2027屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式及其應(yīng)用【20個核心題型歸納】原卷版

第4講基本不等式及其應(yīng)用

題型總覽核心題型歸納（目錄）

【題型1】基本不等式的直接使用2

【題型2】掌規(guī)凝配法求最值

【題型3】T的妙用（1）：乘T法

【題型4】T的妙用（2）：T的代換

【題型5】二次比一次空

【斐型6】分離常數(shù)型

【題型7】與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題

廠模塊一：核心題型?重點突破

【建型8】利用對勾函數(shù)

【題型9】判斷不等式是否能成立（一正二定三

相等）

基

本【題型】0】換元法（整體思想）

不

【超型11】基本不等式的實際應(yīng)用問還

等

【題型12】與a*b、平方和、ab有關(guān)問題的最

式

值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化）

及

【題型】3】基本不等式恒成立與能成立問題

其

應(yīng)

［【題型14】消元法

用

（【遨空15】因式分解型

［【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）

【教型17】萬能2?法

模塊二：核心方法拓展提升

【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)

【題型19】基本不等式與其他知識交匯的最值問

［【蒙空20】多次運用基本不等式

模塊一核心題型-重點突破

【題型1]基本不等式的直接使用

基礎(chǔ)知識

如果那么向《絲2當(dāng)且僅當(dāng)“二b時，等號成立.其中，竺2叫作4,8的算

22

術(shù)平均數(shù)，踴叫作々，〃的幾何平均數(shù).即正數(shù)。的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

常用不等式：若a,bwR,則/+/22必，當(dāng)且僅當(dāng)〃二〃計取等號；

基本不等式：若。，匕€*,則"2'N（^,a+b>ijcib）?當(dāng)且僅當(dāng)。二方時取等號.

常用結(jié)論

1對正數(shù)〃a+A22\[ab當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時取等號

2ab<[^-^\當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號

3。2+〃22。/?當(dāng)且僅當(dāng)4=6時取等號

解題方法

1先判斷變量是否為正數(shù)滿足“一正”

2看和或積是否為定值滿足“二定”

3臉證等號成立條件是否存在滿足“三相等”

4直接套用公式求最值

[經(jīng)典例題1】（25-26高一上?福建莆田?期末）設(shè)a、匕為正數(shù)，且Q+2b=1,則好的最大值為

【經(jīng)典例題2】（25-26高一上?福建三明?階段檢測）若x>0,則工+：的最小值為（）

A.1B.3C.6D.10

【鞏固練習(xí)1】（25-26高一上?北京?月考）已知Q>0,則a+±+l的最小值為________,此時

a

a=.

【鞏固練習(xí)2】（25-26高一上?廣西桂林?期中）已知實數(shù)m,九滿足血2+彥=8,則mn的最大值為

)

A.IB.2C.3D.4

【鞏固練習(xí)3】（25-26而三上,上海?階段檢測）已知正實數(shù)內(nèi)匕滿足a+3b=1,則ab的最大值為

【題型2】常規(guī)湊配法求最值

基礎(chǔ)知識

配湊法：加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和（積）為定值，然后利用基本不等式求解.

1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意臉證取得條件.

常見的配湊法求最值模型

（1）模型一：nix+—>2y[mn（m>0,/?>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立；

（2）模型二：ntx+——=m（x-a）+——+ma>2y[mn+ma（m>0.n>0）

x-ax-a

【經(jīng)典例題1】（25-26高一下?貴州畢節(jié)?月考）函數(shù)/（幻二力+'a>1）的最小值為（）

X—71

A.1B.2C.3D.2或+2

【經(jīng)典例題2】（25-26高二上?河北秦皇島?階段檢測）函數(shù)fW=2x+^（x>1）的最小值為（）

A.1B.2C.3D.2或+2

【鞏固練習(xí)1】（25-26高一上?天津?qū)氎??月考）已知f（%）=入+三+1,若%>1,/（%）的最小值為

【鞏固練習(xí)2]（25-26高一上?海南?期中）己知%>1,則4%+工的最小值為（）

X-1

A.4B.6C.8D.10

【鞏固練習(xí)3]（25-26高一上天津河?xùn)|?月考）》（1-]（其中0<%<2）的最大值是（）

A.B.D.2

4C.1

【題型3】“1”的妙用（1）:爽“1”法

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：乘“1”法就是指湊出1,利用乘'T'后值不變這個性質(zhì)，使不等式通過變形出來后達(dá)到運

用基本不等式的條件，即積為定值.

