2010年全國高中數學聯賽試題及答案詳解（B卷）

2010年全國高中數學聯合競賽一試試題參考答案及評分標準（B卷）說明：1.評閱試卷時，請依據本評分標準.填空題只設8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2.劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第、小題5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1.函數f(x)x5243x的值域是[3]解：易知f(x)的定義域是，且f(x)在上是增函數，從而可知f(x)的值域為[3].3.已知函數y(axx的最小值為3，則實數a的取值范圍是2a12.22解：令xt，則原函數化為gt)(at2at，即gt)at3(at.由at3at，(3att2t0，tatt0及t10知att30即at2t)3（）當t0,1時（1）總成立；對0tt2t2；1對1t0,t2t.043從而可知a12.23.雙曲線x2y21的右半支與直線x圍成的區域內部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數的點）的個數是9800.xyk(kA解：由對稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設與雙曲線右半支于,交k1直線x于數為B，則線段ABkk內部的整點的個數為k，從而在軸上方區域內部整點的個xk99(99k)99494851.k1x又軸上有個整點，所以所求整點的個數為2.ababab，04.已知an}是公差不為的等差數列，bn}是等比數列，其中112253且存在常數,使得對每一個正整數都有nab，則333.nn解：設a}的公差為d,{b}的公比為q，則nn3dq,（1）d)q2，（2）（1）代入（2912dd26d9求得dq9，.從而有36(9nn1對一切正整數n都成立，n即6n3(n9對一切正整數都成立.從而96,39，求得33,，3333..函數f(x)a2xa3x2(aa在區間x[上的最大值為8，則它在這個區間上51的最小值是.43解：令axy,則原函數化為g(y)y23y2g(y),在(,+)上是遞增的.20當a1時，y[a,a1],12g(y)a2a128a12a，1114232所以當gy()()；22a1時，y[a1,a]，2g(y)a2a28a2，1所以g(y)221.32241綜上f(x)在x[上的最小值為.46.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數和大于6者為勝，否則輪由另112.一人投擲先投擲人的獲勝概率是7217解：同時投擲兩顆骰子點數和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為361275757()2()412121121212712.2517121144ABCBAPB,則7.正三棱柱1的9條棱長都相等，是的中點，二面角P1111110.4解一：如圖，以AB所在直線為軸，線段xAB中點O為原點，所在直線為軸，建立空間y直角坐標系.設正三棱柱的棱長為2BBA(P3，從而，11((3BA(BP(3,.1111PBAPm(x,y,z)n(x,y,z)設分別與平面、平面垂直的向量是、，則111111222m212z1z11mx311C11112x2BnBA1nBPx3y2z2P12Amn(3)由此可設，OCy所以mnmncos，B6x即322coscos.4310所以.41,解二：如圖，.11C1EABAB交于點O,設與則11B1OB,,AB.1111OPA因為PAPB,所以POAB,11平面BC從而過O連結.11BB上作1PE在平面,垂足為.1,則1為二面角B1PB的平面角.BE11設12,則易求得PBPA5,AOBO2,PO3.111PAOAOAP在直角中，,11165即235.654551O2,BEBO222.又11BO24551041EO1.BE18.方程xyz2010滿足xyz的正整數解（x,y,z）的個數是336675.解：首先易知xyz2010的正整數解的個數為C220091004.2009把xyz2010滿足xyz的正整數解分為三類：（1）x,y,z均相等的正整數解的個數顯然為1；（2）x,y,z中有且僅有2個相等的正整數解的個數，易知為1003；(3)設x,y,z兩兩均不相等的正整數解為.k易知13k，4k31321，k1003.從而滿足xyz的正整數解的個數為1.二、解答題（本題滿分56分）9(0)（本小題滿分16f(x)ax3bx2da0x1時，f(x)1，a試求的最大值.解一：()3bxc,fxax22f(0)c,134由f()abc,得4分）2fabc13a2f(0)2f4f().（821所以3a2f(0)2f4f()212f(0)2f4f()288，a.（12分）388又易知當fxxxxm()342（ma最大值為（分）33解二：f(x)ax2bxc.設g(x)f(x)1，則當0x1時，0g(x)2.z1設z2x1，則x,1z1.2z1aabah(z)g()z2zbc1.（42424容易知道當1z1時，0h(z)h(z)2.（8分）h(z)h(z)從而當即1z1時，02，2aa0z2bc12，4453aa從而bc10,z22，448由0z2知a.1（12分）388又易知當fxxxxm()342（m為常數）滿足題設條件，所以a最大值為.33（xx110.（本小題滿分20分）已知拋物線y26x上的兩個動點(x,yB(x,y)，其中且11222xx4x，求面積的最大值..線段AB的垂直平分線與軸交于點C12解一：設線段AB的中點為M(x,y)，則001x21y2x0y0，22y21y2y12163k.AB22x21yyy21y066AB線段的垂直平分線的方程是y03yy0(x2).1）易知xy0是（）的一個解，所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C坐標為.5AB由（）知直線的方程為3y03yy0(x2)，即x(yy0)2.（）y02）代入y26x得（y22y(yy)12y22y0y2y02120.