2026年新高一數學暑假銜接專題《充分條件與必要條件》

預備新高一預備新高一數學專題04充分條件與必要條件一．選擇題（共10小題）1．（2025秋?永州月考）設，則成立的一個必要條件是（）A． B． C． D．2．（2026春?鼓樓區校級月考）集合，，，4，，若是的充分條件，則為（）A．0 B． C．0或或1 D．0或3．（2025秋?江蘇校級月考）若，為實數，則，的條件是．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024秋?長春期末）已知，，若是的充分條件，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．（2025秋?信都區校級月考）使，為真命題的一個充分條件是（）A． B． C． D．6．（2025秋?安徽期中）在平面內，下列是“四邊形是平行四邊形”的必要條件的是（）A．四邊形是矩形 B．四邊形的對角線互相平分 C．四邊形四條邊相等 D．四邊形的對角線垂直7．（2024秋?賽罕區校級期中）已知條件，條件，且滿足是的必要不充分條件，則（）A． B． C． D．8．（2024秋?青銅峽市校級月考）若不等式成立的充分條件是，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2024秋?安岳縣校級期中）已知或，，若是的必要條件，則實數的范圍是（）A． B． C．， D．10．（2024秋?勉縣校級期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要條件，則實數的取值范圍是（）A． B． C．， D．二．多選題（共4小題）（多選）11．（2024秋?沙市區校級月考）下列式子中，使的充分條件可以是A． B． C． D．（多選）12．（2025秋?邢臺月考）下列條件是“”的充分條件的是A．， B． C． D．（多選）13．（2024秋?清城區校級期中）下列不等式：①；②；③；④．其中，可以作為的充分條件的為A．① B．② C．③ D．④（多選）14．（2024秋?丘北縣校級月考）已知集合，，若是的充分條件，則實數的值可能為A． B． C．0 D．三．填空題（共4小題）15．（2025秋?天山區校級期中）已知或，或，若是的必要條件，則實數的取值范圍為．16．（2026?金山區二模）已知，，若是的一個充分條件，則實數的取值范圍為．17．（2025秋?河北月考）設；，若是的充分條件，則實數的取值范圍是．18．（2024秋?漣水縣校級月考）若不等式的一個充分條件為，則實數的取值范圍是．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?寶雞期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若是的必要條件，求實數的取值范圍．20．（2026春?舟山期中）已知集合，．（1）若，求，及；（2）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．21．（2025秋?吉林期末）已知全集，，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．22．（2025秋?畢節市期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若是的充分條件，求實數的取值范圍．23．（2025秋?祿勸縣校級期中）已知集合，集合．（1）若是的充分條件，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．24．（2025秋?江蘇校級期中）設全集，集合，．（1）若，求，，；（2）若是成立的充分條件，求實數的取值范圍．

一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADBBABDDAA二．多選題（共4小題）題號11121314答案BDABCBCDACD一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】對于兩個集合來說，根據充分條件是找子集，必要條件是找集合，即可得到答案．【解答】解：若集合是集合的必要條件，則，結合選項可知，使得成立的一個必要條件為，正確．故選：．2．【答案】【分析】由題知，再分類討論求解即可．【解答】解：是的充分條件，，，，，4，，則，或，解得，或或（舍去），綜上，或．故選：．3．