主要解決形如“已知1+產(chǎn)々為常數(shù)），求巴+-的最值”的問題，先將g+-轉(zhuǎn)化為（巴十

入y，y\xy/

再用基本不等式求最值

注意：驗證取得條件.

常用結(jié)論

I1（11、

1已知a+〃=l則一+:=（。+份一+:>4

abb）

2通用形式；若+〃〃一1a,b>0W'j"I?=（ma\nb}\P\

ab\ab

解題方法

1找到題目中等于1的表達(dá)式

2將目標(biāo)式乘以該等于1的表達(dá)式

3展開后交叉項用基本不等式求最值

4險證等號成立條件

【經(jīng)典例題1】（2026高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)％>0,y>0,且工+y=1,則％+彳的最小值為（）

A.3B.3+2V2C.2V2D.3或+2

12

【經(jīng)典例題21（24-25高二下?福建漳州?期末）若%>0,y>0,2x+9y=1,+三的最小值為（）

A.24B.26C.32D.92

【鞏固練習(xí)1】（24-25高一下?安徽合肥?期末）己知x+y=4,且x>0,y>0,則?十三的最小值是

xy

（）

A.1B.V2C.2D.2\[2

【鞏固練習(xí)2】（25-26高一下?廣東江門?期中）已知x>0,y>0,且3x+y=1,則7+的最小值

**?

為,此時％=.

【鞏固練習(xí)3】（2026?浙江?二模）已知O<avl,則二-十三的最小值為（）

2-2aa

A.-B.-C.5D.9

22

【題型4】“1”的妙用（2）:“1”的代換

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：通過第數(shù)?的代換，把求解目標(biāo)化為可以使用基本不等式求最值的式子，達(dá)到解題目的.

常用結(jié)論

1用等于1的式子替換目標(biāo)式中的常數(shù)1

2常見替換：1=5而。+（：05%1=】。8/1=4°等

解題方法

1分析目標(biāo)式中的常數(shù)1選擇合適的替換形式

2用等于1的式子替換常數(shù)1,奏出可使用基本不等式的結(jié)構(gòu)

3套用基本不等式求最值

4險證替換后變量的取值范圍和等號條件

【經(jīng)典例題1]（2026?天津南開?二模）已知xHkn時，'的最小值為（）

sinx2+cosx

AfB.3C"D.-

4

【經(jīng)典例題2】（2026?山西臨汾?二模）已知m>0,n>0,且m+3九=1,則乙+工的最小值為（）

mn

A.yB.5C.4D.3

4。+8=1,則2+：的最小值為（）

【鞏固練習(xí)1】（2025?江西萍鄉(xiāng)?二模）已知a>0,b>0,ab

A.5B.6C.7D.8

【鞏固練習(xí)2】（2026.廣東清遠(yuǎn).二模）已知實數(shù)Q>0,b>0,且Q+b=L則*的最小值為（）

ab

A.5B.4c.2V2-2D.2V2+2

【鞏固練習(xí)3】（2026?河北邢臺?二模）設(shè)a>0,b>0,且4+￡=Q,貝心+匕的最小值為（）

A.12B.9C.8D.4

【題型5]二次比一次型

基礎(chǔ)知識

基本模型；”'十零十「〃一人c,2后當(dāng)且僅當(dāng)不、￡時等號成立

CIA~vU~v-w（t

X

常用結(jié)論

1形如）,二竺*土（〃?=o）的函數(shù)可換元或分離常數(shù)后用基本不等式

tnx+n

2換元后常轉(zhuǎn)化為1+彳的對勾函數(shù)形式

解題方法

I換元：令，=〃2T+〃用，表示X代入原式化簡

2或用多項式除法分離常數(shù)得到整式加分式的形式

k

3湊出/+—結(jié)構(gòu)用基本不等式求最值

t

4臉證，的取值范圍確保一正二定三相等

【經(jīng)典例題1]（25-26高一上?河北承德?期末）已知x>l,則3/-5乂+5的最小值為（）

X-1

A.4B.5C.6D.7

【經(jīng)典例題2】（2025高一上?全國?專題練習(xí)）已知”>1,求立空二的最小值；

X-1

【鞏固練習(xí)1】（25-26高一上?江西?月考）已知％V-1,則立*的最大值是（）.

