2025-2026學年江蘇省揚州市高二下學期期末調研數學試卷-含解析

/數學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的值是（）A.11 B.17 C.126 D.1322.下列函數中存在極值點的是（）A. B. C. D.3.若水池的排水量（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系式，則的實際意義是（）A.4秒時水池的排水量 B.4秒內水池的排水總量C.4秒時水池排水量的瞬時變化率 D.4秒內水池排水量的平均變化率4.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.5.如圖，從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路，從甲地到丙地有2條路，從丙地到丁地有4條路，則從甲地到丁地不同的走法總數為（）A.11 B.14 C.30 D.486.在空間直角坐標系中，已知點，，，，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.7.甲乙兩個學習小組，甲小組中有3名男生和4名女生，乙小組中有3名男生和2名女生.先從甲小組中隨機抽出1名學生轉入乙小組，然后再從乙小組中隨機抽出1名學生，則從乙小組中抽出的學生是女生的概率為（）A. B. C. D.8.已知函數，若存在唯一整數，使得，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項中正確的有（）A.若隨機變量，，則B.若隨機變量的數學期望，則C.研究兩個變量的相關性時，相關系數的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關性越強D.進行獨立性檢驗時，統計量的值越大，判斷“兩個分類變量相關”犯錯誤的概率越小10.某班級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列選項中正確的有（）A.從中選出2人分別擔任組長和副組長，共有28種不同的安排方案B.從中選4人參加語文、數學、英語知識競賽，其中語文需要2人，數學和英語各需要1人，共有840種不同的安排方案C.8人排成一排，甲乙兩人之間恰好間隔2人，共有7200種不同的安排方案D.8人排成一排，女生兩兩不相鄰，且女生甲在排頭或排尾，共有4800種不同的安排方案11.如圖，已知正方體的棱長為4，點，，分別是棱，，的中點，點在四邊形及其內部運動，則下列選項中正確的有（）A.存在點，使得B.存在點，使得C.若平面，則直線與所成的角可能為D.三棱錐的外接球半徑的最小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間四邊形中，，，，若，，則_____（用向量，，表示）．13.已知函數在上單調遞增，則實數的最大值為_____．14.從所有的四位正整數中隨機取一個，記所取正整數的千位數字為，百位數字為，十位數字為，個位數字為，則：（1）_____；（2）_____．（結果用最簡分數表示）四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求展開式中含項的系數；（2）求證：能被整除．16.為科學評估施肥對某品種農作物發育情況和產量的影響，某研學小組對勞動實踐基地中隨機抽取的200株該品種農作物進行了觀察，并進行數據分析．（1）將所抽取的農作物按是否施肥分為兩類，并將其分為“發育正常”和“發育不正常”兩類，整理得到下表：施肥不施肥合計發育正常7030發育不正常40合計200請補全以上表格，判斷能否有99.9%的把握認為“是否施肥”與“該品種農作物是否發育正常”有關，并說明理由．（2）對施肥的農作物進行觀察，發現施肥超過某標準量后，產量反而會迅速下降．從施肥的該品種農作物中隨機抽取10株，記錄它們的過量施肥量（g）與產量（g），數據如下表：農作物編號12345678910過量施肥量（g）00.5111.52222.52.5產量（g）100858585807575707075經計算，，，，，求關于的線性回歸方程．附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．828對于一組數據，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面側面，是正三角形，是的中點．（1）求證：平面；（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，（i）求的值；（ii）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．18.袋中共裝有大小相同的個紅球和個黑球，現連續從袋中隨機取出小球，每次取個．（1）若每次取出小球后放回，連取次，記取出黑球的次數為，求的概率分布和方差；（2）若每次取出的小球不放回，（i）記前次取球中，取出黑球次數為的概率是，求取最大值時的值；（ii）當取出所有黑球時，記取出的小球總個數是，求的數學期望．19.已知函數，．（1）若，求在點處的切線方程；（2）若在上存在唯一零點，（i）求的取值范圍；（ii）求證：．

