象的最大(或最小)達成物理量在物理變化的過程中,當條件不斷變化的數量在關鍵位置或當條件不斷變化的數量取邊界值(也稱為端點值),這種物理現象的研究和發生的條件稱為極值問題。臨界與極值問題雖是兩類不同的問題，但往往互為條件，即臨界狀態時物理量往往取得極值，反之某物理量取極值時恰好就是物理現象發生轉折的臨界狀態，除非該極值是單調函數的邊界值。因此從某種意義上講，這兩類問題的界線又顯得非常的模糊，并非涇渭分明。高中物理中的臨界與極值問題，雖然沒有在教學大綱或考試說明中明確提出，但近年高考試題中卻頻頻出現。從以往的試題形式來看，一些直接在主題“只是”,“大”是常用的干燥,“至少”,“沒有沖突”,“不是”……這樣的詞提供了明確的臨界狀態的暗示,這個話題,抓住特定的單詞,發現含有物理規律,找出相應的臨界條件。有一些關鍵問題沒有顯示通用術語“關鍵”,有一定的隱藏,解決問題的靈活性更大,主題應該試圖恢復問題集的物理場景,仔細討論的變化狀態。限制方法,可用物理或物理過程的極端的問題,因此將創新臨界狀態和臨界條件;或使用的方法假設,假設一些臨界狀態,分析對象的力和運動狀態是否符合的問題,最后,根據實際情況也可用數學函數極值法找出臨界狀態，然后抓住臨界狀態的特征，找到正確的解題方向。從以往試題的內容來看，對于物理臨界問題的考查主要集中在力和運動的關系部分，對于極值問題的考查則主要集中在力學或電學等權重較大的部分。二、常見臨界狀態及極值條件解答臨界與極值問題的關鍵是尋找相關條件，為了提高解題速度，可以理解并記住一些常見的重要臨界狀態及極值條件：1.雨水從水平長度一定的光滑斜面形屋頂流淌時間最短——屋面傾角為2.從長斜面上某點平拋出的物體距離斜面最遠——速度與斜面平行時刻3.物體以初速度沿固定斜面恰好能勻速下滑（物體沖上固定斜面時恰好不再滑下）—μ=tgθ。4.兩個物體之間發生相對滑動的臨界：兩物體之間靜摩擦力達到最大值。5.兩個發生相對運動的物體同向運動時其間距離最大或最小：兩物體速度相等。6.兩個發生相對運動的物體相對速度最大或最小：兩物體加速度相等。7.位移一定的先啟動后制動分段運動，在初、末速及兩段加速度一定時欲使全程歷時最短——中間無勻速段（位移一定的先啟動后制動分段勻變速運動，在初速及兩段加速度一定時欲使動力作用時間最短——到終點時末速恰好為零）8.兩車恰不相撞——后車追上前車時兩車恰好等速。9.兩個加速運動的物體速度達到最大臨界：加速度等于0。10.兩個相互接觸的物體剛好分離臨界：兩物體接觸但彈力恰好為零且加速度相同。11.物體所能到達的最遠點——直線運動的物體到達該點時速度減小為零（曲線運動的物體軌跡恰與某邊界線相切）12.在排球場地3米線上方水平擊球欲成功的最低位置——既觸網又壓界13.木板或傳送帶上物體恰不滑落——物體到達末端時二者等速。14.線（桿）端物在豎直面內做圓周運動恰能到圓周最高點—最高點繩拉力為零（）15.豎直面上運動的非約束物體達最高點——豎直分速度為零。16.細線恰好拉直——細線繃直且拉力為零。17.已知一分力方向及另一分力大小的分解問題中若第二分力恰為極小——兩分力垂直。18.動態力分析的“兩變一恒”三力模型中“雙變力”極小——兩個變力垂直。19.欲使物體在兩個力的作用下，沿與成銳角的直線運動，已知為定值，則最小時即恰好抵消在垂直速度方向的分力。20.渡河中時間最短——船速垂直于河岸，即船速與河岸垂直（相當于靜水中渡河）。21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度與水速抵消。22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速與合速度垂直。23.“圓柱體”滾上臺階最省力——使動力臂達最大值2R。24.機車從靜止勻加速啟動過程持續的最長時間——25.損失動能最小（大）的碰撞——完全彈性（完全非彈性）碰撞。26.只有機械能與電勢能相互轉化時，重力勢能與電勢能之和最小時，動能最大。27.