A.-11B.-8C.5D?8

【鞏固練習(xí)2】（25-26高三上?北京?月考）若%>1,則函數(shù)/（幻=三匕的最小值為______,此時

X—1

X=.

【鞏固練習(xí)3】（24-25高一上?廣東江門?期末）若x>0,則z-x+i的最小值是________

X

【題型6】分離常數(shù)型

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：對于分子分母中含有相同單一字母時，可以考慮分離常數(shù)

常用結(jié)論

axhA

I形如y=--------（c關(guān)0）可分離常數(shù)為y=--------+B

cx-^-dcx-\-d

2分離后分式的分子為常數(shù)分母為一次式可直接判斷范圍或結(jié)合基本不等式

解題方法

1對分子進(jìn)行湊配使其包含分母的因式

2分離常數(shù)得到常數(shù)加分式的形式

3分析分式的取值范圍結(jié)合常數(shù)得到原式的最值

4險證變量的取值范圍確保分母不為零

【經(jīng)典例題1】（25-26高一上?上海?期中）若實數(shù)a,b滿足ab>0,a+2b=6,則下列結(jié)論中錯誤的

是（）

A.ad<|B.a2+4b2>18

C.工+：的最小值為=D.且+乎的最小值為：

ab4a+12b+l2

【經(jīng)典例題2】（25-26高一下湖南衡陽?月考）已知正數(shù)m〃滿足a+b=l,則金+與的最小值

l+a1+b

為（）

A.-B.-C.-D.-

4352

【鞏固練習(xí)1】（202&湖南懷化?一模）已知力>0,且3。?9〉=3,則察+士的最小值為__________.

2bQ+3。

【鞏固練習(xí)2】（2025高三?全國?）若x,y>0且％+y=1,則2”+土”的最小值為.

【鞏固練習(xí)3】（25-26高一上?新疆烏魯木齊?期末）已知均為正實數(shù)，月.a+b=l,則尤+上

的最小值為.

【題型7】與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題

基礎(chǔ)知識

方法總結(jié)：結(jié)合指數(shù)對數(shù)的計笄公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基本不等式求解

常用結(jié)論

\a>0,b>0a+b>2y/ab指數(shù)對數(shù)形式：/+e~A>2當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號

21nx+->l（jr>0）x+lnx的最值可結(jié)合導(dǎo)數(shù)或不等式求解

x

解題方法

1利用指數(shù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡式子

k

2湊出/H--或4+Z?的形式

t

3套用基本不等式求最值

4驗證變量的取值范圍（如對數(shù)的真數(shù)大于0）

【經(jīng)典例題1]（25-26高一下?貴州畢節(jié)?階段檢測）己知a=log4S?b=log34,c=logis3,則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【經(jīng)典例題21（25-26高二下?廣東深圳?期中）己知點Q（2,3）在函數(shù)fG-）-nix十八的圖象上，則4m十

2n的最小值為（）

A.2\[2B.8C.4D.4企

【鞏固練習(xí)1]（重慶市2026屆高三下學(xué)期5月聯(lián)合診斷檢測數(shù)學(xué)試題）（多選）已知a,b均為正實

數(shù)，且a+2b=2,M（）

A.a2+4h2<2R.2a+#24

C.唾2。+iog2》&TD.（tana-l）（tan2ZJ-1）<2

【鞏固練習(xí)2】（25-26高三下重慶?階段檢測）設(shè)Q>0且Q于1,8>0且8。1,若±+々=1,

logo5k>gb3

則a+9b的最小值是（）

A.3B.66C.9D.18

【鞏固練習(xí)3】(2026?遼寧朝陽?三模)(多選)已知正實數(shù)a,b滿足4+b=1,則下列說法正確的是

()

A.Ina<0B.2。+2b>2y/2

C.yja+y[b<>/2D-十三3+2企

【題型8】利用對勾函數(shù)

