內蒙古自治區烏蘭察布市十四校聯盟2026屆九年級上學期11月期中聯考數學試卷（含答案）

內蒙古自治區烏蘭察布市十四校聯盟考試2025-2026學年九年級上學期11月期中數學試題一、單選題1．我國古代有很多關于數學的偉大發現，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．楊輝三角 B．割圓術示意圖 C．趙爽弦圖 D．洛書2．已知的半徑為5，點P到圓心O的距離為3，則點P（

）A．在內 B．在上 C．在外 D．無法確定3．關于x的一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法判斷4．將拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位長度，所得新拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．5．如圖是一款帶有提梁的茶壺，提梁與壺蓋CD的平面圖可近似看作半圓，為了防止燙傷和保護提梁，常在提梁上纏繞一層隔熱布，已知隔熱布兩端點A與點B關于直線L對稱，直線于點O，O為中點，測得直徑為，，則提梁的長為（

）A． B． C． D．6．將繞點C逆時針旋轉，得到，點A的對應點恰好落在邊上，下列結論不正確的是（

）A．若，則 B．C． D．7．內蒙古自治區第十一屆少數民族傳統體育運動會于2025年7月20日至7月31日在赤峰市舉辦．在運動場入口安裝了一座充氣拱門，拱門呈拋物線狀（如圖所示）．數學小組想了解拱門的高度，先測量拱門底端距離，再用兩根長度為的標桿垂直于地面且讓標桿端點C、D在拱門上，再測量出兩標桿間的距離，則此拱門（不考慮拱門自身的粗細大小）的高度為（