粒子恰不飛出勻強磁場——圓形軌跡與磁場邊界相切。28.純電阻負載時電源輸出功率最大——內外電阻阻值相等。29.滑動變阻器對稱式接法中阻值達最大——滑至中點。30.傾斜安放的光滑導軌上的通電導體棒靜止時，所加勻強磁場方向若垂直于斜面的情況下磁感強度最小。31.剛好發生光電效應——入射光頻率等于極限頻率。32.帶電粒子恰好被速度選擇器選中（霍爾效應、等離子發電）——電場力與洛力平衡。33.“地面衛星”（氫原子處于基態）時，勢能最小、總能量最小、運動周期、角速度均最小；速度、向心力、加速度均最大。34.等量同性質點電荷連線的中垂線上場強最大的位置求解。三、臨界與極值問題一般解法臨界問題通常基于物理定律，如定理和定律。分析了問題的一般規律、一般解的形式及其變化。然后找出臨界狀態和臨界條件，通過臨界條件求出臨界值，然后根據變化直接寫出臨界條件。解極值問題的方法可分為物理方法和數學方法。物理方法是利用臨界條件求極值。數學方法包括：（1）用矢量圖求極值(2）用正弦（余弦）函數求極值（3）用拋物線頂點法求極值（4）用基本不等式求極值。（5）單調函數端點值法求極值（6）導數法求解。一般來說，物理方法簡單、直觀、直觀，對建立物理模型和動態分析能力要求較高；但是，數學方法嚴謹，對數學建模能力要求很高。如果這兩種方法能結合起來，將有助于提高解決問題的能力四、典型問題剖析例題例題3．一個質量為3kg的物體放在長木板上，當木板一端抬起使它與水平方向成30°的固定斜面時，物體正好可以沿斜面勻速下滑。當木板水平固定時，用多大的水平拉力能將該物體拉動解析：在斜面上物體所受摩擦力與重力沿斜面向下的分力平衡即F=mgsin30°而滑動摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的時候壓力大小等于重力大小。則水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要達到這個值才能拉動物體，例題4-1．某物體所受重力為200N，放在水平地面上，它與地面間的動摩擦因數是，它與地面間的最大靜摩擦力是80N，至少要用_________N的水平推力，才能將此物體推動，若推動之后保持物體做勻速直線運動，水平推力應為_________N；物體在地面上滑動過程中，若將水平推力減小為50N，直到物體再次靜止前，它所受到的摩擦力為_________N；物體靜止后，此50N的水平推力并未撤去，物體所受的摩擦力大小為_________N.baBbaBL1L2例題5-1．甲物體以做勻速直線運動，乙物體在其后面5m處沿同一直線同一方向做初速為零加速度的勻加速直線運動，問乙物體是否可以追上甲物體并求出其間距離的最大值。解法一：（1）乙物體一定可以追上甲物體。（2）用臨界法分析求極值：乙物體加速至前，速度小于其前方的甲物體運動速度，此階段其間距離不斷增大，當乙物體加速至后，速度大于其前方的甲物體運動速度，所以在尚未追上甲物體前，其間距離不斷減小，故等速時其間距離最大。令解得此時相距最遠解法二：（2）用拋物線頂點坐標法求極值：依據甲乙兩物體各自運動規律可得出其間的距離函數顯然當s時解析：這里彈性勢能最大時即簧壓縮量最大，亦即A與左側墻壁碰后以為初速（碰墻壁無機械能損失）向右減速運動，B仍以為初速向左減速，但B球質量小先減至零又反向向右加速運動，二者均向右運動等速時其間距離最小，此時簧的彈性勢能最大。因為碰墻壁后向右運動過程A+B系統總動量守恒，如果選向右為正方向則又因為碰墻壁后向右運動過程A+B（含簧）系統總機械能守恒則聯立求解并代入數值得（）（1）消防隊員下滑的最短時間（2）消防隊員下滑過程中最大速度解法一（基本不等式極值法）：設消防隊員先做自由落體運動，其次勻速運動（計算知人與滑桿之間最大靜摩擦力為900N大于重力600N），最后勻減速運動，到達地面時恰好減速至=6m/s，則下滑時間……………①且18=…………………..②又依牛頓第二定律知消防隊員減速下滑的加速度最大值為而依運動學公式知所以即…..