基礎(chǔ)知識

當(dāng)無法取等時需要結(jié)合對勾函數(shù)圖像，利用單調(diào)性來得出最值

常用結(jié)論

b

1對勾函數(shù)y=at+-(6z>0,/?>0,x>0)的最小值為2〃^當(dāng)且僅當(dāng)ax=—即尤=時取等

號

2單調(diào)區(qū)間：4-CO)遞增

解題方法

1將目標(biāo)式變形為4X+2的標(biāo)準(zhǔn)形式

X

2確定人>0滿足一正條件

3結(jié)合定義域判斷極值點是否在取值范圍內(nèi)

4若極值點在定義域內(nèi)直接取最小值：若不在取區(qū)間端點的最值

【經(jīng)典例題I】(25-26高一下,浙江杭州?期中)若關(guān)于工的不等式以一6工1解集為［3,+8),其中a、

bER,則2Q+A的取值范圍為________.

D-2

［經(jīng)典例題2)(25-26高一上?安徽合肥?期末)已知關(guān)于無的不等式/-ax+b>0的解集為(—8,1)u

(TH,4-oo)(a,bER,m>1"),則g+4b的最小值為()

A.8B.12C.-yD.y

【鞏固練習(xí)I]（25-26高一上?新疆?階段檢測）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y-Linxl+B.y=Inx+C.y=x2+2x+4D.=

lsinx>Inxyv

2X+22-X

【鞏固練習(xí)2】（25-26高一上?河南駐馬店?期中）已知函數(shù)y=x+：有如下性質(zhì)：如果常數(shù)I>0,那

么該函數(shù)在（0,近]上單調(diào)遞減，在[”,+8）上單調(diào)遞增.

（1）求函數(shù)/（%）=%+言,%€[0,2]的值域；

（2）已知函數(shù)g（x）="+：+2,h（%）=2%+a,若對任意巧€[1,3],總存在小€口,3],使得gOJ=

九（0）成立，求a的取值范圍；

⑶若關(guān)于％的不等式/+妥一7n（X+：）+血+5工0對任意的工€[1,2]恒成立，求m的取值范圍.

【鞏固練習(xí)3]（25-26高一上?安徽阜陽?期中）在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是（）

2

AA.y=X+3Bn.y=cosx+,--1-（/0c<,x<,-立）、

JVx7+2'cos八2,

41

C.y=ex+--2D.y=x+-

zexJx

【題型9】判斷不等式是否能成立

基礎(chǔ)知識

（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為

定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.

（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

常用結(jié)論

1基本不等式使用的三個必要條件：一正（變量為正）二定（和或積為定值）三相等（等號能取到）

2三個條件缺一不可缺少任何一個不等式都不能成立

解題方法

1檢查變量是否為正數(shù)不滿足則不等式不成立

2檢查和或積是否為定值不滿足則無法直接用基本不等式求最值

3檢查等號成立條件是否存在（如變量取值是否在定義域內(nèi)：

4三個條件均滿足則不等式成立否則不成立

【經(jīng)典例題I]（2027高二下?全國?專題練習(xí)）下列兒個不等式中，不能取到等號的是（）

A.Vx+-^=>2(x>0)B.|%|+^>2>/2(%^0)

C?-：公l（xvO）D?+占1(D

【經(jīng)典例題2】（25-26高一上?全國?期末）下列結(jié)論表述正確的是（）

A.若a,b6R,則a?+b2>2ab恒成立

B.若a,°ER,則力卜2恒成立

C.若Q>0,b>0,則手式器手成立

D.若x<0,則-2口|=一4

【鞏固練習(xí)I】（25-26高三上?北京昌平?期末）若a,bwR,且ab>0,則下列不等式中恒成立的是

()

A.a+b>2y^bB.abV亨C.:+/品D.^+^>1

【鞏固練習(xí)2】（25-26高一上?四川眉山?期中）（多選）對于a>0,b>0,下列不等式中正確的是

()

A.ab<^B.