數學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的值是（）A.11 B.17 C.126 D.132答案：B解析：解答過程：2.下列函數中存在極值點的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出導數，利用極值的定義依次判斷可解．解答過程：對于A，的定義域為，因為，當且僅當時等號成立，所以在上單調遞增，不存在極值點，故A不符合題意；對于B，的定義域為，因為，所以在上單調遞增，不存在極值點，故B不符合題意；對于C，的定義域為，因為，所以在上單調遞增，不存在極值點，故C不符合題意；對于D，因為是周期函數，不妨取其中一個周期，而，當時，，當時，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以在處取到極大值，在處取得極小值，所以存在極值點，故D符合題意.3.若水池的排水量（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系式，則的實際意義是（）A.4秒時水池的排水量 B.4秒內水池的排水總量C.4秒時水池排水量的瞬時變化率 D.4秒內水池排水量的平均變化率答案：C解析：思路：根據導數的實際意義即可得解.解答過程：由導數的實際意義可知，的實際意義是4秒時水池排水量的瞬時變化率.4.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由關于平面對稱的點的坐標的特點可得結果.解答過程：點關于平面對稱的點的坐標為.5.如圖，從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路，從甲地到丙地有2條路，從丙地到丁地有4條路，則從甲地到丁地不同的走法總數為（）A.11 B.14 C.30 D.48答案：B解析：思路：根據分類加法和分步乘法計數原理計算求解.解答過程：第一類：甲先到乙地再到丁地，此時共有種不同的走法；第二類：甲先到丙地再到丁地，此時共有種不同的走法；所以甲地到丁地不同的走法總數為.6.在空間直角坐標系中，已知點，，，，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.答案：C解析：解答過程：易得，，設平面的法向量為，則，令，則，則點到平面的距離為.7.甲乙兩個學習小組，甲小組中有3名男生和4名女生，乙小組中有3名男生和2名女生.先從甲小組中隨機抽出1名學生轉入乙小組，然后再從乙小組中隨機抽出1名學生，則從乙小組中抽出的學生是女生的概率為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：設事件后，求出相關事件的概率，再由全概率公式計算即得.解答過程：設從甲小組中抽出1名男生為事件，從甲小組中抽出1名女生為事件，從乙小組中抽出的學生是女生為事件.則，故.8.已知函數，若存在唯一整數，使得，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根據已知分離參數，求出導函數，進而根據正負得出函數單調性，最后結合根的唯一性得出參數范圍.解答過程：由題可得，令,分離參數可得,若存在唯一整數，使得,即存在唯一整數使得，設,則,當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的極大值也是最大值為，且時，，時，，又因為,如下圖由圖可知只有滿足條件。二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項中正確的有（）A.若隨機變量，，則B.若隨機變量的數學期望，則C.研究兩個變量的相關性時，相關系數的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關性越強D.進行獨立性檢驗時，統計量的值越大，判斷“兩個分類變量相關”犯錯誤的概率越小答案：ACD解析：解答過程：選項A：正態分布的對稱軸為，由于和關于對稱，根據正態曲線的對稱性可得，A正確；選項B：根據期望的性質得，B錯誤；選項C：根據線性相關系數的性質：相關系數的絕對值越接近，兩個變量的線性相關性越強，越接近相關性越弱，C正確；選項D：獨立性檢驗中，統計量越大，說明原假設“兩個分類變量無關”成立的概率越小，因此判斷“兩個分類變量相關”犯錯誤的概率越小，D正確.10.某班級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列選項中正確的有（）A.從中選出2人分別擔任組長和副組長，共有28種不同的安排方案B.從中選4人參加語文、數學、英語知識競賽，其中語文需要2人，數學和英語各需要1人，共有840種不同的安排方案C.8人排成一排，甲乙兩人之間恰好間隔2人，共有7200種不同的安排方案D.8人排成一排，女生兩兩不相鄰，且女生甲在排頭或排尾，共有4800種不同的安排方案答案：BCD解析：思路：對于A：相當于求從8個人中取2個人的排列數；對于B：先從人中選人參加語文知識競賽，再選兩人參加余下兩科競賽；結合分步乘法計數原理求解，對于C：先排甲乙，再排其余學生；對于D：先排男生，再排女生甲，最后排其余女生即可.解答過程：對于選項A：從個人中選2人，1人做正組長，1人做副組長選法共有種，故A錯誤；對于選項B：從個人中選4人參加語文、數學、英語知識競賽，其中語文需要2人，數學和英語各需要1人的選法共有種，故B正確；對于選項C：滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步先排甲乙，因為甲乙間隔2人，故甲乙的位置可能為，且甲乙可交換，故甲和乙的排列方法有種；第二步，將剩余6人排入余下的位置，滿足條件的排法有種；由分步乘法計數原理可得8人排成一排，甲乙兩人之間恰好間隔2人的總方案數為，C正確，對于選項D：滿足條件的安排方法可分三步完成，第一步，先排名男生，有種排法，個男生產生個空（含兩端），第二步，將女生甲排入兩端空位中的一個，共種排法；第三步，將剩余兩名女生從剩下個空位選個排列，共有種排法；由分步乘法計數原理可得總方案數為，D正確.11.如圖，已知正方體的棱長為4，點，，分別是棱，，的中點，點在四邊形及其內部運動，則下列選項中正確的有（）A.存在點，使得B.存在點，使得C.若平面，則直線與所成的角可能為D.三棱錐的外接球半徑的最小值為答案：AD解析：思路：對于A，建系后利用向量數量積的坐標運算即可判斷；對于B，通過對稱作圖，利用三點共線時線段和最短求出待求式的最小值即可判斷；對于C，利用條件運算推得點的軌跡，結合圖形找到異面直線所成角，借助于三角函數的值域求出角的范圍判斷；對于D，依題意設外接球球心為，利用球的半徑相等推得，利用該式的幾何意義求出的范圍即得半徑的范圍判斷即可.解答過程：如圖，以點為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系.則.依題意，設點.