【答案】【分析】根據條件間的推出關系及充分、必要性定義即可得．【解答】解：由必有，必要性成立，而時有或，充分性不成立，所以是，的必要不充分條件．故選：．4．【答案】【分析】根據是的充分條件得，解出即可．【解答】解：解方程，得或3，因為是的充分條件，所以，所以．故選：．5．【答案】【分析】根據命題為真有△求出充要條件，再由充分性的定義確定命題為真的一個充分條件即可．【解答】解：若，為真命題，則△，可得，根據充分條件定義，只有中是該命題為真的一個充分條件．故選：．6．【答案】【分析】根據平行四邊形的性質以及充分必要條件的性質即可求解結論．【解答】解：由四邊形是平行四邊形可得：四邊形的對角線互相平分，得不到四邊形是矩形，也得不到對角線互相平分，得不到對角線垂直．故“四邊形是平行四邊形”的必要條件的是四邊形的對角線互相平分．故選：．7．【答案】【分析】直接利用絕對值不等式的解法和充分條件和必要條件的應用求出結果．【解答】解：條件，整理得：；且滿足是的必要不充分條件，即是的充分不必要條件，即．故選：．8．【答案】【分析】先分情況求不等式的解集，再根據集合的包含關系求參數的取值范圍．【解答】解：設不等式的解集為，，因為不等式成立的充分條件是，所以，所以，所以．由，所以．由可得，解得．故選：．9．【答案】【分析】由題得出兩個集合之間的關系：，再對集合中的不等式求解，分類討論研究即可．【解答】解：或，，若是的必要條件，則，當時，，當時，，故，解得，故；當時，，，故，解得，故，綜上所述：．故選：．10．【答案】【分析】由題意得，據此列出不等式求解即可．【解答】解：非空集合，，若“”是“”的必要條件，由題意，且，所以，則，可得．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】根據題意，求出的解集，結合充分必要條件與集合的關系，分析選項即可得答案．【解答】解：根據題意，由，得，不等式的解集為，而，、符合題意．故選：．12．【答案】【分析】由充分條件的概念結合重要不等式可判斷，由特例可判斷．【解答】解：由，，可得，充分條件成立；由，可得，則由，充分條件成立；由，可得，則由，充分條件成立；取，滿足，不滿足，所以不是的充分條件．故選：．13．【答案】【分析】直接根據充分條件、必要條件的定義進行判定即可．【解答】解：①不能推出，故不是的充分條件，②；③；④都可以推出，故②③④可以作為的充分條件．故選：．14．【答案】【分析】先根據題意得到，再分類討論與，利用集合的包含關系得到關于的不等式（組，解之即可得解．【解答】解：集合，，因為是的充分條件，所以，若，顯然滿足題意，此時，解得；若，則，且，解得；綜上，或，對比選項可知，符合題意．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】，．【分析】由是的必要條件，有，列不等式組求實數的取值范圍．【解答】解：是的必要條件，，則有，解得．則實數的取值范圍為，．故答案為：，．16．【答案】，．【分析】把充分關系轉化為子集關系，即可求解．【解答】解：根據題意，由是的充分條件，且，，可得：，必有，即的取值范圍為，．故答案為：，．17．【答案】，．【分析】先求出，對應的范圍，然后結合充分條件與集合包含關系的轉化即可求解．【解答】解：由可得，即對應，令，若是的充分條件，則，當時，，符合題意；當時，，則，即，故的范圍為，．故答案為：，．18．【答案】．【分析】由，解得，再根據充分條件的定義求解即可．【解答】解：因為，即，所以，所以，當時，無解，不合題意；當時，由，解得，又因為不等式的一個充分條件為，所以．故答案為：．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出集合，，再根據并集的定義求解即可；（2）由題意可得，進而根據包含關系求解即可．【解答】解：（1）由，當時，，所以．（2）因為是的必要條件，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍是．20．【答案】（1），，，；（2），．【分析】（1）分別求解集合和，再結合集合的基本運算求解即可；（2）根據集合的包含關系求解即可．【解答】解：（1）當時，由，解得，所以，由，解得，所以，所以，，，，．（2）由，解得，所以，又“”是“”的充分條件，所以，已知，則可得，解得，所以的取值范圍為，．21．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）由集合的補集與交集運算求解即可；（2）將“”是“”的充分條件轉化為集合的關系：，然后由集合的包含關系求解參數的取值范圍即可．