C.ab<（^）2D.亨乂手丫

【鞏固練習(xí)3】（2025?陜西?模擬預(yù)測）（多選）下列不等式一定成立的是（）

A.>[x+&N2B-sinx+~h-2

sinA

C./+日3D-In(x2+1)>Inx

【題型10]換元法（整體思想）

基礎(chǔ)知識

對于兩個分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊

整體配湊法原理是把目標(biāo)當(dāng)作一個整體，然后利用基本不等式求最值.

單分母換元：當(dāng)2個分母的和為定值，可以把其中一個分母進(jìn)行換元

雙分母換元：當(dāng)2個分母均為字母加減常數(shù)時，可以把2個分母都換元

常用結(jié)論

I設(shè)整體變量簡化復(fù)雜結(jié)構(gòu)湊出可使用基本不等式的形式

2常見換元：令，=ar+b/，=x+，等

x

解題方法

1觀察式子的整體結(jié)構(gòu)選擇合適的整體作為新變量

2用新變量表示原變量代入原式化簡

3對化簡后的式子套用基本不等式求最值

4回代得■到原變量的最優(yōu)險證雙信范圍

【經(jīng)典例題1】（2026?天津紅橋?一模）已知a>0,匕>0,若a+b=2,則三+士的最小值為（）

1+a1+D

A.2B.-C.-D.2+V2

44

【經(jīng)典例題2】（25-26高二下浙江寧波?期中）已知a>0,3>0,2+：=2,則工+工的最大值

aba+1b+1

為一.

【鞏固練習(xí)1】若a>0,b>0,c>0,a+8+c=2,則二+i的最小值為_____

4+0C

【題型11］基本不等式的實際應(yīng)用問題

基礎(chǔ)知識

不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及

不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，重點培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算素券.

調(diào)和平均數(shù)W幾何平均數(shù)W算術(shù)平均數(shù)W平方平均數(shù)：

若a,bwR一則金4號S滬甘~（當(dāng)且僅當(dāng)。=%時取"=”）

--1--

ab

【經(jīng)典例題1】（25-26高一下江蘇揚州?期中）如圖1所示，一直角走廊的寬度分別為m和

n（m>0,n>0）.

圖1圖2圖3

（I）若一根鐵棒水平通過直角走廊上P點與兩墻分別交于4B點（圖2）,其中點P,。分別為直角走廊內(nèi)

側(cè)、外側(cè)直角拐點，且m=2,?=M

（i）設(shè)|。川=Q,|OB|=b,求a,b之間滿足的等量關(guān)系；

（ii）求。力+。8的最小值；

（2）若直角走廊的寬度均設(shè)計為t=2（圖3）,現(xiàn)有?車寬0E為1,長EF為I（車高忽略），轉(zhuǎn)動靈活

的矩形平板車CDEF,求該平板車能通過此直角走廊時，的最大值.

【經(jīng)典例題2】（25-26高三上安徽淮北?期中）某校計劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為15米，底

面積為100平方米，且背面靠墻的長方體形狀的露天勞動基地，靠墻那面無需建造費用，因此甲工

程隊給出的報價如下：長方體前面新建墻體的報價為每平方米320元，左、右兩面新建墻?沐的報價

為每平方米160元，地面以及其他報價共計9600元.設(shè)勞動基地的左、右兩面墻的長度均為*6WXW

12）米，原有墻體足夠長.

（1）當(dāng)左面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？

（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與該勞動基地的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為48。,1+幻（。>（））元，若無論

左面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功（約定整體報價更低的工程隊競標(biāo)成功），求a的取

值范圍.

【鞏固練習(xí)1】（25-26高一上河北邢臺?期末）某超市計劃租地建造倉庫儲存貨物，若倉庫每月月租

%（單位：萬元）與倉庫到超市的距離x（x>0,單位：千米）的函數(shù)關(guān)系式為力=言，每月貨物

運輸費力（單位：萬元）與加勺函數(shù)關(guān)系式為%二|%，則該超市應(yīng)該把倉庫建在距離超市千

米處，才能使這兩項費用之和最少，最少費用為萬元.