）A． B． C． D．8．如圖，為的直徑，點在上，連接，以為邊作菱形，交于點，垂足為，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．4.2二、填空題9．如圖①所示的司南是中國古代辨別方向的一種儀器，其早在戰國時期就已被發明，也是如今指南針的前身．圖②是其部分示意圖，已知司南中心為圓形，圓心為O，根據八個方位將圓形八等分（圖②中點A~H）且順次連接點A~H構成正八邊形，則該正八邊形的中心角為___________度．10．若是一元二次方程的一個根，則的值為______．11．如圖，四邊形是的內接四邊形，點D是弧的中點，點E是弧上的一點，若，則的度數為___________12．二次函數的圖象如圖，以下結論中：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論序號為___________三、解答題13．（1）解方程：（2）如圖，已知為的直徑，是弦，且于點E，連接，．求的度數．14．如圖，為的切線，A為切點，連接，過點A作，垂足為C，交于點B，連接，求證：為的切線．15．額爾古納濕地位于內蒙古自治區呼倫貝爾市，是亞洲面積最大，保存最完好的木本濕地系統，被譽為亞洲第一濕地．為了吸引游客組團來旅游，特推出了如下門票標準：標準一：如果人數不超過20人，門票價格為70元/人；標準二：如果人數超過20人，每超過1人，門票價格降低2元，但門票價格不低于55元／人．(1)若某單位組織22人去額爾古納濕地旅游，購買門票費用為___________元；(2)若某單位支付該景區門票費用共計1500元，試求該單位共有多少名員工去該景區旅游．16．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，點B的坐標為，點在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點A的坐標；(3)連接交y軸于點D，在y軸上是否存在點P，使是以為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．17．為了讓同學們探究“轉化”思想在數學中的應用，在數學活動課上，老師帶領學生研究幾何體的最短路線問題．問題情境：如圖①，一只螞蟻從點A出發沿圓柱側面爬行到點C，其最短路線正是側面展開圖中的線段，若圓柱的高為，底面直徑為．問題解決：（1）判斷最短路線的依據是___________；（2）求出螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路線的長；（結果保留根號和）拓展遷移：（3）如圖②，O為圓錐的頂點，M為底面圓周上一點，點P是的中點，母線，底面圓半徑為2，粗線為螞蟻從點P出發繞圓錐側面爬行回到點P時所經過的路徑的痕跡，請求出螞蟻爬行的最短距離．18．（1）閱讀材料如圖①，等邊內有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為5，12，13．求的度數；為了解答本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段轉化到一個三角形中，從而求出___________；（2）基礎運用請你利用第（1）題的方法，解答下面的問題：如圖②，在中，，，E，F為上的點，且．求證：（3）能力提升如圖③，在中，，點O為內一點，連接，且，直接寫出的值．參考答案1．B【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．2．A【詳解】解：∵的半徑，點P到圓心O的距離，∴，∴點P在內；故選A．3．C【詳解】解：∵，∴關于x的一元二次方程沒有實數根，故選：C．4．C【詳解】解：把拋物線，先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的拋物線解析式為：，即．故選：C．5．D【詳解】解：∵隔熱布兩端點A與點B關于直線L對稱，直線于點O，O為中點，直徑為，，∴，∴的長為：，故選：D．6．C【詳解】解：由旋轉的性質可得，∴，∴；當時，，∴；根據現有條件無法得到，故選：C．7．C【詳解】解：如圖所示，以的中點O為原點，以直線為x軸，以過點O且與直線垂直的直線為y軸建立坐標系，由題意得，，，，設經過A、B、三點的拋物線解析式為，∴，∴，∴經過A、B、三點的拋物線解析式為，在中，當時，，∴此拱門（不考慮拱門自身的粗細大小）的高度為．故選：C．8．B【詳解】解：如圖所示：，為的直徑，，，則，在中，，則由勾股定理可得，四邊形為菱形，，則，故選：B．9．45【詳解】解：根據題意得，，∴正八邊形的中心角為，故答案為：．10．【詳解】解：將代入原方程得：，解得：，故答案為：．11．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵點D是弧的中點，∴，∴，故答案為：．12．②③④【詳解】解：①：由圖象可知，該函數的對稱軸大于零，∴，即，∴，故①錯誤；②：∵該函數與x軸交于和兩點，∴對稱軸為，即，則有，∵點在函數圖象上，∴，即，將，代入，即，可得，∴，∵函數圖象開口向上，即，∴，則，故②正確；③：由②知，，，∴，故③正確；④：∵，且，∴，∴，故④正確；⑤∵，，∴⑤由圖象可知，該函數的最小值小于，即，且，∴，故⑤錯誤．∴正確的結論序號為②③④．故答案為：②③④．13．（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，解得；（2）∵，∴，∵，∴，∴．14．證明：如圖所示，連接，，，，，為的切線，，即，，為的半徑，為的切線．【詳解】略15．(1)1452(2)25名【詳解】（1）解：門票價格為（元／人），∴（元），故答案為：1452；（2）解：設該單位有名員工去該景區旅游，則可列方程：，整理得：，解得：，當時，，當時，舍去，該單位共有25名員工去該景區旅游．16．(1)；(2)；(3)存在，或．【詳解】（1）解：將、代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：令，則，解得或，∴點A的坐標為；（3）解：設點P的坐標為，∵，，∴，，，∵是以為直角邊的直角三角形，∴分以下兩種情況討論：當為斜邊時，則，∴，解得，∴；當為斜邊時，則，∴，解得，∴．綜上所述，存在符合條件的P點，，．17．（1）兩點之間線段最短；（2）螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路線的長為；（3）螞蟻爬行的最短距離為【詳解】解：（1）由題意可知：判斷最短路線的依據是兩點之間線段最短；故答案為兩點之間線段最短；（2）剪開后，，，，螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路線的長為，（3）設圓錐側面展開圖的圓心角度數為，圓錐的底面周長為，，解得：，該圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形，如解圖，線段的長為螞蟻爬行的最短距離，在中，，點為的中點，是的中位線，，螞蟻爬行的最短距離為．18．（1）；（2）證明：如圖所示，根據，，將繞點逆時針旋轉得到，則與重合，連接，∴，∴，，∴，，，，又∵，∴，∴，∴，∴根據勾股定理得，即（3）【詳解】解：（1）∵為等邊三角形，∴，根據旋轉的性質