【解答】解：（1）若，，因為全集，，所以，，，所以，；（2）因為“”是“”的充分條件，，，所以，所以，即實數的取值范圍是，．22．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）當時，確定集合，，再求．（2）問題轉化為根據求的取值范圍．【解答】解：集合，，（1）若，則，所以或．所以．（2）因為是的充分條件，所以，所以解得，即的取值范圍是，．23．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）求出集合，由題意確定，列出不等式組，即可求得答案；（2）根據可列出不等式，即可得答案．【解答】解：（1），，由是的充分條件知，從而有，解得．故的取值范圍為．（2），且，或，解得或，故的取值范圍為或．24．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根據交集，并集，補集的定義計算即可；（2）根據是成立的充分條件得到，根據集合是否為空集分類討論，列不等式組，求解即可．【解答】解：（1）由，，，，所以，，或，則．（2）因為是成立的充分條件，所以；當時，，解得，此時滿足題意；當時，，解得，綜上，的范圍是．

預備新高一預備新高一數學專題04充分條件與必要條件1．理解命題、條件、結論的基本概念.2．掌握充分條件、必要條件的定義.3．能根據推出關系判斷充分條件與必要條件.4．初步學會利用充分、必要條件簡單分析參數問題.一、命題與推出關系1．命題：可以判斷真假的陳述句，一般寫成“若，則”的形式，其中是條件，是結論.2．推出關系：若“若則”為真命題，則可以推出，記作.3．推不出關系：若“若則”為假命題，則不能推出，記作.二、充分條件與必要條件的定義1．充分條件：如果，那么是的充分條件.含義：只要有條件，就足夠保證結論成立.2．必要條件：如果，那么是的必要條件.含義：想要條件成立，必須先保證結論成立.三、充分、必要條件的核心邏輯1．充分條件：有它就行，沒它未必不行.2．必要條件：沒它不行，有它未必行.題型01判斷命題的推出關系1．兩種推出關系判定（1）可推出關系（如：可以推出，只要滿足前面條件，后面結論一定成立，無反例）可推出關系負責判斷條件能否必然得到結論，是判斷所有條件關系的基礎.（2）不可推出關系（如：不能推出，因為還可以取，存在反例）不可推出關系主要依靠舉反例否定推導，快速排除錯誤邏輯.2．推出關系成立的兩個要求（1）條件成立時，結論必須全部成立，不存在任何反例.（2）只要能找到一個反例，即可判定無法推出.學以致用學以致用【例1】（2025秋?南山區校級月考）下列命題是真命題的是（）A．若，則 B．若，則且 C． D．“”是“”的充分條件【答案】【分析】應用作差法判斷；由特殊值及不等式的性質判斷、、．【解答】解：，則，則，錯；：若時，，但且，錯；時，，對；：若，時，，此時不成立，錯．故選：．【例2】（2024秋?撫順期中）下列命題是真命題的有A．空集是任何集合的子集 B．“有些三角形是等腰三角形”的否定為“所有的三角形都不是等腰三角形” C．“”是的一個充分條件 D．已知，，則是“”的充要條件【答案】【分析】對，利用空集的意義判斷；對，根據特稱命題的否定判斷；對，由基本不等式求解判斷；對，舉反例．【解答】解：對于，空集是任何集合的子集，故正確；對于，“有些三角形是等腰三角形”的否定為“所有的三角形都不是等腰三角形”，故正確；對于，若，則，，當且僅當時，等號成立，故“”是“”的一個充分條件，故正確；對于，取，，顯然錯誤．故選：．【例3】在橫線上填上一個結論，使命題“已知，為實數，若，則且（答案不唯一）”是假命題．【答案】且（答案不唯一）．【分析】根據條件得出，同號，即可求出結果．【解答】解：由，知，同號，即且或且，故答案為：且（答案不唯一）．題型02判斷充分不必要條件1．充分不必要條件判定依據（1）充分性成立（如：可以推出，滿足條件即可保證結論成立）充分性成立說明該條件足以支撐結論，滿足“有它就夠”的邏輯.（2）必要性不成立（如：不能推出，結論成立無法反推條件成立）必要性不成立說明該條件不是結論成立的必備前提，缺少條件結論仍可成立.2．判定核心標準滿足且，則是的充分不必要條件.學以致用學以致用【例4】（2026春?沈河區校級月考）下列結論的充分條件為“，為無理數”的是（）A．為無理數 B．為無理數 C．為無理數 D．【答案】【分析】根據題意，需要找出在“，為無理數”的情況下，能夠成立的一個結論，由此解答即可得到本題的答案．