【鞏固練習(xí)2]（25-26高一上陜西西安?期末）如圖，某社區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體

平面圖是由兩個相同的矩形助CD和“GH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域?計劃在正方形MNPQ

上建?座花壇，造價為4200元/m?；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為

210元/m2;在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元/m2.設(shè)總造價為S（單位：元），

則當(dāng)總造價S最小時，4。的長度為：

【鞏固練習(xí)3]（24-25高一上?安徽黃山?月考）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代

數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，運用這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠

通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓。上，點C在直徑48上，且。尸1

AB,設(shè)4C=a,8C=b，則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.a2-\~b2>2ab^a>0力>0)

B.>7abe>0匕>0)

C.Vab>—(a>0,b>0)

a+o

D.再寧(―

【題型12】與a+b、平方和、"有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化）

基礎(chǔ)知識

利用基本不等式變形求解

常用不等式鏈：ab￡（a+b）1一+從（主要用于和積轉(zhuǎn)換）

4~2

常用結(jié)論

\a2+b2=（a+b）2-lab

（。+方

^(a+b^^^aba1+b2>

2

a2+b2（q+

2I2）

解題方法

1根據(jù)已知條件選擇合適的轉(zhuǎn)化公式（和轉(zhuǎn)積、積轉(zhuǎn)和、平方和轉(zhuǎn)和/積）

2用基本不等式對轉(zhuǎn)化后的式子進(jìn)行放縮

3求目標(biāo)式的最值

4臉證等號成立條件（〃=/?）

【經(jīng)典例題1】（2026?安徽合肥?模擬預(yù)測）（多選）已知不相等的實數(shù)Q,b滿足Qb=Q+b+3,則

下面說法正確的是（）

A.存在實數(shù)t使得a,b是方程無2一儀+￡+3=0的兩根

B.若Q,b>0,則ab的取值范圍是（9,+8）

C.a+b的取值范圍是（6,+8）

D.a2+爐的取值范圍是⑵+8）

【經(jīng)典例題2】（2026?貴州貴陽?二模）若a>0,b>0,且ab=a+b,則"的最小值是_____.

【鞏固練習(xí)1】（2026?內(nèi)蒙古赤峰?一模）正數(shù)加，〃滿足m+n+2nm=4,則m+九的最小值為

【鞏固練習(xí)2】（2026?河北張家口?一模）已知實數(shù)第>|,y>1,且滿足2孫-2x-y-3=0,則2x+y

的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【鞏固練習(xí)3】（25-26高二下?浙江.開學(xué)考試）（多選）已知正實數(shù)m〃滿足ab=Q+b+3,則下

列結(jié)論正確的有（）

A.ab>9B.a+b<6

]12

C.-a+-b>-3D.a+>3+4>/2

【題型13]基本不等式恒成立與能成立問題

基礎(chǔ)知識

VXW”,使得/（X）..4,等價于/（?mm",VxGM,使得/*）,,々，等價于/（初…

HreM.使得/(x)..4.等價于/。人…〃.3xeM,使得/(x),,a.等價于/(x)min?a

常用結(jié)論

1恒成立：/(X)>k恒成立等價于/(x)min>k;f(X)<k恒成立等價于/(x)nm<k

2能成立：人能成立等價于/(X)maxNZ；/*)?%能成立等價于

解題方法

1用基本不等式求出目標(biāo)函數(shù)的最值

2根據(jù)恒成立或能成立的條件列不等式求解參數(shù)范圍

3險證參數(shù)范圍是否滿足變量的取值條件

4注意區(qū)分恒成立與能成立的最值方向

【經(jīng)典例題1】(25-26高一下,貴州畢節(jié)?期中)若正實數(shù)x、y滿足5+5=1，且t+號之-3a恒成

xy4

立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.{a|-l<a<4}B.{a|-l<a<4}C.{a|-4<a<1}

D.{a|-4<a<1}

【經(jīng)典例題2】(25-26高一上?浙江杭州?期中)若正實數(shù)”,y滿足％+2y=4,不等式而+/<：+

木恒成立，則m的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)1】(25-26高一上?浙江杭州?期中)若正數(shù)X,y滿足2%+y=2xy,且不等式x+2y>m2-

恒成立，則實數(shù)，〃的取值范圍是_________.

【鞏固練習(xí)2](25-26高?上廣東深圳?期末)若％,y滿足M4-y2-xy=1且％+y>k2-3々恒成立，

則k的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)3】(25-26高一上?上海浦東新?期末)已知正實數(shù)X,1y滿足2x+3y=%y,若3%+2yNt

恒成立，則實數(shù)t的范圍是.