③將②③式代入①式并整理有顯然因為，且為定值，所以當即時即消防隊員下滑的最短時間為s，即加速、勻速0s、減速.（2）消防隊員下滑的最大速度即自由落體段下滑的末速度解法二（圖像法）如果消防隊員首先自由落體至某速度，然后立即以最大加速度勻減速至時位移恰好為18m，這種臨界狀態的v-t圖像如下圖中實線OAB所示，其與橫軸所圍成的圖形“面積”恰好為18m，顯然其他任意一個含有勻速運動段的圖形若面積與其相等(例如OPQM)，則底邊長度必大于24s.所以先加速后減速中間無勻速運動段，歷時最短。減速時間所以加速距離，減速距離因為，故不合理。應先以加速到最大速度（并非40），又以加速度減速到恰完成218m的直道距離行駛，即為最短時間。所以加速距離，減速距離令，解得所以加速時間，減速時間故最短時間例題8．甲車以在平直的公路上勻速行駛，乙車在甲車后方距離甲車S處以更大的速度同向行駛，如果甲車的行駛速度保持不變，為了確保兩車不相撞，乙車做勻減速直線運動的加速度大小至少為多大解法一：臨界狀態為乙車從勻減速至時恰好追上甲車。設乙車做勻減速直線運動的加速度最小值為，恰追上時歷時則令解得又因為令解得度就變為0，速度達到最大，開始做勻速直線運動。因此，在從變速運動狀態變到勻速狀態之間有一個速度達到最大的狀態，此狀態的臨界條件就是ab受的的重力大小等于安培力大小。抓住這個臨界條件，由，可得小球豎直方向平衡，則細線拉力水平分量使得小球在水平方向加速，則聯立解得小車向左加速或向右減速的加速度大小至少為對整體有：；隔離A，對于的臨界狀態有，。解得：所以F的范圍是0≤F≤解析：小球在B點受重力mg、軌面向下的彈力，依牛頓第二定律有而依題意知所以小球離開B點后平拋運動歷時所以落點C到軌道最低點A距離為例題11-1．.汽車在平直的水平路面上以20的速度勻速行駛，關閉發動機油門后勻減速滑行的加速度大小為2，最遠還可以滑行多少距離解析：最遠還可以滑行例題15．將物體以一定初速度豎直向上拋出，已知該物體除受重力外還受到一個向右的水平恒力作用，若選拋點為原點，向右和向上分別為x、y軸正方向，已知其運動軌跡的最高點M橫縱坐標分別為3和2，若已知重力加速度g=10求=1\*GB3①落回到x軸的N點時的橫坐標=2\*GB3②落回到N點時的速度大小。解析：=1\*GB3①設上升、下落段歷時分別為，分析y方向的豎直上拋分運動知CaA聯立解得CaA例題17．已知力F的一個分力的方向及另一個分力的大小，求的大小，并就解的情況加以討論。解析：此類分解問題因已知分力的大小不同將有以下四種不同的結果：=1\*GB3①當時，以為半徑的圓與方向線沒有交點（相離），不能構成一個平行四邊形，故無解。=2\*GB3②當時，以為半徑的圓與方向線有一個交點（相切），故此情形有唯一解。=3\*GB3③當時，以為半徑的圓與方向線有兩個交點（相割），故此情形有兩個解。=4\*GB3④當時，以為半徑的圓與方向線有一個交點，此情形有唯一解。例題18-1．如圖所示，一個重為G的勻質球放在光滑的斜面上，斜面傾角為，在斜面上有一個光滑的薄木板擋住球，使之處于靜止狀態，今使木板與斜面的夾角從很小開始緩慢增大，問在此過程中，球對木板和球對斜面的壓力大小如何變化解法一（函數計算法）：球體受力如下圖所示。在木板與斜面的夾角從很小開始緩慢增大過程中可認為球體總是處于平衡狀態，依據平衡條件，在水平方向有…=1\*GB3①在豎直方向有……=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②式聯立解得顯然隨在范圍的增大單調減小，故單調減小。而隨角度的增大先減后增，即時最小。解法二（矢量圖解法）：對平衡狀態的球體進行受力分析如圖所示，三個力的合力為零.其中重力G的大小和方向都不變；斜面對球體的彈力N（解法一中的）方向不變，大小可變，暫稱為“單變力”；擋板對球體的彈力F（解法一中的）方向隨擋板逆時針轉動而轉動暫稱為“雙變力”，畫出其矢量三角形如圖所示.例題20．證明小船渡河速度垂直于水流速度時渡河時間最短。