（），即001,y1y依題意，是方程（）的兩個實根，且，所以22y4024(2y0212)4y04802,A23y023.B(xx)2(yy)21212OC(5,0)x6y03()2yy)212y20yy)24yy]12129y20)(4y024(2y02923y02y0).2C到線段AB的距離h2y)29y2.（001213SABCABhy02y02)9y021312y022y02y02)19y02242y029y021()3323147.（15分）3635635當且僅當9y02242y205,(,57),B(,57)或33(635,(57B(635,57)時等號成立.33所以面積的最大值為147.（分）3ABxCC坐標為解二：同解一，線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點.（5分）設xt121,xt222,ttt,21t224，則1250112SABCt21t11的絕對值,t2（10分）t2211S2(tt2t2tt2125t22ABC11273tt)2t1t221223(4tttttt12121223143()3,214SABC7,（分）3當且僅當(tt)2tt且t521t224，12127575635635即t1,t2,(,57),B(,57)或6633(635,(57B(635,57)時等號成立.33所以面積的最大值是147.（分）31a2n1.（本小題滿分20分）數列a滿足a,aa2nan1(n).1n1n13121121求證:aaa.1）2n112n32n3a2n111證明：由a知1，n1a2nan1an1a2ann1111(.2）an1anann1a2nn1an所以即n,1n11nnn1.n5分）1n1an1從而aaan1211a21a2a21a2a31a3an1anan11an1111an11an11an1.121an18所以（1）等價于1211an111，2n121a232n3n11a2n132n3n1即.（）10分）an11a2n1由1aa.2及知n13a2nan17當n1時，1a26，3631，11a2即n13）成立.1ak1ak1設nk(k3）成立，即32k132k.當nk1時，由（21ak2ak211ak1)1ak1()232k；（分）ak1ak1ak11an13又由（21知(n均為整數，an1ak132k1ak132k11從而由所以有即32k，ak1ak1ak11ak211ak132k32k32k1，ak2ak1ak1即（）對nk1也成立.3n11n1的正整數都成立.（分）92年全國高中數學聯合競賽加試試題參考答案及評分標準（B卷）說明：1.評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分..如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分2標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。40分）ABC的外心為OK是邊BCBCD是線段AK與AC交于點N與AB交于點OK⊥，則AB，，C四點共圓．證明：用反證法．若A，B，D，C不四點共圓，設三角形ABC的外接圓與AD交于點E，連接BE并延長交直線AN于點Q并延長交直線AM于點P．AOE因為PK2=PO）+KO）BC=2?r2)(+KO2?r2)K，DQ()()P同理2=QO2?r2+KO2?r2，NMPO2?2=QO2?QK2，所以故⊥．由題設，OK⊥，所以∥，于是（10分）AQAP=．①PM由梅內勞斯（Menelaus）定理，得NB??=1，②③??=1．CD由①，②，③可得NBBDMCCD=，（30分）NDBDMD=DMN∽△=DCBBC∥MNOK⊥BC，所以即K為BC,B,D,C四點共圓.（40分）PK2=P的冪（關于⊙O）+K的冪（關于⊙O”的證明：延長至點F注1：“得?KF=?KE，④⑤則PE，FA四點共圓，故==BCE，從而，，F，K四點共圓，于是PK?PF=PE?PC，2=???KE=P的冪（關于⊙）⑤④，得+K的冪（關于⊙O注2：若點E在線段AD的延長線上，完全類似．AOEFBCKDQPNM40分）設m和n是大于1的整數，求證：??1mm1n∑∑∑1m+2m+L+nm=?(n+Ckmnk?(Cjij)?.m+1m1??k1j1i1m1∑證明：由（q+m1+=Cjqj得到m1j=0m∑(qm1qm1++?=Cjqj,m1j=0分別將q=,n代入上式得：m∑m1?1=j2C,m1j=0m∑m12m1+?=jj3C2,m1j=0LLm∑nm1(nm1+??+==CCj(n?j,m1j=0m∑(nm1nm1++?jnj.m1j=0將上面個等式兩邊分別相加得到：mn∑∑(nm1++?1=Cjij（20分）m1j=0i1m1nn∑∑∑(n+n+m?1=n+（Cji+(m+im,m1j1i1i1??1mm1n∑∑∑1m+2m+L+nm=?(n+Ckmnk?(Cjij)?.（40分）m+1m1??k1j1i150分）設x,y,z為非負實數,求證：++zxx2+y2+z2()3≤(x2?+y2y2?+z2z2?zx+x2)≤()3.32證明：首先證明左邊不等式.11x2?+y2=[(x+y)2+x?y)2]≥(x+)2,因為44,有11y2?+z2≥(y+z)2,z2?zx+x2≥(z+x)2;（10分）44于是1(x2?+y2y2?+z2z2?zx+x2)≥x+yy+zz+)]2641=x+y+z++)?]2;（20分）641由算術-幾何平均不等式,得≤(xyz),所以++++91(x2?+y2y2?+z2z2?zx+x2)≥(x+y+z)2(++)2811++=(x2+y2+z2+2+2+2zx++zx)2≥()3.813左邊不等式獲證,其中等號當且僅當x=y=z時成立.（30分）下面證明右邊不等式.根據欲證不等式關于x,y,z,不妨設x≥y≥z,于是(z2?zx+x2y2?+z2)≤x2y2,所以(x2?+y2y2?+z2z2?zx+x2)≤(x2?+y2)x2y2.（40分）運用算術幾何平均不等式,得(x2?+y2)x2y2=(x2?+y2)??≤(x2?+y2+xy)?22(x2