模塊二卜核心方法.

【題型14]消元法

基礎(chǔ)知識

消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)''或"積為常數(shù)''的形式，最后利用基本不等式求最值.

常用結(jié)論

1利用已知條件消去一個變量轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)求最值

2消元后需注意剩余變量的取值范圍

解題方法

1從已知等式中解出一個變量用其他變量表示

2代入目標(biāo)式消去該變量得到單變量函數(shù)

3分析軻余變量的取值范圍

4用基本不等式或?qū)春瘮?shù)求單變量函數(shù)的最值

【經(jīng)典例題1】（2026?廣東江門?二模）己知a>l,b>1,且。匕=。+8+3,則4a+b的最小值為

（）

A.IIB.12C.13D.14

【經(jīng)典例題2】（25-26高三下,安徽合肥?月考）已知正數(shù)x,y滿足（l-x）（l+y）=l,則:y+：的最

小值為（）.

A.4B.3C.2D.1

【鞏固練習(xí)I]（2026?河南南陽?模擬預(yù)測）已知正數(shù)居y滿足:+y=?,則!+y的最小值為（）

A.7B.9C.10D.12

【鞏固練習(xí)2】（2026?西藏日喀則?模擬預(yù)測）若2Qb=4-3n,則。+b的值可能是（）

A.0B.-4C.2D.1

【鞏固練習(xí)3】（25-26高一上?上海?期中）若正實數(shù)〃，人滿足a+2km則心+嬴的最小

值是.

【題型15】因式分解型

基礎(chǔ)知識

含有次y這類結(jié)構(gòu)的式子，可以考慮因式分解配湊成（at+1）（2），+1）的結(jié)構(gòu)，再結(jié)合整

體思想來求最值

常用結(jié)論

1通過因式分解湊出和或積為定值的形式再用基本不等式

2常見因式分解：a2-b2=（a+b）（a-b）a3±b3=（a±b）（a2lab+b2）

解題方法

I對目標(biāo)式或已知條件進(jìn)行因式分解

2分解后湊出可使用基本不等式的結(jié)構(gòu)（如兩個正數(shù)的和或枳）

3套用基本不等式求最值

4臉證因式分解的正確性和變量的取值范圍

【經(jīng)典例題”（2026?貴州貴陽?模擬預(yù)測）已知n>l,K3znn-3m-n=1,則七+三

的最小值是（）

A.2B.4C.2V3D.2V2

【經(jīng)典例題2】（25-26高一上?河南周口?期末）已知a,d>0,且ab=Q+b+3,則下列結(jié)論正確

的有（）

A.a+b<6B.log3a+log3b>2

C.2a+2b>16D,W+42

【鞏固練習(xí)1】（25-26高一上?遼寧丹東?期末）已知實數(shù)%,〉滿足/+72+肛=1,則（）

A.孫有最大值為1B.%+、有最小值為一?

C.x2+y2有最小值為|D./+y2有最大值為2

【鞏固練習(xí)2】（25-26高一上?福建廈門?期末）已知a>0,b>0,且ab=3a+b+l,則下列結(jié)論正

確的有（）

A.帥的最小值是2+6B.a+6的最小值為8

C.-三+的最小值為2D.此方程有且僅有3組整數(shù)解

a-1b—3

【鞏固練習(xí)3】（2026.遼寧沈陽?三模）己知正數(shù)X,），滿足工+y=1,則出+總的最小值為______.

/人"iy人"T"y

【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）

基礎(chǔ)知識

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式

進(jìn)行求解.