證明設河寬為d，船速為v，船速與水速夾角為則渡河時間顯然當（如下圖所示）例題21．證明如果小船速度大于水流速度時，小船渡河的最短航程即為河流寬度。解析；小船“斜逆航行”渡河，且船速逆向上行的分位移與水流引起小船漂流的分位移抵消，即船逆向上行的分速度與水的漂流速度抵消，所以小船的合速度與河岸垂直，到達對岸時的位移即是河寬。（如下圖所示）例題22．證明如果小船速度小于水流速度時，船速垂直于合速度時小船渡河的航程最短。解法一（正弦函數法）；如圖所示，取水流方向為X軸正向，小船初始位置為坐標原點，設水速、船速分別為、船速與X軸負方向所夾銳角為河流寬度為d，渡河后到達彼岸P點，則航程而變形為再變形為令則上式變為所以顯然當（即船速垂直于合速度）時（如下圖所示）解法二（矢量圖解法）：如圖所示，船速（圖中矢量圓半徑）大小一定，方向可以調整變化，而水速（大小方向均一定）與船速的合速度與AB夾角越大，則渡河航程越大（即到達彼岸的位置舉B點越遠），只有當合速度與該矢量圓相切時航程最短。小船渡河兩類問題的三種矢量圖比較解析：以甲車為參照物，乙車初速為，臨界狀態時末速為０，勻減速運動的加速度大小為，位移為ｓ，則有解得解析：（1）列車加速的加速度減小至=0時速度最大，設為則所以（2）機車瞬時功率所以例題25．試證明完全非彈性碰撞中的機械能損失最大。證明：設質量為的小球2靜止于水平面上，質量為的小球1以速度與其對心碰撞，并設碰后小球1、2的速度分別為、，依據動量守恒定律有所以……=1\*GB3①該碰撞過程系統機械能損失將代入并整理得顯然機械能損失量是關于的二次函數，其二次項系數小于零。所以當時最大，代入=1\*GB3①式知此時故碰后兩球等速，即合為一體。例題26．以彈簧振子為例，分析簡諧運動過程的位移、恢復力、加速度、速度、動量、動能、勢能、機械能的變化情況。解析：簡諧運動過程八個物理量變化可用如下的菱形圖所示。其中A、O、C分別表示彈簧振子（泛指簡諧運動）的最大位移處和平衡位置，如果振子從A向O運動，則AD的升勢反映了振子的變化趨勢，AB的降勢反映了振子的變化趨勢，AO的水平態勢反映了振子機械能守恒，同理從O向C的運動過程分別用DC、BC、OC表示其變化趨勢。顯然振子在平衡位置O處時速度、動量、動能最大；在A(C)處時位移、回復力、加速度、振動勢能最大，振動過程機械能保持不變。解析：由，可知當m、e、B一定時，速率v大則軌跡半徑R亦大。設當電子以速率v0射入磁場時，其運動軌跡恰好與邊界EF相切，則有……①圓心確定：過S點做V0垂線必過圓心；做V0與EF夾角平分線必過圓心。可得圓心O，從而畫出電子的軌跡（如圖7所示）。由圖7，運用幾何知識不難發現

②由①、②解得

解法一、電源的輸出功率為當R=r時，P出有最大值，即解法二、電源輸出功率為因為為定值所以當時P出有最大值，即解法三、電源輸出功率為顯然當時P出有最大值，即解法四、電源輸出功率為因為為定值，所以當時P出有最大值，即解法五、電源輸出功率為所以當時P出有最大值，即解法六、電源輸出功率為因為為定值所以當時P出有最大值，即解法七、電源輸出功率為因為為定值，所以當時P出有最大值，即解法八、電源輸出功率為因為為定值所以當時P出有最大值，即解法九、電源輸出功率為因為且為定值所以當時輸出功率最大。例題31-2．如圖，電源的電動勢E=10V，r=1歐，=5歐，的最大值為20歐，求=1\*GB3①取何值時消耗的功率最大=2\*GB3②取何值時消耗的功率最大解析：=1\*GB3①利用上題結論，將看成電源內阻的一部分，則r’=r+，的滑片從最右端向左端滑動的過程中，上的輸出功率在不斷的增大當=r+時上功率達到最大，隨后輸出功率開始減小，即=r+是臨界條件。利用臨界條件就有=1歐+5歐=6歐，此時上消耗的功率最大。=2\*GB3②消耗的功率顯然是的單調減函數，所以當取端點值，即=0時瓦例題32．阻值為的滑變采用對稱式接法，求其阻值的最大值。解析：R=因為且（）+=為定值所以當時，R最大，此時電阻。解析：（1）設當安培力與