【解答】解：設所求結論為，則的充分條件為“，為無理數”，即由“，為無理數”可以推出成立．當、為無理數時，、均不為零，可得，其它三項均不成立，可知項的結論符合題意．故選：．【例5】（2024秋?紅河州校級期末）下列命題中，是的充分條件的是（）A．， B．，且 C．， D．，【答案】【分析】利用不等式的性質判斷，利用舉實例判斷．【解答】解：，且，正確，當，時，滿足，但不滿足，，錯誤，當時，滿足，但不滿足，錯誤，當，時，滿足，但，無意義，錯誤，故選：．【例6】（2025?南京模擬）已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】依次判斷充分性、必要性，即可求解．【解答】解：，，，則，當且僅當時，等號成立，故充分性成立，當，，滿足，，，但，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件．故選：．題型03判斷必要不充分條件1．必要不充分條件判定依據（1）必要性成立（如：是的必要條件，想要成立，必須先滿足，不滿足則一定不成立）必要性成立說明該條件是結論成立的必備前提，滿足“沒它不行”的邏輯.（2）充分性不成立（如：無法推出，滿足條件無法保證結論成立）充分性不成立說明現有條件范圍過寬，不足以完全推出結論.2．判定核心標準滿足且，則是的必要不充分條件.學以致用學以致用【例7】（2025秋?山陽區校級月考）如果對于任意實數，表示不超過的最大整數，例如，，，那么“”是“”的（）A．充分條件 B．必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】根據必要不充分條件的定義判斷即可．【解答】解：如果，那么和的整數部分是相同的，所以，即“”是“”的必要條件，如果，那么和的整數部分不一定相同，例如，，所以“”是“”的不充分條件．綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：．【例8】（2025秋?樂平市校級月考）使不等式成立的一個必要條件是（）A． B． C． D．【答案】【分析】不等式變形得出其充要條件，然后根據必要條件的定義判斷．【解答】解：，因此只有是其必要條件．故選：．【例9】（2024秋?澄江市校級期中）下列是的必要條件的是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】要滿足是的必要條件，即，再根據各個選項今天分析即可得解．【解答】解：要滿足是的必要條件，即，對選項，，，不能得到，選項錯誤；對選項，不能得到，選項錯誤；對選項，不能得到，選項錯誤；對選項，，，，能得到，選項正確．故選：．題型04既不充分也不必要條件的判斷1．判定核心依據（1）雙向推不出（如：和，前者推不出后者，后者也推不出前者，無任何推導關聯）雙向推不出說明兩個條件無邏輯關聯、無范圍包含關系.（2）條件相互獨立（如：是偶數”和，互相無法必然推導，存在大量反例）條件相互獨立時，既無法充分支撐結論，也不是結論的必備前提.2．判定核心標準滿足且，則是的既不充分也不必要條件.學以致用學以致用【例10】（2022?雨花區校級模擬）“，為無理數”是“為無理數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】根據充要條件的定義逐項進行判斷．【解答】解：根據題意，“，為無理數”，則不一定可以推出“為無理數”，如，但是有理數，反之，若“為無理數”，不一定可以推出“，為無理數”，例如，是有理數，是無理數，故“，為無理數”是“為無理數”的既不充分也不必要條件，故選：．【例11】（2017秋?昌平區期末）已知，是實數，則“，且”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】根據不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：當，且時，不成立，即充分性不成立，當，時，滿足，但，且不成立，即必要性不成立，則“，且”是“”的既不充分也不必要條件，故選：．【例12】（2020秋?宣城期末）已知，是實數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】得不到，比如；得不到，比如，，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．【解答】解：若，不一定得到，比如；不是的充分條件；若，不一定得到，比如，；不是的必要條件；綜上得，是的既不充分又不必要條件．