常用結(jié)論

1分子分母同除以某個變量的最高次繇構(gòu)造齊次式轉(zhuǎn)化為可使用基本不等式的形式

2形如"十〃同除以a"得色+^22

abba

解題方法

1觀察式子的次數(shù)選擇合適的變量進(jìn)行同除

2同除后構(gòu)造出處+^等可使用基本不等式的結(jié)構(gòu)

ba

3套用基本不等式求最值

4臉證變量不為零確保同除有意義

【經(jīng)典例題1］（江蘇南通市2026屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）對任意正實數(shù)無、y,記m二

mi4％16/；9y2}?當(dāng)血取得最大值時，孫的值為（）

【經(jīng)典例題2］（24-25高一上?上海?階段檢測）設(shè)止實數(shù)x、y、z滿足產(chǎn)-3孫+4y2-z=0,則當(dāng)手取

得最大值時，的最大值為（）

A.9B.1C.-D.4

4

【鞏固練習(xí)1】（23-24高三上?河南漂河?期末）設(shè)正實數(shù)%、：八2滿足/一；0，+72-2=0,則?的

最大值為（）

A.4B.2C.3D.1

【鞏固練習(xí)2】（24-25高三上?河南?月考）已知a>b>0,則牛鳥的最小值為______.

ab-b2

【鞏固練習(xí)3】（22-23高三上?天津和平?階段檢測）已知正數(shù)居y滿足+三薪=1,則xy的

最小值是_________.

【題型17］萬能“A”法

基礎(chǔ)知識

求啥設(shè)啥，利用一元二次方程有實數(shù)根時△NO.

常用結(jié)論

1設(shè)比值&=0將二元問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于人的一元問題

b

2形如"設(shè)女=3轉(zhuǎn)化為"二"+1求最值

a2+b2b公+i

解題方法

1設(shè)目標(biāo)比值為女用女表示變量的關(guān)系

2代入目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的一元函數(shù)

3化簡后用基本不等式或?qū)?shù)求攵的范圍或最值

4回代得到原目標(biāo)式的最值

【經(jīng)典例題1】（25-26高一上?山西忻州?期末）已知正實數(shù)a,萬滿足4a2+3帥=l+X,則lOa2+

3ab—塊的最小值為.

【經(jīng)典例題2】已知實數(shù)“，。滿足片+4/-必=1，則的最小值為

【題型18]三角換元法（利用三角函數(shù)）

基礎(chǔ)知識

出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)3病mA）形式，引入三角函數(shù)表示〃和。

常用結(jié)論

I利用sin?a+cos2a=1l+【an?a=sec之。等公式進(jìn)行換元

2適用于含Y+）/=]冗2+y2（r2等形式的問題

解題方法

1根據(jù)已知條件選擇合適的三南換元形式（如x=〃cosay=rsincr）

2代入目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式

3利用三角恒等變換化簡再用基本不等式或三角函數(shù)性質(zhì)求最值

4臉證變量的取值范圍確保換元等價

【經(jīng)典例題1】（25-26高一?全國?寒假作業(yè)）已知產(chǎn)—2g4+5/=1,GR,則/+y2的最

小值為.

【經(jīng)典例題2]（2026?河北滄州?模擬預(yù)測）己知實數(shù)m,九滿足m2+n2=8m-12,則營粵的最大

V8m-12

值為.

【鞏固練習(xí)1】若X,），滿足/+）,2=1,則&x+y的最大值為

【鞏固絳習(xí)2】（多選題）若My滿足盯=1,則（）.

A.x+y<----B.x+y>-\

3

C.x2+y2<-D.x2+y2>-

2-3

【鞏固練習(xí)3】若X,），滿足彳+y2=],則JL：+），的最大值為

【題型19]基本不等式與其他知識交匯的最值問題

基礎(chǔ)知識

利用基本不等式求最值往往交匯考查，多涉及數(shù)列、三角、向量、解析幾何、立體幾何等問題中有

關(guān)最值的求法.

常用結(jié)論

1與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等知識結(jié)合利用基本不等式求最值

2核心仍是一正二定三相等結(jié)合其他知識的性質(zhì)確定變量范困

解題方法

I結(jié)合交匯知識的性質(zhì)建立目標(biāo)函數(shù)

2利用交匯知識的約束條件確定變量的取值范圍

3套用基本不等式求最值

4險證結(jié)果是否滿足交匯知識的約束條件

【經(jīng)典例題1]（25-26高一下重慶.期中）已知點4在線段上（不含端點），。是直線8C外一點，

.H.^4=2xOB+yOC?則自一黃^的最小值是（）

A.4B.-C.-D.2

55

【經(jīng)典例題2】（25-26高一下.廣東深圳?期中）半徑為定值的球0中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最

大時，圓柱的高和球。的半徑之比為（）

A.y[2