對于A，因，則由，可得，當取時，，即存在點，使得，故A正確；對于B，如圖，作出點關于平面的對稱點，連接，交平面于點，則，且，于是，即的最小值為，故B錯誤；對于C，因，則，，設平面的法向量為，則，故可取，因平面，則，即，分別取的中點，連接，則點的軌跡即線段.因，則直線與所成的角等于，又因平面，在中，，易得，則，因，而，因在第一象限單調遞增，則有，故C錯誤；對于D，如圖，取的中點為點，則點為的外心，設三棱錐的外接球球心為點，半徑為，則平面，因，則，故可設，，又因，則由可得，化簡得，而，設，，則可理解為如圖正方形內（包括邊界）的點到點的距離.由圖知，，即，由可得，故得，即三棱錐的外接球半徑的最小值為，故D正確.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間四邊形中，，，，若，，則_____（用向量，，表示）．答案：解析：思路：借助空間向量線性運算法則計算即可得.解答過程：由，則，即，則.13.已知函數在上單調遞增，則實數的最大值為_____．答案：解析：思路：根據函數單調性與導函數的關系，求出導函數，條件可轉化為導函數大于等于在區間上恒成立，根據恒成立的解法，求出參數范圍.解答過程：由題意得，因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，當時，，變形得，令，，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，在處取得最小值，，當在上恒成立，可得，所以實數a的最大值為.14.從所有的四位正整數中隨機取一個，記所取正整數的千位數字為，百位數字為，十位數字為，個位數字為，則：（1）_____；（2）_____．（結果用最簡分數表示）答案：①.②.解析：思路：應用組合數及古典概型計算求解.解答過程：四位正整數有個，；滿足可以重復不降序的排法為，．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求展開式中含項的系數；（2）求證：能被整除．答案：（1）（2）．因為上式的每一項都能被整除，所以能夠被整除．解析：思路：（1）利用二項展開式的通項公式，令的指數等于，解出，再代入即可；（2）將代入后化為，用二項式定理展開，可證得被整除．（1）由二項式定理可知，在的展開式中，第項為，令，解得，因此二項展開式中含的項系數為．（2）略．16.為科學評估施肥對某品種農作物發育情況和產量的影響，某研學小組對勞動實踐基地中隨機抽取的200株該品種農作物進行了觀察，并進行數據分析．（1）將所抽取的農作物按是否施肥分為兩類，并將其分為“發育正常”和“發育不正常”兩類，整理得到下表：施肥不施肥合計發育正常7030發育不正常40合計200請補全以上表格，判斷能否有99.9%的把握認為“是否施肥”與“該品種農作物是否發育正常”有關，并說明理由．（2）對施肥的農作物進行觀察，發現施肥超過某標準量后，產量反而會迅速下降．從施肥的該品種農作物中隨機抽取10株，記錄它們的過量施肥量（g）與產量（g），數據如下表：農作物編號12345678910過量施肥量（g）00.5111.52222.52.5產量（g）100858585807575707075經計算，，，，，求關于的線性回歸方程．附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．828對于一組數據，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．答案：（1）

施肥不施肥合計發育正常7030100發育不正常4060100合計11090200能有的把握認為“是否施肥”與“該品種農作物是否發育正常”有關．（2）．解析：思路：（1）補全列表，再計算與臨界值比較判斷即可；（2）先根據公式計算，再應用樣本中心點計算，最后得出回歸直線.（1）補全列聯表如下：

施肥不施肥合計發育正常7030100發育不正常4060100合計11090200所以所以有99．9%的把握認為“是否施肥”與“該品種農作物是否發育正常”有關．（2）已知，，，所以，，則，所以關于的線性回歸方程是．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面側面，是正三角形，是的中點．（1）求證：平面；（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，（i）求的值；（ii）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．答案：（1）為正方形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又在正中，為的中點，故，又，平面，，平面．（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）借助面面垂直的性質定理可得平面，再利用線面垂直性質定理及線面垂直判定定理即可得證；（2）（i）建立適當空間直角坐標系，再表示出直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量夾角公式計算即可得；（ii）利用的值可求出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解.（1）略（2）（i）取的中點，的中點，連接，，由平面平面，平面平面，，平面，可得平面，又由為正方形，，分別為，的中點，可得，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的坐標系，則，，，，由，得，，又平面的一個法向量為，由，解得或（舍去），即有；（ii）由，則，，設面的法向量為，則，可取，，，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面與平面所成銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成銳二面角大小的余弦值為．18.袋中共裝有大小相同的個紅球和個黑球，現連續從袋中隨機取出小球，每次取個．（1）若每次取出小球后放回，連取次，記取出黑球的次數為，求的概率分布和方差；（2）若每次取出的小球不放回，（i）記前次取球中，取出黑球次數為的概率是，求取最