故選：．題型05依托集合關系快速辨析條件關系1．集合與條件的對應規則（1）小范圍推大范圍（如：范圍小，范圍大，小集合包含于大集合，小范圍成立則大范圍一定成立）小范圍對應的條件是大范圍條件的充分不必要條件.（2）大范圍推不出小范圍（如：大范圍無法推出小范圍，范圍過寬無法精準約束）大范圍對應的條件是小范圍條件的必要不充分條件.2．解題核心作用將抽象邏輯推導轉化為直觀集合包含關系，規避舉反例，快速秒殺條件判斷題.3．快速辨析口訣小充分、大必要，相等為充要，無關雙不立.學以致用學以致用【例13】（2026?廣州模擬）已知集合，集合或，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）設，，若是的充分條件，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根據交集的運算可得出關于的不等式組，即可解得實數的取值范圍；（2）分析可知，可得出關于實數的不等式，解之即可．【解答】解：（1）已知，或，若，則，解得，即的取值范圍為；（2）若是的充分條件，則，①，此時，解得；②，此時，解得，綜上，的取值范圍是或．【例14】（2025秋?河南期末）已知集合，集合，且是的充分條件，則實數的取值范圍為（）A． B．或 C． D．【答案】【分析】由題意可得，，然后結合集合包含關系即可求解．【解答】解：因為集合，集合，且是的充分條件，則，，解得．故選：．【例15】（2025秋?郫都區校級期末）已知全集，，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）利用集合的交集運算求解；（2）由“”是“”的充分條件，可得，進而列出不等式，求出的取值范圍．【解答】解：（1）若，，又因為，所以；（2）因為“”是“”的充分條件，所以，所以，即實數的取值范圍是，．題型06充分條件求參數范圍1．題型核心轉化依據（1）充分條件等價子集關系（如：若是的充分條件，即，對應集合包含于集合）充分條件可直接轉化為集合包含關系，是列不等式求參數的核心依據.（2）嚴格充分不必要約束（如：題目明確充分不必要，需保證是的真子集，排除兩集合相等情況）嚴格條件需規避集合相等，避免參數范圍偏大出錯.2．標準解題步驟（1）翻譯條件，轉化為集合包含關系.（2）根據子集關系列不等式組.（3）求解參數范圍，驗證端點取值是否合法.學以致用學以致用【例16】（2026?連云港校級模擬）若不等式是成立的充分條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】【分析】由題意知，，可得，解不等式即可得出答案．【解答】解：成立的充分條件是，則，，，所以，所以．故選：．【例17】（2025秋?山西期末）已知．．若是的充分條件，則實數的取值范圍是，【答案】，．【分析】由是的充分條件可列出相關不等式組，即可求解．【解答】解：．．若是的充分條件，則，解得．故答案為：，．【例18】（2025秋?富寧縣月考）設，，且是成立的充要條件，則的值是（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】【分析】先求出命題中不等式的解集，再根據是成立的充要條件，即和所表示的集合相等求出的值．【解答】解：，解得，又，且是成立的充要條件，即，．故選：．題型07必要條件求參數范圍1．題型核心轉化依據（1）必要條件等價反向子集關系（如：若是的必要條件，即，對應集合包含于集合）必要條件為反向推導，需反向構建集合包含關系，區別于充分條件.（2）嚴格必要不充分約束（如：題目明確必要不充分，需保證是的真子集，排除集合相等情況）嚴格必要條件必須剔除等價情況，保證推導單向成立.2．標準解題步驟（1）理清雙向推導關系，反向轉化集合包含.（2）結合集合范圍列不等式，求解參數.（3）檢驗特殊值與端點，舍去不合理解.學以致用學以致用【例19】（2025秋?浦東新區校級期末）設是實數，若是的必要條件，則的取值范圍是【答案】．【分析】根據必要條件的定義直接求解即可．【解答】解：若是的必要條件，則，可得，即的范圍為．故答案為：．【例20】（2026?虹口區二模）設，，若是的必要條件，則實數的取值范圍是．【答案】，【分析】求解絕對值的不等式化簡，然后結合必要性與集合間的關系求解．【解答】解：由，得，解得，，，因為是的必要條件，所以，可得，故實數的取值范圍是．故答案為：．【例21】（2025秋?河西區校級月考）已知或，，若是的必要條件，則實數的范圍是．【答案】．【分析】根據題意得出，分類討論的